數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊(cè)1.4.2用空間向量研究夾角問(wèn)題（共19張ppt）

1.4.2用空間向量研究夾角問(wèn)題單位向量：投影向量:知識(shí)回顧投影:點(diǎn)到線的距離點(diǎn)P到直線AB的距離

lAQP知識(shí)回顧lAuQPB點(diǎn)到面的距離

nPAQ直線與直線所成的角直線與平面所成的角平面與平面所成的角導(dǎo)入問(wèn)題：與距離一樣，角度是立體幾何中的另一類(lèi)度量問(wèn)題.向量是有方向的量，所以利用向量研究角度問(wèn)題有其獨(dú)特的優(yōu)勢(shì).本節(jié)我們用空間向量研究角的問(wèn)題，你認(rèn)為可以按怎樣的順序展開(kāi)研究.研究路徑：

求解直線與直線所成的角如圖，在棱長(zhǎng)為1的正四面體ABCD中，M,N分別是BC,AD的中點(diǎn)，求直線AM和CN夾角的余弦值.ABCDNM分析：直線AM和CN夾角的余弦值典例1第1步：化為向量問(wèn)題第2步：進(jìn)行向量運(yùn)算

ABCDNM

第3步：回到圖形問(wèn)題

例題小結(jié)1化為向量問(wèn)題進(jìn)行向量運(yùn)算回到圖形問(wèn)題

向量法或坐標(biāo)法解:過(guò)A作AO垂直于平面BCD,易知分別以直線OC,OA,為x,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系(如右圖).1.利用空間向量求兩異面直線所成角的步驟.(1)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系.(2)求出兩條異面直線的方向向量的坐標(biāo).(3)利用向量的夾角公式求出兩直線方向向量的夾角.(4)結(jié)合異面直線所成角的范圍得到兩異面直線所成角.2.求兩條異面直線所成的角的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn).(1)余弦值非負(fù):兩條異面直線所成角的余弦值一定為非負(fù)值,而對(duì)應(yīng)的方向向量的夾角可能為鈍角.(2)范圍:異面直線所成角的范圍是

,故兩直線方向向量夾角的余弦值為負(fù)時(shí),應(yīng)取其絕對(duì)值.用向量方法解決幾何問(wèn)題的基本步驟：幾何問(wèn)題

向量問(wèn)題

向量運(yùn)算

幾何解釋歸納總結(jié)問(wèn)題2你能用向量方法求問(wèn)題1中的直線AB與平面BCD所成的角嗎？

如何用空間向量求直線與平面所成的角？追問(wèn)：這個(gè)問(wèn)題的已知條件是什么？如何將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化成向量問(wèn)題？直線與平面所成的角，可以轉(zhuǎn)化為直線的方向向量與平面的法向量的夾角.

直線AB與平面BCD所成的角的正弦值

平面與平面所成的角，可以轉(zhuǎn)化為法向量與法向量的夾角.

解：①化為向量問(wèn)題②進(jìn)行向量運(yùn)算③回到圖形問(wèn)題用空間向量解決立體幾何問(wèn)題的“三步曲”：小結(jié)①建立空間立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問(wèn)題中涉及的點(diǎn)、直線、平面，把立體解決問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；（化為向量問(wèn)題）②通過(guò)向量運(yùn)算，研究點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系以及它們之間的距離和夾角等問(wèn)題；（進(jìn)行向量運(yùn)算）③把向量運(yùn)算的結(jié)果“翻譯”成相應(yīng)的幾何結(jié)論.（回到圖形問(wèn)題）直線與直線的夾角直線與平面的夾角

平面與平面的夾角

l1l2uv

nBACu

n1n2（1）這節(jié)課主要學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？（2）研究這些內(nèi)容主要用了什么方法？（3）用向量方法解決立體幾何