2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)題型歸納與分階培優(yōu)練06圓（人教A版2019選擇性必修第一冊）（解析版）

專題6圓

目錄

一、熱點(diǎn)題型歸納

【題型一】求圓1:圓心在直線上求方程...........................................................1

【題型二】求圓2：外接圓.......................................................................3

【題型三】求圓3：內(nèi)切圓.......................................................................5

【題型四】點(diǎn)與圓的關(guān)系........................................................................7

【題型五】弦長與弦心距.........................................................................9

【題型六】到直線距離為定值的圓上點(diǎn)個(gè)數(shù)......................................................11

【題型七】弦長與弦心距：弦心角...............................................................12

【題型八】圓過定點(diǎn)............................................................................13

【題型九】兩圓位置關(guān)系........................................................................15

【題型十】兩圓公共弦.........................................................................17

培優(yōu)第一階——基礎(chǔ)過關(guān)練......................................................................18

培優(yōu)第二階——能力提升練......................................................................21

培優(yōu)第三階——培優(yōu)拔尖練......................................................................24

【題型一】求圓1：圓心在直線上求方程

【典例分析】

(2022?全國?高二)已知圓M的圓心在直線x+y-4=0上，且點(diǎn)A(l,()),8(0,1)在M上，則

歷的方程為()

A.(x-2)2+(y-2)2=13B.(x-1)2+(^-1)2=1

C.(x-2)2+(y-2)2=5D.(x+l)2+(y+l)2=5

【答案】C

【分析】由題設(shè)寫出AB的中垂線，求其與x+y-4=0的交點(diǎn)即得圓心坐標(biāo)，再應(yīng)用兩點(diǎn)距

離公式求半徑，即可得圓的方程.

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)4L0),8(0,1)在M上，所以圓心在AB的中垂線x—y上.

y_4=0fx=2i--------------------「

由，、，解得c，即圓心為(2,2),則半徑r=J(2-l)2+(2-0)2=石,

所以M的方程為(x-2)2+()，-2了=5.

故選：C

【提分秘籍】

基本規(guī)律

1.圓的一般方程/+產(chǎn)+6+或+尸=0(￡>2+爐-4尸>0)表示的圓的圓心為(-々，-言

半徑長為gjc2+E，一4下.

2.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

(x—a)2+(y—b)2=r(r>0)>其中(a,6)為圓心,二為半徑

【變式訓(xùn)練】

1.(2022?安徽省亳州市第一中學(xué)高二階段練習(xí))已知圓C過點(diǎn)47,-2),5(4,1),且圓心在x

軸上，則圓C的方程是()

A.(x-5)2+V=8B.(x-6)2+y2=5C.(x-5)2+/=4D.(x-4)2+y2=13

【答案】B

【分析】根據(jù)圓心在x軸上，設(shè)出圓C的方程，把點(diǎn)A(7,-2),8(4,1)的坐標(biāo)代入圓的方程

即可求出答案.

【詳解】因?yàn)閳AC的圓心在x軸匕所以設(shè)圓C的方程為(x-。)2+丁=',

（7-。『+4=/，

因?yàn)辄c(diǎn)A(7,-2),3(4,1)在圓C上，所以,、2,，解得a=6,r=5,

（4一。）~+1=r~

所以圓C的方程是(％-6)2+>2=5.

故選：B.

2.(2021?山西?太原市第六十六中學(xué)校高二期中)過點(diǎn)〃(2,-1),且經(jīng)過圓

f+y2_4x_4y+4=0與圓/+>2_4=0的交點(diǎn)的圓的方程為()

A.x2+y24-x+^-6=0B.x2+y2+x-y-8=0

C.x2+y2-x+y-2=0D.x24-y2-x-y-4=0

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，設(shè)所求圓的方程為Y+丁—4x-4y+4+4(f+y2—4)=。，再待定系數(shù)

求解即可.

【詳解】解：由圓系方程的性質(zhì)可設(shè)所求圓的方程為f+y2-4x-4y+4+4(r+y2-4)=0,

因?yàn)樗髨A過點(diǎn)〃(2,-1),

^W22+(-l)2-4x2-4x(-l)+4+/l[22+(-l)2-4]=0,解得：4=—5

所以所求圓的方程為：x2+y2+x+y-6=0

故選：A

【題型二】求圓2：外接圓

【典例分析】

(2022?福建漳州?高二期末)在平面幾何中，將完全覆蓋某平面圖形且直徑最小的圓，稱為

該平面圖形的最小覆蓋圓.如線段的最小覆蓋圓就是以該線段為直徑的圓，銳角三角形的最

小覆蓋圓就是該三角形的外接圓.若A(-2,0),8(2,0),C(0,4),則一A8C的最小覆蓋圓的半

徑為()

35

A.—B.2C.-D.3

22

【答案】c

【分析】根據(jù)新定義只需求銳角三角形外接圓的方程即可得解.【詳解】,4-2,0),8(2,0),

C(0,4),

AABC為銳角三角形，??.AABC的外接圓就是它的最小覆蓋圓,

4-2D+F=00=0

設(shè),ABC外接圓方程為V+V+m+Ey+F=(),則,4+2。+尸=0,解得,E=-3

16+4￡+F=0F=-4

?1."ABC的最小覆蓋圓方程為V+/-3y-4=0,即x2+(y-^)2,

.?.△ABC的最小覆蓋圓的半徑為|■.故選：C

【提分秘籍】

基本規(guī)律

求外接圓：

1.利用一般方程,把三個(gè)點(diǎn)代入求解

2.外接圓是三邊中垂線的交點(diǎn)，可以分別求出兩邊的中垂線方程，接觸交點(diǎn)坐標(biāo)即為圓

心。

【變式訓(xùn)練】

1.(2022?全國?高二專題練習(xí))已知AABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(1,3),8(-2,2),C(1,

-7),則該三角形外接圓的圓心及半徑分別為()

A.(2,-2),V5B.(1,-2),75

C.(1,-2),5D.(2,-2),5

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，設(shè)三角形外接圓的圓心為M,其坐標(biāo)為(a,b),半徑為廣，由|M4|=|MC]

和求出“、力的值，可得圓心坐標(biāo)，進(jìn)而可得，?的值，即可得答案.

【詳解】根據(jù)題意，設(shè)三角形外接圓的圓心為其坐標(biāo)為(a,b),半徑為r,

△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(1,3),8(-2,2),C(I,-7),

\MA\=\MC\,必有==-2,

則有(a-1)2+25=(。+2)2+16,解可得。=1,

則r=|M4|=5；

即圓心為(1,-2),半徑r=5；

故選：C.

2.(2021?全國?高二專題練習(xí))已知曲線y=x?+X-2020與x軸交于M,N兩點(diǎn)，與y軸交于

P點(diǎn),則外接圓的方程為()

A.x2+/+x-2019y-2020=0B.x2+/+x-2021>>-2020=0

C.x2+j2+^+2019y-2020=0D.x2+/+x+2021.y-2020=0

【答案】C

【分析】設(shè)NWZVP外接圓的方程為/+/+6+出+F=0,分別令x=O,y=O,結(jié)合韋達(dá)定

理求得DE,F,代入即可求得圓的方程.

【詳解】設(shè)△MNP外接圓的方程為/+/+6+助+尸=0,點(diǎn)。是AWVP的外接圓與)，軸

的另一個(gè)交點(diǎn)，

2

分別令x=0,y=0,則/+6+尸=0,X+DX+F=0.

設(shè)加(玉,0),%(々,0),/>(0,%)。(0,%)，則中2=弘％,又曲線丫=X：!+》-2020與工軸交于M,

N兩點(diǎn)，

則為巧=-2020,xt+x2=-],yt=-2020,￡)=1,F=-2020,所以必=1，

E=-(y1+y2)=-(-2020+l)=2019,

故AMNP夕卜接圓的方程/+/+x+2019)，一2020=0.

故選：C.

3.(2022?江蘇?高二單元測試)已知圓C:(x-l)2+(y-l)2=4,P為直線/：2x+y+2=0上的

動點(diǎn)，過點(diǎn)尸作圓C的切線F4,切點(diǎn)為A,當(dāng)△R4C的面積最小時(shí)，△A4C的外接圓的方

程為()

【答案】C

【分析】先確定△R4C的面積最小時(shí)尸點(diǎn)坐標(biāo)，再由△R4C是直角三角形求出外接圓的圓

心和半徑，即可求出外接圓方程.

S.=啊?|AC|=|P4|=J|PC『TAC|2=一4,要使△PAC的面積最小,即PC最小,

PC的最小值為點(diǎn)C(U)到直線/：2x+y+2=0的距離景?=右,即當(dāng)尸點(diǎn)運(yùn)動到

PC，/時(shí)，S%c最小，直線/的斜率為一2,此時(shí)直線PC的方程為y-l=g(x-l),由

_(-

V1=―2、X1,)，解得；二，所以限2,因?yàn)椤癆C是直角三角形，所以斜邊PC的

[2x+y+2=0

中點(diǎn)坐標(biāo)為(0，；

,而附|=J(l+])2+(1-0)2=石,所以△B4C的外接圓圓心為

半徑為堂，所以△H4C的外接圓的方程為x2+(y_gj=1.

故選：C.

【題型三】求圓3：內(nèi)切圓

【典例分析】

(2022?全國?高二單元測試)已知三角形三邊所在直線的方程分別為)，=0、x-y+2=0和

x+y-4=0,求這個(gè)三角形的內(nèi)切圓圓心和半徑.

【答案】圓心(1,30-3)；半徑為3夜-3.

【分析】由三角形所在位置設(shè)出其內(nèi)切圓圓心坐標(biāo)，利用三角形內(nèi)切圓性質(zhì)列方程，求解作

答.

[y=0

【詳解】依題意，由廣。八得直線y=o與％-"2=0的交點(diǎn)8(-2,0),

[x-y+2=0

[y=0

由《)八得直線y=o與1+>-4=0的交點(diǎn)C(4,0),

[x+y-4=0

fx-y+2=0-

由《彳八得直線17+2=0與%+'—4=0的交點(diǎn)41,3),

[x+y-4=0

顯然4?，他，且|4(7|=|48|=3&,即aABC是等腰直角三角形，則直線x=l平分ZB4C,

設(shè)4ABe的內(nèi)切圓圓心為“(1,力，0<b<3,則6=|*3=七*4,解得6=3點(diǎn)-3,

即用(1,30-3),半徑心=3層3,

所以這個(gè)三角形的內(nèi)切圓圓心和半徑分別為圓心(1,3夜-3),372-3.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

求內(nèi)切圓：

1.內(nèi)切圓是角平分線的交點(diǎn)，可以求出三角形兩條角平分線，解出交點(diǎn)即為圓心

2.待定系數(shù)法，到三邊距離相等的點(diǎn)即為內(nèi)心

【變式訓(xùn)練】

1.(2022?全國?高二課時(shí)練習(xí))若直線3x+4y+12=0與兩坐標(biāo)軸分別交于A,B兩點(diǎn)，。為

坐標(biāo)原點(diǎn)，則A4QB的內(nèi)切圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

【答案】(x+l)2+(y+l)2=l

【分析】結(jié)合三角形面積計(jì)算公式，建立等式，計(jì)算半徑r,得到圓方程，即可.

【詳解】設(shè)內(nèi)切圓的半徑為「，結(jié)合面積公祐3"+"5”M8.冉34

則r=l因而圓心坐標(biāo)為（-1,一1）,圓的方程為（x+爐+（y+l）2=1

2.（2022?重慶南開中學(xué)高二階段練習(xí)）平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A卜6,3）、川-8,-3）、

C（2A/3,0）,動點(diǎn)P在ABC的內(nèi)切圓上，則;|尸。|-|尸山的最小值為.

【答案】一地##-3"

22

【分析】求出ABC的內(nèi)切圓方程，設(shè)點(diǎn)尸（X,力，計(jì)算得出|PC|=2四，其中點(diǎn)E俘,o],

k7

數(shù)形結(jié)合可求得g|PC|-|PA|的最小值.

【詳解】由兩點(diǎn)間的距離公式可知\AB\=\BC]=\AC]=6,則AABC是邊長為6的等邊三角形,

設(shè)，ABC的內(nèi)切圓的半徑為r,則5小叱=￥'62=｝，18,解得r=百，

因?yàn)辄c(diǎn)A、8關(guān)于x軸對稱，所以，ABC的內(nèi)切圓圓心在x軸上，

易知直線AB的方程為x=-G,原點(diǎn)。到直線AB的距離為6，

所以，ABC的內(nèi)切圓為圓0:/+丫2=3,設(shè)點(diǎn)尸（x,y）,

|PC|=4x-2琦+V=6+9―4&+12=也丁-4后+3+4/

=J（2x-6）+4）2=2/x~~^~+；/=2歸同，其中點(diǎn)E會，

所以，^|PC|-|PA|=|PE|-|PA|>-|AE|=-^-^-^+W=-平，

當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)尸為射線AE與圓。的交點(diǎn)時(shí)，等號成立，故JPC|-|P4|的最小值為-乎.

故答案為：-亞.

2

3.（2016?重慶?一模（理））已知直線4：x+2y=a+2和直線/2：21-丁=2〃-1分別與圓

(x-4)2+(y-1)2=16相交于A8和C,。，則四邊形ACBD的內(nèi)切圓的面積為.

【答案】8兀

【分析】由兩直線方程，得出兩直線垂直且交于點(diǎn)結(jié)合圓的幾何性質(zhì)判斷出四邊形

AC8D是邊長為40的正方形，其內(nèi)切圓半徑為2夜，由此可求得答案.

x+2y=a+2x-a

【詳解】聯(lián)立2—解得

y=i

即宜線4：x+2y=a+2和直線/2：2》-丫=2〃-1互相垂直且交于點(diǎn)3,1),

而(凡1)恰好是圓(x-〃)2+(>-1)2=16的圓心，

則A8,C力為圓的兩條互相垂直的直徑，且AB=C￡>=8,

所以，四邊形AC8O是邊長為4人的正方形，

因此其內(nèi)切圓半徑是2夜，面積是無、(2&)2=阮，

故答案為：8限

【題型四】點(diǎn)與圓的關(guān)系

【典例分析】

(2021?全國?高二課時(shí)練習(xí))如果直線2依-勿+14=0(4>0,。>0)和函數(shù)

f(x)=，”川+1("?>0,m*1)的圖象恒過同一個(gè)定點(diǎn)，且該定點(diǎn)始終落在圓

(x-a+l)2+(y+b-2)2=25的內(nèi)部或圓上,那么2的取值范圍是()

a

34

A.B.14'3

4,3

34

C.。?瑞)

4,3

【答案】C

【分析】由已知可得°+。=7,(4>0力>0).再由由點(diǎn)(―1,2)在圓(x-a+l)2+(y+8-2)2=25

內(nèi)部或圓上可得a2+b2<25(?>0,fe>0).由此可解得點(diǎn)(。力)在以A(3,4)和8(4,3)為端點(diǎn)

的線段上運(yùn)動.由，表示以A(3,4)和8(4,3)為端點(diǎn)的線段上的點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)連線的斜率可

得選項(xiàng).

【詳解】函數(shù)/(x)="”+l恒過定點(diǎn)(-1,2).將點(diǎn)(-1,2)代入直線2依-外+14=0可得

-2a-2b+\4-0,即a+6=7,(a>0,6>0).

由點(diǎn)(T,2)在圓(x-a+l)2+(y+6-2)2=25內(nèi)部或圓上可得(T-a+iy+(2+b-2)2s25,

a+b=Ja=3：=所以點(diǎn)(4⑼在以A(3,4)和

即〃+從＜25(。＞0力＞0).a2+b2=2508=4或

0=3

磯4,3)為端點(diǎn)的線段上運(yùn)動.

，表示以4(3,4)和3(4,3)為端點(diǎn)的線段上的點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)連線的斜率.所以

_3-0_3傳)_4-0_4而

故選：C.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（X—4+。一〃）2=戶，一般方程/+產(chǎn)+以+4+尸=0,點(diǎn)M（xo,州），則有:

（1）點(diǎn)在圓上：（期一〃）2+（yo-6）2=八,x^+y^+Dx（）+Eyo+F=O；

（2）點(diǎn)在圓外：（枇一。）2+（V0一8）2>戶,x（）2+yo2+Dxo+Eyo+F>0；

（3）點(diǎn)在圓內(nèi)：。一“A+（為一/?）2<戶,xo2+yo2+Dxo+Eyo+F<O.

【變式訓(xùn)練】

1.（2022.安徽.合肥市第八中學(xué)高二開學(xué)考試）若點(diǎn)NT?）在圓C：x2+y-2x-2y+a=0

的外部，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍為（）

A.av-3B.a>—3C.—3vav2D.—2vav3

［答案］C

【分析】根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系建立不等式求解，并注意方程表示圓所滿足的條件.

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)R（—l,2）在圓C：Y+y2-2x-2y+a=0的外部，

所以1+4+2-4+a>0,

解得a>-3,

又方程*2+;/-2x-2y+a=0表示圓，

所以（-2）2+（-2）2-4a>0,

解得a<2,

故實(shí)數(shù)a的取值范圍為-3<“<2.

故選：C

2.（2020.河北.高二期中）直線儂+〃>』與圓Y+y2=1有兩個(gè)公共點(diǎn)，那么點(diǎn).力）與圓f+y2=l

的位置關(guān)系是（）

A.點(diǎn)在圓外B.點(diǎn)在圓內(nèi)C.點(diǎn)在圓上D.不能確定

【答案】A

【解析】直線m+gr與圓V+V=l有兩個(gè)公共點(diǎn)，可得/J丁<1,即為

?4a-+b-

由此可得點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.

【詳解】因?yàn)橹本€小方=|與圓x?+y2=i有兩個(gè)公共點(diǎn)，

所以有71'，</，即CTP'AI，因?yàn)辄c(diǎn)（上。）與W+y2=l的圓心的距離為主，

\ja+b

圓/+丁=4的半徑為1,所以點(diǎn)P在圓外.故選：A.

3.（2021.遼寧.沈陽市第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知三點(diǎn)A（3,2）,8（5,-3）,C（—1,3）,以尸（2,-1）

為圓心作一個(gè)圓，使得A,B,C三點(diǎn)中的一個(gè)點(diǎn)在圓內(nèi)，一個(gè)點(diǎn)在圓上，一個(gè)點(diǎn)在圓外,

則這個(gè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

【答案】（x-2）2+（y+l）2=13

【分析】計(jì)算PAP8,PC,根據(jù)大小確定半徑，即可求出圓的方程.

【詳解】「始=屈，PB=V13,PC=5,

:.PA<PB<PC,

故所求圓以尸8為半徑，方程為2）2+（y+1）2=13.

故答案為：（x-2）2+（y+l）2=13

【題型五】弦長與弦心距

【典例分析】

（2021?江蘇?濱?？h八灘中學(xué)高二期中）已知圓C：（x-3j+（y-2）2=16,直線/：y=x+t

與圓C交于A,B兩點(diǎn)，且.ABC的面積為8,則直線/的方程為（）

A.y=x-3^y=x-5B.y=x+3或y=x+5

C.y=x+3或y=x-5D.y=x-3或y=x+5

【答案】c

【分析】由三角形面積定理求出等腰三角形頂角，進(jìn)而求出其高，再用點(diǎn)到直線距離得解.

【詳解】由圓C的方程可得圓心C的坐標(biāo)為（3,2）,半徑為4.???ABC的面積為

—x4x4sinZACB=8,

2

ZACB=90°,：.CBLCA,.?.點(diǎn)C至U直線AB的距離為2夜.

由點(diǎn)到直線的距離公式可得點(diǎn)C到直線的距離為IM=2&,

，f=3或f=-5,；./的方.程為y=X+3或y=x-5.

故選：C.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

弦長問題：用勾股，即圓的半徑為「，弦心距為4弦長為/,則根據(jù)勾股得住下=/一/

【變式訓(xùn)練】

1.（2021?江蘇?高二期中）己知的「QWV三個(gè)頂點(diǎn)為。（0,0）,“（6,0）,N（8,4）,過點(diǎn)（3,5）

作其外接圓的弦，若最長弦與最短弦分別為AC,BD,則四邊形ABC。的面積為（）

A.1（）76B.2。瓜C.30瓜D.4076

【答案】B

【分析】由己知。，M,N三點(diǎn)的坐標(biāo)可得OMN外接圓的方程，根據(jù)題意可知，過（3,

5）的最長弦為直徑，最短弦為過（3,5）且垂直于該直徑的弦，利用對角線垂直的四邊形

的面積等于對角線乘積的一半即可求得面積.

【詳解】設(shè)OMN的外接圓的方程為（x-a）2+（y-b）2=凡

由O（0,0）,M（6,0）,N（8,4）,得

a2+b2=r2卜=3

-（6-?）2+fe2=r2,解得?=4.

（8-a『+（4-6/=r［r=5

.?.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-3）2+（y-4）2=52,

點(diǎn)（3,5）在圓內(nèi)部，

由題意得最長的弦|AC1=2X5=10,

點(diǎn)（3,5）到圓心（3,4）的距離為1.

根據(jù)勾股定理得最短的弦|5。|=2行二［=4幾，且ACLBD,

四邊形ABCD的面積S=g|Aq?|8D|=gx1Ox4#=20限.

故選:B.

2.（2022?四川成都?高二開學(xué)考試（文））直線/與圓（x-2）2+V=4相交于A,B兩點(diǎn)，則弦

長|4叫=26且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線/共有（）.

A.1條B.2條C.3條D.4條

【答案】D

【玄析】先利用題意得到圓心到直線/的距離，然后分直線過原點(diǎn)和不過原點(diǎn)進(jìn)行假設(shè)直線

方程，結(jié)合弦長即可得到答案；

【詳解】解：由（x-2）2+f=4可得圓心為（2,0）,半徑為2,

所以圓心到直線I的距離為d=在一向2=1，

當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線/的方程為由+上=1即彳+>-?=0,

aa

所以圓心到直線/的距離為d=上雪=1,解得”=2土血，

Vl2+12

此時(shí)直線/為x+）-2+0=O或x+y-2-&=0；

當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線/的方程為即丘-y=0,

\2k\A

所以圓心到直線/的距離為d=歷"斤=1，解得％=±與，

此時(shí)直線/為y=曰犬或丫=-第X；

綜上所述，直線/共有4條，

故選：D.

3.（2022?江西南昌?模擬預(yù)測（文））若直線x=20y-3&與圓/+V=4相交于A8兩點(diǎn)，

。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則。4—AB=（）

A.2A/2B.4C.-2>/2D.—4

【答案】D

【分析】先求出圓心到直線的距離，再利用弦心距，半徑和弦的關(guān)系可求出|AB|，然后利用

向量的數(shù)量積的定義及幾何意義可求得結(jié)果.

［詳解】由題意得圓%2+/=4的圓心。（0,0）到直線%=2忘），-3忘的距離為

13夜|=亞,所以網(wǎng)=^4-（&尸=0,所以|AB|=2夜，

在+（2回22

所以O(shè)4A8—O⑷A@cos（乃-NOAB）=TOMA@COSNOAB二口@=4故選：口

【題型六】到直線距離為定值的圓上點(diǎn)個(gè)數(shù)

【典例分析】

(2021.天津市西青區(qū)楊柳青第一中學(xué)高二期中)已知圓C:(x-1)2+(y-2)2=9上存在四個(gè)

點(diǎn)到直線/：x-y+O=O的距離等于2,則實(shí)數(shù)8范圍是()

A.(-oo,l-5>/2)u(l+5^,+oo)B.(1-5N/2,1+55/2)

C.(f1-應(yīng))=0+"+8)D.(1-72,1+72)

【答案】D

【分析】根據(jù)題意可知，圓心到直線的距離小于1,即求.

【詳解】由C:(x-iy+(y—2)2=9知圓心<：(1,2),半徑為3,

若圓C:(x-1)2+(y-2)2=9上存在四個(gè)點(diǎn)到直線/：x-y+人=0的距離等于2,

.匕2+.々

則點(diǎn)C到直線/：x-y+b=o的距離d<l,...1-夜<6<1+應(yīng).故選:D.

【變式訓(xùn)練】

1.(2020?全國?高二課時(shí)練習(xí))己知圓(x-2)2+(y+l/=12上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線/:丘+y=0

距離等于G，則直線/的斜率為()

A.2±B.—2+瓜C.yfb±2D.—>/6±2

【答案】A

【分析】由于圓(x-2y+(y+l)2=i2上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線/:Ax+y=0距離等于6,而圓的

半徑為2石，所以只要圓心到直線/的距離等于半徑的一半即可，然后利用點(diǎn)到直線的距離

公式列方程可求出直線的斜率.

|21|

【詳解】解：由題意，圓心到直線/的距離等于半徑的一半,所以，解得k=2±瓜，

42+1

故選：A.

2.(2016?湖北黃石?高二階段練習(xí))能夠使得圓V+y2-2x+4y+l=0上恰好有兩個(gè)點(diǎn)到直線

2x+y+c=0的距離等于1的一個(gè)c值為

A.2B.石C.3D.3石

【答案】C

【分析】根據(jù)當(dāng)例到直線/：2v+y+c=0的距離4G(1,3)時(shí)，0M上恰有兩個(gè)點(diǎn)到直線/

的距離等于1求解.

【詳解】解：圓的方程可化為：(x-iy+(y+2)2=4,

所以圓心A/(1,-2),半徑，=2,

由題意知：當(dāng)M到直線/：2r+y+c=0的距離de(1,3)時(shí)，OM上恰有兩個(gè)點(diǎn)到直線/的

距離等于1,

d喝€(1.3),得ce(-3技-@5石,3回而非<3<3非,所以滿足題意的c可以是

3故選：C

3.(2021?山東?日照青山學(xué)校高二期末)定義：如果在一圓上恰有四個(gè)點(diǎn)到一直線的距離等

于1,那么這條直線叫做這個(gè)圓的“相關(guān)直線”.則下列直線是圓C:(x+iy+(y-2)2=4的“相

關(guān)直線”的為()

A.y=lB.3x-4^+12=0

C.2x+y=0D.12x—5y—17=0

【答案】BC

【分析】分析可知，圓心C到“相關(guān)直線”的距離d滿足4<1,然后計(jì)算出圓心到每個(gè)選項(xiàng)

中宜線的距離，即可得出合適的選項(xiàng).

【詳解】由題意可知，圓C的圓心為c（-1,2）,半徑為r=2.

設(shè)圓心C至獷相關(guān)直線”的距離為d,由圖可知1+1<2,可得“<1.

|3x(-l)-4x2+12|_1

對于A選項(xiàng),〃=|1一2|=1,不合乎題意；對于B選項(xiàng)，d=合乎

F+E5，

題意;

-12-5x2-17.

對于C選項(xiàng),d=O,合乎題意；對于D選項(xiàng)，d=-/、2=3,不合乎題意.故選:

BC.

【題型七】弦長與弦心距：弦心角

【典例分析】

（2022?江蘇?高二課時(shí)練習(xí)）若直線y=%x+l與圓/+丁=1相交于A,B兩點(diǎn)，且

4408=60（其中。為原點(diǎn)），則％的值為（）

A.一也或如B.f

C.-上或0D.72

33

【答案】A

【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.

由NAOB=60可知，圓心（0,0）到直線y=%x+l的距離為走，根據(jù)點(diǎn)到直線的距

【詳解】

1

離公式可得故選:

yli2+k22

【變式訓(xùn)練】

3

1.（2023?全國?高二專題練習(xí)）已知直線…+沖+1=。與圓下相交于不同的

兩點(diǎn)A,B,若NAOB為銳角,則機(jī)的取值范圍為（）

A.B.

33）

巫坦）

C.,+8D.亍，可

【答案】A

【分析】以N40B為直角時(shí)為臨界，此時(shí)圓心。到直線/的距離d==半，根據(jù)

VI+w22V2

題意可得f<d<@,代入求解.

2A/22

【詳解】因?yàn)橹本€/：X+陽+1=0經(jīng)過定點(diǎn)（—1,0）,圓。f+y2=T的半徑為立，

當(dāng)NAO5為直角時(shí)，此時(shí)圓心。到直線/的距離4=了三=系，解得加上半，

則當(dāng)ZAOB為銳角時(shí)，網(wǎng)<半.

又直線與圓相交于A,B兩點(diǎn),則4="^〈堂，即同>走，

y/1+m22113

所以一巫<〃i〈一立或且〈加〈巫，故選：A.

3333

【題型八】圓過定點(diǎn)

【典例分析】

（2022.江蘇.高二課時(shí)練習(xí)）點(diǎn)P（x,y）是直線2x+y-5=0上任意一點(diǎn)，。是坐標(biāo)原點(diǎn)，則

以0P為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn)（）

A.（0,0）和（1,1）B.（0,0）和（2,2）C.（0,0）和（1,2）D.（0,0）和（2,1）

【答案】D

【分析】設(shè)點(diǎn)尸（r,5-2r）,求出以O(shè)P為直徑的圓的方程，并將圓的方程變形，可求得定點(diǎn)

坐標(biāo).

【詳解】設(shè)點(diǎn)尸（r,5-2f）,則線段OP的中點(diǎn)為一｝

M+(5-2f)2_V5r-20z+25

圓M的半彳仝為=

―T~

所以，以O(shè)P為直徑為圓的方程為［x—；J+（y—三J=5/一:/+25

即X2+y2-/X+(2r-5)y=0,即(x?+y2-5y)+r(2y-x)=0,

2y-x=0、=°或,x=2

由,解得

—十丁-5y=0y=0y=i

因此，以O(shè)P為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn)坐標(biāo)為（0,0）、（2,1）.

故選：D.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

f(x,y)=0

類比含參直線過定點(diǎn)。形如f（x,y）+4g（x,y）=0,則圓恒過<

g(x,y)=0交點(diǎn)

【變式訓(xùn)練】

1.

(2022?河北滄州?高二期末)己知點(diǎn)A為直線2x+y-10=0上任意一點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn).則

以。4為直徑的圓除過定點(diǎn)(0,0)外還過定點(diǎn)()

A.(10,0)B.(0,10)C.(2,4)D.(4,2)

【答案】D

【分析】設(shè)。3垂直于直線2x+y-10=0,可知圓恒過垂足8：兩條直線方程聯(lián)立可求得5

點(diǎn)坐標(biāo).

【詳解】設(shè)。8垂直于直線2x+y-10=0,垂足為B,則直線08方程為：y=gx,

由圓的性質(zhì)可知：以04為直徑的圓恒過點(diǎn)8,

2x+y-10=0

工=4

由41,=2，?.?以04為直徑的圓恒過定點(diǎn)(4,2).

y=-x

I2

故選：D.

2.(2022.寧夏.銀川一中高二期末)如果直線2以一與+14=0(a>0力>0)和函數(shù)

/(九)=機(jī)㈤+1(m>0,mw1)的圖象恒過同一個(gè)定點(diǎn)，且該定點(diǎn)始終落在圓

(x-a+l)2+(y+/?-2)2=25的內(nèi)部或圓上，那么2的取值范圍是()

a

【答案】C

【分析】由已知可得a+6=7,(a>0,6>0).再由由點(diǎn)(—1,2)在圓(、-。+1)2+G+匕-2)2=25

內(nèi)部或圓上可得/+b2<25(?>0,&>0).由此可解得點(diǎn)(。力)在以4(3,4)和8(4,3)為端點(diǎn)

的線段上運(yùn)動.由，表示以A(3,4)和8(4,3)為端點(diǎn)的線段上的點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)連線的斜率可

得選項(xiàng).

【詳解】函數(shù)/(x)="W+l恒過定點(diǎn)(-1,2).將點(diǎn)(-1,2)代入直線2or-分+14=0可得

一2“一2人+14=0,即a+6=7,（a>0,6>0）.

由點(diǎn)（―1,2）在圓（x-a+l）2+（y+6—2）2=25內(nèi)部或圓上可得（一1-〃+1）2+（2+0-2）2425,

/、[a+b=l[a=3f?=4,、zx

即〃+從425（。>0力>0）..2+62=25=i或b=3.所以點(diǎn)（.㈤在以、。，4）和

B（4,3）為端點(diǎn)的線段上運(yùn)動.

，表示以4(3,4)和8(4,3)為端點(diǎn)的線段上的點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)連線的斜率.所以

磔,4)

、石a,3)

bI4—043Z?4

4-04’1/k三所叼寧#選《

3.(2022?全國?高二)若動圓C過定點(diǎn)A(4,0),且在y軸上截得的弦MN的長為8,則動圓圓心

C的軌跡方程是()

A.--^-=1B.—-21=i(y>2)C./=8xD.y2=8x(x40)

412412V7'

【答案】C

【分析】設(shè)c(x,y)并作CE_Ly軸于E，中垂徑定理得|M?=4，又|CA『=|CM「=|ME「+但?！?，

利用兩點(diǎn)間的距離公式化簡，即可得結(jié)果.

【詳解】設(shè)圓心C的坐標(biāo)為(％y)，過C作CE_Ly軸，垂足為E，則|加=4,

.-.|C4|2=|CM|2=|ME|2+|￡C|2,

.'.(x-4)2+y2=42+x2,得y2=8x.

故選：C.

【題型九】兩圓位置關(guān)系

【典例分析】

(2021?浙江?蘭溪市厚仁中學(xué)高二期中)己知圓C1：x2+y2=16和圓C2：

(x-3)2+(y-4)2=r2(r>0),則()

A./*=2時(shí)，兩圓相交B.廠=1時(shí)，兩圓內(nèi)切

C./'=9時(shí)，兩圓外切D.r=10時(shí)，兩圓內(nèi)含

【答案】AD

【分析】根據(jù)題意得兩圓圓心距為|GG|=5,圓G半徑R=4,再依次討論求解即可得答案.

【詳解】解：由題知圓x?+y2=16的圓心為(0,0),半徑R=4；

圓C2：(x-3)2+(>-4)2=》(「>0)的圓心為(3,4),半徑「,

所以兩圓圓心距為IGG|=5,

故對于A選項(xiàng)，當(dāng)r=2,2=/?-r<|C,C2|=5<7?+r=6,故兩圓相交，正確；

對于B選項(xiàng)，當(dāng)r=l,|GG|=5=R+〃，故兩圓外切，錯(cuò)誤；

對于C選項(xiàng)，當(dāng)r=9,r-R=|GG|=5,故兩圓內(nèi)切，錯(cuò)誤；

對于D選項(xiàng)，當(dāng)r=10,r-/?>|C,C2|,故兩圓內(nèi)含，正確.

故選：AD

【提分秘籍】

基本規(guī)律

圓與圓位置關(guān)系的判定

(1)幾何法：若兩圓的半徑分別為4,兩圓連心線的長為d,則兩圓的位置關(guān)系的判

斷方法如下：

位

置

關(guān)外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含

系

圖

示*(o

d與

弓，

1C,c\>r+r=r+r|CG|>|4-弓1

r22x2ICG\i2

的

關(guān)

系

(2)代數(shù)法：通過兩圓方程組成方程組的公共解的個(gè)數(shù)進(jìn)行判斷.

圓G方程］

圓C?方程j消元，一元二次方程

△＞0n相交一

-A=On內(nèi)切或外切

△＜0=＞外離或內(nèi)含

【變式訓(xùn)練】

1.(2020?湖南省邵東市第一中學(xué)高二期末)已知圓。/:。一4)2+。一切2=4,02：。一。一

+(y—h—2)2—\(a,R),則兩圓的位置關(guān)系是()

A.內(nèi)含B.內(nèi)切C.相交D.外切

【答案】C

【詳解】兩圓圓心之間的距離為|。/。2尸后，由1＜行＜2+1=3,所以兩圓相交，答案

C

2.(2022?全國?高二專題練習(xí))分別求當(dāng)實(shí)數(shù)k為何值時(shí)，兩圓C/：f+y2+4x—6y+12=0,

C：x2+V一統(tǒng)一14了+左=0相交和相切.

【2答案】答案見解布

【分析】根據(jù)兩圓的位置關(guān)系，可得圓心距和半徑之間的關(guān)系，由兩圓半徑分別為1和

同二I,以及圓心距|C/C2|=5,進(jìn)行比較即可得解.

【詳解】將兩圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，

Cl：(x+2)2+(y—3)2=1,

C2：(X-1)2+。-7)2=50—鼠

圓。的圓心為。(一2,3),半徑長〃=1；

圓C2的圓心為C2(l,7),半徑長，-2=J50-Aa<50),

從而|GC2|=J(-2_1尸+(3-7)2=5,

當(dāng)1+J50-4=5,即左=34時(shí)，兩圓外切.

當(dāng)IJ50-Z—1|=5,即J50-&=6,

即％=14時(shí)，兩圓內(nèi)切.

當(dāng)W50-Z-1|<5<1+y/50-k.

即14〈氏<34時(shí)，兩圓相交，

...當(dāng)《=14或％=34時(shí)，兩圓相切，當(dāng)14Vz<34時(shí)，兩圓相交.

【題型十】兩圓公共弦

【典例分析】

(2022?全國?高二課時(shí)練習(xí))已知圓G：/+>2-履-2>=0和圓C2：x?+y2-2妙-2=0相交，貝I」

圓C1和圓J的公共弦所在的直線恒過的定點(diǎn)為()

A.(2,2)B.(2,1)C.(1,2)D.(1,1)

[答案]B

【分析】根據(jù)題意，聯(lián)立兩個(gè)圓的方程可得兩圓公共弦所在的直線方程，由此分析可得答案.

【詳解】根據(jù)題意，圓G：/+產(chǎn)一日-2y=。和圓a：/+)3一2@-2=0相交，

fx24-y2-Ax-2y=0