2022-2023學年蘇教版必修第一冊三角函數(shù)應用講義

專題7.4三角函數(shù)應用

一、考情分析

考點1三角函數(shù)模型的建立程序

（1）審題

三角函數(shù)應用題的語言形式多為文字語言和圖形語言，閱讀材料時要讀懂題目所反映的

實際問題的背景，領悟其中的數(shù)學本質，在此基礎上分析出已知什么，求什么，從中提煉出

相應的數(shù)學問題.

（2）建模

根據搜集到的數(shù)據，找出變化規(guī)律，運用已掌握的三角知識、物理知識及其他相關知識

建立關系式，在此基礎上將實際問題轉化為一個三角函數(shù)問題，實現(xiàn)問題的數(shù)學化，即建立

三角函數(shù)模型.其中要充分利用數(shù)形結合的思想以及圖形語言和符號語言并用的思維方式.

（3）解模

利用所學的三角函數(shù)知識，結合題目的要求，對得到的三角函數(shù)模型予以解答，求出結

果.

（4）結論

將所得結論轉譯成實際問題的答案，應用題不同于單純的數(shù)學問題，既要符合科學，又

要符合實際背景，因此，有時還要對于解出的結果進行檢驗、評判.

要點詮釋：

實際問題的背景往往比較復雜，而且需要綜合應用多門學科的知識才能完成，因此，在

應用數(shù)學知識解決實際問題時，應當注意從復雜的背景中抽取基本的數(shù)學關系，還要調動相

關學科知識來幫助解決問題.

二、題型突破

例1.(1)、(2021?全國?高一課時練習)如圖所示，矗立于倫敦泰唔士河畔的倫敦眼是世界

上首座、也曾經是世界最大的觀景摩天輪.已知其旋轉半徑為60m,最高點距地面135m,

運行一周大約30min,某游客在最低點的位置坐上摩天輪，則第lOmin時他距地面大約為

()

A.95mB.100mC.105mD.110m

【答案】C

【分析】

設人在摩天輪上離地面高度(米)與時間(分鐘)的函數(shù)關系為

/(f)=Asin(of+9)+3(A>0,。>0,0e。2萬))，根據已知條件求出/⑺=-60cosf+75,

再求”10)得解.

【詳解】

設人在摩天輪上離地面高度(米)與時間(分鐘)的函數(shù)關系為

f(t)=4sin(初+0)+5(A>0,刃>0,0￡[0,2%)),

2471

由題意可知A=60,3=135—60=75,T=——=30,所以。=一，

CD15

gp/(0=60sin^/+^+75.

又因為"0)=135-120=15,

34

解得sing=-l,故9=5-,

所以fQ)=60sin(g+?)+75=-60cos*+75,

所以/(10)=-60xcos^+75=105.

故選：c

（2）、（2021?重慶江津?高一開學考試）如圖，某大樓AB旁有一山坡，其斜坡CD的坡度（或

坡比）i=1:2.4,山坡坡面上點E處有一休息亭.某數(shù)學興趣小組測得山坡坡腳C與大樓水平

距離8c=14米，與休息亭距離CE=39米，并從E點測得大樓頂部點A的仰角為56。，點A,

B,C,D,E在同一平面內，則大樓AB的高度約為（）

（結果精確到0.1米；參考數(shù)據：sin56°a0.83,cos56°?0.56,tan56°?1.48）

上

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

HC

A.89.0米B.74.2米C.74.0米D.59.2米

【答案】A

【分析】

過點E分別作底面，EFLAB,然后根據題意分別求出ARE?,最后相加即可求出

答案.

【詳解】

如圖，過點E作底面垂線EE',于尸，

因為斜坡CD的坡度i=1:2.4,所以E?:CF=1:2.4

設￡E'=x,CE'=2Ax,在R/ACEF中,CE2=CE'2+EE'2,BP392=x2+（2.4x）2,

解得x=15,則E￡=15,CE'=36,

所以CE'+BC=50,

因為在E點測得大樓頂部點A的仰角為56。,tan56°*1.48

Ap

JWWtan56°=—,AF=50x1.48=74

AB=AF+x=15+74=89,

故選：A

A

(3)、(2021?江蘇?鹽城中學高一月考)三國時期，吳國數(shù)學家趙爽繪制"勾股圓方圖”證明了

勾股定理(西方稱之為“畢達哥拉斯定理").如圖，四個完全相同的直角三角形和中間的小正方

形拼接成一個大正方形，角。為直角三角形中的一個銳角，若該勾股圓方圖中小正方形的面

積就與大正方形面積邑之比為1:25,則cos(a+=()

A,正B一堂C.迪D.一述

10101010

【答案】D

【分析】

如圖。由題意得。E=OCcosa=EC-E，=￡>Csina-：Z)C,從而可得sina-cosa=：,給

247

等式兩邊平方化簡后得2sinacosa=『，從而可求出sina+cosa==,而

255

cos(a+￥)=cosacos'-sinasin'=_*(sina+cosa),進而可求得答案

【詳解】

由題意得OC=5￡〃，因為CE=OCsinc,

DE=DCcosa=EC-EH=DCsina--DC,

所以sina-cosa=(,則l-2sinacosa=￡,

24

所以2sinacosa=——,

所以(sina+cosa)~=l+2sinacosa=—,

因為ae(O,X),所以sina+cosa=1,

25

匚34..34

加「以cosa+——=cosacos------sinsin——

I4J44

V2

=------(sina4-cosa)

y/2775/2

----X—=

2510

故選：D

（4）、（2021?福建?模擬預測）（多選題）如圖所示，一半徑為4米的水輪，水輪圓心。距離

水面2米，已知水輪每60秒逆時針轉動一圈，如果當水輪上點尸從水中浮現(xiàn)時（圖中點?）

開始計時，則（）.

A.點尸第一次到達最高點需要20秒

B.當水輪轉動155秒時，點尸距離水面2米

C.當水輪轉動50秒時，點P在水面下方，距離水面2米

D.點P距離水面的高度力（米）與（秒）的函數(shù)解析式為〃=4cos[4/+1]+2

【答案】ABC

【分析】

根據題意求出點P距離水面的高度/?（米）和時間（秒）的函數(shù)解析式為

〃=4sin（gf—31+2,結合選項依次判斷即可.

[JUo7

【詳解】

設點尸距離水面的高度〃（米）和時間（秒）的函數(shù)解析式為

h=Asin（（yf+e）+A>0,<y>0,|9|<二],

=A+B=6A=4

%,=A-8=-28=2

2兀7T

由題意得:7=—=60解得，CD=—=一

T30

/?（0）=Asin（（y-O+^）+B=0花

(p=--

6

故/2=4sin（2r-1]+2.故。錯誤；

對于4令/?=6,即人=4sin（Wf-Z]+2,解得：/=20,故A正確；

（3Uo）

對于8,令1=155,代入〃=4sin（gf-2]+2,解得：h=2,故B正確;

<3。6）

對于C,令f=50,代入a=4sin（白f-g]+2,解得：h=-2,故C正確.

（306）

故選:ABC

【變式訓練1-1】、（2021?江蘇?高一專題練習）某時鐘的秒針端點A到中心點。的距離為5cm,

秒針均勻地繞點。旋轉，當時間f=0時，點A與鐘面上標12的點8重合，將A、8兩點的

距離”（cm）表示成:（s）的函數(shù)，則〃=,其中止[0,60].

【答案】lOsin^

60

【分析】

設函數(shù)解析式為"=44"曰+9），由題意代值可得解.

【詳解】

設函數(shù)解析式為”=Asin（a+e）,

由題意易知4=10,

當f=0時，"=0,得9=0；

當f=30時，d=10,

可得3=二，所以d=10sin包，

6060

故答案為：lOsin更

60

【變式訓練1-2】、（2020?江蘇省平潮高級中學高一月考）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌

溉工具，明朝科學家徐光啟在農政全書中用圖畫1描繪了筒車的工作原理.假定在水流穩(wěn)定

的情況下，簡車上的每一個盛水筒都做勻速圓周運動.如圖2,將筒車抽象為一個幾何圖形圓,

筒車的半徑為4m,筒車轉輪的中心。到水面的距離為2m,筒車每分鐘沿逆時針方向轉動

4圈.規(guī)定：盛水筒M對應的點P從水中浮現(xiàn)即月時的位置時開始計算時間，且以水輪的圓

心。為坐標原點，過點。的水平直線為x軸建立平面直角坐標系直投設盛水筒M從點月運

動到點P時所經過的時間為f（單位：S）,則點P第一次到達最高點需要的時間為（）

圖1圖2

13

A.7B.—sC.6D.5

2

【答案】D

【分析】

設點P離水面的高度為/Q）=Asin（由+S）,根據題意求出A①夕，再令/"）=4可求出結果.

【詳解】

設點尸離水面的高度為了⑺=Asin（of+8），

依題意可得A=4,。=駕=與，S

60156

所以〃f）=4sin（|gf-m）,

156

令/Q）=4sin（工f-g）=4,得sin（§f-￡）=l,得名.一g=2Z4+g,keZ,

1561561562

得，=15攵+5,keZ,

因為點P第一次到達最高點，所以（方’，

15

所以左=0,f=5s.

故選：D

【變式訓練1-3】、(2021?浙江?高一期末)如圖，"趙爽弦圖"是由四個全等的直角三角形和一

個小正方形拼成的一個大正方形.設大正方形ABCD的面積為耳，小正方形EFG”的面積為

S.u,

S2,且不=5,則tanNA￡)E=()

C.2D.3

【答案】B

【分析】

設大正方形的邊長為正a,則由已知條件可得小正方形的邊長為“，設AE為x,在在

心中，由勾股定理得，(、萬a)2=f+(x+a)2,可求得x=〃，所以

..AEa1

tanZADE==——=—

DE2a2

【詳解】

解：設大正方形的邊長為其，

因為寸=5,所以==5,得S,=/,

所以小正方形的邊長為。，

所以AB=BC=CD=DA=后,EF=FG=GH=HE=a,

設4E為x,])^DH=CG=AE=BF=x,

在RzZVLDE中，由勾股定理得，AD2=AE2+DE2

所以(石〃)2=/+(%+〃)2,

解得％=?；?=-勿(舍去)，

AFfi1

所以tanNAOE=—=-=-

DE2a2

故選：B

【變式訓練1-4】、(2021?全國?高一專題練習)某城市一年中12個月的平均氣溫與月份的關

系可近似地用三角函數(shù)丫=。+AcosJ(x-6)(x=l,2,3,…/2)來表示，已知6月份的月平均

O

氣溫最高為28℃,12月份的月平均氣溫最低為18℃,則10月份的平均氣溫值為.

【答案】20.5

【分析】

7T

由題意得28=a+A,18=a-A,解得。=23,A=5,故y=23+5cos—(x-6),再計算x=10

o_

時的函數(shù)值即可.

【詳解】

71

解：據題意得28=a+A,18=n+Acos-(12-6)=a-A

6

解得。=23,A=5

所以y=23+5cos-(x-6)

_6_

令x=10得y=23+5cos-(10-6)=23+5cos—=20.5

6J3

故答案為:20.5

例2.(2020.上海靜安.高一期末)如圖，某港口一天6時到18時的水深變化曲線近似滿足

(7t、

函數(shù)y=3sin—x+(p+k.

、6>

(1)求女的值；

(2)求這段時間水深(單位：m)的最大值.

【答案】（I）k=5；（2）這段時間水深的最大值是8m.

【解析】

(1)圖知：ymin=2,因為>min=-3+Z,

所以一3+%=2,解得：k=5.

⑵>皿=3+&=3+5=8-

所以，這段時間水深的最大值是8根.

例3.（2021?江蘇?高一課時練習）下表是某地一年中10d（天）的白晝時間.

日期1月1日2月28日3月21日4月27日5月6日

白晝時間/h5.5910.2312.3816.397.26

日期6月21日8月14日9月23日10月25日11月21日

白晝時間/h19.4016.3412.018.486.13

（1）以日期在365d（天）中的位置序號為橫坐標，白晝時間為縱坐標，描出這些數(shù)據的散

點圖；

（2）選用一個三角函數(shù)來近似描述白晝時間與日期序號之間的函數(shù)關系；

（3）用（2）中的函數(shù)模型估計該地7月8日的白晝時間.

【答案】⑴散點圖見解析；（2）y=6.91sin（盤x-琮1+12.5；⑶19.12〃

/3U）

【分析】

（1）根據所給數(shù)據將日期轉化為實數(shù)，畫出散點圖；

（2）不妨設白晝時間與日期序號之間的函數(shù)關系是y=Asin?x+0+6,依題意求出A",

",（P,即可得到函數(shù)解析式；

（3）易知7月8日時x=189,代入（2）中函數(shù)解析式，計算可得；

【詳解】

解：（1）根據已知橫坐標依次為1,59,80,117,172,226,266,298,325,散點圖如下所示：

tfk

23456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536

（2）不妨設白晝時間與日期序號之間的函數(shù)關系是y=Asin（s+*）+6,則

A=^^“6.9l,,19.4+5.59…>不27r.2萬口「

b=----------?12.5,T=——=365,所以G=—,即

220)365

24+12.5,且當犬=172時二xl72+e=1，解得夕=-甯，所以

y=6.91sin---X+69

365

273231

y=6.91sin365A-730+12.5

(3)易知7月8日時x=189,所以y=6.9Isin(2乂189-要1+12.5之1912

\365730)

故該地7月8日的白晝時間約為19.12〃

例4.（2021?貴州?興仁市鳳凰中學高一期末）某港口水深y（米）是時間t（04S24,單位：小

時）的函數(shù)，下面是水深數(shù)據：

t（小時）03