2022年高考數(shù)學(xué)試題分類匯編函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

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一．挑選題：

1.（全國一1

）函數(shù)y=的定義域為

（C）A．{}

|0xx≥

B．{}

|1xx≥C．{}{}|10xx≥

D．{}

|01xx≤≤

2.（全國一2）汽車經(jīng)過啟動、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后停車，若把這一過程中汽車的行駛路程s看作時光

t的函數(shù)，其圖像可能是（A）

3.（全國一6）若函數(shù)(1)yfx=-的圖像與函

數(shù)

l1y=的圖像關(guān)于直線yx=對稱，則()fx=

（B）A．21

xe

-

B．2x

e

C．21

xe

+

D．22

xe

+

4.（全國一7）設(shè)曲線11

xyx+=

-在點(32)，處的切線與直

線10axy++=垂直，則a=（D）A．2

B．

12

C．12

-

D．2-

5.（全國一9）設(shè)奇函數(shù)()fx在(0)+∞，上為增函數(shù)，且(1)0f=，則不等式()()

0fxfxx

-->

B．bac>>

C．cab>>

D．bca>>

10.（北京卷3）“函數(shù)()()fxx∈R存在反函數(shù)”是“函

數(shù)()fx在R上為增函數(shù)”的（B）A．充分而不須要條件B．須要而不充分條件C．充分須要條件

D．既不充分也不須要條件

11.（四川卷10）設(shè)()()sinfxxω

?=+，

其中0ω>，則()f

x是偶函數(shù)的充要條件是(D)

（Ａ）()01f=

（Ｂ）()00f

=

（Ｃ）()'

01f

=

（Ｄ）()'

00f

=

12.（四川卷11）設(shè)定義在R上的函數(shù)()

f

x滿足

()()213f

xfx?+=，若()12

f=，則

()99f=(C)

（Ａ）13（Ｂ）2（Ｃ）

132

（Ｄ）

213

13.（天津卷3

）函數(shù)1y=+04x≤≤）的反函數(shù)

是（A）

（A）2

(1)yx=-（13x≤≤）（B）2

(1)yx=-（04x≤≤）（C）2

1yx=-（13x≤≤）（D）21yx=-（04x≤≤）

14.（天津卷10）設(shè)1a>，若對于隨意的[,2]xaa∈，都有2

[,]yaa∈滿足方程loglog3aaxy+=，這時a的取值集合為（B）

（A）2{|1}aa-

B．3a-

D．13

a0時

()fx是單調(diào)函數(shù)，則滿足3

()4

xfxfx+??

=

?+??

的全部x之和為（C）

A．3-

B．3

C．8-

D．8

二．填空題：

1.（上海卷4）若函數(shù)f(x)的反函數(shù)為f－1(x)＝x2（x＞0），則f(4)＝2

2.（上海卷8）設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，若當x∈(0,+∞)時，f(x)＝lgx，則滿足f(x)＞0的x的取值范

圍是(－1,0)∪(1,+∞)

3.（上海卷11）方程x2+2x－1＝0的解可視為函數(shù)y＝x+2的圖像與函數(shù)y＝1

x

的圖像交點的橫坐標，若x4+ax－4＝0

的各個實根x1，x2，…，xk(k≤4)所對應(yīng)的點(xi,4

xi

)（i＝

1,2,…,k）均在直線y＝x的同側(cè)，則實數(shù)a的取值范圍是(－∞,－6)∪(6,+∞);4.（全國二14）設(shè)曲線ax

ye

=在點(01)，處的切線與直線

210xy++=垂直，則a=．2

5.（北京卷12）如圖，函數(shù)

()fx的圖象是折線段ABC，其中ABC

，，的

坐

標

分

別

為

(04)(20)(64)，，，，，，則

((0))

ff=

2；0

(1)(1)

limxfxfx

?→+?-=?－2．（用數(shù)

字作答）

6.（北京卷13）已知函數(shù)2

()cosfxxx=-，對于

ππ22??

-???

?，上的隨意12xx，，有如下條件：①12xx>；

②2

2

12xx>；③12xx>．其中能使12()()fxfx>恒成立的條件序號是②．

7.（北京卷14）某校數(shù)學(xué)課外小組在坐標紙上，為小學(xué)的一塊空地設(shè)計植樹計劃如下：第k棵樹種植在點

()kkkPxy，處，其中11x=，11y=，當2k≥時，

111215551255kkkkkkxxTTkkyyTT--??--?

????=+--?????????????

--?????

=+-???????

?

，．()

Ta表示非負實數(shù)a的整數(shù)部分，例如(2.6)2

T=，(0.2)0T=．按此計劃，第6棵樹種植點的坐標應(yīng)為(12)，；第2022棵樹種植點的坐標應(yīng)為(3402)，

．8.（安徽卷13）函

數(shù)2()log(1)

fxx=-的定義域

為．[3,)+∞9.（江蘇卷8）直線12

yxb=

+是曲線()

ln0yxx=>的一條切線，則實數(shù)b＝．ln2－1．10.（江蘇卷14）()331fxaxx=-+對于[]

1,1x∈-總有()f

x≥0成立，則a=．4

11.（湖南卷13）設(shè)函數(shù)()yfx=存在反函數(shù)

1

()yf

x-=,且函數(shù)()yxfx=-的圖象過點(1,2),則

函數(shù)1

()yfxx-=-的圖象一定過點.(-1,2)

12.（湖南卷14

）已知函數(shù)()1).1fxaa=

≠-（1）若a＞0,則()fx的定義域是3,

a??-∞??

?

(2)若()fx在區(qū)間(]0,1上是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值

范圍是.()(],01,3-∞?

13.（重慶卷

13)已知1

249

a=

(a>0)，則

23

loga=.3

14.（浙江卷15）已知t為常數(shù)，函數(shù)txxy--=22

在

區(qū)間[0，3]上的最大值為2，則t=___。1

15.（遼寧卷13）函數(shù)100

x

xxyex+，()0fx'=

求得兩根為3

ax-±=

即

()fx

在

3a?∞??

?

，遞增

，

33aa?+

??

?

，遞減，

3a??

-++∞

????

遞增

（2

）2

33133-?-?

，且2

3a>解得：74a≥

2.（全國二22）．（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)sin()2cosxfxx

=

+．

（Ⅰ）求()fx的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）假如對任何0x≥，都有()fxax≤，求a的取值范圍．解

：

（

Ⅰ

）

2

2

(2cos)cossin(sin)

2cos1()(2cos)

(2cos)

xxxxxfxxx+--+'=

=

++···············································································2分

當2π2π2π2π33

kxk-

-

，即()0fx'>；

當2π4π2π2π33

kxk+

．因此()hx在[)0arccos3a，上單調(diào)增強．故當(0arccos3)xa∈，時，()(0)0hxh>=，即sin3xax>．于

是

，

當

(0arxa∈，時

，

si

nsi

n

()2cos3

xxfxaxx

=

>

>+．

當0a≤時，有π1

π0222fa??=>

?

??

≥．因此，a的取值范圍是

13

??

+∞????

，．·······························································3.（北京卷18）．（本小題共13分）已知函數(shù)2

2()(1)

xbfxx-=

-，求導(dǎo)函數(shù)()fx'，并確定

()fx的單調(diào)區(qū)間．

解：2

4

2(1)(2)2(1)

()(1)

xxbxfxx'=

-

3

222(1)xbx-+-=-3

2[(1)](1)

xbx--=-

-．

令()0fx'=，得1xb=-．

當11b-時，函數(shù)()fx在(1)-∞，上單調(diào)遞減，在(11)b-，上單調(diào)遞增，在(1)b-+∞，上單調(diào)遞減．當11b-=，即2b=時，2

()1fxx=

-，所以函數(shù)()fx在(1)-∞，上單調(diào)遞減，在(1)+∞，上單調(diào)遞減．

4.（四川卷22）．（本小題滿分14分）已知3x=是函數(shù)()()2ln110fxaxxx=++-的

一個極值點。（Ⅰ）求a；（Ⅱ）求函數(shù)()f

x的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅲ）若直線yb=與函數(shù)()yfx=的圖象有

3個交

點，求b的取值范圍。【解】：（Ⅰ）由于()'

2101afxxx

=

+-+

所以()'

361004

af

=

+-=因此16a=

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()(

)()2

16ln110,1,f

xxxxx=++-∈-+∞

()()2

'

2431xxf

xx

-+=

+

當()()1,13,x∈-+∞時，()'

0fx>

當()1,3x∈時，()'

0fx-=

()()2

13211213f

e

f--恒成立．

當0x時，()0fx'>．因此函數(shù)()fx在[1,1]-上的最大值是(1)f與(1)f-兩者中的較大者．

為使對隨意的[2,2]a∈-，不等式()1fx≤在[1,1]-上

恒成立，當且僅當1

11))1((ff≤-≤???，即

22baba

≤--≤-+??

?

，在[2,2]a∈-上恒成立．

所以4b≤-，因此滿足條件的b的取值范圍是

(,4]-∞-．

6.（安徽卷20）．（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)

1()(01)

lnfxxxxx

=

>≠且（Ⅰ）求函數(shù)()fx的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）已知1

2a

xx>對隨意(0,1)x∈成立，求實數(shù)a的取值范圍。

解(1)'

2

2

ln1(),lnxfxxx

+=-

若'

()0,fx=則

1x

=

列表如下(2)在1

2a

xx

>兩邊取對數(shù),得1ln2lnaxx

>,因為01,x

(1)

由(1)的結(jié)果可知,當(0,1)x∈時,1()()fxfee

≤=-,

為使(1)式對全部(0,1)x∈成立,當且僅當

ln2

ae>-,即

ln2ae>-

7.（山東卷21）（本小題滿分12分）已知函數(shù)

1()ln(1),(1)

n

fxaxx=

+--其中n∈N*,a為常數(shù)

.

（Ⅰ）當n=2時，求函數(shù)f(x)的極值；

（Ⅱ）當a=1時，證實：對隨意的正整數(shù)n,

當x≥2時，有f(x)≤x-1.

（Ⅰ）解：由已知得函數(shù)f(x)的定義域為{x|x＞1}，

當n=2時，2

1()ln(1),(1)

fxaxx=

+--

所以2

3

2(1)().

(1)

axfxx--=

-（1）當a＞0時，由f(x)=0得

11x=+

＞1

，21x=-

＜

1，

此時f′（x）=

123

()()

(1)

axxxxx.

當x∈（1，x1）時，f′（x）＜0,f(x)單調(diào)遞減；當x∈（x1+∞）時，f′（x）＞0,f(x)單調(diào)遞增.

（2）當a≤0時，f′（x）＜0恒成立，所以f(x)

無極值.

綜上所述，n=2時，

當a＞0時，f(x)在1x=+

處取得微小值，極

小值為2(1(1ln

).2

afa

+

=

+

當a≤0時，f(x)無極值.

（Ⅱ）證法一：由于

a=1,所以

1()

ln(1).

(1)

n

fxxx

=+--當n為偶數(shù)時，

令1()1ln(1),(1)

n

gxxxx=--

則g

′

（

x

）

=1+

1

1

12(1)

1

1

(1)

nnnxnxxxx++--

=

+

＞0（x≥2）.

所以當x∈[2,+∞]時，g(x)單調(diào)遞增，又g(2)=0因此1

()1ln(1)

(1)

n

gxxxx=

≥g(2)=0恒成立，

所以f(x)≤x-1成立.

當n為奇數(shù)時，

要證()fx≤x-1,因為

1(1)

n

x-＜0，所以只需證

ln(x-1)≤x-1,

令h(x)=x-1-ln(x-1),則h′（x）=1-121

1

xxx-=

--≥0（x≥2）,

所以當

x∈[2，+∞]時，

()1ln(hxxx=

單調(diào)遞增，又h(2)=1＞0，所以當x≥2時，恒有h(x)＞0,即ln（x-1）＜x-1命

題成立.

綜上所述，結(jié)論成立.

證法二：當a=1時，1()ln(1).(1)

n

fxxx=

+--當x≤2，時，對隨意的正整數(shù)n，恒有

1(1)

n

x-≤1，

故只需證實1+ln(x-1)≤

x-1.令

[)()1(1ln(1))2ln(1),2,hxxxxxx=--+-=∈+∞則12()1,1

1

xhxxx-'=-

=

--

當x≥2時，()hx'≥0，故h(x)在[)2,+∞上單調(diào)遞增，因此當x≥2時，h(x)≥h(2)=0，即1+ln(x-1)≤x-1成立.

故當x≥2時，有

1ln(1)(1)

n

xx+--≤x-1.

即f（x）≤x-1.

8.（江蘇卷17）．某地有三家工廠，分離位于矩形ABCD的

頂點A,B及CD的中點P處，已知AB=20km,CB=10km，

為了處理三家工廠的污水，現(xiàn)要在矩形ABCD的區(qū)域上（含

邊界），且A,B與等距離的一點O處建筑一個污水處理廠，

并鋪設(shè)排污管道AO,BO,OP，設(shè)排污管道的總長為ykm．（Ⅰ）按下列要求寫出函數(shù)關(guān)系式：①設(shè)∠BAO=θ(rad)，將y

表示成θ的函數(shù)關(guān)系式；

②設(shè)OPx=(km)，將y表

示成xx的函數(shù)關(guān)系式．

（Ⅱ）請你選用（Ⅰ）中的一個函數(shù)關(guān)系式，確定污水處理

廠的位置，使三條排污管道總長度最短．

（Ⅰ）①由條件知PQ垂直平分AB，若∠BAO=θ(rad)，則10coscosAQOAθθ

=

=

,故

10

cosOBθ

=

，又OP＝1010tanθ-10－10taθ，

所以10101010tancoscosyOAOBOPθθ

θ

=++=

+

+-

所求函數(shù)關(guān)系式為2022sin10cosyθ

θ

-=

+04πθ?

?，y是θ的增函數(shù)，所以當C

B

P

O

A

D

θ=

6

π

時，min10y=+這時點P位于線段AB的

中垂線上，且距離AB

邊

3

km處。

9.（江蘇卷20）若()1

13

xpfx-=，()2

223

xpfx-=，

12,,xRpp∈為常數(shù)，

且()()()()()()()

112212,,fxfxfxf

xfxfxfx≤??=?

>??（Ⅰ）求()()1f

xfx=

對全部實數(shù)成立的充要條件（用

12,pp表示）

；（Ⅱ）設(shè),ab為兩實數(shù)，ab.

（1）當12pp-32log>時.()[][]1

1

1113

,,3,,xppxxpbfxxap--?∈?=?∈??，

()[][]2323

log2

22log2

23

,,3

,,xppxxpbfxxap-+-+?∈?=?∈??當[]1,xpb∈，

()()

213log2

10

23

31,ppfxfx--=>，所以()()12fxfx=由于

()()120,0fxfx>>，所以()()12fxfx>

故()()2f

xfx=

=23log2

3px-+

由于()()f

af

b=，所以231

log2

33pabp

-+-=，所以

123log2,bppa-=-+即

123log2abpp+=++

當

[]21,xpp∈時，令

()()12fxfx=，則

231log2

3

3

xppx

-+-=，所以123log2

2

ppx+-=

，

當1232log2,2ppxp+-?

?∈

????

時，()()12fxfx≥，所以()()2f

xfx=

=23log2

3

xp-+

1231log2,2ppxp+-??

∈????

時，()()12fxfx≤，所

以()()1f

xfx=

=13

px

-()fx在區(qū)間[],ab上的單調(diào)增區(qū)間的長度和

12312log2

2ppbpp+--+

-=123log2

2

2

2

ppabbabb+++--=-

=

（

2）

當

21

pp-3

2l

og>時.

()[][]1

1

1113

,,3

,,xppx

xpbfxxap--?∈?=?∈??，

()[][]2323

log2

22log2

23

,,3,,xppxxpbfxxap-+-+?∈?=?∈??當[]2,xpb∈，

()()

213log2

10

23

31,ppfxfx--=>=由于

()()120,0fxfx>>，所以()()12fxfx>，

故()()2f

xfx=

=23log2

3

xp-+

當[]1,xap∈，

()()

123log2

10

23

31,ppfxfx--=>，所以()()12fxfx，0x>

，

由

111()fx=

+

，

若令8bax

=

，則8abx=…①，而

(

)fx=

+

…②

（一）、先證()1

f

x>；

由于

11x

>

+，

1

1a

>

+

，

1

1b

>

+

，

又由28

abx

+++≥=，

得6

abx

++≥,所以

()111

111

fx

xab

=>++

+++

32()()

(1)(1)(1)

abxabaxbx

xab

++++++

=

+++

9()()

(1)(1)(1)

abxabaxbx

xab

++++++

≥

+++

1()()

1

(1)(1)(1)

abxabaxbxabx

xab

+++++++

==

+++

．

（二）、再證()2

fx

++

…⑦,由于

11

ab

ab

+≥

++

，

只要證

(1)(1)8

abab

abab

>

+++

，即

8(1)(1)

abab

+>++，也即7

ab

+()hx在（-1，0）上為增函數(shù)，當x＞0時，()0,hx'=當x＞0時，

()(0)0.gxg()fx在（-1，0）上為增函數(shù).

當x＞0時，()0,fx'知，1.1

ln(1)

ann

≤

-+設(shè)(]11(),0,1,

ln(1)

Gxxxx

=

-

∈+則22

2

2

2

2

11(1)ln(1)().(1)ln(1)

(1)ln(1)

xxxGxxxx

xxx++-'=-

+

=

++++

由（Ⅰ）知，

2

2

ln(1)0,

1x

x