八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)全等三角形證明輔助線分析報(bào)告

適用標(biāo)準(zhǔn)初二數(shù)學(xué)第十一章全等三角形綜合復(fù)習(xí)牢記：“有三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等”和“有兩邊及此中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等”的兩個(gè)三角形不必定全等。例1.如圖，A,F,E,B四點(diǎn)共線，ACCE，BDDF，AEBF，ACBD。求證：ACFBDE。思路：從結(jié)論ACF下手，全等條件只有BDEACBD；由AEBF兩邊同時(shí)減去EF獲得AFBE，又獲得一個(gè)全等條件。還缺乏一個(gè)全等條件，能夠是CFDE，也能夠是AB。由條件ACCE，BDDF可得ACEBDF90，再加上AEBF，ACBD，能夠證明ACEBDF，進(jìn)而獲得AB。證明ACCE，BDDFACEBDF90在RtACE與RtBDF中AEBFACBDRtACERtBDF(HL)ABAEBFAEEFBFEF，即AFBE在ACF與BDE中AFBEBACBDACFBDE(SAS)思慮：此題的剖析方法其實(shí)是“兩端湊”的思想方法：一方面從問(wèn)題或結(jié)論下手，看還需要什么條件；另一方面從條件下手，看能夠得出什么結(jié)論。再對(duì)照“所需條件”和“得出結(jié)論”之間能否符合或擁有顯然的聯(lián)系，進(jìn)而得出解題思路。小結(jié)：此題不單告訴我們?cè)鯓尤フ覍と热切渭捌淙葪l件，并且告訴我們?cè)鯓尤テ饰鲆粋€(gè)題目，得出解題思路。例2.如圖，在ABC中，BE是∠ABC的均分線，ADBE，垂足為D。求證：21C。文案大全適用標(biāo)準(zhǔn)思路：直接證明21C比較困難，我們能夠間接證明，即找到，證明2且1C。也能夠當(dāng)作將2“轉(zhuǎn)移”到。那么在哪里呢？角的對(duì)稱(chēng)性提示我們將AD延伸交BC于F，則結(jié)構(gòu)了△FBD，可以經(jīng)過(guò)證明三角形全等來(lái)證明∠2=∠DFB，能夠由三角形外角定理得∠DFB=∠1+∠C。證明：延伸AD交BC于F在ABD與FBD中ABDFBDBDBDABDFBD(ASA2DFBADBFDB90又DFB1C21C。思慮：因?yàn)榻鞘禽S對(duì)稱(chēng)圖形，因此我們能夠利用翻折來(lái)結(jié)構(gòu)或發(fā)現(xiàn)全等三角形。例3.如圖，在ABC中，ABBC，ABC90。F為AB延伸線上一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC上，BEBF，連結(jié)AE,EF和CF。求證：AECF。思路：能夠利用全等三角形來(lái)證明這兩條線段相等，重點(diǎn)是要找到這兩個(gè)三角形。以線段AE為邊的ABE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90到CBF的地點(diǎn)，而線段CF正好是CBF的邊，故只需證明它們?nèi)燃纯?。證明：ABC90，F(xiàn)為AB延伸線上一點(diǎn)ABCCBF90在ABE與CBF中ABBCABCCBFBEBFABECBF(SAS)AECF。思慮：利用旋轉(zhuǎn)的看法，不只有益于找尋全等三角形，并且有益于找對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角。小結(jié)：利用三角形全等證明線段或角相等是重要的方法，但有時(shí)不簡(jiǎn)單找到需證明的三角形。這時(shí)我們就能夠依據(jù)需要利用平移、翻折和旋轉(zhuǎn)等圖形變換的看法來(lái)找尋或利用協(xié)助線結(jié)構(gòu)全等三角形。文案大全適用標(biāo)準(zhǔn)例4.如圖，AB//CD，AD//BC，求證：ABCD。思路：對(duì)于四邊形我們知之甚少，經(jīng)過(guò)連結(jié)四邊形的對(duì)角線，能夠把原問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)槿热切蔚膯?wèn)題。證明：連結(jié)ACAB//CD，AD//BC2，34在ABC與CDA中12ACCA43ABCCDA(ASA)ABCD。思慮：連結(jié)四邊形的對(duì)角線，是結(jié)構(gòu)全等三角形的常用方法。例5.如圖，AP,CP分別是ABC外角MAC和NCA的均分線，它們交于點(diǎn)P。求證：BP為MBN的均分線。思路：要證明“BP為MBN的均分線”，能夠利用點(diǎn)P到BM,BN的距離相等來(lái)證明，故應(yīng)過(guò)點(diǎn)P向BM,BN作垂線；另一方面，為了利用已知條件“AP,CP分別是MAC和NCA的均分線”，也需要作出點(diǎn)P到兩外角兩邊的距離。證明：過(guò)P作PDBM于D，PEAC于E，PFBN于FAP均分MAC，PDBM于D，PEAC于EPDPECP均分NCA，PEAC于E，PFBN于FPEPFPDPE，PEPFPDPFPDPF，且PDBM于D，PFBN于FBP為MBN的均分線。思慮：題目已知中有角均分線的條件，或許有要證明角均分線的結(jié)論時(shí)，常過(guò)角均分線上的一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，利用角均分線的性質(zhì)或判斷來(lái)解答問(wèn)題。文案大全適用標(biāo)準(zhǔn)例6.如圖，D是ABC的邊BC上的點(diǎn)，且CDAB，ADBBAD，AE是ABD的中線。求證：AC2AE。思路：要證明“AC2AE”，不如結(jié)構(gòu)出一條等于2AE的線段，而后證其等于AC。因此，延伸AE至F，使EFAE。證明：延伸AE至點(diǎn)F，使EFAE，連結(jié)DF在ABE與FDE中AEFEAEBFEDBEDEABEFDE(SAS)BEDFADFADBEDF，ADCBADB又ADBBADADFADCABDF，ABCDDFDC在ADF與ADC中ADADADFADCDFDCADFADC(SAS)AFAC又AF2AEAC2AE。思慮：三角形中倍長(zhǎng)中線，能夠結(jié)構(gòu)全等三角形，既而得出一些線段和角相等，甚至能夠證明兩條直線平行。例7.如圖，在ABC中，ABAC，12，P為AD上隨意一點(diǎn)。求證：ABACPBPC。文案大全適用標(biāo)準(zhǔn)原圖法一圖法二圖思路：欲證ABACPBPC，不難想到利用三角形中三邊的不等關(guān)系來(lái)證明。因?yàn)榻Y(jié)論中是差，故用兩邊之差小于第三邊來(lái)證明，進(jìn)而想到結(jié)構(gòu)線段ABAC。而結(jié)構(gòu)ABAC能夠采納“截長(zhǎng)”和“補(bǔ)短”兩種方法。證明：法一：在AB上截取ANAC，連結(jié)PN在APN與APC中ANAC12APAPAPNAPC(SAS)PNPC在BPN中，PBPNBNPBPCABAC，即AB－AC>PB－PC。法二：延伸AC至M，使AMAB，連結(jié)PM在ABP與AMP中ABAM12APAPABPAMP(SAS)PBPM在PCM中，CMPMPCABACPBPC。思慮：當(dāng)已知或求證中波及線段的和或差時(shí)，一般采納“截長(zhǎng)補(bǔ)短”法。詳細(xì)作法是：在較長(zhǎng)的線段上截取一條線段等于一條較短線段，再想法證明較長(zhǎng)線段的節(jié)余線段等于此外的較短線段，稱(chēng)為“截長(zhǎng)”；或許將一條較短線段延伸，使其等于此外的較短線段，而后證明這兩條線段之和等于較長(zhǎng)線段，稱(chēng)為“補(bǔ)短”。小結(jié)：此題組總結(jié)了本章中常用協(xié)助線的作法，此后跟著學(xué)習(xí)的深入還要持續(xù)總結(jié)。我們不但要總結(jié)協(xié)助線的作法，還要知道協(xié)助線為何要這樣作，這樣作有什么用途。同步練習(xí)一、選擇題：1.能使兩個(gè)直角三角形全等的條件是()文案大全適用標(biāo)準(zhǔn)A.兩直角邊對(duì)應(yīng)相等B.一銳角對(duì)應(yīng)相等C.兩銳角對(duì)應(yīng)相等D.斜邊相等2.依據(jù)以下條件，能畫(huà)出獨(dú)一ABC的是()A.AB3，BC4，CA8B.AB4，BC3，A30C.C60，B45，AB4D.C90，AB63.如圖，已知12，ACAD，增添以下條件：①ABAE；②BCED；③CD；④BE。此中能使ABCAED的條件有()A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)4.如圖，12，CD，AC,BD交于E點(diǎn)，以下不正確的選項(xiàng)是()A.DAECBEB.CEDEC.DEA不全等于CBED.EAB是等腰三角形5.如圖，已知ABCD，BCAD，B23，則D等于()A.67B.46C.23D.沒(méi)法確立二、填空題：6.如圖，在ABC中，C90，ABC的均分線BD交AC于點(diǎn)D，且CD:AD2:3AC10cm，則點(diǎn)D到AB的距離等于__________cm；，7.如圖，已知ABDC，ADBC，E,F是BD上的兩點(diǎn)，且BEDF，若AEB100，ADB30，則BCF____________；文案大全適用標(biāo)準(zhǔn)8.將一張正方形紙片按如圖的方式折疊，BC,BD為折痕，則CBD的大小為_(kāi)________；9.如圖，在等腰RtABC中，C90，ACBC，AD均分BAC交BC于D，DEAB于E，若AB10，則BDE的周長(zhǎng)等于____________；10.如圖，點(diǎn)D,E,F,B在同一條直線上，AB//CD，AE//CF，且AECF，若BD10，BF2，則EF___________；三、解答題：11.如圖，ABC為等邊三角形，點(diǎn)M,N分別在BC,AC上，且BMCN，AM與BN交于Q點(diǎn)。求AQN的度數(shù)。文案大全適用標(biāo)準(zhǔn)12.如圖，ACB90，ACBC，D為AB上一點(diǎn)，AECD，BFCD，交CD延伸線于F點(diǎn)。求證：BFCE。文案大全適用標(biāo)準(zhǔn)同步練習(xí)的答案一、選擇題：二、填空題：6.47.708.90