概率論與數(shù)理統(tǒng)計(經(jīng)管類) 第四版第五章課后習題答案手動截圖版概率論與數(shù)理統(tǒng)計(第四版)習題答案全

概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題解答第一章隨機事件及其概率PAGEPAGE32為避免亂碼，手動截圖。（不得不說學習空間打開一道題的答案就要打開一個網(wǎng)頁的設(shè)置太麻煩了）概率論與數(shù)理統(tǒng)計習（第四版）題解答第一章隨機事件及其概率·樣本空間·事件的關(guān)系及運算一、任意拋擲一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù)。設(shè)事件表示“出現(xiàn)偶數(shù)點”，事件表示“出現(xiàn)的點數(shù)能被3整除”．（1）寫出試驗的樣本點及樣本空間；

（2）把事件及分別表示為樣本點的集合；

（3）事件分別表示什么事件？并把它們表示為樣本點的集合．解：設(shè)表示“出現(xiàn)點”，則（1）樣本點為；樣本空間為（2）；（3），表示“出現(xiàn)奇數(shù)點”；，表示“出現(xiàn)的點數(shù)不能被3整除”；，表示“出現(xiàn)的點數(shù)能被2或3整除”；，表示“出現(xiàn)的點數(shù)能被2整除且能被3整除”；，表示“出現(xiàn)的點數(shù)既不能被2整除也不能被3整除”二、寫出下列隨機試驗的樣本空間及各個事件中的樣本點：

（1）同時擲三枚骰子，記錄三枚骰子的點數(shù)之和．—“點數(shù)之和大于10”，—“點數(shù)之和小于15”．

（2）一盒中有5只外形相同的電子元件，分別標有號碼1，2，3，4，5．從中任取3只，—“最小號碼為1”．

解：(1)設(shè)表示“點數(shù)之和等于”，則；；

(2)設(shè)表示“出現(xiàn)號碼為”，則三、設(shè)為三個事件，用事件之間的運算表示下列事件：

(1)發(fā)生,與都不發(fā)生；

(2)都發(fā)生；

(3)中至少有兩個發(fā)生；

(4)中至多有兩個發(fā)生．解：(1)；(2)；(3)或(4)或或四、一個工人生產(chǎn)了n個零件，以表示他生產(chǎn)的第個零件是合格品（）．用表示下列事件：

（1）沒有一個零件是不合格品；

（2）至少有一個零件是不合格品；

（3）僅有一個零件是不合格品；

（4）至少有一個零件不是不合格品．解：(1)；(2)或；(3)(4)或第二章概率的古典定義·概率加法定理一、電話號碼由七個數(shù)字組成，每個數(shù)字可以是0，1，2，…，9中的任一個數(shù)（但第一個數(shù)字不能為0），求電話號碼是由完全不同的數(shù)字組成的概率．解：基本事件總數(shù)為有利事件總數(shù)為

設(shè)表示“電話號碼是由完全不同的數(shù)字組成”，則二、把十本書任意地放在書架上，求其中指定的三本書放在一起的概率．解：基本事件總數(shù)為

指定的三本書按某確定順序排在書架上的所有可能為種；這三本書按確定的順序放在書架上的所以可能的位置共種；這三本書的排列順序數(shù)為；故有利事件總數(shù)為(亦可理解為設(shè)表示“指定的三本書放在一起”，則三、為了減少比賽場次，把二十個隊任意分成兩組（每組十隊）進行比賽，求最強的兩個隊被分在不同組內(nèi)的概率．

解：20個隊任意分成兩組（每組10隊）的所以排法，構(gòu)成基本事件總數(shù)；兩個最強的隊不被分在一組的所有排法，構(gòu)成有利事件總數(shù)

設(shè)表示“最強的兩隊被分在不同組”，則四、某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品共有100個，其中有5個次品．從這批產(chǎn)品中任取一半來檢查，求發(fā)現(xiàn)次品不多于1個的概率．

解：設(shè)表示“出現(xiàn)的次品為件”，表示“取出的產(chǎn)品中次品不多于1個”，則因為，所以而

故五、一批產(chǎn)品共有200件,其中有6件廢品．求(1)任取3件產(chǎn)品恰有1件是廢品的概率;(2)任取3件產(chǎn)品沒有廢品的概率;(3)任取3件產(chǎn)品中廢品不少于2件的概率．

解：設(shè)表示“取出的3件產(chǎn)品中恰有1件廢品”；表示“取出的3件產(chǎn)品中沒有廢品”；表示“取出的3件產(chǎn)品中廢品不少于2件”，則(1)(2)(3)

六、設(shè)．求A,B,C至少有一事件發(fā)生的概率．解：因為，所以，從而可推出設(shè)表示“A,B,C至少有一事件發(fā)生”，則，于是有第三章條件概率與概率乘法定理·全概率公式與貝葉斯公式一、設(shè)求．解：因為，所以，即二、某人忘記了電話號碼的最后一個數(shù)字，因而他隨意地撥號，求他撥號不超過兩次而接通所需電話的概率．若已知最后一個數(shù)字是奇數(shù)，那么此概率是多少？解：設(shè)表示“第一次撥通”，表示“第二次撥通”，表示“撥號不超過兩次而撥通”（1）（2）

三、兩臺車床加工同樣的零件，第一臺出現(xiàn)廢品的概率是0.03，第二臺出現(xiàn)廢品的概率是0.02．加工出來的零件放在一起，并且已知第一臺加工的零件比第二臺加工的零件多一倍．

（1）求任意取出的零件是合格品的概率；

（2）如果任意取出的零件是廢品，求它是第二臺車床加工的概率．解：設(shè)表示“第臺機床加工的零件”；表示“出現(xiàn)廢品”；表示“出現(xiàn)合格品”

（1）

（2）四、獵人在距離100米處射擊一動物，擊中的概率為0.6；如果第一次未擊中，則進行第二次射擊，但由于動物逃跑而使距離變?yōu)?50米；如果第二次又未擊中，則進行第三次射擊，這時距離變?yōu)?00米．假定擊中的概率與距離成反比，求獵人三次之內(nèi)擊中動物的概率．解：設(shè)表示“第次擊中”，則由題設(shè)，有，得，從而有

，

設(shè)表示“三次之內(nèi)擊中”，則，故有

（另解）設(shè)表示“獵人三次均未擊中”，則故所求為五、盒中放有12個乒乓球，其中有9個是新的．第一次比賽時從其中任取3個來用，比賽后仍放回盒中．第二次比賽時再從盒中任取3個，求第二次取出的都是新球的概率．解：設(shè)表示“第一次取得個新球”，則

設(shè)表示“第二次取出的都是新球”，則第四章隨機事件的獨立性·獨立試驗序列一、一個工人看管三臺車床，在一小時內(nèi)車床不需要工人照管的概率：第一臺等于0.9，第二臺等于0.8，第三臺等于0.7．求在一小時內(nèi)三臺車床中最多有一臺需要工人照管的概率．解：設(shè)表示“第臺機床不需要照管”，則再設(shè)表示“在一小時內(nèi)三臺車床中最多有一臺需要工人照管”，則于是有

．（另解）設(shè)表示“有臺機床需要照管”，表示“在一小時內(nèi)三臺車床中最多有一臺需要工人照管”，則且、互斥，另外有故．二、電路由電池與兩個并聯(lián)的電池及串聯(lián)而成．設(shè)電池損壞的概率分別是0.3、0.2、0.2，求電路發(fā)生間斷的概率．解：設(shè)表示“損壞”；表示“損壞”；表示“損壞”；則又設(shè)表示“電路發(fā)生間斷”，則于是有

．三、三個人獨立地去破譯一個密碼，他們能譯出的概率分別為、、，求能將此密碼譯出的概率．解：設(shè)表示“甲能譯出”；表示“乙能譯出”；表示“丙能譯出”，則設(shè)表示“此密碼能被譯出”，則，從而有

．（另解），從而有

四、甲、乙、丙三人同時對飛機進行射擊，三人的命中概率分別為．飛機被一人擊中而被擊落的概率為，被兩人擊中而被擊落的概率為，若三人都擊中，則飛機必被擊落．求飛機被擊落的概率．解：設(shè)表示“甲命中”；表示“乙命中”；表示“丙命中”；則設(shè)表示“人擊中飛機”，則

設(shè)表示“飛機被擊落”，則由題設(shè)有故有．五、某機構(gòu)有一個9人組成的顧問小組，若每個顧問貢獻正確意見的概率都是0.7，現(xiàn)在該機構(gòu)內(nèi)就某事可行與否個別征求每個顧問的意見，并按多數(shù)人意見作出決策，求作出正確決策的概率．解：設(shè)表示“第人貢獻正確意見”，則．又設(shè)為作出正確意見的人數(shù)，表示“作出正確決策”，則

．六、每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p，為了使事件A在獨立試驗序列中至少發(fā)生一次的概率不小于p，問至少需要進行多少次試驗？解：設(shè)做次試驗，則要，即要，從而有答：至少需要進行一次試驗．第五章離散隨機變量的概率分布·超幾何分布·二項分布·泊松分布一批零件中有9個合格品與3個廢品．安裝機器時從這批零件中任取1個．如果每次取出的廢品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的廢品數(shù)的概率分布．解：設(shè)表示“在取得合格品以前已取出的廢品數(shù)”，則的概率分布為0123即0123亦即0123自動生產(chǎn)線在調(diào)整以后出現(xiàn)廢品的概率為．生產(chǎn)過程中出現(xiàn)廢品時立即進行調(diào)整．求在兩次調(diào)整之間生產(chǎn)的合格品數(shù)的概率分布．解：設(shè)表示“在兩次調(diào)整之間生產(chǎn)的合格品數(shù)”，且設(shè)，則的概率分布為012……已知一批產(chǎn)品共20個，其中有４個次品．（１）不放回抽樣．抽?。秱€產(chǎn)品，求樣品中次品數(shù)的概率分布；（２）放回抽樣．抽?。秱€產(chǎn)品，求樣品中次品數(shù)的概率分布．解：（1）設(shè)表示“取出的樣本中的次品數(shù)”，則服從超幾何分布，即的概率函數(shù)為從而的概率分布為01234即01234（2）設(shè)表示“取出的樣本中的次品數(shù)”，則服從超幾何分布，即的概率函數(shù)為從而的概率分布為0123456即0123456電話總機為300個電話用戶服務(wù)．在一小時內(nèi)每一電話用戶使用電話的概率等于0.01，求在一小時內(nèi)有4個用戶使用電話的概率（先用二項分布計算，再用泊松分布近似計算，并求相對誤差）．解：（1）用二項分布計算（2）用泊松分布計算相對誤差為設(shè)事件A在每一次試驗中發(fā)生的概率為0.3，當A發(fā)生次數(shù)不少于3次時，指示燈發(fā)出信號．現(xiàn)進行了5次獨立試驗，求指示燈發(fā)出信號的概率．解：設(shè)表示“事件發(fā)生的次數(shù)”，則，，于是有（另解）

設(shè)隨機變量的概率分布為；

其中λ>0為常數(shù)，試確定常數(shù)．解：因為，即，亦即，所以第六章隨機變量的分布函數(shù)·連續(xù)隨機變量的概率密度函數(shù)可否是連續(xù)隨機變量的分布函數(shù)？為什么？如果的可能值充滿區(qū)間：（1）（）；（2）（）．解：（1）設(shè)，則因為，，所以不能是的分布函數(shù)．（2）設(shè)，則且，因為，所以在（）上單增．綜上述，故可作為的分布函數(shù)．二、函數(shù)可否是連續(xù)隨機變量的概率密度？為什么？如果的可能值充滿區(qū)間：（1）；（2）；（3）．解：（1）因為，所以；又因為，所以當時，函數(shù)可作為某隨機變量的概率密度．（2）因為，所以；但，所以當時，函數(shù)不可能是某隨機變量的概率密度．（3）因為，所以不是非負函數(shù)，從而它不可能是隨機變量的概率密度．一批零件中有9個合格品與3個廢品．安裝機器時從這批零件中任取1個．如果每次取出的廢品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的廢品數(shù)的分布函數(shù)，并作出分布函數(shù)的圖形．解：設(shè)表示“取出的廢品數(shù)”，則的分布律為0123yy于是，的分布函數(shù)為ox其圖形見右：ox四、（柯西分布）設(shè)連續(xù)隨機變量的分布函數(shù)為．求：（1）系數(shù)A及B；（2）隨機變量落在區(qū)間內(nèi)的概率；(3)的概率密度．解：(1)由，，解得即．(2)(3)的概率密度為．五、（拉普拉斯分布）設(shè)隨機變量的概率密度為．

求：（1）系數(shù)；（2）隨機變量落在區(qū)間內(nèi)的概率；（3）隨機變量的分布函數(shù)．解：(1)由，得，解得，即有(2)(3)隨機變量的分布函數(shù)為．第七章均勻分布·指數(shù)分布·隨機變量函數(shù)的概率分布

一、公共汽車站每隔5分鐘有一輛汽車通過．乘客到達汽車站的任一時刻是等可能的．求乘客候車時間不超過3分鐘的概率．解：設(shè)隨機變量表示“乘客的候車時間”，則服從上的均勻分布，其密度函數(shù)為于是有二、已知某種電子元件的使用壽命(單位:h)服從指數(shù)分布，概率密度為任?。硞€這種電子元件，求至少有１個能使用1000h以上的概率．解：設(shè)表示“至少有１個電子元件能使用1000h以上”；分別表示“元件甲、乙、丙能使用1000h以上”．則（另解）設(shè)表示“至少有１個電子元件能使用1000h以上”．則從而有，進一步有三、(1)設(shè)隨機變量服從指數(shù)分布．證明：對于任意非負實數(shù)及，有這個性質(zhì)叫做指數(shù)分布的無記憶性．(2)設(shè)電視機的使用年數(shù)服從指數(shù)分布．某人買了一臺舊電視機，求還能使用５年以上的概率．解：（１）因為，所以，有，其中為的分布函數(shù)．設(shè)，．因為及都是非負實數(shù)，所以，從而．根據(jù)條件概率公式，我們有．另一方面，我們有．綜上所述，故有．（２）由題設(shè)，知的概率密度為設(shè)某人購買的這臺舊電視機已經(jīng)使用了年，則根據(jù)上述證明的（１）的結(jié)論，該電視機還能使用5年以上的概率為．答：該電視機還能使用5年以上的概率約為．設(shè)隨機變量服從二項分布，求下列隨機變量函數(shù)的概率分布：（1）；（2）．解：的分布律為0123（1）的分布律為1（2）的分布律為0110即01五、設(shè)隨機變量的概率密度為求隨機變量函數(shù)的概率密度．解：因為

所以隨機變量函數(shù)的概率密度為，即．第八章二維隨機變量的聯(lián)合分布與邊緣分布一、把一顆均勻的骰子隨機地擲兩次．設(shè)隨機變量表示第一次出現(xiàn)的點數(shù)，隨機變量表示兩次出現(xiàn)點數(shù)的最大值，求二維隨機變量的聯(lián)合概率分布及的邊緣概率分布．解：二維隨機變量的聯(lián)合概率分布為的邊緣概率分布為二、設(shè)二維隨機變量（，）的聯(lián)合分布函數(shù)．求：（1）系數(shù)A、B及C；（2）（，）的聯(lián)合概率密度：（3）邊緣分布函數(shù)及邊緣概率密度．

解：（1）由，得解得，

（2）因為，所以（，）的聯(lián)合概率密度為（3）及的邊緣分布函數(shù)分別為及的邊緣概率密度分別為三、設(shè)的聯(lián)合概率密度為求：（1）系數(shù)；（2）的聯(lián)合分布函數(shù)；（3）及的邊緣概率密度；（4）落在區(qū)域R：內(nèi)的概率．解：（1）由，有，解得（2）的聯(lián)合分布函數(shù)為

（3）及的邊緣概率密度分別為（4）

四、設(shè)二維隨機變量在拋物線與直線所圍成的區(qū)域上服從均勻分布．求：(1)的聯(lián)合概率密度；(2)概率．解：(1)設(shè)的聯(lián)合概率密度為則由解得．故有(2)．第九章隨機變量的獨立性·二維隨機變量函數(shù)的分布設(shè)與是兩個相互獨立的隨機變量，在上服從均勻分布，的概率密度為求(1)的聯(lián)合概率密度;(2)概率．

解:(1)的概率密度為，的聯(lián)合概率密度為（注意相互獨立）（2）設(shè)隨機變量與獨立，并且都服從二項分布：證明它們的和也服從二項分布．

證明:設(shè),則由,有.于是有由此知也服從二項分布.

三、設(shè)隨機變量與獨立，并且在區(qū)間[0，1]內(nèi)服從均勻分布，在區(qū)間[0，2]內(nèi)服從辛普森分布：求隨機變量的概率密度．

解:的概率密度為.于是的聯(lián)合概率密度為的聯(lián)合分布函數(shù)為，其中是與的定義域的公共部分.

故有從而隨機變量的概率密度為電子儀器由六個相互獨立的部件（）組成，聯(lián)接方式如右圖所示．設(shè)各個部件的使用壽命服從相同的指數(shù)分布，求儀器使用壽命的概率密度．解:由題設(shè)，知的分布函數(shù)為先求各個并聯(lián)組的使用壽命的分布函數(shù).因為當并聯(lián)的兩個部件都損壞時,第個并聯(lián)組才停止工作,所以有從而有的分布函數(shù)為設(shè)"儀器使用壽命".因為當三個并聯(lián)組中任一個損壞時,儀器停止工作.所以有.從而有的分布函數(shù)為故的概率密度為第十章隨機變量的數(shù)學期望與方差一批零件中有9個合格品與3個廢品．安裝機器時從這批零件中任取一個．如果取出的廢品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的廢品數(shù)的數(shù)學期望、方差與標準差．解：設(shè)表示“在取得合格品以前已取出的廢品數(shù)”，則的概率分布為0123即0123于是有即的分布為0149即0149于是有即從而有對某一目標進行射擊，直至擊中為止．如果每次射擊命中率為p，求射擊次數(shù)的數(shù)學期望及方差．解：設(shè)表示“第次擊中”，則的分布為

123……于是有的分布為149……于是有進一步有三、設(shè)離散型隨機變量的概率函數(shù)為問的數(shù)學期望是否存在？若存在，請計算；若不存在，請解釋為什么．解：因為不絕對收斂，所以沒有數(shù)學期望．四、設(shè)隨機變量的概率密度為求數(shù)學期望及方差．解：

五、（拉普拉斯分布）設(shè)隨機變量的概率密度為．求數(shù)學期望及方差．解：（分部積分亦可）第十一章隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望·關(guān)于數(shù)學期望與方差的定理一、設(shè)隨機變量服從二項分布，求的數(shù)學期望及方差．

解：的概率分布為

0123的概率分布為

01的分布為

01于是有二、過半徑為的圓周上一點任意作這圓的弦，求所有這些弦的平均長度．解：在圓周上任取一點，并通過該點作圓得直徑．建立平面直角坐標系，以為原點，且讓在軸的正半軸上．通過任作圓的一條弦，使與軸的夾角為，則服從上的均勻分布，其概率密度為．弦的長為，故所有弦的平均長度為．三、一工廠生產(chǎn)的某種設(shè)備的壽命X（以年計）服從指數(shù)分布，概率密度為

工廠規(guī)定，出售的設(shè)備若在售出一年之內(nèi)損壞可予以調(diào)換．若工廠售出一臺設(shè)備贏利100元，調(diào)換一臺設(shè)備廠方需花費300元．試求廠方出售一臺設(shè)備的平均凈贏利．解：由題設(shè)，有進而有設(shè)表示“廠方出售一臺設(shè)備獲得的凈贏利”，則的概率分布為100從而有答：廠方出售一臺設(shè)備獲得的平均凈贏利約為元．四、設(shè)隨機變量相互獨立，并且服從同一分布，數(shù)學期望為，方差為．求這些隨機變量的算術(shù)平均值的數(shù)學期望與方差．解：因為，，且隨機變量相互獨立．所以有，．五、一民航送客車載有位旅客自機場開出，沿途有個車站可以下車，到達一個車站時如沒有旅客下車就不停車．假設(shè)每位旅客在各車站下車是等可能的，且各旅客是否下車相互獨立．求該車停車次數(shù)的數(shù)學期望．解:設(shè)表示"第站的停車次數(shù)"().則服從""分布.其中于是的概率分布為01設(shè),則表示沿途停車次數(shù),故有即停車次數(shù)的數(shù)學期望為.

第十二章二維隨機變量的數(shù)字特征·切比雪夫不等式與大數(shù)定律設(shè)二維隨機變量的聯(lián)合概率密度為

求：（1）系數(shù)A；（2）數(shù)學期望及，方差及，協(xié)方差．解:(1)由.有解得,.(2).由對稱性,知.同理,有..設(shè)二維隨機變量的聯(lián)合概率密度為求(1)；(2)與是否獨立，是否相關(guān)，為什么？解:(1)因為所以有．(2)當時,有;當時,有.即同理有因為,所以與不是獨立的．又因為,所以與是不相關(guān)的．利用切比雪夫不等式估計隨機變量與其數(shù)學期望的差的絕對值大于三倍標準差的概率．解：．四、為了確定事件A的概率，進行10000次重復獨立試驗．利用切比雪夫不等式估計：用事件A在10000次試驗中發(fā)生的頻率作為事件A的概率的近似值時，誤差小于0.01的概率．解：設(shè)表示“在10000次試驗中事件A的次數(shù)”，則且有于是有樣檢查產(chǎn)品質(zhì)量時，如果發(fā)現(xiàn)次品多于10個，則認為這批產(chǎn)品不能接受．應(yīng)該檢查多少個產(chǎn)品，可使次品率為10%的一批產(chǎn)品不被接受的概率達到0.9？解：設(shè)表示“發(fā)現(xiàn)的次品件數(shù)”，則，現(xiàn)要求要使得，即，因為，所以（德莫威爾—Laplace定理）因為，所以，從而有，故．查表有，故有，解得答：應(yīng)該檢查約146個產(chǎn)品，方可使次品率為10%的一批產(chǎn)品不被接受的概率達到0.9．第十三章正態(tài)分布的概率密度、分布函數(shù)、數(shù)學期望與方差設(shè)隨機變量服從正態(tài)分布，求（1）；（2）．解：(1)(2)已知某種機械零件的直徑（mm）服從正態(tài)分布．規(guī)定直徑在（mm）之間為合格品，求這種機械零件的不合格品率．解：設(shè)表示這種機械零件的不合格品率，則．而故．三、測量到某一目標的距離時發(fā)生的誤差(m)具有概率密度求在三次測量中至少有一次誤差的絕對值不超過m的概率．解：三次測量中每次誤差絕對值都超過30米可表為因為，所以由事件的相互獨立性，有于是有．四、設(shè)隨機變量，求隨機變量函數(shù)的概率密度（所得的概率分布稱為對數(shù)正態(tài)分布）．解：由題設(shè)，知的概率密度為從而可得隨機變量的分布函數(shù)為．當時，有；此時亦有．當時，有．此時亦有．從而可得隨機變量的概率密度為五、設(shè)隨機變量與獨立，，，求：(1)隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望與方差，其中及為常數(shù)；(2)隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望與方差．解：由題設(shè)，有；．從而有(1)；．(2)；．第十四章二維正態(tài)分布·正態(tài)隨機變量線性函數(shù)的分布中心極限定理一、設(shè)二維隨機變量服從二維正態(tài)分布，已知，，，并且，求的聯(lián)合概率密度．解：已知，，，．從而，．進一步按公式，可得的聯(lián)合概率密度為．二、設(shè)隨機變量與獨立，并且，．求隨機變量的概率密度．

解：由題設(shè)，有，，，．又根據(jù)關(guān)于數(shù)學期望的定理和方差的定理以及獨立正態(tài)隨機變量線性組合的分布，我們有．．且，故隨機變量的概率密度為．臺機床分別加工生產(chǎn)軸與軸襯．設(shè)隨機變量(mm)表示軸的直徑，隨機變量(mm)表示軸襯的內(nèi)徑，已知，，顯然與是獨立的．如果軸襯的內(nèi)徑與軸的直徑之差在(mm)之間，則軸與軸襯可以配套使用．求任取一軸與一軸襯可以配套使用的概率．解：由題設(shè)，知隨機變量與是獨立的，且，．設(shè)根據(jù)獨立正態(tài)隨機變量線性組合的分布，我們有．根據(jù)題目假設(shè)，我們知道當時，軸與軸襯可以配套使用．于是所求概率為．四、100臺車床彼此獨立地工作著，每臺車床的實際工作時間占全部工作時間的80%，求：

（1）任一時刻有70至86臺車床在工作的概率；

（2）任一時刻有不少于80臺車床在工作的概率．

解：設(shè)表示“任一時刻正在工作的車床數(shù)”，則．．．（1）（2）．五、在一家保險公司里有10000人參加保險，每人每年付12元保險費．在一年內(nèi)一個人死亡的概率為0.006，死亡時其家屬可向保險公司領(lǐng)得1000元．問：

（1）保險公司虧本的可能性是多大？

（2）保險公司一年的利潤不少于50000元的概率是多少？

解：設(shè)表示“一年內(nèi)死亡的人數(shù)”，則．．．（1）．即保險公司不可能虧本．（2）．即保險公司一年利潤不少于50000元的概率為．第十萬章總體與樣本·統(tǒng)計量·幾個常用分布一、已知樣本觀測值為

15.824.214.517.413.220.817.919.121.018.516.422.6，計算樣本均值、樣本方差與樣本二階中心矩．

解：樣本均值為

樣本方差為.樣本二階中心矩.二、設(shè)抽樣得到100個觀測值如下：觀測值123456頻算樣本均值、樣本方差與樣本二階中心矩．

解：樣本均值為樣本方差為樣本二階中心矩為

三、設(shè)總體的均值與方差分別為與，是來自該總體的簡單隨機樣本，與分別是樣本均值與樣本方差，求．解：四、設(shè)總體與相互獨立且均服從正態(tài)分布，和分別為來自與的樣本，則統(tǒng)計量服從什么分布？

解：因為，,所以.于是有推得即分布．五、設(shè)隨機變量服從自由度為的分布，證明：隨機變量服從自由度為的分布；從而證明等式．［提示：設(shè)，其中隨機變量與獨立，且，則，由此容易證明．］證明：設(shè)隨機變量與獨立且．構(gòu)造，則．同理知．因為，所以對于給定的，我們有．又因為，所以與是等價的隨機事件，從而有．于是有同理，因為，所以對上述給定的，我們有．(2)結(jié)合(1)、(2)，便有．即．第十六章正態(tài)總體統(tǒng)計量的分布一、設(shè)總體~．抽取容量為36的樣本，求樣本平均值在38與43之間的概率；抽取容量為64的樣本，求的概率；（3）抽取樣本容量n多大時，才能使概率達到0.95？

解：（1）因為，所以，從而有（2）由題設(shè)，，從而有（3）要使，即要經(jīng)查表，有，解得，即抽取樣本容量約為96時，可使二、從正態(tài)總體中抽取容量為10的樣本．（1）已知，求的概率；（2）未知，求的概率．解：（1）因為，所以有（2）因為，所以有

三、設(shè)總體，總體，從總體中抽取容量為的樣本，從總體中抽取容量為的樣本，求下列概率：（1）；；（2）．解：（１）因為，，所以由．得．（２）因為，，所以由．得．四、設(shè)總體服從“0—1”分布：．抽取樣本，求樣本均值的概率分布，數(shù)學期望E及方差D．解：，于是有其中于是有第十七章參數(shù)的點估計一、設(shè)總體服從“0—1”分布：．如果取得樣本觀測值，求參數(shù)p的矩估計值與最大似然估計值．

解：(1)似然函數(shù)為，取對數(shù)，有．令，解得，從而得的極大似然估計值為．二、設(shè)總體的概率密度為其中>0．如果取得樣本，求參數(shù)的矩估計量與最大似然估計量．解：似然函數(shù)為，取對數(shù)，有．令，求得的極大似然估計值為．三、設(shè)總體X服從分布，其概率密度為其中參數(shù)>0，>0．如果樣本觀測值為,（1）求參數(shù)及的矩估計值；（2）已知=，求參數(shù)的極大似然估計值．解：（1）因為．．所以，根據(jù)矩估計，有，．即，．亦即，．解得．（2）由（1），有，故有四、從總體X中抽取樣本，證明下列三個統(tǒng)計量都是總體均值的無偏估計量；并確定哪個估計量更有效．解：因為．．

．所以都是總體均值的無偏估計量．又因為．

．．所以，更有效．五、設(shè)總體服從指數(shù)分布，其中，抽取樣本，證明：(1)雖然樣本均值是的無偏估計量，但卻不是的無偏估計量；(2)統(tǒng)計量是的無偏估計量．解：． ．由此可見，雖然樣本均值是的無偏估計量，但卻不是的無偏估計量．第十八章正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計·兩個正態(tài)總體均值差及方差比的區(qū)間估計一、設(shè)總體，如果樣本觀測值為6.548.206.889.027.56,求總體均值的置信水平為的置信區(qū)間，假定：（1）已知=1.2；（2）未知．

解：（1）由，解得又由題設(shè)，有，，，從而由，有，即．（2）因為，所以由，即．解得．二、設(shè)電子元件的壽命服從正態(tài)分布，抽樣檢查10個元件，得到樣本均值=1500(h)，樣本標準差s=14（h），求：（1）總體均值的置信水平為的置信區(qū)間；（2）用作為的估計值，誤差絕對值不大于10(h)的概率．

解：（1）由，解得又由題設(shè)，有，，，未知，查表得故由，有．亦即．（2），即，亦即，查表得，即，故．三、設(shè)總體，已知=，要使總體均值的置信水平為的置信區(qū)間的長度不大于l，問需要抽取多大容量的樣本？

解：因為，所以有．進一步有，即．綜上述，故有．四、測得16個零件的長度（mm）如下：12.1512.1212.0112.0812.0912.1612.0312.01

12.0612.1312.0712.1112.0812