生物醫(yī)學(xué)信號處理-52-周期圖及其估計質(zhì)量課件

1）間接方法2）直接方法如果xN(n)的傅里葉變換用XN(ejw)表示那么xN(-n)的傅里葉變換為X*N(ejw)式中,Sper(ejw)稱為周期圖,它是Gxx(ejw)的估計。周期圖及其估計質(zhì)量設(shè){xn}是均值為0的廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程，是自相關(guān)遍歷性的。xN(n)={x(0),x(1),…,x(N-1)}是取樣序列x(n)中的N個數(shù)據(jù)可以證明，兩種途徑所得的結(jié)果是一致的

周期圖法的功率譜估計公式令m=k-n,即k=m+n，則上式中的方括號部分正是有偏自相關(guān)函數(shù)的計算公式,因此得到周期圖的估計質(zhì)量理想的情況是,隨著數(shù)據(jù)記錄長度的增加,周期圖Sper(ejw)應(yīng)收斂于隨機(jī)過程的真實功率譜Gxx(ejw)。必須從統(tǒng)計的觀點討論周期圖的收斂問題,或者說,討論下式是否成立的問題為了使周期圖滿足上式的收斂條件,即為了使周期圖是均方收斂的，Sper(ejw)應(yīng)當(dāng)是Gxx(ejw)的一致估計Bartlett窗（或三角窗）周期圖的偏差式中下圖所示為

Bartlett窗及其傅里葉變換的圖像。由于WB(ejw)不是一個沖激函數(shù),因此一般情況下當(dāng)N→+∞時,WB(ejw)收斂于一個沖激函數(shù),因此可得出Sper(ejw)是漸近無偏的。周期圖的方差周期圖的方差與隨機(jī)過程的4階矩有關(guān)令x(n)是方差為σx2的高斯白噪聲隨機(jī)過程當(dāng)N→+∞時,周期圖的方差并不趨近于0由于,所以高斯白噪聲的周期圖的方差與功率譜的平方成正比例周期圖不是功率譜的一致估計。快速傅立葉變換函數(shù)y=fft(x);y=fft(x,n);y=fft(x,n,dim)x:輸入序列，其長度小于n時，尾部補零；大于n時，截斷成n點數(shù)據(jù)；

若x為矩陣，則fft函數(shù)作用于x的每一列。y:序列x的FFT，長度與x相同，一般是復(fù)序列。注意：1.對于N點的x，其FFT是N點的復(fù)數(shù)序列，其點n=N/2+1對應(yīng)奈奎斯特頻率(離散信號系統(tǒng)采樣頻率的一半)，作譜分析時僅取序列y的前一半，及前N/2點即可；y的后一半序列和前一半是對稱的。2.若N點序列x(n)(n=0,1,…,N-1)是在采樣頻率fs(Hz)下獲得的，則y=X(k)(n=0,1,…,N-1)，其中，第k點所對應(yīng)的實際頻率值為f=k*fs/N(Hz)。3.做FFT分析時，幅值大小與FFT選擇點數(shù)有關(guān)，但不影響分析結(jié)果。在計算周期圖期望值的式中,引入的

Bartlett窗wB(m)是加在自相關(guān)序列上的窗,稱為滯后窗。為說明滯后窗對周期圖期望值產(chǎn)生的影響,現(xiàn)在來看一個例子假設(shè)有一個隨機(jī)過程,它是由一個具有隨機(jī)相位的正弦信號加上白噪聲構(gòu)成的式中,φ為一個在[-π,π]區(qū)間內(nèi)均勻分布的隨機(jī)變量;v(n)為方差為σv2的白噪聲。x(n)的真實功率譜為可計算出x(n)的周期圖的期望值為下圖所示為x(n)的真實功率譜Gxx(ejw)和周期圖的期望值

E[Sper(ejw)]的圖像。注意,兩者都是偶對稱的和周期的(周期為2π),圖中只畫出了ω0~π之間的部分圖像。將兩者的圖像進(jìn)行比較,可以看到滯后窗的傅里葉變換WB(ejw)對E[Sper(ejw)]的兩方面影響①由于WB(ejw)的主瓣不是無限窄的,導(dǎo)致正弦信號中的功率擴(kuò)散到帶寬約為4π/N的整個主瓣范圍內(nèi),使本來是一根譜線的正弦信號的功率譜變成了與滯后窗傅里葉變換主瓣形狀相同的功率譜。這種影響就是滯后窗的平滑作用,可使真實功率譜中的細(xì)節(jié)變化變得模糊不清。②由于WB(ejw)有許多旁瓣,使與正弦信號功率譜(線狀譜)相卷積的結(jié)果,在ωk≈ω0±2πk/N等頻率點上形成其他的譜峰,在嚴(yán)重的情況下,這些多余的譜峰有可能掩蓋住信號中本來含有的幅度較小的窄帶成分。這種影響稱滯后窗的旁瓣泄漏。例

假設(shè)在上例式子所表示的隨機(jī)過程x(n)中,A=5,ω0=0.4π,σv2=1?，F(xiàn)有該隨機(jī)過程的50次實現(xiàn),或者說,對該隨機(jī)過程觀測了50次,每次觀測獲得了N=64個數(shù)據(jù)。根據(jù)每組數(shù)據(jù)計算得到一個周期圖,圖(a)所示的是50個周期圖的圖像?？梢钥吹?這些周期圖都在ω0=0.4π附近有一個主峰,但是50個周期圖是各不相同的。圖(b)所示的是50個周期圖的平均,近似地等于給出的周期圖期望值。如果把每次觀測的數(shù)據(jù)數(shù)目增加到N=256,那么根據(jù)這些數(shù)據(jù)計算出來的50個周期圖的圖像如圖(c)所示,圖(d)所示的是它們的平均?？梢钥闯?由于數(shù)據(jù)量增多等效于滯后窗加寬,相應(yīng)的傅里葉變換的主瓣變窄,因此,正弦信號中的功率擴(kuò)散的頻率范圍變得很窄了(圖上ω0=0.4π附近的主峰變尖銳了)。周期圖作為功率譜的估計,不僅會產(chǎn)生偏差(它是有偏估計),而且由于滯后窗頻率特性主瓣的平滑作用,限制了周期圖分辨x(n)中任何兩個頻率相近的窄帶成分的能力或頻率分辨力(或分辨率)。例如,有一個由兩個具有隨機(jī)相位的正弦信號加上白噪聲組成的隨機(jī)過程式中,A1和A2為正弦信號振幅;φ1和φ2為互不相關(guān)的均勻分布的隨機(jī)相位;v(n)為方差為σv2的白噪聲。x(n)的功率譜為周期圖的期望值為下圖所示為N=64，A1=A2=A情況下，Gxx(ejw)和

E[Sper(ejw)]的圖像。由于WB(ejw)的主瓣寬度隨數(shù)據(jù)記錄長度的減小而增加,因此,對于一定的數(shù)據(jù)記錄長度N，WB(ejw)的主瓣寬度是一定的。這樣,周期圖能夠分辨兩個頻率相近的正弦(或窄帶)信號的能力就是一定的,通常把這種頻率分辨率用WB(ejw)的主瓣寬度△ω來度量。對于圖(b)所示的Bartlett滯后窗的頻率特性,其主瓣在半功率點或從峰值下降6dB處的寬度：

△ω=0.89(2π/N),因此,周期圖的頻率分辨率為Res[Sper(ejw)]=0.89(2π/N),實際應(yīng)用中的經(jīng)驗表明，這是一個比較符合實際的估算周期圖的頻率分辨率的公式，由上式可以看出：頻率分辨率與數(shù)據(jù)量成反比關(guān)系。例

為使周期圖的頻率分辨率不大于0.05π,數(shù)據(jù)記錄長度應(yīng)為多少?解:在上式中,令

Res[Sper(ejw)]=0.89(2π/N)≤0.05π

由上式求出N≥36?，F(xiàn)在來對周期圖的頻率分辨率做一個測試。假設(shè)上例式子給出的隨機(jī)過程中,取A1=A2=A=5,ω1=0.4π,ω2=0.45π,σv2=1；對該隨機(jī)過程采集50組數(shù)據(jù),每組N=40個取樣值。下圖(a)所示的是相應(yīng)的50個周期圖的圖像,由該圖看出,其中有的周期圖能夠分辨出位于0.4π和0.45π附近的兩個正弦分量,但有的周期圖則不能。圖(b)所示的是50個周期圖的平均,可以看到兩個主峰合并在一起了。若將每組數(shù)據(jù)量由N=40增至N=64,相應(yīng)的50個周期圖及其平均的圖像如圖(c)和(d)所示，可以看出,兩個正弦分量總是能清晰地分辨出來。周期圖的隨機(jī)起伏從下圖(a)、(c)和(e)已經(jīng)看到,任何一組數(shù)據(jù)計算得到的周期圖,都在真實功率譜附近隨機(jī)起伏,這種隨機(jī)起伏并不會因為數(shù)據(jù)記錄長度的增加而減弱。實際上可以看到,數(shù)據(jù)越多,這種隨機(jī)起伏反而越密集。這樣,僅通過一個周期圖來估計功率譜是不可靠的,因此通常要將許多周期圖進(jìn)行平均,例如圖中的(b)、(d)和(f)3個平均后的周期圖,就與真實功率譜比較接近。但是,從3個平均周期圖上仍然看到了隨機(jī)起伏,而且數(shù)據(jù)記錄長度越長,這種隨機(jī)起伏越密集?，F(xiàn)在對這種隨機(jī)起伏的產(chǎn)生原因進(jìn)行分析。這意味著,在相距2π/N的整數(shù)倍的頻率上,周期圖的值是互不相關(guān)的。

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