2022-2023學年四川省仁壽南校區(qū)高二年級上冊學期1月期末考試數學（理）試題

仁壽一中南校區(qū)高2021級高二（上）期末考試

理科數學試題

本試卷分為第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試時間

120分鐘.

注意事項：

1.答題前，務必將自己的姓名、考號填寫在答題卡規(guī)定的位置上.

2.答選擇題時，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應題號的答案標號涂黑，如需改動，用

橡皮擦干

凈后，再選涂其它答案標號

3.答非選擇題時，必須使用0.5毫米黑色簽字筆將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上.

4.考試結束后，將答題卡交回.

第I卷（選擇題，共60分）

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的。

1、命題"玉eR,x，-V+1>0”的否定是（）

A.3xeR,x3-x2+l<0B.VxeR,x3-x2+1<0C.3xeR,x3-x2+1<0

D.VxeR,x3-x2+1>0

【答案】B

2、在空間直角坐標系O^z中，點（2,7,1）在xOy平面上的射影到坐標原點。的距離為（）

A.5^2B.^3C.y/sD.-^6

【答案】C

3、已知圓C:（x-l）、y2=1與拋物線f=2py（p>0）的準線相切，則〃=（）

11

A.—B.—C.8D.2

84

【答案】D

4、設"?，”是兩條不同的直線，a,4是兩個不同的平面，下列命題正確的是（）

A.若a￡=,〃，〃ua,〃_Lm,則〃_L/?.B.若加工。，加〃〃，"u",則aJ■6.

C.若〃〃/a,n/la,則D,若々〃/?,相ua,nu（J,則mHn.

【答案】B

5、已知2:卜-3|<1,<7：/+》-6>0,則。是4的

A.充要條件B.必要不充分條件

C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

6、已知圓C的圓心在直線x+y=O上，且圓C與y軸的交點分別為A(0,4),3(0,-2),則圓C

的標準方程為()

A.(x-l)2+(y+l)2=10B.(x+l)2+(y-l)2=10

C.(x-1)2+(y+1)2=VlOD.(x+l)2+(y-l)2=710

【答案】B

7、某四面體的三視圖如圖所示,該四面體的表面積為()

;二

h—1―Hh—1―d

正(主)視圖側(左)視圖

廠

俯視圖

A.3+且B.3+J

5C.—i-V3D.3+

222

【答案】A

8、執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出S的值為()

'開始)

1=1,5=0

____1

S=S+i(i+l)i=i+l

/輸［s/

(結束

A.112B.70C.40D.20

【答案】B

9、如圖，在三棱錐S-A8C中，SA=SC=AC=2x/2,AB=BC=2,二面角S-AC—8的正

切值是正,則三棱錐S-A8C外接球的表面積是（）

4B

4n

A.12兀B.4〃C.4百萬D.—

3

【答案】A

22

10、已知雙曲線「-當=1（a>0,b>0）的左，右焦點分別為"，F(xiàn)2.若雙曲線右支上

a'b~

存在點尸，使得「耳與雙曲線的一條漸近線垂直并相交于點。，且尸工，尸。，則雙曲線的

漸近線方程為（）

A.y=±xB.y=±2xC.y=±y/3xD.y=±>Jlx

【答案】B

22

11、已知橢圓C:二+2=l（a>〃>0）,P是橢圓C上的點，6（—c,0），6（c,0）是橢圓c的

ab

左右焦點，若尸耳?尸石4"恒成立，則橢圓C的離心率e的取值范圍是（）

A.B.（0,V2-1]C.D.[72-1,1）

【答案】A

12、如圖，已知正方體ABCD-A與G。的棱長為1,點M為棱AB的中點，點P在側面BCQB,

及其邊界上運動，下列命題：①當GP=gq3時，異面直線C尸與AO所成角的正切值為2；

②當點P到平面A8CO的距離等于到直線A片的距離時;點尸的軌跡為拋物線的一部分；

③存在點P滿足+石；④滿足的點P的軌跡長度為玄；其中真命

4

題的個數為（）

A.1B.2C.3D.4

aG

C

AEMB

【答案】D

對于①，如圖，CP與AO所成的角即CP與BC所成的角，因為C￡=!GB,所以82=述,

33

BC=1,NPBC二,由余弦定理，CP=好,由正弦定理，sinZBCP=gPsinZPBC=,

43CP5

所以tanNBCP=2,即CP與AO所成的角的正切值為2,①正確；

對于②，點P到平面ABC。的距離即點尸到直線8c的距離，點P到直線A4的距離即點P

到用的距離，依據拋物線的定義當兩距離相等時點P的軌跡為拋物線一部分，②正確;

對于③選項‘假設尸叫明哆

點P到M距離可以轉化成

PM=NBM?+MP?=,12+(-)2,

正好點8M=3，且BM始終垂直平面BCGB-所以只需要讓8P=1即可，點尸軌跡是以8

為圓心,

長度為1的圓上，同理P。產"，RG=i,只需要讓即可，點p軌跡是以C/為圓

22

心，長度

為3的圓上，如圖1.

又因為1-t<BG=0<1+工，所以兩個圓相交有交點，即存在點P滿足尸M=PR=@,

選項③正確：

對于④選項，過M點作A/G〃AF交BC于點G,過M點作AE〃例”交8用于“，則

BG=HG=-,

4

因為。M1AF,所以MG_LRM,同理MH1RM,MHcMG=M,

1M1平面MHG,平面MHGc平面BCC4=HG,所以點p的軌跡為

"G=j（；）2+（：）2=號,

所以選項④正確.

圖2

第n卷

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分.

13、已知雙曲線C-.y2--=\,則該雙曲線的實軸長為____________

2

【答案】2

14、設P,。分別為直線x-y=O和圓/+(>-6)2=2上的動點，則|PQ|的最小值為

【答案】20

15、在菱形A8c。中，NBAQ=60，將沿8D折疊，使平面A8D_L平面BCD,則A。

與平面ABC所成角的正弦值為

【答案】巫

5

16、過”(1,0)的直線/與拋物線E：y2=x交于A(x,,y),3(芻,%)兩點，且與E的準線交

于點C,點F是E的焦點，若△ACF的面積是△8CF的面積的3倍，則玉+%=

【答案】-

2

三、解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

17、如圖，在四棱錐尸—ABCD中，PCJ■底面A8C2A8CD是直角梯形，ADYDC,AB//DC,

AB=2AD=2CD=2,點E在線段PB上且PE.

2

(1)證明：PD//平面AEC;

(2)證明：BC_L平面PAC.

【詳解】（1）證明：連接BO交AC于點。，連接。氏丫48//DC,

AB=2CD,.-.DOC…BOA,B[J—

OBAB2

又丫PE=-EB,—=—=-PDHOE又:OEu面A￡C、

2OBEB2

PDcz面AECJ.PD//面AEC

p

E

>

DC

(2)???PC_L平面A8C￡),8Cu平面ABC。，PCLBC,又

VAB=2,AD=CD=VADLDC,且438是直角梯形，，AC=BC=&，即

AC2+BC2=AB2,ACIBC,又,；PCcAC=C,且PC,ACu平面PAC,，BCJ■平

面PAC.

18、圓O:/+y2=4內有一點4(],]),過片的直線交圓于A、B兩點.

⑴當弦A8被幾平分時，求直線AB的方程；

⑵若圓。與圓C:(x+l)2+(y+l)2=10相交于E,F兩點，求|EF|.

【答案】(1)y-1=-(x-1)即x+y-2=0(2)2^/2

19、已知。為坐標原點，。(北2)位于拋物線C：V=2px(p>0)上，且到拋物線的準線的

距離為2.

⑴求拋物線C的方程；

(2)已知點A(-2,4),過拋物線焦點的直線/交C于M,N兩點，求的最小值以及此

時直線/的方程.

【答案】⑴根據題意可得〃?+52,又聽=2pm,解得力=1,p=2,故所求拋物線C

方程丁=4x,

(2)設點Ngyj,拋物線4x的焦點坐標為(1,0).當直線/的斜率等于

。時，不符合題意；

當直線’的斜率不等于。時’設過拋物線焦點的直線,的方程為：由1;y2==)+4x],

消去x得：y2-4ty-4=0,

A=16r+16>0,得feR,由韋達定理得y+%=小，=-4>

因為AN=a+2）（w+2）+（%-4）（必一4）=不當+2（%+巧）+4+凹％—4（乂+%）+16

22才+靈］+

=A.A+24+弘必-4（,+%）+16

4444）

=^^-+g［（y+%）2-2%%］+4+%%-4（%+y2）+16

=l+1［（4r）2+8］+4-4-16f+16-8r-16r+21=8（r-l）2+13.所以當，=1時，AM4N取

得最小值為13.

此時直線/的方程為x-y7=0.

20、如圖在四棱錐P-ABCD中，尸A,底面ABCO,且底面ABCO是平行四邊形.已知

PA=AB=2,4￡）=右,AC=1,E是中點.

⑴求證：平面P3C，平面ACE；

⑵求平面PAD與平面ACE所成銳二面角的余弦值.

【答案】（1）P4_L面A8CO,且PA=2,4C=1,；.pc=^=BC.：E是心中點，所以

尸3J_CE.同理可證：PBLAE.

又Afu面ACE,CEu面ACE,AE1CE=.?.尸3J_平面ACE.；PBu面PBC,...平

面P8CJ,平面ACE.

（2）BC2=AB2+AC2,??AB2AC.以A為原點，4。,48,45分別為達》2軸正方向

建系，如圖：則4（0,0,0）,8（0,2,0）,。（1,一2,0）,尸（0,0,2）,￡（0,1,1）.設平面凡4。的法向量

〃=（x,y,z）,則“A。—。，得1.2.v=0，不妨取丫=1，貝"=（2/'°）.由（°得PB=（°2—2）

n-PB

是平面ACE的一個法向量，所以cosPAO

\n\x\PB\~45-242~10,所以平面與

平面ACE所成銳二面角的余弦值為叵

10

2

方=1（〃>10）,長軸是短軸的2倍，點網2,6）在橢圓C上，且點尸

在x軸上的投影為點2.

⑴求橢圓C的方程;

⑵設過點Q的且不與X軸垂直的直線/交橢圓于A、B兩點，是否存點M&o），使得直線MA,

直線MB與x軸所在直線所成夾角相等？若存在，請求出常數f的值；若不存在，請說明理由.

29

【答案】（1）解：依題意2a=2x&,即所以橢圓C即二+與=1,又橢圓過點

4從h2

P（2市），

所以行+尸1,解得從=4,所以『=16,所以橢圓方程為標+寧=1;

（2）解：因為直線/不與x軸垂直，所以設直線/為丁=耳》-2）,A（HM）,3（七,以），

三+2_=1

由1164,消去y整理得（4%2+1卜2_]6%\+16公-16=0,

y=k^x-2）

△=（一16左2）2-4（16%2-16）（422+1）=342+1〉0,

所以玉+%=*丁中2=叱：二6,因為七人+38=0,所以+產7=0,所以

2

?4k+\4k2+1X|Tx2-t

"二2）+），_：）=（）,即（王一2）（馬一。+（赴一2）（辦一。=0,即

2X1%2_（2+/）（x+/）+4/=0,

+4r=0,解得t=8.

4公+1''正+1

22、橢圓E：5+/=1（4＞匕＞0）的離心率是當，點M（夜,1）是橢圓E上一點，過點以0,1）

的動直線/與橢圓相交于A,8兩點.

⑴求橢圓E的方程；

⑵求A40B面積的最大值；

⑶在平面直角坐標系X。），中，是否存在與點尸不同的定點Q,使不7=言恒成立？存在，

QbrD

求出點。的坐標；若不存在，請說明理由.

￡=也

a2“2=4,、

解得〃=2,橢圓C的方程為三+亡=1.

【詳解】（1）根據題意，得/=/+/

2042

211c=2

r+k=1

[a~h~

y=kx+l

（2）依題意，設A（x”x）,3（王,丁2），設直線/為y=Ax+l，聯(lián)立.22.消去y,

—+^-=1

42

得（1+2^b2+4履-2=0,4k2

△＞0恒成立,占+&=_目"/=_,

故

a.J1+4公

=疝-引f&…）”中一急）-1+2k2—-

令r=7T工記,tWl，所以5"“=夜?而！&即近,當且僅當，=1,即％=0