2022年云南省昆明市高考數(shù)學(xué)三診一模試卷（理科）（3月份）含答案解析版

2022年云南省昆明市高考數(shù)學(xué)三診一模試卷（理科）（3月份）

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的。

1.（5分）（2022?周至縣三模）設(shè)全集U={0,1,2,3,4,5},A={\,3},B={2,4},

則（d）C（*）=（）

A.{0,5}B.{1,2,3,4}C.{0,1,2,3,4,5}D.{0,1,2,5}

2.（5分）（2022?昆明一模）復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標為（-1,2）,則彳4=（）

A.2+zB.2—IC.—2+iD.—2—i

3.（5分）（2022?昆明一模）已知不均為單位向量，若|G-月|=百，則N與囚的夾角為（

）

A.-B.-C.-D.—

6323

4.（5分）（2022?昆明一模）若ae（0,g,sin2a=1+cos2a,則cosa=（）

A.-B.—C.—D.1

222

22

5.（5分）（2022?昆明一模）已知雙曲線E:*■-方=l（a>0力>0）的左、右焦點分別為耳、

6，點"在y軸上，△岫乙為正三角形，若線段Mg的中點恰好在雙曲線的漸近線上，

則E的離心率為（）

A.41B.6C.2D.5/5

6.（5分）（2022?昆明一模）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實線畫出的是某幾何

體的三視圖，則該幾何體的體積等于（）

七%七-----------------

.14乃__10"〃7）

A.---B.---C.——D.紅

3333

第1頁（共27頁）

7.（5分）（2022?昆明一模）在ZU8C中，AB=3,AC=2,cosNA4C=！，點。在5c邊

3

上且8。=1,則A4CD的面積為（）

.73272?2V3口4貶

A.——nB.----C.---D.----

3333

8.（5分）（2022?昆明一模）3月5日學(xué)雷鋒活動日，某班安排5名同學(xué)（其中2人具有文

藝特長）到敬老院參與文藝表演、疫情防控宣傳、衛(wèi)生大掃除、交流談心四項活動，每個活

動至少安排1人，每人安排1個活動.若文藝表演只能安排具有文藝特長的同學(xué)，則不同的

安排方案有（）

A.240種B.78種C.72種D.6種

22

9.（5分）（2022?昆明一模）已知橢圓〃:3+匕=1（“>0）,過焦點廠的直線/與A/交于

a2

A,B兩點、,坐標原點。在以/斤為直徑的圓上，若|/E|=2|8F|,則〃的方程為（）

.x2y2x2j2x2y2x2y2

32425262

10.（5分）（2022?昆明一模）如圖所示，在某體育場上，寫有專用字體“一”、“起”、“向”、

“未”、“來”的五塊高度均為2米的標語牌正對看臺（8點為看臺底部）由近及遠沿直線依

次豎直擺放，分別記五塊標語牌為P2Q2.....且BQ=16米.為使距地面6

米高的看臺第一排/點處恰好能看到后四塊標語牌的底部，則82=（）

BQiQ2Q3QAQ5

A.40.5米B.54米C.81米D.121.5米

11.（5分）（2022?昆明一模）函數(shù)f（x）=xe*-2_%_/女的零點個數(shù)為（）

A.3B.2C.1D.0

12.（5分）（2022?昆明一模）已知函數(shù)/（x）=sin3x+costyx?〉0）在區(qū)間［工,巴］單調(diào)遞增,

64

下面三個結(jié)論：

①①的取值范圍為（0,1］;

②/（X）在區(qū)間［工，芻可能有1個零點；

64

③存在CO,使/（X+y）=f（x）.

第2頁（共27頁）

其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）

A.0個B.1個C.2個D.3個

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分

13.（5分）（2022?昆明一模）寫出一個定義域為（0,+oo）且值域為R的函數(shù)/（x）=—.

14.（5分）（2022?昆明一模）四面體Z8CA中，4D，平面48C,AB=l,AC=2,AD=3,

ZBAC=90°.若Z,B,C,。四點都在同一個球面上，則該球面面積等于.

15.（5分）（2022?昆明一模）長絨棉是世界上纖維品質(zhì)最優(yōu)的棉花，也是全球高端紡織品

及特種紡織品的重要原料.新疆具有獨特的自然資源優(yōu)勢，是我國最大的長絨棉生產(chǎn)基地，

產(chǎn)量占全國長絨棉總產(chǎn)量的95%以上.新疆某農(nóng)科所為了研究不同土壤環(huán)境下棉花的品質(zhì)，

選取甲、乙兩地實驗田進行種植.在棉花成熟后采摘，分別從甲、乙兩地采摘的棉花中各隨

機抽取50份樣本，測定其馬克隆值，整理測量數(shù)據(jù)得到如下2x2列聯(lián)表（單位：份），其

中,40且aeM.

注：棉花的馬克隆值是反映棉花纖維細度與成熟度的綜合指標，是棉纖維重要的內(nèi)在質(zhì)量指

標之一.根據(jù)現(xiàn)行國家標準規(guī)定，馬克隆值可分為4,B,C三個級別，/級品質(zhì)最好，B

級為標準級，C級品質(zhì)最差.

Z級或8級C級合計

甲地a50-a50

乙地80-aci—3050

合計8020100

當(dāng)a=時，有99%的把握認為該品種棉花的馬克隆值級別與土壤環(huán)境有關(guān)，則%的最小值

為一.

2

1?4“2n（ad-bc）

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

16.（5分）（2022?昆明一模）如圖，正方形紙片的邊長為5CM,在紙片上作正方形

MG”,剪去陰影部分，再分別沿EFG”的四邊將剩余部分折起.若4,B,C,。四點

恰好能重合于點P,得到正四棱錐尸-EFG4,則尸-EFG”體積的最大值為—cm3.

第3頁（共27頁）

D

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17-21題為必考題,

每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共

60分。

17.（12分）（2022?昆明一模）已知數(shù)列｛a,J滿足q=1,<2n+l+―'—=1.

3%+1

（1）設(shè)6“=_L,證明：｛a｝是等差數(shù)列；

a?

（2）設(shè)數(shù)列的前“項和為S”，求S”.

18.（12分）（2022?昆明一模）如圖1,在A4B4中，點"，。是4幺的三等分

點，點G，C是48的三等分點.分別沿AG和。C將△4。。和△40G翻折，使平面

4G4〃平面ABCD，且DD,1平面ABCD,得到幾何體ABCD-4GA，作DE?!CC1于E,

連接/E,4。，如圖2.

（1）證明：圖2中，AE1CC,；

7

r求直線處與平面曲所成角的正弦值?

圖2

19.（12分）（2022?昆明一模）《生物多樣性公約》締約方大會第十五次會議（COP15）第二

第4頁（共27頁）

階段將于2022年4月在昆明召開，組委會為大會招募志愿者，對前來報名者進行有關(guān)專業(yè)

知識及技能測試，測試合格者錄用為志愿者.現(xiàn)有備選題6道，規(guī)定每次測試都從備選題中

隨機挑選出4道題進行測試，至少答對3道題者視為合格.已知甲、乙兩人報名參加測試，

在這6道題中甲能答對4道，乙能答對每道題的概率均為2,且甲、乙兩人各題是否答對

3

相互獨立.

（1）分別求甲、乙兩人錄用為志愿者的概率；

（2）記甲、乙兩人中錄用為志愿者的人數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E（X）.

20.（12分）（2022?昆明一模）已知拋物線":/=2陟（p>0）的焦點為尸，點T（l,4在E上.

（1）求|7用；

（2）。為坐標原點，E上兩點/、8處的切線交于點P,P在直線>=-2上，P4、PB分

別交x軸于用、N兩點，記AO48和的面積分別為岳和S2.試探究：色是否為定

$2

值？若是定值，求出該定值；若不是定值，說明理由.

2

21.（12分）（2022?昆明一模）已知函數(shù)/（x）=l-竺awO.

e'

（1）討論/（x）的單調(diào)性；

（2）當(dāng)x>0,a>0時，e\f（x）^bx,證明：如《卷.

（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。并用鉛筆在答題卡選考

題區(qū)域內(nèi)把所選的題號涂黑。如果多做，則按所做的第一題計分。［選修4一4：坐標系與參

數(shù)方程］（10分）

22.（10分）（2022?昆明一模）在平面直角坐標系屹y中，圓G的方程為公+y2K2&>（））,

3

x=—cos9,

曲線G的參數(shù)方程為《；3"為參數(shù)），已知圓G與曲線C2相切，以。為極點，X

y=5+—sin^o

軸的正半軸為極軸建立極坐標系.

（1）求尸和曲線G的極坐標方程；

（2）已知在極坐標系中，圓G與極軸的交點為￡）,射線0=a（O<a<?r）與曲線q、CJ分

別相交于點4、B（異于極點），求A48。面積的最大值.

［選修4—5：不等式選講|（10分）

第5頁（共27頁）

23.（2022?昆明一模）已知函數(shù)f（x）=|x-l|-|x+l|.

（1）解不等式/（x）＞l；

（2）若|》-加|品。），求實數(shù)用的取值范圍.

第6頁（共27頁）

2022年云南省昆明市高考數(shù)學(xué)三診一模試卷（理科）（3月份）

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的。

1.（5分）（2022?周至縣三模）設(shè)全集U={0,1,2,3,4,5},J={1,3},8={2,4},

則（/）「（/）=（）

A.{0,5}B.{1,2,3,4}C.{0,1,2,3,4,5}D.{0,1,2,5}

【考點】交、并、補集的混合運算

【專題】計算題；集合思想；定義法；集合；數(shù)學(xué)運算

【分析】先求出“、8的補集，然后進行交集運算即可.

【解答】解：?.?全集。={0,I,2,3,4,5},A={\,3},8={2,4},

=2,4,5},。，8={0,1,3,5},

*={0,5},

故選：A.

【點評】本題主要考查了交集、補集的運算，屬于基礎(chǔ)題.

2.（5分）（2022?昆明一模）復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標為（-1,2）,則彳.，=（）

A.2+iB.2-iC.-2+iD.—2—i

【考點】復(fù)數(shù)的運算

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)；數(shù)學(xué)運算

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的運算法則，以及共粗復(fù)數(shù)的定義，即可求解.

【解答】解：???復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標為（-1,2）,

z=—1+2i,

z=-l-2z,

z,i=（―1—2z）z=2—z.

故選：B.

【點評】本題主要考查復(fù)數(shù)的運算法則，以及共粗復(fù)數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.

3.（5分）（2022?昆明一模）已知Z,月均為單位向量，若-月|=6，則石與石的夾角為（

)

第7頁（共27頁）

A.-B.-C.-D.—

6323

【考點】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算；數(shù)量積表示兩個向量的夾角

【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；演繹法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算

【分析】根據(jù)數(shù)量積與模長的關(guān)系有5-4=3,展開得|殲-2m|B|cosO+|W=3,代入

數(shù)據(jù)求解.

【解答】解:因為|。-否|=行，所以僅一司2=3,gpa2-2a-b+b2=3,

設(shè)n與b的夾角為。，貝力開一2問防|COS6+|H=3,

代入|5|=|6|=1（得COS0=—y,9=.

故選：D.

【點評】本題考查數(shù)量積與模長、夾角的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

4.（5分）（2022?昆明一模）若ae（0,g,sin2a=l+cos2a,則cosa=（）

.1V2?73.

A.—Bn?—C.—nD.1

222

【考點】二倍角的三角函數(shù)

【專題】計算題；方程思想；綜合法；三角函數(shù)的求值；數(shù)學(xué)運算

【分析】由已知利用二倍角公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡已知等式可得tana=1,結(jié)

合a的范圍可求a=C,進而利用特殊角的三角函數(shù)值即可求解.

4

【解答】解：因為sin2a=1+cos2a,

所以2sinacosa=2cos2a,

又a￡（0,5）,可得cosa>0,

所以sina=cosa,即tana=1,可得a=工，

4

則cosa=cos—=?

42

故選：B.

【點評】本題考查了二倍角公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，特殊角的三角函數(shù)值在三角函

數(shù)化簡求值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

Y22

5.（5分）（2022?昆明一模）已知雙曲線E:丁-V*=力〉0）的左、右焦點分別為片、

第8頁（共27頁）

5，點M在y軸上，△岫月為正三角形，若線段的中點恰好在雙曲線的漸近線上，

則￡的離心率為（）

A.V2B.A/3C.2D.y[5

【考點】雙曲線的性質(zhì)

【專題】計算題；整體思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運算

【分析】根據(jù)N在雙曲線的漸近線上列方程，進而求得離心率.

【解答】解：不妨設(shè)用在y軸的正半軸，設(shè)r>0,

由于△上用名為正三角形，所以f=J5c,故〃（0,J3c）,

設(shè)加區(qū)的中點為N由于E（c,O）,所以N（],亭），

N在漸近線夕=gx上，

所以反=*二空瓜e=±=、匹寫=2.

2alaaVa

故選：C.

【點評】本題考查了雙曲線的離心率，屬于中檔題.

6.（5分）（2022?昆明一模）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為I,粗實線畫出的是某幾何

【考點】由三視圖求面積、體積

【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；邏輯推理；數(shù)學(xué)運算

【分析】首先把三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體的直觀圖，進一步求出圓臺的體積.

【解答】解：根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為直觀圖為：該幾何體為底面半徑為1和2,高為2

的圓臺：

第9頁（共27頁）

如圖所示:

^r=1x(^--22+^2-22.l2+^12)X2=—.

故選：A.

【點評】本題考查的知識要點：三視圖和幾何體的直觀圖之間的轉(zhuǎn)換，幾何體的體積公式,

主要考查學(xué)生的運算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題.

7.（5分）（2022?昆明一模）在&48c中，AB=3,AC=2,cosN84C=l,點。在5c邊

3

上且3。=1,則A4CD的面積為（）

Ab272「2^n4夜

A.——RB.----C.---D.----

3333

【考點】正弦定理；三角形中的幾何計算

【專題】方程思想；綜合法；解三角形；數(shù)學(xué)運算

【分析】利用S=L/8ZC-sinN氏4C,求得A43C的面積，再由余弦定理求出3C的長，

2

2

從而知$9=丁”，得解?

【解答】解：因為cos/8/C=g,且N8ZCe（0,開），

所以sinABAC=y!\-cos2ABAC=述，

3

所以2MBe的面積S=lN8./C-sinN8/C=Lx3x2x^=2^,

223

由余弦定理知，8c2=/爐+/。2-2/5-ZCCOSZB/C=9+4-2X3X2X』=9,

3

所以8c=3,

因為8。=1,所以CO=8C-8O=2,

第10頁（共27頁）

所以AACD的面積S'=2$=—x2-72=4也.

333

故選：D.

【點評】本題考查解三角形，熟練掌握正弦定理，余弦定理是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能

力和運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

8.（5分）（2022?昆明一模）3月5日學(xué)雷鋒活動日，某班安排5名同學(xué)（其中2人具有文

藝特長）到敬老院參與文藝表演、疫情防控宣傳、衛(wèi)生大掃除、交流談心四項活動，每個活

動至少安排1人，每人安排1個活動.若文藝表演只能安排具有文藝特長的同學(xué)，則不同的

安排方案有（）

A.240種B.78種C.72種D.6種

【考點】排列、組合及簡單計數(shù)問題

【專題】計算題；整體思想；綜合法；排列組合；數(shù)學(xué)運算

【分析】5名同學(xué)參加4項活動，則有一項活動有兩人，根據(jù)情況分類討論.

【解答】解：分兩種情況，（1）若文藝表演有2人，則有彳=6種，

（2）若文藝表演有1人，則其他某項活動有2人，共C；=72種,

綜上，不同的安排方案有6+72=78種，

故選：B.

【點評】本題考查了排列組合的知識，屬于基礎(chǔ)題.

9.（5分）（2022?昆明一模）已知橢圓工■+乙=1（〃>0）,過焦點尸的直線/與/W交于

a2

A,8兩點，坐標原點O在以力尸為直徑的圓上，若［4/|=2|3尸則M的方程為（）

AX2X2,y2廠工2y2nX2y2

A.F--=1B.---1-J—=1C.F--=1D.F--=1

32425262

【考點】橢圓的性質(zhì)

【專題】計算題；方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運算

【分析】可設(shè)F（-c,0）,由已知可得點/為橢圓/短軸的端點，設(shè)A（0,6），由|4F|=21昉|

可得點B的坐標，代入橢圓方程中，結(jié)合d=/一2,即可求解。的值，從而可得M的方程.

【解答】解：由題意可設(shè)廠（-c,0）,

因為坐標原點。在以力廣為直徑的圓上，

所以。4_1_。尸，可得點N為橢圓M短軸的端點，

第11頁（共27頁）

設(shè)/（0,a）,因為|/用=2|8/|,

所以8（音，_字,

代入橢圓M方程中可得絲+1=1,即/=3°2,

4a4

又°2=/_2,

所以/=3（/一2）,解得/=3,

所以橢圓M的方程為—+^-=1.

32

故選：A.

【點評】本題主要考查橢圓的性質(zhì)，考查運算求解能力，屬于中檔題.

10.（5分）（2022?昆明一模）如圖所示,在某體育場上,寫有專用字體“一”、“起”、“向”、

“未”、“來”的五塊高度均為2米的標語牌正對看臺（8點為看臺底部）由近及遠沿直線依

次豎直擺放，分別記五塊標語牌為62，P2Q2.....P&,且BQ=16米.為使距地面6

米高的看臺第一排A點處恰好能看到后四塊標語牌的底部，則BQ,=（）

=--------

....二二三咨E與岑之三二卒二三三三…4—二二二二——二生

BQiQ?Q3<?4。5

A.40.5米B.54米C.81米D.121.5米

【考點】解三角形

【專題】計算題；整體思想：綜合法；解三角形：數(shù)學(xué)運算

【分析】利用比例求得正確答案.

【解答】解：依題意&=二一,。0=8,

16QQ”修

」一=二一,0,0=12,

16+8

——-一?=二一,。3。4=18，

16+8+12QQ

-----------=二一,。4。5=27，

16+8+12+18a?！?/p>

所以畋=16+8+12+18+27=81米，

故選：C.

【點評】本題考查了距離的測量問題，遞推可得結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題.

第12頁（共27頁）

11.(5分)(2022?昆明一模)函數(shù)_/'(、)=疵1-》_加?的零點個數(shù)為()

A.3B.2C.1D.0

【考點】函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系

【專題】綜合題；函數(shù)思想；換元法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；邏輯推理

【分析】將函數(shù)化為/*)="3、-2一("X+X)的形式，然后令t=/〃x+x,進而研究函數(shù)

y=e'~2-t,feR的零點個數(shù)即可.

【解答】解：由己知得f(x)=/""I一(/〃*+x),

令t=htx+x,由x>0得feH,易知函數(shù)f=/〃x+x在R上單調(diào)遞增，

故原函數(shù)零點的個數(shù)即為函數(shù)g")=eT一.，/仁R的零點個數(shù)，

2

g'(t)=e'--I,由g，⑴=0得f=2,且f<2時，g'(t)<0,/>2時，g'(t)>0,

故g?)在(YO,2)上單調(diào)遞減，在(2,+oo)上單調(diào)遞增，

故g(f)MM=g(2)=-1<0,而g(0)=4>0,g(4)=/-4>0,

e

所以g(。在(-00,2)和(2,+8)上各有一個零點，故g(f)有兩個零點，即原函數(shù)有兩個零點.

故選：B.

【點評】本題考查函數(shù)零點個數(shù)判斷方法與函數(shù)思想的應(yīng)用，屬于中檔題.

12.(5分)(2022?昆明一模)已知函數(shù)/a)=sinox+cos0x(0>O)在區(qū)間［三,與單調(diào)遞增，

64

下面三個結(jié)論：

①3的取值范圍為(0,1］；

②/(X)在區(qū)間［生，?？赡苡?個零點：

64

③存在0,使/(x+|o=/(x).

其中正確結(jié)論的個數(shù)是()

A.0個B.1個C.2個D.3個

【考點】命題的真假判斷與應(yīng)用；兩角和與差的三角函數(shù)

【專題】整體思想；綜合法；三角函數(shù)的求值；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；數(shù)學(xué)運算

【分析】先利用輔助角公式進行化簡，然后結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)分別檢驗各選項即可判斷.

【解答】解：因為/(x)=sin0x+costyx=V^sin(<wx+&)在區(qū)間［工白單調(diào)遞增，

464

第13頁(共27頁)

71(f)乃、…71

——十一224乃——

642

所以J.

—+-^lk7T+-

442

解得12左一4.5忘小8A'+1,keZ,

因為。＞0,12左-4.5W8Z+1,k&Z,

所以4=0或A=l,

所以0＜小1或g9,①錯誤；

2

②當(dāng)0＜小1時，-＜(ox+-^-,/(x)w0,即此時函數(shù)沒有零點，

442

當(dāng)三WoW9時，y^WX+^y,此時/(x)=0有一個零點，

綜上〃x)=0有一個零點，②正確；

③存在＜y=8時，T=?，此時/(工+9=〃工)成立，③正確.

故選：C.

【點評】本題主要考查了輔助角公式，正弦函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分

13.(5分)(2022?昆明一模)寫出一個定義域為(0,+＜?)且值域為R的函數(shù)/(x)=_Inx_.

【考點】函數(shù)的定義域及其求法；函數(shù)的值域

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算

【分析】根據(jù)已知條件，寫出一個符合題意的函數(shù)解析式，即可求解.

【解答】解：???/(x)=〃優(yōu)的定義域為(0,+oo),值域為R,

/(x)=Inx符合題意.

故答案為：Inx.

【點評】本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

14.(5分)(2022?昆明一模)四面體N8CZ)中，ZO-L平面N8C,AB=\,AC=2,AD=3,

ZBAC=90°.若4,B,C,。四點都在同一個球面上，則該球面面積等于_14萬_.

【考點】球的體積和表面積

【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；邏輯推理；數(shù)學(xué)運算

【分析】首先利用三棱錐和球的關(guān)系求出球的球心，進一步求出球的半徑，最后確定球的表

面積.

【解答】解：四面體48C。中，平面/1BC,若A,B,C,。四點都在同一個球面

第14頁(共27頁)

上，

如圖所示:

設(shè)點E為8c的中點，由于48=1,AC=2,AD=3,/比iC=90。，點。為外接球的球心,

OC為外接球的半徑，

故8C=JV+22=6,

OE=-AD=~,

22

所以"［（|）2+（爭/呼,

故S球=4,萬,r=14萬.

故答案為：14%.

【點評】本題考查的知識要點：三棱錐和外接球的關(guān)系，球的半徑的求法，球的表面積，主

要考查學(xué)生的運算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題.

15.（5分）（2022?昆明一模）長絨棉是世界上纖維品質(zhì)最優(yōu)的棉花，也是全球高端紡織品

及特種紡織品的重要原料.新疆具有獨特的自然資源優(yōu)勢，是我國最大的長絨棉生產(chǎn)基地,

產(chǎn)量占全國長絨棉總產(chǎn)量的95%以上.新疆某農(nóng)科所為了研究不同土壤環(huán)境下棉花的品質(zhì)，

選取甲、乙兩地實驗田進行種植.在棉花成熟后采摘，分別從甲、乙兩地采摘的棉花中各隨

機抽取50份樣本，測定其馬克隆值，整理測量數(shù)據(jù)得到如下2x2列聯(lián)表（單位：份），其

中心40且aeN”.

注：棉花的馬克隆值是反映棉花纖維細度與成熟度的綜合指標，是棉纖維重要的內(nèi)在質(zhì)量指

標之一.根據(jù)現(xiàn)行國家標準規(guī)定，馬克隆值可分為力，B,C三個級別，/級品質(zhì)最好，B

級為標準級，C級品質(zhì)最差.

第15頁（共27頁）

A級或5級C級合計

甲地a50-a50

乙地80-a。一3050

合計802010()

當(dāng)。=小時，有99%的把握認為該品種棉花的馬克隆值級別與土壤環(huán)境有關(guān)，則為的最小值

為46.

隔.n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K、k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【考點】獨立性檢驗

【專題】對應(yīng)思想；數(shù)學(xué)模型法；概率與統(tǒng)計；數(shù)學(xué)運算；數(shù)據(jù)分析

【分析】根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)計算K"結(jié)合題意令片>6.635求出旬的最小值.

【解答】解：根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，計算長2=10°><[“.-30)-(8()—")(5()-0)]2=僅-40)2,

50x50x80x204

令("40)>6.635,解得a>40+216.635,或a<40-246.635；

4

因為心40且aeN*,且2.5<J6.635<3,所以。的最小值為46,

即a0的最小值為46.

故答案為：46.

【點評】本題考查了列聯(lián)表與獨立性檢驗的應(yīng)用問題，也考查了運算求解能力，是基礎(chǔ)題.

16.(5分)(2022?昆明一模)如圖，正方形紙片的邊長為5cm,在紙片上作正方形

EFGH,剪去陰影部分，再分別沿EFG”的四邊將剩余部分折起.若4,B,C,。四點

恰好能重合于點P,得到正四棱錐P-EFGH,則尸-EFG，體積的最大值為一生叵

3

cm3.

第16頁(共27頁)

D

【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積

【專題】計算題：方程思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；邏輯推理；直觀想象；數(shù)學(xué)運

算

【分析】設(shè)正方形的邊長為2x,分析可得0<x<述，求出正四棱錐P-EFG”的

4

體積關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合導(dǎo)數(shù)法可求得正四棱錐P-EFG”體積的最大值.

【解答】解：設(shè)正方形488的中心為點。，則點。也為正方形EFG”的中心，

連接4F,連接4c分別交FG于點M、N,易知A/、N分別為EH、尸G的中點，

_1c

22

?.?0、M分別為HF、HE的中點，則=則4A/=NO-0M=述-x,

22

56萬

由題意可得力"一"X,可得0<》<二七，

4

x>0

如下圖所示，在正四棱錐P-E尸GH中，PO±EFGH,OMu平面EFGH,PO1OM,

因為尸加=述-工，OM=x,則PO=/PM?_0"=廬_5缶,

2V2

VP-EFGH=g尸°,SEFGH=1X^^-5^2X-4/=/gx"—5母X，，

第17頁（共27頁）

令/（幻=1/_5歷5,其中0cxe手，

則/（*）=50--25右4=25/（2-瓜）,列表如下:

（在半）

X(0.72)X=V2

4

廣（X）+0-

/（X）增極大值減

所以，/（幻3=/（0）=10，

因此，尸-《尸6，體積的最大值為生叵。病.

3

故答案為：生叵.

3

【點評】本題主要考查錐體體積的計算，空間想象能力的培養(yǎng)，立體幾何中的最值問題等知

識，屬于中等題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17-21題為必考題,

每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共

60分。

17.（12分）（2022?昆明一模）已知數(shù)列｛/｝滿足q=1，a?+l+—=1.

3??+1

（1）設(shè)"=_L,證明：｛”,｝是等差數(shù)列；

（2）設(shè)數(shù)例J｛亍J的前〃項和為母，求S,,?

【考點】數(shù)列的求和；等差數(shù)列的性質(zhì)

【專題】綜合題；整體思想；轉(zhuǎn)化法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；數(shù)學(xué)運算

【分析】（1）先根據(jù)遞推關(guān)系式計算出則6角的表達式，然后根據(jù)等差數(shù)列的定義法計算出

第18頁（共27頁）

的結(jié)果，即可證明結(jié)論成立;

（2）先根據(jù)第（1）題的結(jié)果計算出等差數(shù)列｛"｝的通項公式，進一步計算出數(shù)列｛〃“｝的通

項公式，再計算出數(shù)列的通項公式，然后運用裂項相消法計算出前〃項和

+p,可得%1

【解答】（1）證明：依題意，由區(qū)

氏+1

1

1——

+1%+1

11

「?4+1一”-=—+1---=1,

.??數(shù)列也J是以1為公差的等差數(shù)列.

（2）解：由（1）,可知4=」-=3,

%

故=3+(〃—1)x1=〃+2,

]

—=n+2f即〃“=

4〃+2

.工),

nn(n+2)2nn+2

,S'=—..+%

M12n

"L1J1、1J1、l11.1,11、

=-(l--)+-(--T)+-(--T)+??*+-(z―--一—)+-(-----)

232242352n-\n+\2nn+2

111111111

—?-------------1-------------F…-I------------------------1-----------------)

32435n-1n+1n〃+2

1

=1(11—?)

2+2n+1〃+2

1

)

TIA?〃+2

32〃+3

42(〃+1)(〃+2)

【點評】本題主要考查等差數(shù)列的判別，數(shù)列求通項公式，以及數(shù)列求和問題.考查了整體

思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，定義法，裂項相消法，以及邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運算能力，屬中檔

題.

18.（12分）（2022?昆明一模）如圖1,在A484中，點已，。是4力的三等分

點，點G，c是48的三等分點.分別沿AG和。。將△43C和△4AG翻折，使平面

第19頁（共27頁）

4cA,平面ABCD，且。2_L平面ABCD，得到幾何體ABCD-4Goi，作。E_LCQ于E,

連接AXD,如圖2.

（1）證明：圖2中，AE1CC,；

⑵在圖2中，若若=|,求直線如與平面皿所成角的正弦值.

圖1圖2

【考點】直線與平面垂直；直線與平面所成的角

【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想：綜合法：空間位置關(guān)系與距離：空間角；邏輯推理：直觀想象;

數(shù)學(xué)運算

【分析】（1）證明_L4）,ADVCD,推出ZO_L平面，得到4D，CG，結(jié)合

DE1CC,,推出CG_L平面即可證明4E_LCG.

（2）以。為原點，DA,DC,。2所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標系

D-xyz.求出面的一個法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解直線。4與平面力。￡所

成角的正弦值即可.

【解答】（I）證明：因為1■平面48cD,ZOu平面Z8CD,所以。R1/O,

在翻折前，點。，C分別是48的三等分點，所以。C//Z5,

在四邊形Z8C。中，ADVAB,所以/O1CA,

因為所以NDJ■平面，又C￡u平面,所以/D_LCG，

又因為。EJ_CG，DE[\AD=D,所以CG，平面NCE，由NEu平面ZOE,

第20頁（共27頁）

所以/EJ.CG.

(2)解：以。為原點，D4,DC,。。所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標

系D-xyz.

Ar>2

如圖，由為=［，不妨設(shè)“8=3，AD=2,則4(2,0,2),C,(0,1,2),C(0,2,0),

DAt=(2,0,2),

又由(1)知，平面/OE的一個法向量為乙不=(0,-1,2),設(shè)直線與平面ZOE所成

的角為。，

2x2710

則sin0=|cos〈甌,西〉|=巴丁巴

|即卜ICGI26x55

所以，直線。4與平面NOE所成角的正弦值為乎.

【點評】本題考查直線與平面垂直的判斷定理的應(yīng)用，直線與平面所成角的求法，考查空間

想象能力，轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，是中檔題.

19.(12分)(2022?昆明一模)《生物多樣性公約》締約方大會第十五次會議(COP15)第二

階段將于2022年4月在昆明召開，組委會為大會招募志愿者，對前來報名者進行有關(guān)專業(yè)

知識及技能測試，測試合格者錄用為志愿者.現(xiàn)有備選題6道，規(guī)定每次測試都從備選題中

隨機挑選出4道題進行測試，至少答對3道題者視為合格.已知甲、乙兩人報名參加測試，

在這6道題中甲能答對4道，乙能答對每道題的概率均為2,且甲、乙兩人各題是否答對

3

相互獨立.