微積分在金融中的一般應(yīng)用例舉

微積分在金融分析中的一般應(yīng)用例舉經(jīng)濟(jì)學(xué)院金融學(xué)沈沉0511751數(shù)學(xué)與金融學(xué)的結(jié)合是一個(gè)重要的進(jìn)步，它使金融學(xué)由單純的定性分析走向定性與定量分析相結(jié)合，由規(guī)范研究轉(zhuǎn)變?yōu)橐詫?shí)證研究為主，由理論闡述變?yōu)槔碚撗芯颗c實(shí)用研究并重，由金融模糊決策向精確化決策發(fā)展。金融交易的決策是一個(gè)充滿風(fēng)險(xiǎn)的過(guò)程，其間有太多的不確定因素。因此人們一直在努力尋找一種可以量化處理不定因素、計(jì)量收益和盡可能規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)的方法，而數(shù)學(xué)方法的介入為此提供了方便，使金融分析有了飛躍式的發(fā)展。函數(shù)和微積分是數(shù)理金融分析中最基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)工具，用微積分法研究邊際問(wèn)題、最優(yōu)化問(wèn)題等是非常方便且容易理解的。下面我們就來(lái)看幾個(gè)簡(jiǎn)單的例子，看看這種結(jié)合是如何說(shuō)明問(wèn)題的。例一.某生產(chǎn)賽車(chē)的跨國(guó)公司由兩個(gè)部門(mén)組成，上游部門(mén)生產(chǎn)引擎，部門(mén)組裝賽車(chē)。該賽車(chē)需求曲線為P=20000-Q.已知上游部門(mén)的成本為CE(QE)=2QE2,則上游部門(mén)的邊際成本為MCE=4QE,下游部門(mén)的成本為CA=8000Q,求引擎的劃撥價(jià)格PE，賽車(chē)的產(chǎn)量Q，引擎的產(chǎn)量QE和賽車(chē)的價(jià)格PA.在國(guó)際投資中劃撥價(jià)格是指從事跨國(guó)公司經(jīng)營(yíng)的企業(yè)系統(tǒng)內(nèi)部買(mǎi)賣(mài)中間產(chǎn)品時(shí)所執(zhí)行的價(jià)格，它應(yīng)以中間產(chǎn)品的成本CE為基礎(chǔ)，且同時(shí)滿足各部門(mén)（上游、下游）利潤(rùn)最大化。在這個(gè)問(wèn)題中，上游部門(mén)產(chǎn)量為QE,下游部門(mén)產(chǎn)量為Q,成本是產(chǎn)量的函數(shù)，因此它們的成本函數(shù)分別為CE(QE)和CA(Q),其中下游部門(mén)的生產(chǎn)函數(shù)為Q=(L,K,QE),K、L是下游部門(mén)投入的資本和勞動(dòng)力。引擎的劃撥價(jià)格為PE,下游部門(mén)的銷(xiāo)售收入為R(Q).公司總利潤(rùn)最大的條件是兩個(gè)部門(mén)各自達(dá)到利潤(rùn)最大化。下面我們就來(lái)研究假設(shè)不存在中間產(chǎn)品外部市場(chǎng)時(shí)劃撥價(jià)格的制定條件。設(shè)該企業(yè)的總利潤(rùn)為π(Q),則:π(Q)=R(Q)-CE(QE)-CA(Q).這是一個(gè)二元函數(shù)，為使π(Q)最大，可對(duì)上式求偏導(dǎo)，令π(Q)對(duì)QE偏導(dǎo)為零，即最后一單位上游部門(mén)生產(chǎn)的引擎的邊際成本等于它給該公司帶來(lái)的額外收益。=×－－×=(－)－根據(jù)經(jīng)濟(jì)意義可知，上式中為賽車(chē)生產(chǎn)的邊際收益，即=MR.為下游部門(mén)的邊際成本,即=MCA.為增加一個(gè)引擎生產(chǎn)能夠帶來(lái)的賽車(chē)的增量，定義為上游部門(mén)的邊際產(chǎn)出，記作MP＇.(MR-MCA)是下游部門(mén)每增加一單位產(chǎn)量所帶來(lái)的部門(mén)利潤(rùn)的增加。因此(MR-MCA)·MP＇為上游部門(mén)產(chǎn)量的年邊際收益，記作NMRE.為上游部門(mén)的邊際成本MCE.令=0，則有：(MR-MCA)·MP＇-MCE=0NMRE=MCE設(shè)上游部門(mén)利潤(rùn)為πE,則：πE=PEQE-CE(QE)為使πE最大，對(duì)上式求偏導(dǎo)，令πE對(duì)QE的偏導(dǎo)數(shù)為零，即：障=將P塵E億-說(shuō)=0撓殿壟跨P協(xié)E燒=方=脊MC住E丟由此些我們描就得姿出了汽劃撥確價(jià)格塵的制逆定條邁件：防P綢E題=鴿MC參E苦=自NM估R汁E禽=(豐MR綠-M宵C吹A(chǔ)狂)宵·奔MP唉＇咬即當(dāng)撇生產(chǎn)斯引擎兔的邊型際成薄本等插于其半年邊肢際收遇益時(shí)務(wù)確定蠟的價(jià)蚊格就勤是劃泡撥價(jià)哨格。腎推出與了這挽個(gè)條斗件，遍上面辭這個(gè)寶看似若復(fù)雜湊沒(méi)有明頭緒半的問(wèn)伐題就峽變得誕很簡(jiǎn)糖單了隔。要針求P咬E鏟,首膚先要倉(cāng)知道翻MR怠,概MC星A給和M建P＇土.由識(shí)于賽嫩車(chē)與帥引擎頂?shù)脭?shù)閣量是濕對(duì)應(yīng)襯的，外所以毯MP清＇=每1,升Q=污Q前E桑.由園需求印函數(shù)喚可推覽知收附益函某數(shù)：停R(孝Q)嶺=Q輪P籍A母=Q篇(鉤20握00拌0-喝Q)思=2掀00探00桿Q-樸Q纏2辭=2擠00池00遵Q梯E去-Q聚E夾2削可知碧邊際離收益險(xiǎn)為M沒(méi)R=該20偶00渾0-索2膛Q撫E躍由C守A妻=8墓00坑0Q隨可知默，M編C屋A裂=8果00鼠0.秩由C班E功(Q柔E秘)=魂2公Q誼E睡2巨可知挽，M濟(jì)C派E寬=4弟Q惑E畜.茄因此裁：N研MR檔E忌=2買(mǎi)00穗00掩-2苦Q振E斤-8而00嫩0.冶令N大MR洋E膀=拆MC脹E守,得通到：封12逆00稍0-暑2弊Q扛E弟=4襪Q娛E擺澇Q磨E顛=Q皮=2仰00丹0（壟臺(tái)）隆戰(zhàn)谷搏濃牧毀禮P轎E鍛=俊MC赤E也=4觸×陳20紛00帖=8目00跳0（灶元）呢幟適捏蘭掘焰伏餃P宜A凡=2膚00刪00疊-2榆00通0=冰18鼠00泡0（革元）晨該問(wèn)半題得飾解。式從以濁上問(wèn)獸題我宋們看斃出，眼兩部壟門(mén)的圖成本讓、產(chǎn)塞量和呢收益膛均為近不定階因素飯，它幫們之泥間又叨存在巡一定貍關(guān)聯(lián)俱，單府純的挖定性探分析粱是很贏難說(shuō)照清的湖。微圍分方功法的賓運(yùn)用點(diǎn)，使緩該問(wèn)循題變雁得簡(jiǎn)蘋(píng)單且遮一目簽了然宏。等再來(lái)霸看一境個(gè)積拼分方謊法應(yīng)室用的洋例子茶：全例二畝.給慕定凈慧投資敵率I飼(t傘)=貼14置0t稻,且隨當(dāng)t禮=0矮時(shí)初怒始資夏本存計(jì)量是倆15星0.約求資順本函削數(shù)K摟,即膝時(shí)間榴路徑鋪K(冤t)召.胡首先霜要弄梳清一殲個(gè)概駛念：添凈投綿資I拜指的貴是時(shí)茅間t桿內(nèi)的挺資本龜存量悼構(gòu)成掛K的聾變化噴率。土由此篇我們?cè)熘牢郑侔邕@揭個(gè)過(guò)陡程是根連續(xù)炎的，馳則I蔥(t餐)=獄=K愚＇(湖t)貨.根賊據(jù)投據(jù)資率士可以蓬估計(jì)尺資本偷存量剖的水怨平,瓦資本骨存量嚼就是駝凈投涉資關(guān)數(shù)于時(shí)首間的趴積分曠：K傲t兔=麥=K暗(t套)+師c.螺這里賀c即訴為初則始的膚資本系存量閥K躺0蘋(píng).于讀是有甩：擊K=適=1頂40桶=1免40阻(亮)+側(cè)c=侮80瞧+c蚊當(dāng)t膏=0枝時(shí),漆c=耕K件0傭=1敏50理.濱液K=課80芹+1鍵50咳問(wèn)題日得解恰。粒更多姑的問(wèn)牲題則峽要求速我們出同時(shí)尾使用凱微分棵和積擺分兩頃種方薄法來(lái)磚解決子。針例三姻.在架壟斷勉條件釋下所減銷(xiāo)售喜的數(shù)材量和儀市場(chǎng)暫價(jià)格墊是由陸需求括函數(shù)區(qū)決定敏的，疤設(shè)一幕個(gè)利堵益最硬大化肝的壟膨斷者裁的需蠶求函酒數(shù)是哀P=隸27洋4-衡Q犁2刊.且蒙MC淹=4毯+3寫(xiě)Q.轉(zhuǎn)求消質(zhì)費(fèi)者葡剩余姐。F(Q)PP0SQ0Q顛要研本究這譯個(gè)問(wèn)劍題，宰首先抽必須家清楚體消費(fèi)撈者剩允余的效概念坑、實(shí)食質(zhì)以箏及所扁涉及煩的經(jīng)絮濟(jì)變呢量。擔(dān)我們和就最每簡(jiǎn)單盲的情F(Q)PP0SQ0Q訓(xùn)需求洋函數(shù)破P=壯f(黎Q)診代表洗了在險(xiǎn)市場(chǎng)富提供繩不同彎數(shù)量仰產(chǎn)品揉時(shí)消降費(fèi)者叼愿意赴接受償?shù)膬r(jià)博格，瘦如果新市場(chǎng)診均衡察發(fā)生騎在(斥Q墾0悉,P飯0曠)點(diǎn)遇，那標(biāo)么愿電意支累付超轟過(guò)P住0要的消美費(fèi)者倉(cāng)就會(huì)介受益祖，S庭的面夕積即印為消巾費(fèi)者眠剩余賭。如麥圖所響示：隨用定桶積分猴可以皇很容風(fēng)易地獲求出犧消費(fèi)紐者剩爆余：惰消費(fèi)崖者剩悄余=米因此銅我們宜知道謀，要斯求出賺消費(fèi)鑄者剩待余就也要先猜知道伸均衡賽產(chǎn)量調(diào)和價(jià)宇格。抵在上晉述問(wèn)局題中渣，由卻于是信壟斷使市場(chǎng)琴，于膨是問(wèn)嶄題被里簡(jiǎn)化透了。抽Q尋0米，P鑰0少要由項(xiàng)壟斷賊者達(dá)拌到利聯(lián)益最桃大化糾的條跌件求打得。傭已知濟(jì)：P貸－2材74秤－Q運(yùn)2汪，于翻是，償TR皮＝P私Q＝奏（2伯74宜－Q朽2膽）＝龍27句4Q霜－Q騙3廟在M周C＝描MR省處壟阻斷者次獲得扇最大涌利潤(rùn)索；極27鼻4－辟3Q蕩2掌＝4婚＋3機(jī)Q，餅3（施Q蓮2役＋Q評(píng)－9缸0）寒＝0桌Q帶01錫＝9每，Q突02紋＝－轎10扮（無(wú)云經(jīng)濟(jì)久意義蟲(chóng)，舍推）不Q按0見(jiàn)＝9博，P榜0拐＝1諷93儲(chǔ)消費(fèi)趨者較剩余賴(lài)＝＝翅以上星三例鍵只是述微積提分在漆金融印分析跌中最姥最基古本的童應(yīng)用源，隨故著學(xué)犧習(xí)的勇深入招，我蔑們可病以發(fā)玉現(xiàn)數(shù)置學(xué)對(duì)萬(wàn)于經(jīng)屠濟(jì)問(wèn)糟題研擾究的那重要取作用激。掌答握好怕數(shù)學(xué)材這個(gè)詞工具央，會(huì)最幫助厘我們拼更好啟地理少解和澡分析屈各種害經(jīng)濟(jì)果現(xiàn)象田，進(jìn)匙而開(kāi)哄辟出咬一個(gè)梢更廣綠闊的性天地蕩。辜參考材書(shū)目擦：趟1．咬《數(shù)腸理金俘融》紹，中組國(guó)