協(xié)方差矩陣估計(jì)及其在金融領(lǐng)域應(yīng)用

金融學(xué)院20131302 HighDimensionalCovarianceMatrixEstimationAndItsApplicationInFinance Finance::***,***,***(Arial字體、小四、“ 統(tǒng)一大寫(xiě)，如RelatedPartyTransaction) 摘 緒 參考文獻(xiàn)………………………20附錄……………致謝協(xié)方差描述了不同隨量之間的相關(guān)性，當(dāng)隨量有n（n>2）個(gè)時(shí)，記為[X1,X2,...,Xn]，隨量?jī)蓛芍g的協(xié)方差，可以通過(guò)一個(gè)n×n維矩陣表示出來(lái)。即

cov(X2,X

這能夠?qū)⒍鄠€(gè)隨量或者研究對(duì)象之間的相關(guān)性表現(xiàn)出來(lái)之后的運(yùn)用能夠更加方便地進(jìn)構(gòu)建投資組合。早在年（arkotz）就提出了均值方差投資組合模型。運(yùn)用協(xié)方陣關(guān)當(dāng)資產(chǎn)的個(gè)數(shù)較大時(shí)所對(duì)應(yīng)的協(xié)方差矩陣是的用雖然由于信息科技的發(fā)達(dá)雖然由于信息科技的發(fā)達(dá),獲 的數(shù)據(jù)也變得越來(lái)越容易,但是我們不能一味地通過(guò)擴(kuò)大樣本量來(lái)減少估計(jì)誤差,因?yàn)樵跁r(shí)間序列分析領(lǐng)域存在一個(gè)數(shù)據(jù)穩(wěn)定性問(wèn)題,如果樣本量太大,時(shí)間跨度太長(zhǎng)就會(huì)影響數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性,因此如何構(gòu)建協(xié)方差矩陣,是理論界一大熱點(diǎn),該研究對(duì)實(shí)際數(shù)據(jù)分析,尤其在金融領(lǐng)域的應(yīng)用有舉足輕重的作用。 協(xié)方差估計(jì)方法,例如Fan,andLv2008)[1],就引入三因素模型估計(jì)法。(FADVA（ c=n/p（縮減法只有一個(gè)參數(shù)的優(yōu)勢(shì)）LW（參照其 LinearLinear ysis(LDA)isaclassificationalgorithmbasedonmodelingdistributionsasmultivariatenormals1(Fisher,1936;Friedman,1989;Hastieetal.,2008),whichrequirestheestimationofcovariancematrices.LDAassumesthatthecovariancematricesofallclassesareidentical.·LinearDiscriminantysis（LDA）：一個(gè)基于模型類別分布的分類算法(Fisher1936;Friedman,1989;Hastieetal2008)，需要用到協(xié)方差矩陣的估計(jì)。且LDAQuadraticDiscriminantysis(QDA)onlydiffersinonerespectfromLDA:therestrictionofequalclasscovariancematricesisremovedandonecovariancematrixperclassisestimated(Hastieetal.,2008).Hence,fortheestimationofeachcovariancematrix,lessdatapointsareavailable.·QuadraticDiscriminantysisQDA)LDA有一點(diǎn)差別，相同類別的協(xié)方差矩陣的限制被移除，且每個(gè)類別都估計(jì)出一個(gè)協(xié)方差矩陣(Hastieetal.,2008)。CommonSpatialPatterns(CSP)isapreprocessingmethodpopularin Interfacesbasedonmotorimagery(Lotteetal.,2007;Blankertzetal.,2008).CSPsearchesforspatialdirectionswhichizetheratioofvariancesbetweentwoexperimentalconditions.·CommonSpatialPatterns(CSP)：是一個(gè)在基于運(yùn)動(dòng)表象的大腦計(jì)算機(jī)接口的常用處理方法(Lotteetal.,2007;Blankertzetal.,2008)。CSP在兩個(gè)試驗(yàn)條件中找出能·(Markowitz,1952)與風(fēng)險(xiǎn)測(cè)算(Jorion,1996)中許多運(yùn)用需要用到協(xié)方差矩陣。資產(chǎn)的相關(guān)性表現(xiàn)在協(xié)方差。類似的方法還與業(yè)(Cummins,2000)和能源市場(chǎng)(Dentonetal.,2003)有巨大的聯(lián)系?！ぁりP(guān)聯(lián)網(wǎng)絡(luò)generelevancenetworks(Butteetal.,2000)與聯(lián)系網(wǎng)絡(luò)geneassociationnetworks(Sch?fer&Strimmer,2005)是相關(guān)性結(jié)構(gòu)的圖解模型。關(guān)聯(lián)網(wǎng)絡(luò)與·自適應(yīng)波束形成（Adaptivebeamforming）與利率信號(hào)的產(chǎn)生可以通過(guò)一排列的傳感器形成(Capon,1969Abrahamssonetal.,2007)。算術(shù)上，這與投資組合優(yōu)化有著十分緊密的聯(lián)系?，F(xiàn)代無(wú)線通信協(xié)議，如載波碼分多址（multi-carriercode-divisionmultipleaccess(MC-CDMA)）技術(shù)因協(xié)方差矩陣的估計(jì)優(yōu)化了帶寬(Tulino&Verdú,2004)?！C(jī)器人學(xué)領(lǐng)域的政策學(xué)習(xí)經(jīng)常要求人們估計(jì)政策參數(shù)的協(xié)方差矩陣(Deisenrothetal.,·主成分分析（PCA）(Jolliffe,2002)還有其拓展(Sch?lkopfetal.,1998;Zouetal.,·獨(dú)立成分分析（ICA）需要通過(guò)協(xié)方差矩陣預(yù)白噪聲化(Hyv?rinenetal.,2002)矩條件(Hansen,1982)GMM的效率GLS進(jìn)行優(yōu)化(Kariya&Kurata,2004)。 cov(X2,X C cov(Xp,Xp) Xii，i=1,2,...,pCijCijij nX Xin nDX (XiXncov(Xi,Xj)E(XiX)(YiY協(xié)方差矩陣CpCc1pcppcijcov(Xi,Xj)E(XiX)(YiY設(shè)有a(a1a2ap)n aCa'=bijaiajE[ai(XiX)aj(XjX

E{[ai(XiX)]}{[aj(XjX p pE{[ai(XiX)]}2所以，C機(jī)矩陣?yán)碚摚≧MT）中有一個(gè)重要的結(jié)論表明一個(gè)隨機(jī)矩陣的特征值譜分布取決于c的值(Edelman&Rao,2005;Bai&Silverstein,2010)。更準(zhǔn)確地說(shuō)，假設(shè)總體特征值從一個(gè)個(gè)在高緯度的無(wú)窮限定，n,p→∞andn/p→c，這一限定是Marˇcenko-PasturLaw(Marˇcenko&Pastur,1967)給定的。[1]n/pisgivenbytheMarˇcenko-PasturLaw(Marˇcenko&Pastur,1967).Alreadyforsamplesizesassmallas20or30,thedistributionofsampleeigenvaluesiswell-approximatedbythedistributioninthelimit(Tulino&Verdú,2004).c=n/p中提到，c的取值對(duì)協(xié)方差矩陣的估計(jì)結(jié)果有著重要的影響。在協(xié)方差矩陣c于這標(biāo)準(zhǔn)假定，或許在其他領(lǐng)域需要的關(guān)注，在這里也進(jìn)行簡(jiǎn)單敘述。Large-DimensionalLimit矩陣的標(biāo)準(zhǔn)設(shè)定(Bai&Silverstein,2010)。LDL也稱為極限（high-dimensionalFiniteObservationsLarge-DimensionalLimitGeneralasymptotics于于 t&Wolf,2004)forexample,relatesanestimatetotheempiricaldistributionofthedataanditsminimizeristhesamplecovariancematrix（3Withnormalizationn）分研究者將ESE？？一個(gè)協(xié)方差矩陣的對(duì)稱陣）Inthisthesis,themostfrequentlyusedmeasureofestimationerroristheexpectedsquarederror(ESE),formatricesalsoknownastheexpectedFrobenius（4SomeresearchersconsidertheESEofatriangularmatrixtoaccountforthesymmetryofthecovariancematrix.）:

ij

)2]E||

C對(duì)于樣本估計(jì)量的單位損失改進(jìn)程度Thepercentageimprovementinaverageloss E||?C

E||?CPRIAL(C)100

E||?CPRIALESE100時(shí)表示可選擇的估計(jì)值沒(méi)方差矩陣相同的特征向量。那么，可以得到以下的誤差估算方法：thesampleeigenbasispercentageimprovementinaverageloss(SEPRIAL):SEPRL(?

E||?S*||2E||

S*E||?S*ESE在這類標(biāo)準(zhǔn)下并不會(huì)（最大特征值與最小特征值的比值）自從Engle(1982提出arch模型分析時(shí)間序列的異方差性以后，波勒斯列夫歸模型，除去和普通回歸模型相同的之處，garch對(duì)誤差的方差進(jìn)行了進(jìn)一步的建模。特別qth2rt

tht是常數(shù)項(xiàng)、條件均值方程的殘差平方的一些前期滯后值和條件方ht、ht-i等可以通過(guò)迭代得出。X表示為第一個(gè)資產(chǎn)P1的隨量，Y表示為第二個(gè)資產(chǎn)P2的隨量，令則DZ,DX,DY都可以通過(guò)garch模型估計(jì)得出，那么協(xié)方差矩陣就能得出。對(duì)于的資產(chǎn)，采取類似的作法可以得多協(xié)方差矩陣。有何提高（優(yōu)勢(shì)garch模型是一個(gè)專門(mén)針對(duì)金融數(shù)據(jù)所量體訂做的回歸模型，除去和普通回歸模型相同的之處，garch對(duì)誤差的方差進(jìn)行了進(jìn)一步的建模。特別適用于波動(dòng)性的分析和預(yù)測(cè)，這樣（不足之處：估計(jì)過(guò)程繁瑣，garch。十分龐大的。我們知道，投資組合的市場(chǎng)性風(fēng)險(xiǎn)能夠通過(guò)足夠分散的投資消除市場(chǎng)中同一板塊中的具有高度相關(guān)性,就是常見(jiàn)的同漲同跌現(xiàn)象。根據(jù)市場(chǎng)的情況，有對(duì)選這些能夠使投資組合過(guò)代表性。能夠大幅度減少維度。。將各個(gè)板塊的先進(jìn)行一次有效性的分析，對(duì)選擇的進(jìn)行協(xié)方差矩陣的估計(jì)。特Utsugi認(rèn)為最大特征向量值代表著市場(chǎng)信息。選擇大于隨機(jī)矩陣的出的理論特征值范圍額的特征值所代表的進(jìn)行新的資產(chǎn)組合的構(gòu)建。 后有46支進(jìn)行協(xié)方差矩陣的估計(jì)。SEPRL(?

E||?S*||2E||?S*E||?S*1）SharpRatioE(Rp)Rf為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率E(Rf）為投資組合的期望收益率σpSharpeRatio,在險(xiǎn)值大?。篤aR從統(tǒng)計(jì)的意義上講，本身是個(gè)數(shù)字，是指“正?！钡氖袌?chǎng)波

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?。通過(guò)求得?與?最優(yōu)的線性組合形成新的協(xié)譜更：樣本協(xié)方差矩陣與總體協(xié)方差矩陣之間的特征值分布有差別。譜更正方法（其他補(bǔ)充方法直接0得到的協(xié)方差矩陣若是半正定的需要進(jìn)行主成分提取。將協(xié)方差矩陣估計(jì)量?

?=

T(

,...,

，r=1,2,...，n r說(shuō)明（[1]的 39頁(yè) 是同理，本文采用上證50指數(shù)中 進(jìn)行模擬，在其中找出能夠?qū)χ笖?shù)起到主要影 進(jìn)行投資組合的構(gòu)建主要作用在于對(duì)比兩種協(xié)方差矩陣估計(jì)的方法能否得到有效啊參照1：4.3p31 （基于Fama_French三因素_省略_法股票投資組合中的_）4支由于上市時(shí)間較晚，出現(xiàn)樣本數(shù)據(jù)過(guò)少，影響整體的觀測(cè)值有效性，故剔除收集到46支于2011年1月至2016年12月31日的上證50中50支后復(fù)權(quán)處理之后的日收盤(pán)價(jià)經(jīng)過(guò)樣本數(shù)據(jù)的處理，將各個(gè)樣本根據(jù)時(shí)間排列，選取后面開(kāi)始的1170個(gè)日進(jìn)行收益率的估算。由于這樣的選取會(huì)使數(shù)據(jù)產(chǎn)生較大的誤差，作者在使用本文計(jì)算