2022-2023學年高二數(shù)學人教A版2019選擇性必修第三冊同步講義第8講離散型隨機變量的期望方差及其性質(zhì)3種題型（解析版）

第8講離散型隨機變量的期望方差及其性質(zhì)3種題型

【考點分析】

考點一：離散型隨機變量的期望

①期望的含義：一般地，若離散型隨機變量&的概率分布為

4X2儲

PPlPlPi

則稱+…+x“p”+…為&的數(shù)學期望或平均數(shù)、均值.數(shù)學期望又簡稱期望.

數(shù)學期望反映了離散型隨機變量取值的平均水平.

②隨機變量〃=試+人的數(shù)學期望：Er)=E{a^+b)=aE^+b

③單點分布：其分布列為：

E0=cxl=cP(J=l)=c.g0i

④兩點分布：￡^=Ox^+lxp=p,其分布列為：(p+q=l)

pqp

⑤二項分布：E&=5k.---pk-q"-k^np其分布列為J?B(〃,P).

(P為發(fā)生4的概率)

⑥幾何分布：E^=-其分布列為《?q(A,P).(P為發(fā)生4的概率)

P

考點二：離散型隨機變量的方差、標準差

①當已知隨機變量1的分布列為P(4=x?)=p?(k=l,2,…)時，則稱

”=(x「E?%+(x「Eg)2p2+…+(x「E匐2Pli+…為g的方差.顯然故&=匹^.售為&的根方差或

標準差.隨機變量&的方差與標準差都反映了隨機變量&取值的穩(wěn)定與波動，集中與離散的程度移

小，穩(wěn)定性越高，波動越小.

向方差的性質(zhì)..

⑴隨機變量？=若+人的方差(喈+加=〃3久(a、b均為常數(shù))

③期望與方差的關(guān)系.

(1)如果和E〃都存在，則Ee±v)=EJ土

⑵設(shè)《和袱是互相獨立的兩個隨機變量，則EG")=EJE小+V)=%+叫

⑶期望與方差的轉(zhuǎn)化：Dg=E$-(E&『⑷EG-Eg)=E?-E(EM(因為轉(zhuǎn)為一常數(shù))=EJ-E4=O.

【題型目錄】

題型一：離散型隨機變量的期望

題型二：離散型隨機變量的方差

題型三：離散型隨機變量的期望方差的性質(zhì)

【典型例題】

題型一：離散型隨機變量的期望

【例1】在采用五局三勝制(先取得三局勝利的一方，獲得最終勝利)的籃球總決賽中，當甲隊先

勝2場時，因疫情暴發(fā)不得不中止比賽.已知甲、乙兩隊水平相當，每場甲、乙勝的概率都為總決

賽的獎金為80萬元，總決賽的勝者獲得全部獎金.根據(jù)我們所學的概率知識，甲隊應(yīng)分得的獎金為

()萬元.

A.80B.70C.50D.40

［答案］B

【3析】獎金額X的值為。和80,計算出概率后由期望公式計算出期望即得.

【詳解】設(shè)甲隊應(yīng)分得的獎金為X萬元，則X=0,80,

P(X=0)=(l-=g,P(X=80)=l-(l-g)=1,E(X)=0x"+80彳=70.

故選：B.

【例2】一個袋子中裝有大小相同的5個小球，其中有.3個白球，2個紅球，小明從中無放回地取出

3個小球，摸到一個白球記1分，摸到一個紅球記2分，則小明總得分4的數(shù)學期望等于（）

A.3.8分B.4分C.4.2分D.4.4分

【答案】C

【分析】確定&的取值，求出概率，由期望公式計算期望.

【詳解】由題意J的取值是3,4,5,

G=_L34）=詈*尸（『）=嘴H

尸4=3)=

C；10

E（a=3x—+4xA+5x—=—=4.2,

10101010

故選：C.

【例3】從一批含有6件正品和4件次品的10件產(chǎn)品中隨機抽取2件產(chǎn)品進行檢測，記隨機變量X

為抽檢結(jié)果中含有的次品件數(shù)，則隨機變量X的期望E（X）=

4

【答案】y##0.8

【分析】根據(jù)題意，確定隨機變量X的可能取值，再求出每個變量對應(yīng)的概率即可求解.

【詳解】由題意可知：X的可能取值為01,2,

詼。）噌喘TP（X=1）=管啜啥尸（X=2）啜吟/

所以E（X）=0xg+lx2+2'1=1,

4

故答案為：

【例4】某公司有5萬元資金用于投資開發(fā)項目，如果成功，一年后可獲利12%,一旦失敗，一年

后將喪失全部資金的50%,下表是過去200例類似項目開發(fā)的實施結(jié)果：

投資成功投資失敗

192次8次

則該公司一年后估計可獲收益的期望是（元）.

【答案】4760

【分析】設(shè)可獲收益為x萬元，先求出投資成功與失敗的概率和收益，再計算收益的期望即得.

【詳解】設(shè)可獲收益為x萬元，如果成功，x的取值為5x12%,如果失敗，x的取值為-5x50%,

一年后公司成功的概率估計為1器92=言24，失敗的概率估計為8意=上1，

所以一年后公司收益的期望為E（x）=f5xl2%x11-5x50%x1|xl0000=4760（元）.

故答案為：4760.

【例5】電機（或變壓器）繞組采用的絕緣材料的耐熱等級也叫絕緣等級，電機與變壓器中常用的

絕緣材料耐熱等級分為如下7個級別：

耐熱等級YAEBFHC

絕緣耐溫（℃）[90,105)[105,120)[120,130)[130,155)[155,180)[180,200)[200,230)

某絕緣材料生產(chǎn)企業(yè)為測試甲、乙兩種生產(chǎn)工藝對絕緣耐溫的影響，分別從兩種工藝生產(chǎn)的產(chǎn)品中

各隨機抽取50件，測量各件產(chǎn)品的絕緣耐溫（單位：。C）,其頻率分布直方圖如下：

頻率/組距

0.07—r—；—；-T—；

0.06一上十一|~~r—；

0.05-—■；

0.04—；—；——：

0.03-J----；------j

0.02…Lj-—1

8180/2左210與0絕緣耐恥（C）

甲

(1)若10月份該企業(yè)采用甲工藝生產(chǎn)的產(chǎn)品為65萬件，估計其中耐熱等級達到C級的產(chǎn)品數(shù)；

(2)若從甲、乙兩種工藝生產(chǎn)的產(chǎn)品中分別隨機選擇1件，用頻率估計概率，求2件產(chǎn)品中耐熱等級

達到C級的產(chǎn)品數(shù)的分布列和數(shù)學期望.

7

【答案】(1)52萬件；(2)分布列見解析；期望為二

【分析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖可知耐熱等級達到。級的頻率，從而可估計65萬件產(chǎn)品中達到。

級的產(chǎn)品數(shù)；

(2)根據(jù)頻率分布直方圖可知甲、乙兩種產(chǎn)品耐熱等級達到C級的概率，各隨機選擇1件產(chǎn)品可能

為兩個都達到C級，恰有一個達到。級，兩個都沒達到C級，分別計算它們的概率，列出分布列，

計算期望.

【詳漏】(1)由頻率分布直方圖可知，

65萬件產(chǎn)品中，耐熱等級達到6級的產(chǎn)品數(shù)為65x(0.06x10+0.02x10)=52(萬件),

故耐熱等級達到C級的產(chǎn)品數(shù)約為52萬件.

(2)設(shè)采用甲工藝生產(chǎn)的產(chǎn)品中耐熱等級達到C級的產(chǎn)品數(shù)為X,采用乙工藝生產(chǎn)的產(chǎn)品中耐熱等

級達到C級的產(chǎn)品數(shù)為匕則耐熱等級達到C級的產(chǎn)品總數(shù)為X+K由頻率分布直方圖可知，

4

隨機選擇I件采用甲工藝的產(chǎn)品耐熱等級達到。級的概率為0.06X10+0.02X10=0.8=《,

3

隨機選擇1件采用乙工藝的產(chǎn)品耐熱等級達到。級的概率為002x10+0.04x10=0.6=^.

x+丫所有可能的取值為0,1,2,則p（x+y=o）=p（x=o且y=o）=g1x（?=A2，

134211

p（x+y=i）=p（x=o_ay=i）+p（x=iKy=o）=-x-+-x-=—,

555525

4312

p（x+y=2）=p（x=i_ar=i）=-x-=—.

5525

分布列如下表所示:

X+Y012

21112

P

252525

_,...?211_127

石(X+y)=0xF1xF2x—=一.

2525255

【例6】現(xiàn)有甲、乙、丙、丁等6人去參加新冠疫苗的接種排隊，有A、B、C、04個不同的窗口供

排隊等候接種，每個窗口至少有一位同學等候.

(1)求甲、乙兩人在不同窗口等候的概率；

(2)設(shè)隨機變量X表示在窗口A排隊等候的人數(shù)，求隨機變量X的期望.

]13

(答案]⑴二;(2)~

132

【分析】(1)先利用排列組合求出事件得總數(shù)及甲乙排在一起的情況得數(shù)量，再根據(jù)古典概型及對

立事件得概率公式即可得解；

(2)先寫出隨機變量X的取值，再求出對應(yīng)隨機變量的概率，再根據(jù)期望公式進行求解E(X).

【詳解】(1)解：總數(shù)為

其中甲乙排在一起的情況為：（C；+C；）A：=240,

故甲、乙兩人在不同窗口等候的概率為粵泮=工

156013

（2）解:X可取L2,3,

C：C；A；一9

P（X=2）=

156026

C：A；=1

尸（X=3）=

156013

P（X=1）=1-尸（X=2）-P（X=3）=,

所以E（X）=lx玄15+2x9卷+3x164=5

ZOZo13Z

【題型專練】

1.甲、乙兩人進行乒乓球比賽，約定每局勝者得1分，負者得0分，比賽進行到有一人比對方多2

分或打滿6局時停止，設(shè)甲在每局中獲勝的概率為彳?，乙在每局中獲勝的概率為：1，且各局勝負相

互獨立，則比賽停止時已打局數(shù)X的期望E（X）為（）

【答案】B

【分析】由已知，根據(jù)題意設(shè)出事件，求出對應(yīng)的概率，然后直接求解期望即可.

【詳解】由題意，隨機變量X的可能取值是2,4,6,設(shè)每兩局比賽為一輪，則該輪比賽停止的概

若該輪結(jié)束時比賽還要繼續(xù)，則甲、乙在該輪中必是各得1分，此時該輪比賽結(jié)果對下一輪比賽是

否停止沒有影響，

所以P（X=2）1,

p（X=4）=-x-=—,

''9981

所以期望為E（X）=2x,+4x當+6x^=譽.

9ololol

故選：B.

2.某車間打算購買2臺設(shè)備，該設(shè)備有一個易損零件，在購買設(shè)備時可以額外購買這種易損零件作

為備件，價格為每個120元.在設(shè)備使用期間，零件損壞，備件不足再臨時購買該零件時，價格為每

個280元.在使用期間，每臺設(shè)備需更換的零件個數(shù)X的分布列為：

X678

p0.40.50.1

若購買2臺設(shè)備的同時購買易損零件13個，則在使用期間，這2臺設(shè)備另需購買易損零件所需費用

的期望為（）

A.1716.8元B.206.5元C.168.6元D.156.8元

［答案］D

【3析】由題意2臺設(shè)備使用期間需更換的零件數(shù)可能取值為12、13、14、15、16,再求出它們對

應(yīng)的概率，進而求2臺設(shè)備另需購買易損零件所需費用可能值及其概率，最后求期望即可.

【詳解】記丫表示2臺設(shè)備使用期間需更換的零件數(shù)，則丫的可能取值為12,13,14,15,16,

p（y=12）=0.42=0.16,P（y=13）=2x04x0.5=0.4,

尸（y=14）=0.52+2x04x0.1=0.33,P（y=15）=2x0.5x0.1=0.1,

=16）=O.I2=O.OI.

若購買2臺設(shè)備的同時購買易損零件13個，在使用期間，記這2臺設(shè)備另需購買易損零件所需費用

為Z元，

則Z的可能取值為O280,560,840,

p（Z=0）=P（K<13）=0.16+0.4=0.56,

P（Z=280）=尸（1=14）=0.33,P（Z=560）=P（r=15）=0.1,P（Z=840）=P（Y=16）=0.01,

E（Z）=280x0.33+560x0.1+840x0.01=156.8.

故選：D.

3.袋中裝有大小與質(zhì)地相同的5個紅球、皿個白球，現(xiàn)從中任取2個球.若取出的兩球都是紅球的

概率為得，記取出的紅球個數(shù)為X,則E（X）=.

【答案】>1-25

C2C°5

【分析】由題意可知4即可求m，由X={0,1,2},利用古典概型的概率求法求P（X=0）、

J14

尸（X=l）、P（X=2）,即可求E（x）.

c?=5

【詳解】由題意知:整理得+9加一36=(〃?+12)("?-3)=0(m>0),

C,；+514

=3,

由X={0,l,2}，貝”(X=0)=詈=*，P(X=1)=鬟=弟尸(X=2)=磐=得,

￡(X)=0xP(X=0)+1xP(X=l)+2xP(X=2)=0+-+-=-.

2874

故答案為：Y.

4.農(nóng)歷五月初五是我國的傳統(tǒng)節(jié)日——端午節(jié)，為紀念偉大的愛國詩人屈原，民間有吃粽子的習慣,

粽子也就成為了我們生活中的一種美食.設(shè)一盤中裝有6個粽子，其中豆粽、肉粽、白粽各2個，這

三種粽子的外觀完全相同.小明從中任取2個吃，吃完這2個，若是吃到了肉粽就不再吃了；若是

還沒吃到肉粽，就再從剩下的4個中任取1個吃，吃完這個不管是否吃到肉粽都不再吃了.

⑴求小明吃到肉粽的概率；

（2）設(shè)X表示取到的肉粽個數(shù)，求X的分布列與數(shù)學期望.

【答案】⑴4:（2）分布列見解析，-13

【分析】（1）根據(jù)先吃的兩個有無肉粽計算出遲到肉粽的概率.

（2）根據(jù)吃到肉粽的個數(shù)以及古典概型概率計算公式計算出分布列并求得數(shù)學期望.

【詳解】⑴小明吃到肉粽的概率為與三+冬、］=察+2（=%!=±

C；C；415152555

（2）X的所有可能取值為0,1,2,

且叩。）喑!PS吟+||七,如2吟4

；.X的分布列為

X012

J111

P

515T?

E(X)=0xl+lx—+2x—=—.

5151515

5.某人花了。元預(yù)定2023年杭州亞運會開幕式門票一張，另外還預(yù)定了兩張其他門票，根據(jù)亞奧

理事會的相關(guān)規(guī)定，從所有預(yù)定者中隨機抽取相應(yīng)數(shù)量的人，這些人稱為預(yù)定成功者，他們可以直

接購買門票，另外，對于開幕式門票，有自動降級規(guī)定，即當這個人預(yù)定的。元門票未成功時，系

統(tǒng)自動使他進入〃元開幕式門票的預(yù)定.假設(shè)獲得。元開幕式門票的概率是0」，若未成功，仍有0.2

的概率獲得〃元開幕式門票的機會，獲得其他兩張門票中的每一張的概率均是0.5,且獲得每張門票

之間互不影響.

(1)求這個人可以獲得亞運會開幕式門票的概率；

⑵假設(shè)這個人獲得門票總張數(shù)是X,求X的分布列及數(shù)學期E(X).

【答案】(1)0.28；(2)分布列見解析;E(X)=1.28

【分析】(1)由獨立事件概率乘法公式即可求得獲得開幕式門票的概率；

(2)由題意確定X的可能取值，再利用獨立事件概率乘法公式求得X每個取值對應(yīng)的概率，從而

求得X的分布列，進而求得數(shù)學期E(X).

【詳解】(1)依題意得，獲得。元開幕式門票的概率為0」，則未獲得。元開幕式門票的概率為0.9,

獲得b元開幕式門票概率為0.2,

則獲得開幕式門票的概率為0.1+0.9X0.2=0.28.

(2)依題意得,X的可能取值為0,1,2,3,

則P(X=0)=(1—0.28)x0.5x0.5=0.18,P(X=1)=0.28x0.5x0.5+(1-0.28)x0.5x0.5x2=0.43,

P(X=2)=2x0.28x0.5x0.5+(1-0.28)x0.5x0.5=0.32,P(X=3)=0.28x0.5x0.5=0.07,

故X的分布列為：

X0123

P0.180.430.320.07

則風X)=0x0.18+1x0.43+2x0.32+3x0.07=1.28.

6.中國男子籃球職業(yè)聯(lián)賽"簡稱CBA”半決賽采用“五局三勝制”，具體規(guī)則為比賽最多進行五場，當

參賽的兩方有一方先贏得三場比賽，就由該方獲勝而比賽結(jié)束，每場比賽都需分出勝負.同時比賽采

用主客場制，比賽先在4隊的主場進行兩場比賽，再移師B隊主場進行兩場比賽(有必要才進行第

二場)，如果需要第五場比賽，則回到4隊的主場進行，已知A隊在主場獲勝的概率為:，在客場獲

勝的概率為假設(shè)每場比賽的結(jié)果相互獨立.

(1)第一場比賽B隊在客場通過全隊的努力先贏了一場，賽后B隊的教練鼓勵自己的隊員說“勝利的

天平己經(jīng)向我們傾斜”，試從概率大小的角度判斷B隊教練的話是否客觀正確；

(2)每一場比賽，會給主辦方在門票，飲食，紀念品銷售等方面帶來綜合收益300萬元，設(shè)整個半決

賽主辦方綜合收益為鼻求4的分布列與期望，

【答案】(1)從概率大小的角度判斷8隊教練的話是客觀正確的.

⑵分布列見解析，E(/=1225萬元.

【分析】(1)計算B隊獲勝的情況的概率判斷即可；

(2)由題知J的可能取值為900,1200,1500,再計算概率求解分布列,期望即可.

【詳解】(1)由題知，8隊獲勝的情況有三種，

第一種情況，比賽：場獲勝，其概率為

第二種情況，比賽四場獲勝，則第二場或第三場8隊失敗，故其概率為5=|x；xg+gxgx；=；；

第三種情況，比賽五場獲勝，則8隊在第二場，第三場，第四場中贏得一場比賽，第五場比賽獲勝,

具率為P、=—x—x—x—H—x—x—x—x2=—,

3223322336

所以，8隊在第一場比賽獲勝的情況下，贏得比賽的概率為

1156+9+52051

「=[+￡+《=-+—+一—=—>一

6436363692

所以，從概率大小的角度判斷8隊教練的話是客觀正確的.

(2)由題知，至少舉辦3場球賽，至多舉辦5場球賽，

所以4的可能取值為900,1200,1500,

2211I1

所以，當舉辦3場球賽時，A隊獲勝的概率為B隊獲勝的概率為

JJ4JJ4

所以，P（/=900）=-2x-2x-14-1-x1-x1l=—5；

'733233218

91119?1127

當舉辦4場球賽時，A隊獲勝的概率為廣；*丁丁2+丁才丁==.=不

33223322369

B隊獲勝的概率為■|XGXGX，X2+，X，X^X:=:^,

3322332236

」（八1200）=17+京5413，

93636

1Q513

所以，P?=1500)=l-P(^=1200)-P?=900)=l--J-^=-J,

DO1O30

所以，g的分布列為：

49001200150()

51313

P

Ts3636

51313

所以，E⑷=900x，+1200x—+1500x，=1225萬元

183636

7.某工廠質(zhì)檢部門要對該廠流水線生產(chǎn)出的一批產(chǎn)品進行檢驗，如果檢查到第4件仍未發(fā)現(xiàn)不合格

品，則此次檢查通過且認為這批產(chǎn)品合格，如果在尚未抽到第4件時已檢查到不合格品，則拒絕通

過且認為這批產(chǎn)品不合格.且每件產(chǎn)品質(zhì)檢費用為80元.設(shè)這批產(chǎn)品的數(shù)量足夠大，并認為每次檢查

中查到不合格品的概率都為P,即每次抽查的產(chǎn)品是相互獨立的.

（1）求這批產(chǎn)品能夠通過檢查的概率；

（2）記對這批產(chǎn)品的質(zhì)檢個數(shù)記作X,求X的分布列和數(shù)學期望；

（3）已知100批此類產(chǎn)品，若pe［（）.05,0』，則總平均檢查費用至少需要多少元？（總平均檢查費用=

每批次平均檢查費用x批數(shù)）

【答案】⑴（2）分布列見解析，E（X）=-p3+4p2-6p+4；（3）27512元

【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合獨立事件的概率乘法公式運算；（2）由題可知X=1,2,3,4,分別求概率，

可得分布列和期望；（3）設(shè)/?（「）=-/+4/-6p+4,求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求最值，進而可得結(jié)果.

【詳解】（1）記事件A為“這批產(chǎn)品能夠通過檢查“，則由題意知：P（A）=（l-p）\

（2）由題可知X=1,2,3,4,

P(X=l)=p,=2)=(1-/?)/?,尸(X=3)=(l—同)，P(X=4)=(l-/7)3,

所以X的分布列為：

X1234

PP(l-p)p(I-。))(1-PY

故X的數(shù)學期望為：

￡（X）=p+2（l-p）p+3（l-〃yp+4（l-p）,=-03+4p2-6p+4.

（3）設(shè)4P2_6p+4,則/，（同=_3/+8〃_6,

因為A=64—72<0,目J'（p）開口向下，則r（P）<0當作［0.05,0.1］時恒成立,

所以〃在"e［0.05,0.1］單調(diào)遞減，

所以加”（P）=〃（）-1）=T"X）1+0-04-0.6+4=3.439,

所以每批次平均檢查費用至少為80x3.439=275.12（元），

故100批次此類產(chǎn)品總平均檢查費用至少需要100x275.12=27512（元）.

題型二：離散型隨機變量的方差

［例1］若隨機變量X的概率分布表如下：

X01

P0.4m

則Q(X)=()

A.0.5B.0.42C,0.24D.0.16

【答案】c

【分析】根據(jù)分布列的數(shù)學期望和方差公式直接求解.

【詳解】根據(jù)概率的性質(zhì)可得〃2=1-04=0.6,

所以E(X)=0x0.4+1x0.6=0.6,

所以r>(X)=(0-0.6)2X0.4+(1-0.6)2X0.6=024)

故選:C.

【例2】已知隨機變量。(i=1,2)的分布列如下表所示：

g012

2

pPi

3

1?

若0<R<5<P2<3，則()

A.E6)>E&),。&)>。(與)B.E?)<E($),。&)>。6)

C.EQE&),/)&)<￡>&)D.

【答案】A

【分析】通過計算期望和方差來求得正確答案.

［詳解］E4)=0x；+lxp|+2x1|_pJ=g_p1,

由于所以E?)>E?).

)=(。一：+巧)x；+(l-g+pjxpi+0—g+pj功

1Q

同理可得O?)=-P；-支+余

￡>(。)一℃2)=4_〃：+；(。2_歷)=(。2—四)(，2+歷+；)>0,

所以。(幻>。④).

故選：A

【例3】(多選題)設(shè)0<〃?<1,隨機變量的分布列為：

g0m1

a12a-1

p

T33

則當加在(0,1)上增大時，()

A.雙④減小B.E(g)增大

C.。偌)先增后減，最大值為!D.。(/先減后增，最小值為1

OO

【答案】BD

【分析】首先根據(jù)分布列的性質(zhì)求〃，再分別求期望和方差，根據(jù)函數(shù)特征判斷選項.

―口a12a,/口.?八八。1,2a-1m1

11-￡解】由題屈:得，H----..-1?得0=1,E(^)=0x—4-777X—+lx---=--4--,

333v733333

me（OJ）,七信）增大;

_6m2-6加+6

~27

當實數(shù)m在（（）/）上增大時，。伯）先減小后增大，當機=；時，個仁）取最小值，.

故選：BD.

【例4】從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，設(shè)隨機變量X表示所選3人中女生的人

數(shù).求：

（1）X的分布；

（2）X的期望與方差.

2

【答案】⑴答案見解析：（2）E（X）=1,D（X）=-

【分析】（1）由題，根據(jù)超幾何分布求解即可；

（2）根據(jù)期望與方差公式求解即可.

【詳解】（1）解：所選女生人數(shù)X的所有可能取值為01,2,

P(X=O)=

C：5

12

P(X=1)=*cc3

5

p”=2）=等q

所以，選3個人中女生人數(shù)X的概率分布為:

X012

131

r

555

131

(2)解：由(1)知，^(X)=Ox—4-lx—+2x—=1

222

D（X）=（O-1）X1+（1-1）X|+（2-1）X1=|

［例5］某種水果按照果徑大小可分為四類：標準果、優(yōu)質(zhì)果、精品果、禮品果.某采購商從采購的

一批水果中隨機抽取100個，利用水果的等級分類標準得到的數(shù)據(jù)如下：

等級標準果優(yōu)質(zhì)果精品果禮品果

個數(shù)10304020

（1）若將頻率視為概率，從這100個水果中有放回地隨機抽取5個，求恰好有2個水果是禮品果的概

率（結(jié)果用分數(shù)表示）；

（2）用樣本估計總體，果園老板提出兩種購銷方案給采購商參考，

方案1：不分類賣出，單價為21元/kg；

方案2：分類賣出，分類后的水果售價如下：

等級標準果優(yōu)質(zhì)果精品果禮品果

售價（元/kg）16182224

從采購商的角度考慮，應(yīng)該采用哪種方案？

（3）用分層抽樣的方法從這100個水果中抽取10個，再從抽取的10個水果中隨機抽取3個，X表示

抽取的是精品果的數(shù)量，求X的分布列及方差。（X）.

【答案】（1）%；（2）應(yīng)該采用第二種方案，理由見詳解；（3）分布列見詳解，O（X）="

62525

【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合二項分布運算求解；

（2）根據(jù)加權(quán)平均數(shù)求方案二的平均單價，結(jié)合題意分析判斷；

（3）先根據(jù)分層抽樣求各層應(yīng)抽取的樣本個數(shù)，再結(jié)合超幾何分布求分布列和方差.

【詳解】（1）記“從這100個水果中隨機抽取1個，這個水果是禮品果”為事件A,則尸（A）=忐=g,

從這1（）0個水果中有放回地隨機抽取5個，設(shè)禮品果的個數(shù)為y,則y8?），

故恰好有2個水果是禮品果的概率p（y=2）=c；

（2）方案2：每公斤的單價為T=16x赤+18xW+22x訴+20x訴=20.6（元），

10（）1（X）1（X）1（X）

V21>20.6,故從采購商的角度考慮，應(yīng)該采用第二種方案.

（3）用分層抽樣的方法從這100個水果中抽取10個，則標準果、優(yōu)質(zhì)果、精品果、禮品果應(yīng)抽取

的個數(shù)分別為1,3,4,2,即4個精品果，6個非精品果，

由題意可得：X的可能取值有：0』,2,3,則有：

唳=。）吟=/依1）=詈=.（X=2）=詈得始=3）啜

X的分布列如下:

X0123

31

P

62To30

hillF（X）=0xi+|xi+2x—+3x—,

人」.6210305'

626

△+2）x3+34|x±=li

。。）=吟25105I3025

【例6】為迎接2022年北京冬奧會，推廣滑雪運動，某滑雪場開展滑雪促銷活動.該滑雪場的收費

標準是：滑雪時間不超過1小時免費，超過1小時的部分每小時收費標準為40元（不足1小時的部

分按1小時計算）.有甲、乙兩人相互獨立地來該滑雪場運動，設(shè)甲、乙不超過1小時離開的概率分

1112

別為1小時以上且不超過2小時離開的概率分別為:，:；兩人滑雪時間都不會超過3小時.

4623

（1）求甲、乙兩人所付滑雪費用相同的概率；

（2）設(shè)甲、乙兩人所付的滑雪費用之和為隨機變量0求4的分布列與均值E?,方差。?.

【答案】（哈；⑵答案見解析

【分析】（1）由題意兩人所付費用相同，相同的費用可能為0,4（）,80元，然后求出相應(yīng)的概率即

可；

（2）確定4的所有可能取值，計算相應(yīng)的概率，得出分布列，進一步求解均值和方差即可.

【詳解】（1）兩人所付費用相同，相同的費用可能為0,40,80元，

甲、乙兩人2小時以上且不超過3小時離開的概率分別為1-5—：=1一（一1=5?

兩人都付0元的概率為P/==工,

4624

兩人都付40元的概率為P2=yIxj2=1I,

兩人都付80元的概率為—X—=—,

4624

則兩人所付費用相同的概率為P=—妥+(+簽號

(2)。的所有可能取值為0,40,80,120,160,

則%=0)=：><,=],

4624

P(C=40)=-x|+lxl=i,

43264

P(^=80)=-x-+^-x|+-x-=—,

46234612

P(<f=I20)=yxl+ix|=i

26434

,/八

P(C=160)=-1x1-=—1.

4624

所以E的分布列為

04080120160

15j_1

P

244n424

E(<J)=Ox—+40x-+80x—+120x-+160x—=80,

24412424

力?=(0—80)2x/+(40-80)2x(+(80—80)2x卷+(120—80)2x；+(160—80人妥=

【題型專練】

1.（多選題）已知下表為離散型隨機變量X的分布列，其中必X0,下列說法正確的是（）

X012

b_b_

Pa

22

A.a+b-lB.E（X）=2b

C.D(X)有最大值D.D（X）有最小值

【答案】AC

【分析】利用分布列的性質(zhì)以及期望與方差公式，列出表達式，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)判斷選項的正誤即

可.

【詳解】由題意可知。+鋁口，即*=1,所以A正確.

E（X）=0xa+lx|+2x|=y,所以B不正確.

D(X)=a

（。-沙如沙42用

2

525,〃￡（（）」）

424936

O（X）是開口向卜的??次函數(shù).

所以D（X）在（0高上單調(diào)遞增，在（到5上單調(diào)遞減,

9

所以。（X）有最大值，無最小值.

所以C正確，D不正確.

故選：AC.

2.（多選題）2022年冬奧會在北京舉辦，為了弘揚奧林匹克精神，某市多所中小學開展了冬奧會項

目科普活動.為了調(diào)查學生對冰壺這個項目的了解情況，在該市中小學中隨機抽取了10所學校，10

所學校中了解這個項目的人數(shù)如圖所示:

人數(shù)

403636

32，久32

3026

27

202424

1818

10

0

ABCDEFGHMN

學校

若從這10所學校中隨機選取2所學校進行這個項目的科普活動，記X為被選中的學校中了解冰壺的

人數(shù)在30以上的學校所數(shù)，則（）

B.P(X=0)=g

A.X的可能取值為0,1,2,3

C.E（X）=|32

D.。⑸“

【答案】BD

【分析】由題知X的可能取值為0,1,2,且服從超幾何分布，進而求分布列，計算期望方差即可

判斷.

【詳解】解：根據(jù)題意，X的可能取值為0,1,2,其中了解冰壺的人數(shù)在30以上的學校有4所,

了解冰壺的人數(shù)在30以下的學校有6所，

C°C21c'c124I,2）=等*彳

所以，尸(X=0)=-^A=Q,p(x=l)=,

joJjo45

所以，X的概率分布列為：

X012

82

P

315I?

2

所以，中）=誓哈=（°（X）=14(2232

0--Ix-+|1x—=—

53155I1575

所以,BD選項正確，AC選項錯誤.

故選:BD.

'02

3.已知一個隨機變量X的分布為，且及x]=i,則ax]=

b

157

2

【答案】0.4##]

【分析】根據(jù)仇X]=l和分布列的性質(zhì)求得”,〃的值，再利用方差的公式即可求解.

〃+/?+,=1

5，解得。=人=

【詳解】由題意得0.6,0.2,

Ox—+。+2。=1

5

DfX]=0.2x（0-l）2+*50.6x（l-l）2+0.2x（2-l）2=0.4

故答案為:0.4

4.某網(wǎng)站規(guī)定：一個郵箱在一天內(nèi)出現(xiàn)3次密碼嘗試錯誤，該郵箱將被鎖定24小時.小王發(fā)現(xiàn)自己

忘記了郵箱密碼，但是可以確定該郵箱的正確密碼是他常用的6個密碼之一，小王決定從中不重復(fù)

地隨機選擇1個進行嘗試.若密碼正確，則結(jié)束嘗試；否則繼續(xù)嘗試，直至該郵箱被鎖定.

（1）求當天小王的該郵箱被鎖定的概率；

⑵設(shè)當天小王嘗試該郵箱的密碼次數(shù)為X,求X的分布列及E[X],D[X]的值.

【答案】(1小(2)X的分布列見解析，￡[%]=|,0X]=《

【分析】(1)“當天小王的該郵箱被鎖定”即3次嘗試均錯誤，進而求解：

(2)由題X可能取到1,2,3,分別求得概率，列出分布列，根據(jù)期里和方差的公式求解即可.

(1)

設(shè)“當天小王的該郵箱被鎖定”為事件A,

5431

則P(4)=—x—x—=一

「6542

(2)

由題意，X可能取到I,2,3,

|51154?

貝IJP(X=l)=t，P(X=2)=|x-=-,P(X=3)=^x-xl=-,

所以X的分布列為：

X123

J_]_2

P

663

11251斗」+(2一隼工+1隼2」

所以磯X]=lxk+2xq+3xq=],￡)[x]=

12；612)6[2)312

5.為了響應(yīng)大學畢業(yè)生自主創(chuàng)業(yè)的號召，小李畢業(yè)后開了水果店，水果店每天以每個5元的價格從

農(nóng)場購進若干西瓜，然后以每個10元的價格出售.如果當天賣不完，剩下的西瓜作贈品處理.

(1)若水果店一天購進16個西瓜，求當天的利潤丁(單位：元)關(guān)于當天需求量〃(單位：個，〃eN)

的函數(shù)解析式；

(2)水果店記錄了100天西瓜的日需求量(單位：個)，整理得下表：

日需求量〃14151617181920

頻數(shù)10201616151310

以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率.

①若水果店一天購進16個西瓜，X表示當天的利潤(單位：元)，求X的分布列、數(shù)學期望及方差;

②若水果店計劃一天購進16個或17個西瓜，你認為應(yīng)購進16個還是17個？請說明理由.

_10”-80(4,15)

【答案】""=卜0(〃..16)eN)

⑵①分布列見解析；期望為76,方差44；②應(yīng)購進17個；理由見解析

【分析】(1)分〃216和〃415兩種情況討論，分別求出所對應(yīng)的利潤，即可得解；

(2)①依題意可得X的可能取值為60,70,80,求出所對應(yīng)的概率，即可得到分布列，從而求出

數(shù)學期望與方差；②求出購進17個西瓜所對應(yīng)的利潤，即可判斷.

(1)

解：當“N16時,7=16x(10-5)=80,

當“W15時，y=5H-5(16-n)=10n-80,

80(〃，⑸，、

&」6)心).

(2)

解：①依題意可得X的可能取值為60,70,80,

所以尸(X=60)=0.1,尸(X=70)=0.2,P(X=80)=0.7,

所以X的分布列為

X607080

P