高二排列組合常見題型素質(zhì)能力提高競賽綜合測試

高二排列組合常見題型素質(zhì)能力提高競賽綜合測試第I卷（選擇題）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.給圖中A,B,C,D,E,廠六個區(qū)域進行染色，每個區(qū)域只染一種顏色，且相鄰的區(qū)域不同色.若有4種顏色可供選擇，則共有（）種不同的染色方案.A.96 B.144 C.240 D.360【答案】A【分析】通過分析題目給出的圖形，可知要完成給圖中A、B、C、D、E、產(chǎn)六個區(qū)域進行染色，最少需要3種顏色，即"同色，BO同色，CE同色，由排列知識可得該類染色方法的種數(shù)；也可以4種顏色全部用上，即AT,BD,CE三組中有一組不同色，同樣利用排列組合知識求解該種染法的方法種數(shù)，最后利用分類加法求和.【詳解】解：要完成給圖中A、B、。、D、E、尸六個區(qū)域進行染色，染色方法可分兩類，第一類是僅用三種顏色染色，即"同色，5。同色，CE同色，則從四種顏色中取三種顏色有優(yōu)=4種取法，三種顏色染三個區(qū)域有看=6種染法，共4x6=24種染法；第二類是用四種顏色染色，即AF,BD,CE中有一組不同色，則有3種方案（A/不同色或BD不同色或C￡不同色），先從四種顏色中取兩種染同色區(qū)有看=12種染法，剩余兩種染在不同色區(qū)有2種染法，共有3x12x2=72種染法.???由分類加法原理得總的染色種數(shù)為24+72=96種.故選：A.2.甲、乙、丙3人站到共有7級的臺階上，同一級臺階上的人不區(qū)分站的位置，則不同的站法種數(shù)是（）A.257 B.336 C.343 D.384【答案】CC.A：x(aJ D.C；x4+C：x㈤2【答案】ACD【分析】選項ACD均可以對其每一步的方法數(shù)進行合理解釋，而選項B方法總數(shù)錯誤，不能對其每一步的方法數(shù)進行合理解釋.【詳解】選項A：表示先著色中間兩格下面一格.從4種顏色取3種，有國個方法，上面一格，從與中間兩格不同的顏色中取出一個，有4個方法，故共有=48個不同方法.正確；選項B："x置=144,方法總數(shù)不對.錯誤；選項C：表示先對中間兩格涂顏色.從4種顏色取2種，共有A：個方法，上下兩格都是從與中間兩格不同的顏色中取出一個，有8A：(aJ=48個不同方法.正確；選項D：表示兩種情況：①上下兩格顏色相同，中間兩格從3個剩下的顏色取2種，共有C；?用個不同方法；②上下兩格顏色不同，中間兩格從2個剩下的顏色取2種，共有C；看&個不同方法.綜合①②可知方法總數(shù)為：C；A；+C：(A；『=48個不同方法.正確.故選：ACD第II卷(非選擇題)三、填空題：本題共4個小題，每小題5分，共20分..由LL2,2,3,3,4,4可組成不同的四位數(shù)的個數(shù)為.【答案】204【解析】根據(jù)所選的數(shù)字的情況將此問題可以分為以下三種情況：。選取的4個數(shù)字是1,234；〃)從四組(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)中任取兩組；位)從四組(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)中任取一組,再從剩下的3組中的不同的三個數(shù)字中任取2個不同的數(shù)字，利用排列與組合的計算公式及其乘法原理即可得出.【詳解】詳解：。選取的四個數(shù)字是1,234,則可組成個不同的四位數(shù)；從四組(LD,(2,2),(3,3),(4,4)中任取兩組有種取法，如假設取的是1,1,2,2四個數(shù):得到以下6個四位數(shù)：1122,2211,1212,2121,1221,2112.所以此時共有6C：個不同的四位數(shù)；位)從四組(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)中任取一組有C：種取法，再從剩下的三組中的不同的三個數(shù)中任取2個不同的數(shù)字有C；種取法，把這兩個不同的數(shù)字安排到四個數(shù)位上共有&種方法，而剩下的兩個相同數(shù)字只有一種方法，由乘法原理可得此時共有C；?2?A：?c；個不同的四位數(shù)；綜上可知，用8個數(shù)字1,1,22334,4可以組成不同的四位數(shù)個數(shù)是+6?C：+C：C?&?C；=204,故答案為：204【點睛】本題考查了排列與組合的計算公式及其乘法原理、分類討論等基礎知識與基本方法，屬于難題..某高校大一新生中的6名同學打算參加學校組織的“雅荷文學社”、“青春風街舞社”、“羽乒協(xié)會”、“演講團”、“吉他協(xié)會”五個社團，若每名同學必須參加且只能參加1個社團且每個社團至多兩人參加，則這6個人中至多有1人參加“演講團”的不同參加方法數(shù)為.【答案】5040【分析】參加“演講團”人數(shù)分為有1人或無人的情況，而每種情況又各自包含2種情況，分別求出對應的方法數(shù)，結合計數(shù)原理計算即可.【詳解】若有1人參加“演講團”，則從6人選1人參加該社團，其余5人去剩下4個社團，人數(shù)安排有2種情況：LLL2和122,故1人參加“演講團”的不同參加方法數(shù)為端[節(jié)看+當G]=3600；若無人參加“演講團”，則6人參加剩下4個社團，人數(shù)安排安排有2種情況：1,122和222,故無人參加“演講團”的不同參加方法數(shù)為第￡a：+C；C；C：=1440,故滿足條件的方法數(shù)為3600+144()=504(),故答案為：5040.從A,B,C,D,a,b,c,d中任選5個字母排成一排，要求按字母先后順序排列(即按4*個字。?，。⑷先后順序，但大小寫可以交換位置，如或a都可以)，這樣的情況有種.(用數(shù)字作答)【答案】160【分析】先根據(jù)A、B、C、D選取的個數(shù)分為四類：第一類:A、B、C、D中取四個，a、b、c、d中取一個；第二類:A、B、C、D中取三個，a、b、c、d中取二個；第三類:A、B、C、D中取二個,a、b、c、d中取三個；第四類:A、B、C、D中取一個,a、b、c、d中取四個.【詳解】分為四類情況：第一類：在A、B、C、D中取四個，在a、b、c、d中取一個，共有2C：C；=8；第二類:在第二類:在A、B、C、D中取三個，在a、b、c、d中取兩個,分兩種情況：形如AaBbC（大小寫有兩個字母相同）共有形如AaBCd（大小寫只有一個字母相同）共有；第三類：在A、B、C、D中取兩個，在a、b、c、d中取三個，取法同第二類情況;第四類：在A、B、C、D中取一個，在a、b、c、d中取四個，取法同第一類情況;所以共有：2（8+4C：C；+2C：C；）=160【點睛】本題考查了分步計數(shù)原理和分類計數(shù)原理，對學生的思維能力要求較高，其中有序排列給題目增加了分類的難度，在解題時需要耐心細致，認真思考分類標準.【詳解】分析：結合圖形進行分類，利用排列組合的性質(zhì)求解每類中矩形的個數(shù)，然后利用加法原理即可求得圖中矩形的個數(shù).詳解：如圖所示，由排列組合知識可知，在矩形A5CD中，含有矩形的個數(shù)為C：xCj在矩形BCG/中，含有矩形的個數(shù)為，除去上面考慮過的情況，在矩形皿/￡中，含有矩形的個數(shù)為C；,在矩形APG/中，含有矩形的個數(shù)為C：,綜上可得：圖中矩形的個數(shù)為：C：xC：+C；xC；+C；+G=45.DHBDHB點睛：（1）解排列組合問題要遵循兩個原則：一是按元素（或位置）的性質(zhì)進行分類；二是按事情發(fā)生的過程進行分步.具體地說，解排列組合問題常以元素(或位置)為主體，即先滿足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置).⑵不同元素的分配問題，往往是先分組再分配.在分組時，通常有三種類型：①不均勻分組；②均勻分組；③部分均勻分組，注意各種分組類型中，不同分組方法的求法.四、解答題17.已知〃eN*,對于有限集丁={123,…/},令團表示集合T中元素的個數(shù).例如：當〃=3時，T={1,2,3),T\=3.(1)當〃=3時，請直接寫出集合丁的子集的個數(shù)；⑵當〃=5時，A,3都是集合丁的子集(A,5可以相同)，并且B\-\Ai)B\.求滿足條件的有序集合對(A3)的個數(shù)；⑶假設存在集合7、T具有以下性質(zhì)：將1,1,2,2, \T\,|T|.這26個整數(shù)按某種次序排成一列，使得在這個序列中，對于任意攵￡7，左與攵之間恰好排列上個整數(shù).證明：|中+|刀是4的倍數(shù).【答案】⑴8(2)454(3)證明見詳解【分析】(1)72元集合的直接個數(shù)為2〃可得；(2)由已知結合|A即=網(wǎng)+已|—|A』可得|AB|=|A|,或|AB\=\B\,然后可得集合的包含關系可解;(3)根據(jù)每兩個相同整數(shù)之間的整數(shù)個數(shù)之和與總的數(shù)字個數(shù)之間的關系可證.當〃=3時，集合T={12集的子集個數(shù)為23=8易知|Al理=同+忸|—B\9又⑷忸|=|AB\-\A\JB\9所以例=|AB|(|A|+|B|-|AB|),即|AB|2-(|A|+|B|)|AB|-|A||B|=O,得|AB\=\A\9或|A「M=|4所以Au5或5uA1)若Au3,則滿足條件的集合對共有C1x25+C"x24+Cjx23+C5 x2°=243,2)若3uA,同理，滿足條件的集合對共有2433)當A=8時，滿足條件的集合對共有25=32所以，滿足條件的集合對共243+243-32=454個.記閉=〃，則1,1,2,2,??，圖，國共2〃個正整數(shù),將這2〃個正整數(shù)按照要求排列時、需在1和1中間放入1個數(shù)，在2和2中間放入2個數(shù)，.…在〃和〃中間放入〃個數(shù)，共放入了空W個數(shù)，由于排列完成后共有2〃個數(shù)，且1,1,2,2,圖剛好放完，所以放入數(shù)字個數(shù)**必為偶數(shù)，即當辿=2&?wZ,所以〃2+鹿=4攵，/Z,所以|呼+|乃是4的倍數(shù).(1)把6個相同的小球放入4個相同的箱子中，每個箱子都不空，共有多少種放法？(2)把6個相同的小球放入4個不同的箱子中，每個箱子都不空，共有多少種放法？(3)把6個不同的小球放入4個相同的箱子中，每個箱子都不空，共有多少種放法？(4)把6個不同的小球放入4個不同的箱子中，每個箱子都不空，共有多少種放法？【答案】(1)2；(2)10；(3)65；(4)1560.【分析】(1)根據(jù)條件每個箱子先放一個，確定余下兩個小球的放法即為答案；(2)將6個相同的小球排成一列，利用隔板法求解即得；(3)把6個不同的小球按2,2,1,1和3,1,1,1兩種方案分成4組，求出所有分組方法數(shù)即可；(4)把6個不同的小球按2,2,1,1和3,1,1,1兩種方案分成4組，再將每一種分法放入4個不同箱子即可得解.【詳解】(1)把6個相同的小球放入4個相同的箱子中，每個箱子至少放1個小球，每個箱子先放入1個小球，還剩下2個小球，則余下2個小球放在1個箱子中，或分開放在2個箱子中，所以共有2種放法；6個相同的小球放入4個不同的箱子，每個箱子至少放1個小球，將6個相同的小球排成一列，在形成的中間5個空隙中插入3塊隔板，所以不同的放法種數(shù)為C：=10；6個不同的小球放入4個相同的箱子，每個箱子至少放1個小球，先把6個不同的小球按2,2,1,1和3,1,1,1兩種方案分成4組，每一種分法的4組小球分別放入4個箱子滿足要求，一種分組方法即為一種放法，C2c2cde1所以不同的放法種數(shù)為+=65；6個不同的小球放入4個不同的箱子，每個箱子至少放1個小球，先把6個不同的小球按2,2,1,1和3,1,1,1兩種方案分成4組，每一種分法的4組小球全排列，得到的每一個排列的4組小球分別放入4個箱子滿足要求，所以不同的放法種數(shù)為(C《：C+C：)?A：=1560.A;A;19.江夏一中高二年級計劃假期開展歷史類班級研學活動，共有6個名額，分配到歷史類5個班級(每個班至少。個名額，所有名額全部分完).(1)共有多少種分配方案？6名學生確定后，分成A、B、C、。四個小組，每小組至少一人，共有多少種方法？6名學生來到武漢火車站.火車站共設有3個“安檢”入口，每個入口每次只能進1個旅客，求6人進站的不同方案種數(shù).【答案】(1)210；(2)1560；(3)729.【解析】(1)將問題轉化為不定方程%+%+尤3+%+/=6的非負整數(shù)解問題，再利用隔板原理進行求解；4、B、C、。四個小組即可；(3)每名學生有3種進站方法，分步乘法計數(shù)原理即得6人進站的不同方案種數(shù).【詳解】(1)由題意得：問題轉化為不定方程石+犬2+工3+尤4+%5=6的非負整數(shù)解的個數(shù)，???方程又等價于不定方程%+/ +Z+/=11的正整數(shù)解的個數(shù)，利用隔板原理得：方程正整數(shù)解的個數(shù)為＜4=210,，共有210種分配方案.(2))先把6名學生按人數(shù)分成沒有區(qū)別的4組，有2類：1人，1人，1人，3人和1人，1人，2人，2人,再把每一類中的人數(shù)分到A、B、C、。四個小組.第一種分法：1人，1人，1人，3人，有C：A：=480種方法；r2r2第二種分法：1人，1人，2人，2人，有十乂+xA：=1080種方法.共有480+1080=1560種方法.（3）每名學生有3種進站方法，分步乘法計數(shù)原理得6人進站有36=729種不同的方案.【點睛】本題考查隔板原理的應用，考查平均分組、分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理，考查學生的邏輯推理能力和計算能力.20.5名男生4名女生站成一排，求滿足下列條件的排法：（1）女生都不相鄰有多少種排法？（2）男生甲、乙、丙排序一定（只考慮位置的前后順序），有多少種排法？（3）男甲不在首位，男乙不在末位，有多少種排法？【答案】（1）43200（2）60480（3）287280【詳解】試題分析：（1）不相鄰排法，可使用插空法，先將男生排好，再將男生排入女生的空檔中；（2）可以先將所有學生任意全排列，再將男生三人的多余排法除去；（3）分類，先考慮甲在末位；甲在首位，乙在末位；甲不在首位，乙在末位；甲乙都在首位與末位的.試題解析：解：（1）任何2名女生都不相鄰，則把女生插空，所以先排男生再讓女生插到男生的空中，共有64=43200（種）不同排法.（2）9人的所有排列方法有4種，其中甲、乙、丙的排序有用種，又對應甲、乙、丙只有一種排序，A9所以甲、乙、丙排序一定的排法有片=6048。（種）.4（3）法一：甲不在首位，按甲的排法分類，若甲在末位，則有履種排法，若甲不在末位，則甲有4種排法，乙有4種排法，其余有種排法，綜上共有（履+A；A；用）=287280（種）排法.（或者）工-2履+=287280（種）（或者）用-=287280（種）點睛：在處理排列問題時，要以兩個原理為基礎，確定好是分類還是分步，再用排列數(shù)表示每類或每步的個數(shù)，遇到特殊元素或特殊位置可用以下常見思路解決.一般情況下，會從受到限制的特殊元素開始考慮，有時也從特殊的位置開始討論，對于相鄰問題，常用“捆綁法“；對于不相鄰問題，常用“插空法”（特殊元素后考慮），對于“在“與“不在”的問題，常常使用“直接法“或“排除法”（特殊元素先考慮）.21.把1、2、3、4、5這五個數(shù)字組成無重復數(shù)字的五位數(shù)，并把它們由小大到的順序排成一個數(shù)列.（I）求43251是這個數(shù)列的第幾項；（II）求這個數(shù)列的第96項；(Ill)求這個數(shù)列的所有項和.【答案】(1)第88項.(2)45321.(3)3999960.【詳解】試題分析：(1)可從反面出發(fā)：大于43251的數(shù)可分為以下三類：以5開頭，以45開頭，以435開頭，最后用反減即得，(2)比第96項所表示的五位數(shù)大的五位數(shù)有耳-96=24個，而以5開頭的有24(個)，所以第96項為45321(3)每位數(shù)字之和為1+2+3+4+5,共有閣=24(個)，所以所有項和為(1+2+3+4+5)x24x(1+10+100+1000+10000)試題解析：(I)大于43251的數(shù)可分為以下三類：第一類：以5開頭的有8=24(個)，第二類：以45開頭的有￡=6(個)，第三類：以435開頭的有用=2(個)，故不大于43251的五位數(shù)有8-(24+6+2)=88(個)，即43251是第88項.(II)數(shù)列共有120項，96項之后還有120-96=24項.即比第96項所表示的五位數(shù)大的五位數(shù)有24個，???小于5開頭的五位數(shù)中最大的一個就是該數(shù)列的第96項，即為45321.(III)???123,4,5各在萬位上時都有24個五位數(shù)，，萬位上數(shù)字的和為(1+2+3+4+5N24,同理1,2,3,4,5在千位、百位、十位、個位上也有24個五位數(shù)，.??這個數(shù)列的所有項和為(1+2+3+4+5)x24x(1+10+100+1000+10000)=15x24x11111=3999960.22.在數(shù)字1,2,???，〃(論2)的任意一個排列A：〃/,〃2,,。歷中，如果對于八六N*,有3＞勾,那么就稱(4，勾)為一個逆序?qū)?記排列A中逆序?qū)Φ膫€數(shù)為S(A).如刀=4時,在排列B：3,2,4,1中,逆序?qū)τ?3,2),(3,1),(2,1),(4,1),則S(B)=4.(1)設排列C：3,5,6,4,1,2,寫出S(C)的值；(2)對于數(shù)字1,2,…，〃的一切排列A,求所有S(A)的算術平均值；(3)如果把排列A：0，。2,…，斯中兩個數(shù)字加勾g)交換位置，而其余數(shù)字的位置保持不變，那么就得到一個新的排列Albi,b2,??.,b〃,求證：S(A)+S(A1)為奇數(shù).【答案】(1)10(2)嗎D(3)證明見解析4【分析】(I)由逆序?qū)Φ亩x，列舉即可得到所求值為10；(2)考察排列D：山,ch,…，dn/，dn,運用組合數(shù)可得排列D中數(shù)對(力山)共有C；=""二1個,2即可得到所有s(A)的算術平均值；(3)討論⑴當尸+1,即即勾相鄰時，(ii)當并i+1,即山，切不相鄰時,由新定義,運用調(diào)整法,可得S(A)+S(A')為奇數(shù).【詳解】(1)逆序?qū)τ?3,1),(3,2),(5,4),(5,1),(5,2),(4,1),(4,2),(6,4),(6,1),(6,2)則S(C)=10；(2)考察排列D：di,ch,dn-b與排列Di：dn,dn/，…,ch,di,因為數(shù)對(由，dj)與Qdj,di)中必有一個為逆序?qū)?其中1WV左〃)，且排列D中數(shù)對(由，dj)共有C：=巫二D個，所以S(D)+S(Dj=」一所以排列D與D］的逆序?qū)Φ膫€數(shù)的算術平均值為嗎1，4而對于數(shù)字1,2,〃的任意一個排列A：aj9。2,…，an,都可以構造排列Ai：an-i,…，。2,an且這兩個排列的逆序?qū)Φ膫€數(shù)的算術平均值為w”，4所以所有S(A)的算術平均值為嗎(3)證明：(i)當戶計1,即出,句相鄰時，不妨設山〈出十人則排列A為幻,。2,…,ai-bai+i9不出+2,an9此時排列A，與排列A：ab。2,…，相比,僅多了一個逆序?qū)Υ薸+/,ai),所以S(A1)=S(A)+1,所以S(A)+S(A>2S(A)+1為奇數(shù)，(ii)當片i+1,即山,行不相鄰時,假設出，包?之間有加個數(shù)字,記排列A：ai9〃2,…,ai,ki,依,km,aj，…,an,先將出向右移動一個位置,得到排列Ai：ai,42,…，ai-b先先左2,…,km,aj,cm,由(i)知S(Ai)與S(A)的奇偶性不同,再將c"向右移動一個位置，得到排列A2：ai,Q2,…，Qi-i,ki,攵2,ai,依，??.，km,aj,an,由(i)知S(A2)與S(Ai)的奇偶性不同，以此類推，出共向右移動機次，得到排列A加：ab。2,.?.，kb%2,??.，km,ai,aj，…,an,再將旬?向左移動一個位置，得到排列Am+八ai942,??.，ai-bki，…,km,aj,ai9an,以此類推,可共向左移動機+1次，得到排列A2/n+/：an。2,??.,aj,ki，…,km,ai,an,即為排列A;由(i)可知僅有相鄰兩數(shù)的位置發(fā)生變化時，排列的逆序?qū)€數(shù)的奇偶性發(fā)生變化，而排列A經(jīng)過2m+l次的前后兩數(shù)交換位置，可以得到排列A1,所以排列A與排列6的逆序數(shù)的奇偶性不同，所以S(A)+S(A')為奇數(shù).綜上，得S(A)+S(A')為奇數(shù).【分析】共有三種情況，3人各站一個臺階，或有一個臺階有2人另一個是1人，或3人站一個臺階，然后根據(jù)分類計數(shù)原理即得.【詳解】由題意知本題需要分組解共有三種情況：第一種情況是3人各站一個臺階，有A，種;第二種情況有一個臺階有2人，另一個臺階是1人，共有C；用種,第三種情況3人站一個臺階，有A；種所以根據(jù)分類計數(shù)原理知共有不同的站法種數(shù)是用+C；G+￡=343種.故選：C..現(xiàn)有語文、數(shù)學、外語、物理、化學、生物各一本，均分給3個人，其中數(shù)學和物理不分給同一個人,則不同的分配方法有()A.36 B.54 C.72 D.84【答案】C【分析】先計算將6本書平均分給三人，再計算數(shù)學物理作為一組分配給一個人的分法，利用間接法即可求解.①，將6本書分成3組，有鐘①，將6本書分成3組，有鐘G=15種分組方法，②，將分好的三組全排列，對應三人，有6=6種情況，則將6本書平均分給三人，有15x6=90種分配方法;再計算其中數(shù)學和物理分給同一個人的情況，分2步分析:C2c2①，將除數(shù)學和物理之外的4本書，分成2組，有個=3種分組方法,4②，將數(shù)學和物理作為1組，和其他2組一起全排列，對應三人，有6=6種情況，則數(shù)學和物理分給同一個人的分配方法有3x6=18種分派方法，則數(shù)學和物理不分給同一個人的分配方法有90-18=72種；故選：C.若從甲、乙2名女志愿者和6名男志愿者中選出正組長1人，副組長1人，普通組員2人到北京冬奧會花樣滑冰場館服務，且要求女志愿者甲不能做正組長，女志愿者乙不能做普通組員，則不同的選法種數(shù)為()A.210B.390C.555D.660【答案】C【分析?】分為四種情況即可得出答案，第一種4人均從6名男志愿者中選取，第二種女志愿者甲被選中且乙沒有被選中，第三種女志愿者乙被選中且甲沒有被選中，第四種女志愿者甲、乙均被選中.【詳解】若4人均從6名男志愿者中選取，則不同的選法種數(shù)為C；C；C；=180；若女志愿者甲被選中且乙沒有被選中，則不同的選法種數(shù)為C：C；+C；C；C；=180；若女志愿者乙被選中且甲沒有被選中，則不同的選法種數(shù)為C；C；x2=120；若女志愿者甲、乙均被選中，則不同的選法種數(shù)為或+C：C；x2=75.所以滿足題意的不同選法種數(shù)為180+180+120+75=555.故選：C.5.一個國際象棋棋盤（由8x8個方格組成），其中有一個小方格因破損而被剪去（破損位置不確定）FL”形骨牌由三個相鄰的小方格組成，如圖所示.現(xiàn)要將這個破損的棋盤剪成數(shù)個形骨牌，則（）國際象根棋盤國際象根棋盤A.至多能剪成A.至多能剪成19塊形骨牌C.一定能剪成21塊形骨牌【答案】CB.至多能剪成20塊“L”形骨牌D.前三個答案都不對【分析】由如用的一個圖形能剪成2塊“L”形骨牌，在一個國際象棋棋盤（由8x8個方格組成），共包含有10個這樣的能剪成2塊形骨牌的圖形，且包含一個田字圖形，這個田字圖形能剪成1塊形骨牌,據(jù)此即可求出最多可以剪出多少個形骨牌.【詳解】由下圖的一個圖形能剪成2塊形骨牌，i在一個國際象棋棋盤（由8x8個方格組成），共包含有10個這樣能剪成2塊形骨牌的圖形，且包含一個田字圖形，這個田字圖形能剪成1塊形骨牌，故要將這個破損的棋盤剪成數(shù)個形骨牌，一定能剪成21塊形骨牌.故選：C..學校決定把12個參觀航天航空博物館的名額給二（1）、二（2）、二（3）、二（4）四個班級.要求每個班分得的名額不比班級序號少；即二（1）班至少1個名額，二⑵班至少2個名額，……，則分配方案有（）A.10種 B.6種 C.165種 D.495種【答案】A【詳解】根據(jù)題意，先在編號為2、3、4的3個班級中分別分配1、2、3個名額，編號為1的班級里不分配；再將剩下的6個名額分配4個班級里，每個班級里至少一個，分析可得，共。5?=1。種放法，即可得符合題目耍求的放法共1。種，故答案為A.現(xiàn)安排甲乙丙丁戊5名學生分別擔任語文、數(shù)學、英語、物理、化學學科的科代表，要求甲不當語文科代表，乙不當數(shù)學科代表，若丙當物理科代表則丁必須當化學科代表，則不同的選法共有多少種A.53 B.67 C.85 D.91【答案】B【詳解】丙當物理課代表則丁必須當化學課代表，以丙進行分類第一類，當丙當物理課代表時，丁必須當化學課代表，再根據(jù)甲當數(shù)學課代表，乙戊可以當英語和語文中的任一課，有&=2種，當甲不當數(shù)學課代表，甲只能當英語課代表，乙只能當語文課代表，戊當數(shù)學課代表，有1種，共計2+1=3種，第二類，當丙不當物理課代表時，分四類①丙為語文課代表時，乙只能從英語、物理和U學中選擇一課，剩下的甲丁戊任意排給剩下的三課，有種聞-6=18,②丙為數(shù)學課代表時，甲只能從英語、物理和化學課，剩下的乙丁戊任意排給剩下的三課，有凡.8=18種，③丙為英語課代表時，繼續(xù)分類，甲當數(shù)學課代表時，其他三位同學任意當有6=6種，當甲不當數(shù)學課代表，甲只能從物理和化學課中選一課，乙只能從語文和甲選完后的剩下的一課中選一課，丁和戊做剩下的兩課，有司?4?A；=8,共計8、=種④丙為化學課代表時，同③的選法一樣有14種，根據(jù)分類計數(shù)原理得，不同的選法共有3+18+18+14+14=67故選氏【方法點睛】本題主要考查分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理及排列組合的應用，屬于難題?有關排列組合的綜合問題，往往是兩個原理及排列組合問題交叉應用才能解決問題，解答這類問題理解題意很關鍵，一定多讀題才能挖掘出隱含條件.解題過程中要首先分清”是分類還是分步”、“是排列還是組合”，在應用分類計數(shù)加法原理討論時，既不能重復交叉討論又不能遺漏，這樣才能提高準確率..小林同學喜歡吃4種堅果：核桃、腰果、杏仁、榛子，他有5種顏色的“每日堅果”袋.每個袋子中至少裝1種堅果，至多裝4種堅果.小林同學希望五個袋子中所裝堅果種類各不相同，且每一種堅果在袋子中出現(xiàn)的總次數(shù)均為偶數(shù)，那么不同的方案數(shù)為()A.20160 B.20220 C.20280 D.20340【答案】A【分析】設出核桃、腰果、杏仁、榛子為“，匕X,Z,分類討論求出分堆情況，再進行排列，求出最后答案.【詳解】依次記核桃、腰果、杏仁、榛子為從匕X,Z,則每個字母出現(xiàn)2次或4次，分類計算分堆可能：(1)/7,H；Y,Y；X,X；Z,Z.若是“8=4+1+1+1+10則其中的“4"必須是"KXZ,故1種可能；若是“8=3+2+1+1+1?,則考慮(”力0(2※)(X)(X),故有種可能；若是“8=1+1+2+2+2”,則考慮(Z)(X)(2※)若※)(※※》故有冠=12種可能;小計：1+12+12=25；(2)諸如“凡H,H,H；Y；X,X；乙，類型若是“10=4+3+1+1+1”，則四個H無論怎么安排，都會出現(xiàn)某兩個袋僅放H,故。種可能；若是“10=4+2+2+1+1”，則“1+1”中有一個是〃“4+2+2”中各一個凡“2+2”中除了一個H外,另一個互異，故有C；=3種可能；若是“10=3+3+2+1+1”,則“1+1”中各有1個H,“3+3+2”中各一個H,可以考慮含※模式，5※※)(7/※※)(//※)(X)QH),故有C；A；=6種可能;若是“10=3+2+2+2+1”，則可用下表進一步分類，有l(wèi)+C；+C；C；=10種可能;YXZ以※H成※//※X※※H若是“10=2+2+2+2+2”，則四個〃至少有兩個出現(xiàn)搭配相同，故。種可能;小計：《*(。+3+6+10+0)=76；(3)諸如“h,h,h,h；y,y,y,y；x,x；z,z’類型若是“12=4+4+2+1+1”，則“4+4”必然重復，故。種可能；若是“12=4+3+3+1+1”,則枚舉“3+3”的情況,發(fā)現(xiàn)僅QHYXZ)(HFZ)(HYX)(Z)若)可能；若是“12=4+3+2+2+1”，則考慮(HYXZ)("丫※)(派派)(派派)(※)或(”次Z)(XZX)(※※)(※※)(※只故有C；C；=4種可能；若是“12=3+3+3+2+1”，貝IJ有(HYX)(HYZ)(ZXH)(HY)(Y)或(HYX)(HYZ)(ZXY)(HY)(H)都成立，有2種可能；若是“12=3+3+2+2+2”，則枚舉“3+3”的情況，發(fā)現(xiàn)(HYX)(HYZ)(HY)(月※)(丫※)，有2種可能.小計C：x9=54；諸如h,h,h；y,y,y,y；x,x,x,x；z,z’類型若是“14=4+4+*+*+*”，則“4+4”必然重復，故。種可能；若是“14=4+3+3+3+1”,則“4+3+3+3”中至少有3個Z,故0種可能；若是“14=4+3+3+2+2"，貝『4+3+3”至少有2個Z,考慮(”KXZ)(HKX)(工※※)(※※)(※※)，其中有C；=3種可能，故此小類有3種可能；若是“14=3+3+3+3+2”,則“3+3+3+3”中至少有3個Z,故0種可能；小計3C：=12；(5)h,h,h；r,y,y,y；x,x,x,x；z,z,z,z'只有"16=4+3+3+3+3”的搭配，有1種可能；綜上：共有25+76+54+12+1=168個分堆可能，故不同的方案數(shù)為1686=168x120=20160種.故選：A【點睛】比較復雜一些的排列組合問題，要結合分類加法原理和分步乘法原理進行求解，特別是分類標準，要做到不重不漏，本題中，應用的是把8/0,12』4,16分為5個數(shù)(從1至IJ4)的和的分類標準，可以做到不重不漏.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得。分，部分選對的得2分..下列命題中，正確的命題是()A.長時間玩手機可能影響視力，據(jù)調(diào)查，某校學生大約40%的人近視，而該校大約有20%的學生每天玩手機超過13這些人的近視率約為50%.現(xiàn)從每天玩手機不超過1人的學生中任意調(diào)查一名學生，則他近視的概率為］OB.在三位數(shù)中，形如“而a 的數(shù)叫做“對稱凹數(shù)”,如:212,434,…，則在所有三位數(shù)中共有37個對稱凹數(shù)C.北京2022年冬奧會即將開幕，北京某大學5名同學報名到甲、乙、丙三個場館做志愿者，每名同學只去1個場館，每個場館至少安排1名志愿者，則不同的安排方法共有150種D.用數(shù)字0,1,2,3,4組成沒有重復數(shù)字且比1000大的四位奇數(shù)共有36個【答案】ACD【分析】設該學校的學生數(shù)為加，得出該校學生有0.4加人近視，有0.2加人學生每天玩手機超過有0.8機人學生每天玩手機不超過1人，每天玩手機超過的近視的學生人數(shù)為。1加，可得每天玩手機不超過1/7的近視的學生為03%,從而可判斷A；利用列舉法可判斷BD；5名同學分三組有14,3和2,1,2兩種分法再計算每種情況的安排分法可判斷C.【詳解】對于A,假設該學校的學生數(shù)為加，因為該校學生大約40%的人近視，所以該校學生大約有mxO.4=0.4m人近視，因為該校大約有20%的學生每天玩手機超過1口所以該校大約有3<。2=0.為人學生每天玩手機超過1h,所以該校有6-。2〃2=0.86人學生每天玩手機不超過1h,因為每天玩手機超過1h的近視率約為50%,所以該校每天玩手機超過l/i的近視的學生人數(shù)為。2g<0.5=01%所以該校每天玩手機不超過"的近視的學生為。4m-0.1加=0.3加，所以從每天玩手機不超過1%的學生中任意調(diào)查一名學生，則他近視的概率為粵=］故正確；0.8帆8對于B,當人=0時，。=1,2,3,4,5,6,7,8,9,共有9個“對稱凹數(shù)”，當人=1時，4=2,345,6,7,8,9,共有8個“對稱凹數(shù)”，當〃=2時，。=3,4,5,6,7,8,9,共有7個“對稱凹數(shù)1當人=30寸，。=4,5,6,7,8,9,共有6個“對稱凹數(shù)”，當b=4時,。=5,6,7,8,9,共有5個“對稱凹數(shù)”,當人=5時，。=6,7,8,9,共有4個“對稱凹數(shù)”,當〃=6時，々=7,8,9,共有3個“對稱凹數(shù)”,當匕=7時，〃=8,9,共有2個“對稱凹數(shù)”,當6=8時:4=9,共有1個“對稱凹數(shù)”，則在所有三位數(shù)中共有9+8+7+6+4+5+3