2022-2023學(xué)年靜安區(qū)初三數(shù)學(xué)中考一模試題含詳解

九年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科練習(xí)

(滿分150分，用卷時(shí)間100分鐘)

考生注意：

1.本試卷含三個(gè)大題，共25題；

2.答題時(shí)，考生務(wù)必按答題要求在答題紙規(guī)定的位置上作答，在草稿紙、本試卷上答題

一律無效；

3.除第一、二大題外，其余各題如無特別說明，都必須在答題紙的相應(yīng)位置寫出證明或

計(jì)算的主要步驟.

一、選擇題：(本大題共6題，每題4分，滿分24分)

【下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一個(gè)是正確的，選擇正確項(xiàng)的代號(hào)并填涂在答題紙的

相應(yīng)位置上

1.下列實(shí)數(shù)中，無理數(shù)是

(A)；(C)(乃+2)0；(D)

7

2.計(jì)算所得的結(jié)果是

(A)%9；(B)%6；(C)%5；(D)x.

3.如果非零向量3、3互為相反向量，那么下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是

(A)allb；(B)|?H^|；(C)a+B=0；(D)a--b.

4.如圖，已知AABC與下列條件一定能推得它們相似的是

(A)ZA=ZE>,NB=NE；

=且絲=變

(B)

DFEF

(C)ZA=NB,ND=4E；

5NE且卷=短

(D)

5.如果0°<NA<60°,那么sinA與cosA的差

(A)大于0；(B)小于0；(C)等于0；(D)不能確定.

九年級(jí)數(shù)學(xué)試卷第1頁共6頁

6.如圖，在△ABC中，中線A。與中線BE相交于點(diǎn)G,聯(lián)結(jié)。E.下列結(jié)論成立的是

（A）DG=-AG；

BGDE

~EG~~AB

S^DEG_J.

SMGB4

第6題圖

SAAGB2

二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）

7.）的倒數(shù)是▲.

3

、、但42a

8.計(jì)算：---+-----=▲.

Q+2a+2

9.己知a?=2:3,那么，一的值是▲.

10.拋物線y=（x+1》-2與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是▲.

11.請(qǐng)寫出一個(gè)以直線x=3為對(duì)稱軸，且在對(duì)稱軸左側(cè)部分是下降的拋物線，這條拋物線

的表達(dá)式可以是▲.（只要寫出一個(gè)符合條件的拋物線表達(dá)式）

12.有一座拱橋的截面圖是拋物線形狀，在正常水

位時(shí)，橋下水面AB寬20米，拱橋的最高點(diǎn)

。距離水面AB為3米，如圖建立直角坐標(biāo)平

面xOy,那么此拋物線的表達(dá)式為▲

第12題圖

13.一水庫的大壩橫斷面是梯形，壩頂、壩底分別記作8C、AD,且迎水坡A8的坡度為

1：2.5,背水坡CD的坡度為1:3,則迎水坡AB的坡角▲背水坡CD的坡

角.（填“大于”或“小于”）

14.已知△48CSZV1|8IC|SZ\A2B2C2，△4BC與△AiBiG的相似比為g,ZxABC與

15.在矩形ABC￡>內(nèi)作正方形4E/7）（如圖所示），矩形的對(duì)角線AC交正方形的邊EF于

點(diǎn)P.如果點(diǎn)尸恰好是邊CD的黃金分割點(diǎn)（￡>QFC）,且PE=2,那么PF=▲.

九年級(jí)數(shù)學(xué)試卷第2頁共6頁

16.在△ABC中，AB=6,AC=5,點(diǎn)￡>、E分別在邊AB、AC上，當(dāng)A￡>=4,ZADE=ZC

NBDC=6Q°,BE=3,那么A、一兩點(diǎn)間的距離是▲.

18.定義：把二次函數(shù)y=a（x+〃?）~+N與y=（a￥0,皿、〃是常數(shù)）稱作

31

互為“雌函數(shù)”.如果二次函數(shù)＞與y=—f—[cx+c（仄。是常數(shù)）

互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，寫出點(diǎn)P（b,c）的坐標(biāo)▲.

三、解答題：（本大題共7題，滿分78分）

19.（本題滿分10分）

計(jì)算:EE+f空六

20.（本題滿分10分，第（1）小題5分，第（2）小題5分）

如圖，已知在△ABC中，點(diǎn)。、E分別在邊A&AC上，且BZX2AZ）,

AE=-EC.

2

(1)求證：DEHBC-,

（2）設(shè)=BC=b,試用向量a、b表示向量AC.

21.（本題滿分10分，第（1）小題5分，第（2）小題5分）

5

如圖，已知在△ABC中，NB為銳角,40是8c邊上的高，cosB—,AB=13,8C=21.

13

（1）求AC的長(zhǎng)；

（2）求/BAC的正弦值

九年級(jí)數(shù)學(xué)試卷第3頁共6頁

第21題圖

22.（本題滿分10分，第（1）小題5分，第（2）小題5分）

有一把長(zhǎng)為6米的梯子A8,將它的上端A靠著墻面，下端B放在地面上，梯子與地

面所成的角記為a,地面與墻面互相垂直（如圖1所示）.一般滿足50。WaW75。時(shí)，人才

能安全地使用這架梯子.

（1）當(dāng)梯子底端B距離墻面2.5米時(shí)，求a的度數(shù)（結(jié)果取整數(shù)），此時(shí)人是否能安

全地使用這架梯子？

（2）當(dāng)人能安全地使用這架梯子，且梯子頂端A離開地面最高時(shí)，梯子開始下滑，

如果梯子頂端A沿著墻面下滑1.5米到墻面上的D點(diǎn)處停止，梯子底端8也隨之向后平移

到地面上的點(diǎn)E處（如圖2所示），此時(shí)人是否能安全使用這架梯子？請(qǐng)說明理由.

第22題圖1

23.（本題滿分12分，第（1）小題6分，第（2）小題6分）

如圖，在梯形ABCQ中，AD//BC,。尸分別交對(duì)角線AC、底邊BC于點(diǎn)E、F,且

ADAC^AEBC.

（1）求證：AB//FD；

（2）點(diǎn)G在底邊BC上，BC=10,CG=3,聯(lián)結(jié)AG,如果△AGC與的面積

相等，求FC的長(zhǎng).

第23題圖

九年級(jí)數(shù)學(xué)試卷第4頁共6頁

24.（本題滿分12分，第（1）小題4分，第（2）①、②小題各4分）

如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線）+力尤―6（4工0）與x軸交于點(diǎn)

A、8（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C,聯(lián)結(jié)8C,/ABC的余切值為工，AB=8,點(diǎn)

P在拋物線上，且PO=PB.

（1）求上述拋物線的表達(dá)式；

25.（本題滿分14分，第（1）①、②小題各5分，第（2）小題4分）第24題圖

在等腰直角△ABC中，NC=90。，AC=4,點(diǎn)。為射線CB上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)￡＞不與點(diǎn)8、

C重合），以A。為腰且在的右側(cè)作等腰直角△ADE/4OF=90。，射線AB與射線"）

交于點(diǎn)E,聯(lián)結(jié)BE

（1）如圖1所示，當(dāng)點(diǎn)。在線段C8上時(shí)，

①求證：△ACQS/XABF；

②設(shè)C￡）=x,tanNB/rZAv,求v關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍；

九年級(jí)數(shù)學(xué)試卷第6頁共6頁

九年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科練習(xí)（解析版）

（滿分150分，用卷時(shí)間100分鐘）

考生注意：

1.本試卷含三個(gè)大題，共25題；

2.答題時(shí)，考生務(wù)必按答題要求在答題紙規(guī)定的位置上作答，在草稿紙、本試卷上答題

一律無效；

3.除第一、二大題外，其余各題如無特別說明，都必須在答題紙的相應(yīng)位置寫出證明或

計(jì)算的主要步驟.

一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）

【下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一個(gè)是正確的，選擇正確項(xiàng)的代號(hào)并填涂在答題紙的

相應(yīng)位置上

1.下列實(shí)數(shù)中，無理數(shù)是（B）

(A)V16^:(C)(乃+2)0；(D)

7

【解析】（A）痛=4,是有理數(shù)，不合題意;

"無法化簡(jiǎn)，是無理數(shù)，符合題意;

(B)3

（C）（7+2）°=1,是有理數(shù)，不合題意;

Q

（D）2為分?jǐn)?shù)，是有理數(shù)，不合題意.

7

2.計(jì)算所得的結(jié)果是（C）

(A)%9；(B)/；(C)%5；(D)x.

【解析】於*=/3+2）=京C符合.

3.如果非零向量4、力互為相反向量，那么下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是(c)

(A)allb；(B)|?|=|^|；(C)a+B=O；(D)a--b.

【解析】；非零向量"、Z互為相反向量,

二。、B長(zhǎng)度相同、方向相反,

(4)(B)(D)正確，

選擇(C).

4.如圖,已知△ABC與下列條件一定能推得它們相似的是(A)

(A)ZA-ZD,NB=ZE；

4且理=變

(B)

DFEF

(C)ZA=ZB,ND=NE；

(D)小㈤卷嚙

【解析】(A)VZA^ZD,NB=NE,

：.4ABCs△DEF(A.A)；

44=/。且4g=生，不符合S.A.S.,

(B)

DFEF

故不可證明Z)E尸相似;

(C)ZA=NB,ND=NE,只能推得△ABC與AOE尸為等腰三角形,

不可證明448。與4DE尸相似;

AriAC

(D)NA=NE且一=——，不符合S.A.S.,

DEDF

故不可證明△48(7與4OEF相似.

5.00<ZA<60°,那么sinA與cosA的差(D)

(A)大于0；(B)小于0；(C)等于0；(D)不能確定.

【解析】采用賦值法：

(1)當(dāng)/A=30°時(shí)，sinA=sin30°=—,cosA=cos30°=—,

22

則sinA—cosAvO.

斯jy

(2)當(dāng)NA=45°時(shí)，sinA=sin45°=——,cosA=cos45°=——,

22

則sinA—cosA=0.

由此可得：不能確定sinA與cosA的差與0之間的大小關(guān)系，??.D符合.

【規(guī)律】當(dāng)00vNA<45。，sinA<cosA；當(dāng)45。<44<90。，sinA>cosA.

6.如圖，在△ABC中，中線AO與中線3E相交于點(diǎn)G,聯(lián)結(jié)。E.下列結(jié)論成立的是（C）

G

(A)DG^-AG；(B)(O^=1;(D)^o^=l

3EGAB4S^AGB2

【解析】???中線AO與中線BE相交于點(diǎn)G,???G為重心，DE為中位線.

（A）：G為重心，，OG=，AG,故（A）不成立;

2

（B）的=2,"=L故（B）不成立；CHDMB

EGAB2第6題圖

np\盤應(yīng)=(匹故?

(C)VDE//AB,——=-)2=_1,成立;

AB2S.BAB4

(D)在△ABO與ABCE中，BD=-BC,EH=-AM,

22

u&DEG]_

??SAABD=SABCE，=S四邊形CDGE,由(C)可知,

4

.?.可得隆盛=3,故（D）不成立.

"GB4

二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）

7.）的倒數(shù)是▲.

3

【解析】」的倒數(shù)是3.

3

"計(jì)算:2+急

42a4+2。2(2+〃)

【解析】----------1----------=-----------

。+2。+2。+2Q+2

9.已知。/=2:3,那么一日一的值是▲

a+b

【解析】：a:Z?=2:3,?,?設(shè)a=24，b=3k,

u、a2k2k2

a+b2k+3k5k5

10.拋物線y=（尤+1）2-2與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是▲.

【解析】y=（x+l）2-2=x2+2x+l-2=x2+2x-l,

拋物線y=（x+l）2-2與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（0,-1）

11.請(qǐng)寫出一個(gè)以直線x=3為對(duì)稱軸，且在對(duì)稱軸左側(cè)部分是下降的拋物線，這條拋物線

的表達(dá)式可以是▲.（只要寫出一個(gè)符合條件的拋物線表達(dá)式）

【解析】?.?對(duì)稱軸為直線x=3,...可知拋物線表達(dá)式：y=a（x—3y+m,

；對(duì)稱軸左側(cè)部分是下降的拋物線，a>0，

拋物線的表達(dá)式可以是：y=（x-3）2,y=2（x-3T+l等（答案不唯一）.

12.有一座拱橋的截面圖是拋物線形狀，在正常水

ncccc，-c-n

位時(shí)，橋下水面AB寬20米，拱橋的最高點(diǎn)

。距離水面為3米，如圖建立直角坐標(biāo)平

第12題圖

面xOy,那么此拋物線的表達(dá)式為▲.

【解析】由題：橋下水面A8寬20米，拱橋的最高點(diǎn)O距離水面A8為3米,

3,

.?.0(0,0),A(-10,-3),8(10,—3),...可得y=—而/

13.一水庫的大壩橫斷面是梯形，壩頂、壩底分別記作BC、AD,且迎水坡AB的坡度為

1:2.5,背水坡CD的坡度為1：3,則迎水坡AB的坡角▲背水坡CD的坡

角.（填“大于”或“小于”）

［解析】設(shè)迎水坡AB的坡角為a,背水坡CD的坡角為P,

由題可得，tanc=1:2.5,tan4=1:3,

；tana隨a的增大而增大,而tana>tan/7,

：.a>/3,即迎水坡AB的坡角大于背水坡CD的坡角

14.已知△4BCSZ^4BC|S/\42B2C2，△48C與△4BIG的相似比為,，△ABC與

5

2

△A282c2的相似比為一，那么△AIBICI與△A2B2C2的相似比為▲

3

【解析】由△A8C與△AIBIG的相似比為;，可設(shè)AABC為鼠△AiSG為女，

2

同理，由△ABC與AA282c2的相似比為一，可設(shè)282c2為1.5A,

3

：./XA\B\C\與282c2的相似比為5k：l.5k=—.

3

15.在矩形A8CO內(nèi)作正方形AEF。（如圖所示），矩形的對(duì)角線AC交正方形的邊E尸于

點(diǎn)P.如果點(diǎn)尸恰好是邊CD的黃金分割點(diǎn)（OQFC）,且PE=2,那么PF=▲.

【解析】?.?正方形AEFZ）,...OFuAE,

:點(diǎn)尸恰好是邊CD的黃金分割點(diǎn),

.CFDFV5-1

..----=-----=--------,

DFCD2

第15題圖

.CFPF75-1

CF//AE,

"~AE~~PE~2

■：PE=2,

16.在△ABC中，AB=6,AC=5,點(diǎn)。、E分別在邊AB、AC上，當(dāng)AO=4,NADE=NC

【解析】由題，可畫出圖形（如右圖），

；NADE=NC,/A=/A,

，/\ADE^ACB,

.DEAD4

"AC-5

17.如圖，△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得△￡>r:,如果點(diǎn)8、D、E在一直線上，且

NBDC=60°,BE=3,那么A、。兩點(diǎn)間的距離是▲

【解析】作CHL3E,聯(lián)結(jié)A￡>,

：△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得△OEC,

.?.可得等腰等腰⑶△BCE,

3

BE=3,BH=EH=CH=-,第17題圖

2

在中，NBDC=60°,：.得CD=4^，:.AD=OCD=庭.

18.定義：把二次函數(shù)y=a(x+〃z)2+〃與y=-。(工一勿2)2-〃(〃W0,〃?、〃是常數(shù))稱作

31

互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”.如果二次函數(shù)y=/+耳。工一2與y=—工2一^cx+c(〃、c是常數(shù))

互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，寫出點(diǎn)尸(b,c)的坐標(biāo)▲.

【解析】y=ci[x+zn)2+〃=ax2+2axm+am?+n,

y=—a(x——n=—ax2+2axm—am2—n,

由此可知，在互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”中：

(1)二次項(xiàng)系數(shù)互為相反數(shù)；(2)一次項(xiàng)系數(shù)相同；(3)常數(shù)項(xiàng)互為相反數(shù).

則在二次函數(shù)y=x2與y=-x2一1cx+c中，

3,1f,1

——b=—cb=—

<24.解得｛3，(—?—,2).

-2=-cc-2

三、解答題：（本大題共7題，滿分78分）

19.（本題滿分10分）

計(jì)算：7cos2300-sin230°+（儂45?！?5。了.

tan45°

------2--------1V2

r會(huì)「，底一（6丫UY/-TX276-472V23-2V23-V2

【解析】原式=1————+（———）"=-+―：—=—+---=---.

2⑶1AV24222

20.（本題滿分10分，第（1）小題5分，第（2）小題5分）

如圖，已知在△ABC中，點(diǎn)。、E分別在邊A&AC上，且BD=2AZ）,

1

AE=-EC.

2

(1)求證：DEHBC-,

（2）設(shè)麗=Z,BC=b,試用向量々、B表示向量元.

【解析】(1),：BD=2AD,：.——=-

BD2

.AE-1

'：AE=-EC,

2,EC"2

.AD_AE

：.DEIIBC.

"^D~EC

..AE_l,EC_2

?f??=一—,

EC2AC3

—k3—*3—k--3-33一

AC=-EC=-(EB+BC)=-(-a+b)=--a+-b.

22222

21.（本題滿分10分，第（1）小題5分，第（2）小題5分）

如圖，已知在△ABC中，為銳角,40是BC邊上的高，cosB=—Mfi=13,?C=21.

13

(1)求AC的長(zhǎng)；

(2)求N84C的正弦值.

【解析】(1)cosB=—,AB=\3,

13

.\BD=5,AD=12,

第21題圖

：BC=21,Z.CD=BC~BD=21-5=16,

：.Rt/\ABD,AD=\2,CD=16,；.AC=20.

⑵作CH1AB,A

：.Rt/\BCH,cosB=—=>sinB

13

...2=U=S=經(jīng)，

BC1313

252

：.sinZBAC=-=-^~63

AC2065

22.（本題滿分10分，第（1）小題5分，第（2）小題5分）

有一把長(zhǎng)為6米的梯子AB,將它的上端A靠著墻面，下端8放在地面上，梯子與地

面所成的角記為a,地面與墻面互相垂直（如圖1所示）.一般滿足50°WaW75。時(shí)，人才

能安全地使用這架梯子.

（1）當(dāng)梯子底端B距離墻面2.5米時(shí)，求a的度數(shù)（結(jié)果取整數(shù)），此時(shí)人是否能安

全地使用這架梯子？

（2）當(dāng)人能安全地使用這架梯子，且梯子頂端A離開地面最高時(shí)，梯子開始下滑，

如果梯子頂端A沿著墻面下滑1.5米到墻面上的D點(diǎn)處停止，梯子底端B也隨之向后平移

到地面上的點(diǎn)E處（如圖2所示），此時(shí)人是否能安全使用這架梯子？請(qǐng)說明理由.

25

【解析】（1）cosa=—,解得a=65°,

6

在50°Wa<75°的范圍內(nèi)，.?.能.

答：￡=65。，此時(shí)人能安全地使用這架梯子.

（2）由題：人能安全地使用這架梯子，且梯子頂端A離開

地面最高，，a=75。，

Rt/\AOBfAO=AB-sin75°=5.8m,

AD=1.5/77,O￡>=5.8-1.5=4.3/n,

...sinZDEO,解得ZDEO=46°<50°,

DE6

答：此時(shí)人不能安全使用這架梯子.

第22題圖2

23.（本題滿分12分，第（1）小題6分，第（2）小題6分）

如圖，在梯形A3C。中，AD//BC,。尸分別交對(duì)角線AC、底邊BC于點(diǎn)E、F,且

ADAC=AE-BC.

（1）求證：AB〃FD；

(2)點(diǎn)G在底邊8c上，BC=\O,CG=3,聯(lián)結(jié)AG,如果ZXAGC與AEFC的面積

相等，求FC的長(zhǎng).

【解析】(1),JAD//BC,：.ZDAE=ZACB,

An

'：ADAC^AEBC,：.—=——，

BCAC

：./\ADE^/\CBA,：.ZADE=ZABC,

第23題圖

'JAD//BC,；.NADE=NEFC,

:.NABC=NEFC,：.AB//FD.

(2)?.?△466'與448(7同高，，^^￡=區(qū)3

SAABCBC10

VAAGC"EFC的面積相等,

2

...三3=匕CF一，解得CF=i—a.

10100

24.（本題滿分12分，第（1）小題4分，第（2）①、②小題各4分）

如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線^=。/+"一6（。。0）與x軸交于點(diǎn)

4、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C,聯(lián)結(jié)BC,ZABC的余切值為:，AB=8,點(diǎn)

P在拋物線上，且PO=PB.

（1）求上述拋物線的表達(dá)式；

（2）平移上述拋物線，所得新拋物線過點(diǎn)O和點(diǎn)P,新拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)E.

①求新拋物線的對(duì)稱軸；

②點(diǎn)尸在新拋物線對(duì)稱軸上，且\/

/EOF=/PCO,求點(diǎn)尸的坐標(biāo).\/

【解析】（1）RfZXBOC,cotZABC=-,\/

0IBx

Vy=ax2+bx-6,：.C（0,-6）\

Jc

工可求得B（2,0）,

VAB=8（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），；.A（-6,0）,

第24題圖

1,

代入拋物線，ny=jx2+2x—6.

（2）①：尸O=PB,在OB的中垂線上，

???新拋物線過點(diǎn)。和點(diǎn)P,...原拋物線向右平移，

=由點(diǎn)A平移到點(diǎn)0,.?.原拋物線對(duì)稱軸向右平移6個(gè)單位,即得新拋物線對(duì)稱軸，

原拋物線對(duì)稱軸：直線后一2,=新拋物線對(duì)稱軸：直線x==4.

_z）

②「P在08的中垂線上，...XP=1,代入原拋物線（1,

2

52

PC：y——x—6,tan^.PCO—