上海市寶山區(qū)長(zhǎng)江第二中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析

上海市寶山區(qū)長(zhǎng)江第二中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時(shí)，初始值n應(yīng)等于（

）A.1 B.4 C.5 D.6參考答案：D【分析】根據(jù)題意，分別驗(yàn)證，求得時(shí)，，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時(shí)，初始值應(yīng)等于6，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，其中解答中熟記數(shù)學(xué)歸納法的證明方法與步驟是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題能力，屬于基礎(chǔ)題.2.在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M為AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)C到平面A1DM的距離為（）A．a(chǎn)B．a(chǎn) C．a(chǎn) D．a(chǎn)參考答案：A【考點(diǎn)】點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算．【專題】計(jì)算題．【分析】連接A1C、MC，三棱錐A1﹣DMC就是三棱錐C﹣A1MD，利用三棱錐的體積公式進(jìn)行轉(zhuǎn)換，即可求出點(diǎn)C到平面A1DM的距離．【解答】解：連接A1C、MC可得=△A1DM中，A1D=，A1M=MD=∴=三棱錐的體積：所以d

（設(shè)d是點(diǎn)C到平面A1DM的距離）∴=故選A．

【點(diǎn)評(píng)】本題以正方體為載體，考查了立體幾何中點(diǎn)、線、面的距離的計(jì)算，屬于中檔題．運(yùn)用體積計(jì)算公式，進(jìn)行等體積轉(zhuǎn)換來求點(diǎn)到平面的距離，是解決本題的關(guān)鍵．3.雙曲線的漸近線方程為(

)A.

B.

C.

D.參考答案：試題分析：令,解得考點(diǎn)：雙曲線漸近線的求法.4.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝[1＋(－1)n＋1]，則該數(shù)列的前4項(xiàng)依次是()A．1,0,1,0

B．0,1,0,1

C.，0，，0

D．2,0,2,0參考答案：A5.若雙曲線的左焦點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，則P的值為(

)A、2

B、3

C、4

D、參考答案：C6.已知函數(shù)f（x）=滿足對(duì)任意的實(shí)數(shù)x1≠x2都有＜0成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A．（﹣∞，2） B．（﹣∞，] C．（﹣∞，2] D．[，2）參考答案：B【考點(diǎn)】5B：分段函數(shù)的應(yīng)用．【分析】由已知可得函數(shù)f（x）在R上為減函數(shù)，則分段函數(shù)的每一段均為減函數(shù)，且在分界點(diǎn)左段函數(shù)不小于右段函數(shù)的值，進(jìn)而得到實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解答】解：若對(duì)任意的實(shí)數(shù)x1≠x2都有＜0成立，則函數(shù)f（x）在R上為減函數(shù)，∵函數(shù)f（x）=，故，解得：a∈（﹣∞，]，故選：B．7.在直三棱柱中，：

則直線與平面所成角的正弦值為(

)

A．

B．

C．

D．參考答案：C8.若分別是方程,,的實(shí)根,則(

).A.

B.

C.

D.參考答案：A略9.用反證法證明命題“已知，，，則a,b中至多有一個(gè)不小于0”時(shí)，假設(shè)正確的是（

）A.假設(shè)a,b都不大于0 B.假設(shè)a,b至多有一個(gè)大于0C.假設(shè)a,b都小于0 D.假設(shè)a,b都不小于0參考答案：D【分析】利用反證法的定義寫出命題結(jié)論的否定即可.【詳解】根據(jù)反證法的概念，假設(shè)應(yīng)是所證命題結(jié)論的否定，所以假設(shè)應(yīng)為：“假設(shè)a,b都不小于0”，故選：D【點(diǎn)睛】反證法的適用范圍是:（1）否定性命題；（2）結(jié)論涉及“至多”、“至少”、“無限”、“唯一”等詞語的命題；（3）命題成立非常明顯，直接證明所用的理論較少，且不容易證明，而其逆否命題非常容易證明；（4）要討論的情況很復(fù)雜，而反面情況較少．10.設(shè)，則“”是的（

）A．必要而不充分條件

B．充分而不必要條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：B集合是的真子集，由集合包含關(guān)系可知“”是的充分而不必要條件.本題選擇B選項(xiàng).

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖，在透明塑料制成的長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1容器內(nèi)灌進(jìn)一些水，將容器底面一邊BC固定于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜度的不同，有下列四個(gè)說法：①有水的部分始終呈棱柱狀；②水面四邊形EFGH的面積不改變；③棱A1D1始終與水面EFGH平行；④當(dāng)E∈AA1時(shí)，AE+BF是定值．其中正確說法是

．參考答案：①③④

【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】①由于BC固定，所以在傾斜的過程中，始終有AD∥EH∥FG∥BC，且平面AEFB∥平面DHGC，由此分析可得結(jié)論正確；②水面四邊形EFGH的面積是改變的；③利用直線平行直線，直線平行平面的判斷定理，容易推出結(jié)論；④當(dāng)E∈AA1時(shí)，AE+BF是定值．通過水的體積判斷即可．【解答】解：根據(jù)面面平行性質(zhì)定理，可得BC固定時(shí)，在傾斜的過程中，始終有AD∥EH∥FG∥BC，且平面AEFB∥平面DHGC，故水的形狀成棱柱形，故①正確；水面四邊形EFGH的面積是改變的，故②錯(cuò)誤；因?yàn)锳1D1∥AD∥CB∥EH，A1D1?水面EFGH，EH?水面EFGH，所以A1D1∥水面EFGH正確，故③正確；由于水的體積是定值，高不變，所以底面ABFE面積不變，即當(dāng)E∈AA1時(shí)，AE+BF是定值．故④正確．故答案為：①③④．12.設(shè),則的單調(diào)遞增區(qū)間是參考答案：略13.設(shè)函數(shù),若,則

.參考答案：3略14.曲線在點(diǎn)處的切線方程為________參考答案：略15.已知圓：x2＋y2－4x＋6y＝0和圓：x2＋y2－6x＝0相交于A，B兩點(diǎn)，則AB的垂直平分線的方程為

.參考答案：3x－y－9＝016.連續(xù)擲一枚均勻的正方體骰子(6個(gè)面分別標(biāo)有1,2,3,4,5,6).現(xiàn)定義數(shù)列:當(dāng)向上面上的點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù)時(shí),;當(dāng)向上面上的點(diǎn)數(shù)不是3的倍數(shù)時(shí),.設(shè)S是其前項(xiàng)和,那么S=3的概率是

.參考答案：17.=_____________.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓的離心率為，左右焦點(diǎn)分別為F1和F2，以點(diǎn)F1為圓心，以3為半徑的圓與以點(diǎn)F2為圓心，以1為半徑的圓相交，且交點(diǎn)在橢圓C上．（1）求橢圓C的方程．（2）設(shè)橢圓，P為橢圓C上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線交橢圓E于A、B兩點(diǎn)，射線PO交橢圓E于點(diǎn)Q．①求的值．②（理科生做）求面積的最大值．③（文科生做）當(dāng)時(shí)，面積的最大值．參考答案：見解析．解：（1）設(shè)兩圓的一個(gè)交點(diǎn)為，則，，由在橢圓上可得，則，，得，則，故橢圓方程為．（2）①橢圓為方程為，設(shè)，則有，在射線上，設(shè)，代入橢圓可得，解得，即，．②（理）由①可得為中點(diǎn)，在直線上，則到直線的距離與到直線的距離相等，故，聯(lián)立，可得，則，，，聯(lián)立，得，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故最大值為．②（文）此時(shí)直線方程為，由①可得為的中點(diǎn)，而在直線上，則到直線的距離與到直線的距離相等，則，聯(lián)立，可得，則，，，聯(lián)立，得，，．故最大值為．19.已知.（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若存在，使不等式成立，求的取值范圍.參考答案：【解】（Ⅰ）∵………1分由，得當(dāng)時(shí)，，在上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，在上為增函數(shù)，……4分在時(shí)有最小值.……………5分（Ⅱ）…………7分令…………8分則∴當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí)∴………………10分要想存在正數(shù),使,則有∴所求的的取值范圍是.………12分略20.（本小題滿分分）已知：方程表示橢圓，：方程表示圓，若真假，求實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案：真：,解得；………………

2分真：解得.…………4分∵,∴，解得………

6分21.(本小題滿分12分)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.

(1)求角；

(2)若，求的面積.參考答案：(1)（2）試題分析：(1)利用正弦定理對(duì)進(jìn)行化簡(jiǎn)即可得出答案；（2）由余弦定理加上可得出ab=6,進(jìn)而求出的面積；試題解析：（1）由已知及正弦定理得，，即故，可得，所以…………6分(2)由已知及余弦定理得，，故，又因此，，所以的面積……12分考點(diǎn)：1.正弦定理應(yīng)用；2.余弦定理的應(yīng)用；22.已知直線l：y=kx+1，圓C：（x﹣1）2+（y+1）2=12．（1）試證明：不論k為何實(shí)數(shù)，直線l和圓C總有兩個(gè)交點(diǎn)；（2）求直線l被圓C截得的最短弦長(zhǎng)．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系．【分析】（1）聯(lián)立直線l與圓C方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)根的判別式恒大于0，得到不論k為何實(shí)數(shù)，直線l和圓C總有兩個(gè)交點(diǎn)；（2）設(shè)直線與圓相交于A（x1，y1），B（x2，y2），表示出直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)，設(shè)t=，討論出t的最大值，即可確定出弦長(zhǎng)的最小值．【解答】解：（1）由，消去y得到（k2+1）x2﹣（2﹣4k）x﹣7=0，∵△=（2﹣4k）2+28k2