函數(shù)模型及其應用（課件）-2024屆《創(chuàng)新設計》高考數(shù)學一輪復習（湘教版）

第二章函數(shù)INNOVATIVEDESIGN第10節(jié)函數(shù)模型及其應用1.了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)增長速度的差異，理解“指數(shù)爆炸”“對數(shù)增長”“直線上升”等術語的含義.2.通過收集、閱讀一些現(xiàn)實生活、生產(chǎn)實際等數(shù)學模型，會選擇合適的函數(shù)模型刻畫現(xiàn)實問題的變化規(guī)律，了解函數(shù)模型在社會生活中的廣泛應用.考試要求知識診斷基礎夯實內容索引考點突破題型剖析分層精練鞏固提升ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知識診斷基礎夯實11.指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)模型性質比較知識梳理函數(shù)性質y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增減性單調______單調______單調______增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)圖象的變化隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與______平行隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與______平行隨n值變化而各有不同值的比較存在一個x0，當x>x0時，有l(wèi)ogax<xn<ax遞增遞增遞增y軸x軸2.幾種常見的函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)＝ax＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)與指數(shù)函數(shù)相關的模型f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)與對數(shù)函數(shù)相關的模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)與冪函數(shù)相關的模型f(x)＝axn＋b(a，b，n為常數(shù)，a≠0)[常用結論]1.“直線上升”是勻速增長，其增長量固定不變；“指數(shù)增長”先慢后快，其增長量成倍增加，常用“指數(shù)爆炸”來形容；“對數(shù)增長”先快后慢，其增長量越來越小.2.充分理解題意，并熟練掌握幾種常見函數(shù)的圖象和性質是解題的關鍵.3.易忽視實際問題中自變量的取值范圍，需合理確定函數(shù)的定義域，必須驗證數(shù)學結果對實際問題的合理性.1.思考辨析(在括號內打“√”或“×”)×診斷自測××√∴每件賠1元，(1)錯誤.(2)當x＝2時，2x＝x2＝4.(2)不正確.C3.某建材商場國慶期間搞促銷活動，規(guī)定：顧客購物總金額不超過800元時，不享受任何折扣；如果顧客購物總金額超過800時，那么超過800元部分享受一定的折扣優(yōu)惠，按下表折扣分別累計計算1350可以享受折扣優(yōu)惠金額折扣率不超過500元的部分5%超過500元的部分10%解析若x＝1300，則y＝5%(1300－800)＝25＜30，因此x＞1300.由10%(x－1300)＋25＝30，得x＝1350(元).

4.某商品在最近30天內的價格f(t)與時間t(單位：天)的函數(shù)關系是f(t)＝t＋10(0＜t≤30，t∈N)，銷售量g(t)與時間t的函數(shù)關系是g(t)＝－t＋35(0＜t≤30，t∈N)，則這種商品的日銷售金額的最大值是________.506KAODIANTUPOTIXINGPOUXI考點突破題型剖析2考點一利用函數(shù)圖象刻畫實際問題的變化過程例1已知正方形ABCD的邊長為4，動點P從B點開始沿折線BCDA向A點運動.設點P運動的路程為x，△ABP的面積為S，則函數(shù)S＝f(x)的圖象是(

)D

解析依題意知，當0≤x≤4時，f(x)＝2x；當4＜x≤8時，f(x)＝8；當8＜x≤12時，f(x)＝24－2x，觀察四個選項知D項符合要求.判斷函數(shù)圖象與實際問題變化過程相吻合的兩種方法(1)構建函數(shù)模型法：當根據(jù)題意易構建函數(shù)模型時，先建立函數(shù)模型，再結合模型選圖象；(2)驗證法：根據(jù)實際問題中兩變量的變化快慢等特點，結合圖象的變化趨勢，驗證是否吻合，從中排除不符合實際的情況，選擇出符合實際情況的答案.感悟提升訓練1(2023·泰州調研)中國茶文化博大精深，茶水的口

感與茶葉類型和水的溫度有關.經(jīng)驗表明，某種綠茶用

85℃的水泡制，再等到茶水溫度降至60℃時飲用，可

以產(chǎn)生最佳口感.為分析泡制一杯最佳口感茶水所需時

間，某研究人員每隔1min測量一次茶水的溫度，根據(jù)所得數(shù)據(jù)做出如圖所示的散點圖.觀察散點圖的分布情況，下列哪個函數(shù)模型可以近似地刻畫茶水溫度y隨時間x變化的規(guī)律(

)BA.y＝mx2＋n(x＞0) B.y＝max＋n(m＞0，0＜a＜1)C.y＝max＋n(m＞0，a＞1) D.y＝mlogax＋n(m＞0，a＞0，a≠1)解析由函數(shù)圖象可知符合條件的只有指數(shù)函數(shù)模型，并且m＞0，0＜a＜1.考點二已知函數(shù)模型解決實際問題例2我國在2020年進行了第七次人口普查登記，到2021年4月以后才能公布結果.人口增長可以用英國經(jīng)濟學家馬爾薩斯提出的模型：y＝y(tǒng)0·ert，其中t表示經(jīng)過的時間(單位：年)，y0表示t＝0時的人口數(shù)(單位：億)，r表示人口的年平均增長率.以國家統(tǒng)計局發(fā)布的2000年第五次人口普查登記(已上報戶口)的全國總人口12.43億人(不包括香港、澳門和臺灣地區(qū))和2010年第六次人口普查登記(已上報戶口)的全國總人口13.33億人(不包括香港、澳門和臺灣地區(qū))為依據(jù)，用馬爾薩斯人口增長模型估計我國2020年年末(不包括香港、澳門和臺灣地區(qū))的全國總人口數(shù)為(13.332＝177.6889，12.432＝154.5049)(

) A.14.30億 B.15.20億

C.14.62億

D.15.72億A

解析由馬爾薩斯人口增長模型，得13.33＝12.43e10r，所以我國2020年年末的全國總人口數(shù)約為1.求解已知函數(shù)模型解決實際問題的關注點.(1)認清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù)；(2)根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù).2.利用函數(shù)模型，借助函數(shù)的性質、導數(shù)等求解實際問題，并進行檢驗.感悟提升B

解析當M＝3m時，v＝5.544，解得M≈159.725≈160(噸)，即M至少約為160噸.故選B.考點三構建函數(shù)模型解決實際問題角度1構建二次函數(shù)模型A整理得R2－12R＋32≤0，解得4≤R≤8，即R∈[4，8].(2)當年產(chǎn)量為多少千件時，該公司在這一產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲年利潤最大？(注：年利潤＝年銷售收入－年總成本)解當0＜x≤10時，由f′(x)＝81－x2＝－(x＋9)(x－9)，得當x∈(0，9)時，f′(x)＞0，f(x)單調遞增；當x∈(9，10)時，f′(x)＜0，f(x)單調遞減.當10＜x≤25時，f(x)＝－x2＋30x＋75＝－(x－15)2＋300≤300.綜上，當x＝9時，年利潤取最大值386.所以當年產(chǎn)量為9千件時，該公司在這一產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲年利潤最大.在應用函數(shù)解決實際問題時需注意以下四個步驟：(1)審題：弄清題意，分清條件和結論，理順數(shù)量關系，初步選擇函數(shù)模型.(2)建模：將自然語言轉化為數(shù)學語言，將文字語言轉化為符號語言，利用數(shù)學知識，建立相應的函數(shù)模型.(3)解模：求解函數(shù)模型，得出數(shù)學結論.(4)還原：將數(shù)學結論還原為實際意義的問題.感悟提升A

解析由題意可知2025年的總收入為300億元.因為要求從2021年起每年通過理財業(yè)務的收入是前一年的t倍，所以2025年通過理財業(yè)務的收入為50t5億元，(2)國慶期間，某旅行社組團去風景區(qū)旅游，若每團人數(shù)在30或30以下，飛機票每張收費900元；若每團人數(shù)多于30，則給予優(yōu)惠：每多1人，機票每張減少10元，直到達到規(guī)定人數(shù)75為止.每團乘飛機，旅行社需付給航空公司包機費15000元.①寫出飛機票的價格關于人數(shù)的函數(shù)；解設該旅行團的人數(shù)為x，由題意得0＜x≤75(x∈N*)，飛機票的價格為y元.旅行社可獲得的利潤為w元.(ⅰ)當0≤x≤30時，y＝900，(ⅱ)當30＜x≤75時，y＝900－10(x－30)＝－10x＋1200，

②每團人數(shù)為多少時，旅行社可獲得最大利潤？解當0≤x≤30時，w＝900x－15000，當x＝30時，wmax＝900×30－15000＝12000(元)；當30＜x≤75時，w＝(－10x＋1200)·x－15000＝－10x2＋1200x－15000＝－10(x－60)2＋21000，當x＝60時，w最大為21000元，所以每團人數(shù)為60時，旅行社可獲得最大利潤.FENCENGJINGLIANGONGGUTISHENG分層精練鞏固提升31.在某種新型材料的研制中，實驗人員獲得了下列一組實驗數(shù)據(jù)，現(xiàn)準備用下列四個函數(shù)中的一個近似表示這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，其中最接近的一個是(

)B【A級

基礎鞏固】x1.992345.156.126y1.5174.04187.51218.01解析由題中表格可知函數(shù)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，且y的變化隨x的增大而增大得越來越快，分析選項可知B符合，故選B.2.據(jù)統(tǒng)計，第x年某濕地公園越冬的白鷺數(shù)量y(只)近似滿足y＝klog3(x＋1)，觀測發(fā)現(xiàn)第2年有越冬白鷺1000只,估計第5年有越冬白鷺(ln2≈0.7,ln3≈1.1)(

) A.1530只 B.1636只

C.1830只

D.1930只解析∵第x年某濕地公園越冬的白鷺數(shù)量y(只)近似滿足y＝klog3(x＋1)，且當x＝2時，y＝1000，∴1000＝klog33，解得k＝1000，BD4.(多選)甲同學家到乙同學家的途中有一座公園，甲同學家到公園的距離與乙同學家到公園的距離都是2km.如圖所示表示甲同學從家出發(fā)到乙同學家經(jīng)過的路程y(km)與時間x(min)的關系，下列結論正確的是(

)BD解析在A中，甲在公園休息的時間是10min，所以只走了50min，A錯誤；由題中圖象知，B正確；甲從家到公園所用的時間比從公園到乙同學家所用的時間長，而距離相等，所以甲從家到公園的速度比從公園到乙同學家的速度慢，C錯誤；5.(2023·連云港質檢)某企業(yè)投入100萬元購入一套設備，該設備每年的運轉費用是0.5萬元，此外每年都要花費一定的維護費，第一年的維護費為2萬元，由于設備老化，以后每年的維護費都比上一年增加2萬元.為使該設備年平均費用最低，該企業(yè)需要更新設備的年數(shù)為(

) A.8 B.10 C.12

D.13B解析設該企業(yè)需要更新設備的年數(shù)為x(x∈N*)，設備年平均費用為y萬元，當且僅當x＝10時，等號成立，因此，為使該設備年平均費用最低，該企業(yè)需要更新設備的年數(shù)為10.D

解析由題意得二氧化碳每噸的平均處理成本即x＝400時取等號，此時S取得最小值200.綜上，所求處理量為400噸.故選D.7.如圖，有一直角墻角，兩邊的長度足夠長，若P處有一棵樹與兩墻的距離分別是4m和am(0＜a＜12)，不考慮樹的粗細.現(xiàn)用16m長的籬笆，借助墻角圍成一個矩形花圃ABCD，設此矩形花圃的最大面積為u，若將這棵樹圍在矩形花圃內，則函數(shù)u＝f(a)(單位：m2)的圖象大致是(

)B解析設AD長為x，則CD長為16－x.又因為要將P點圍在矩形ABCD內，所以a≤x≤12，則矩形ABCD的面積為x(16－x).當0＜a≤8時，當且僅當x＝8時，u＝64；當8＜a＜12時，u＝a(16－a)，分段畫出函數(shù)圖象，可得其形狀與B選項中圖象接近.8.當生物死亡后，其體內原有的碳14的含量大約每經(jīng)過5730年衰減為原來的一半，這個時間稱為“半衰期”.當死亡生物體內的碳14含量不足死亡前的千分之一時，用一般的放射性探測器就測不到了.若某死亡生物體內的碳14用該放射性探測器探測不到，則它至少要經(jīng)過________個“半衰期”.10所以，若某死亡生物體內的碳14用該放射性探測器探測不到，則它至少需要經(jīng)過10個“半衰期”.12010.某地西紅柿上市后，通過市場調查，得到西紅柿種植成本Q(單位：元/100千克)與上市時間t(單位：天)的數(shù)據(jù)如下表：時間t60100180種植成本Q11684116根據(jù)上表數(shù)據(jù)，從下列函數(shù)中選取一個函數(shù)描述西紅柿種植成本Q與上市時間t的變化關系：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·logbt.利用你選取的函數(shù)，求：①西紅柿種植成本最低時的上市天數(shù)是________；②最低種植成本是________元/100千克.80解析因為隨著時間的增加，種植成本先減少后增加，而且當t＝60和t＝180時種植成本相等，再結合題中給出的四種函數(shù)關系可知，種植成本與上市時間的變化關系應該用二次函數(shù)Q＝at2＋bt＋c，即Q＝a(t－120)2＋m描述，所以Q＝0.01(t－120)2＋80，故當上市天數(shù)為120時，種植成本取到最低值為80元/100千克.(2)若空氣中一氧化碳濃度不高于0.5ppm為正常，問至少排氣多少分鐘，這個地下車庫中的一氧化碳含量才能達到正常狀態(tài)？解由題意可得，當0＜x≤40時，W(x)＝200x－(2x2＋80x)－300＝－2x2＋120x－300；(2)當該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為多少時，公司所獲利潤最大？最大利潤是多少？解若0＜x≤40，W(x)＝－2(x－30)2＋1500，所以當x＝30時，W(x)max＝1500萬元.A【B級

能力提升】解析將A＝200，t＝5，L＝20代入L(t)＝A(1－e－kt)，D型號每層玻璃厚度d(單位：厘米)玻璃間夾空氣層厚度l(單位：厘米)A型0.43B型0.34C型0.53D型0.44則保溫效果最好的雙層玻璃的型號是(

)A.A型 B.B型

C.C型

D.D型固定|ΔT|，可知16l＋2d越大，q越小，保溫效果越好.對于A型玻璃，16l＋2d＝16×3＋2×0.4＝48.8，對于B型玻璃，16l＋2d＝16×4＋2×0.3＝64.6，對于C型玻璃，16l＋2d＝16×3＋2×0.5＝49，對于D型玻璃，16l＋2d＝16×4＋2×0.4＝