高中數(shù)學(xué)-用二分法求方程的近似解教學(xué)設(shè)計學(xué)情分析教材分析課后反思

3．1．2用二分法求方程的近似解一、【教學(xué)目標(biāo)】重點：掌握用“二分法”求方程的近似解的方法及步驟，進(jìn)一步體會函數(shù)零點與方程實數(shù)解之間的聯(lián)系，初步形成用函數(shù)觀點處理問題的意識．難點:對二分法概念的理解，精確度的理解，用二分法求函數(shù)零點近似值的步驟的歸納概括．知識點：1．通過具體實例理解二分法的概念及其適用條件，了解二分法是求方程近似解的一種方法；2．借助計算器用二分法求方程的近似解的步驟．能力點：數(shù)形結(jié)合的能力，類比推理能力．教育點：通過探究、展示、交流，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)品質(zhì)，增強合作意識；訓(xùn)練點：1．判斷可用二分法求近似解（零點）的方程（函數(shù)）類型；2．在給定精確度的前提下用二分法求方程的近似解．考試點：用二分法求方程的近似解．拓展點：二分法在實際生活中的應(yīng)用．二、【引入新課】“歡樂購物街，猜猜樂翻天“，中央電視臺財經(jīng)頻道的《購物街》節(jié)目大家都看過吧？喜歡這個節(jié)目嗎？千元商品，猜對了就是你的，想想就讓人興奮．同學(xué)們想不想體驗一下這種感覺？這節(jié)課就讓我一起玩這個游戲好不好？（展示課件的游戲系統(tǒng)）結(jié)束不成功“高了結(jié)束不成功“高了”“低了”成功確定范圍猜中間價數(shù)學(xué)植根于現(xiàn)實生活，數(shù)學(xué)服務(wù)于現(xiàn)實生活．【設(shè)計意圖】通過現(xiàn)實生活中的問題進(jìn)行引入，引起學(xué)生的興趣，同時通過這個實際問題，讓學(xué)生體會“二分法”的過程和步驟．三、【探究新知】分析游戲的過程，得到一個游戲流程圖，為二分法的步驟做準(zhǔn)備．同時提出以下問題：第一次猜價的范圍是什么？有什么技巧，使你能在較少的次數(shù)內(nèi)猜對價格？你認(rèn)為系統(tǒng)會依據(jù)什么判斷是否“成功”？游戲中的什么信息是你重新確定范圍并做猜測的依據(jù)？引導(dǎo)學(xué)生回答以上問題，使其形成以下認(rèn)識：①可以通過試探，把價格所在范圍逐步縮小，最終達(dá)到目的；②縮小范圍的方法，最好采用取“中間價格”的方法；③游戲不是無限次進(jìn)行下去的，當(dāng)猜測的誤差小于10時，游戲停止．【設(shè)計意圖】問題分析的過程，體現(xiàn)出建立數(shù)學(xué)模型的思想，與本章內(nèi)容相吻合．讓學(xué)生自主探究，有助于發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性，體現(xiàn)學(xué)習(xí)過程中學(xué)生的主體地位；通過教師的指導(dǎo)點撥，使學(xué)生對問題的認(rèn)識更清晰，體現(xiàn)教師的主導(dǎo)作用．提出問題:求出函數(shù)QUOTEfx=lnx+2x-6f在上節(jié)課中我們知道該函數(shù)有唯一零點，那如何才能求出該零點呢？（類比猜價格游戲，通過課件展示二分法求解的過程）學(xué)生通過交流探討,大致形成以下認(rèn)識:通過“取中點”的方法逐步縮小零點所在的范圍．(也有同學(xué)可能提到取三等分點或四等分點等,教師可適當(dāng)加以說明和引導(dǎo):取三等分點或四等分點等帶有偶然性,有可能較快得到滿足要求的近似解,也有可能較慢．“取中點”是一種比較穩(wěn)妥的方式．)【設(shè)計意圖】引發(fā)學(xué)生思考縮小區(qū)間并進(jìn)一步得到方程近似解的具體做法，明確區(qū)間長度與精確度的關(guān)系，初步形成“二分法”求解的步驟．引導(dǎo)學(xué)生分析理解求函數(shù)零點近似值的步驟:步驟一：判斷函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點．步驟二：取區(qū)間的中點，用計算器算得．由，得知，所以零點在區(qū)間內(nèi)．步驟三：取區(qū)間的中點，用計算器算得．由，得知，所以零點在區(qū)間內(nèi)．步驟四：取區(qū)間的中點，用計算器算得．由，得知，所以零點在區(qū)間內(nèi)．步驟五：取區(qū)間的中點，用計算器算得．由，得知，所以零點在區(qū)間內(nèi)．…………經(jīng)過這幾步之后，零點所在的范圍逐漸縮小，這樣我們一定能得到一定的誤差范圍內(nèi)的近似解，這里的“一定的誤差范圍”即是“精確度”．只要零點所在區(qū)間的長度小于精確度即可．精確度一般用表示．在如果精確度，則在上面進(jìn)行完步驟五后，此時由于,所以可以取區(qū)間內(nèi)的任意一個實數(shù)作為函數(shù)的零點的近似值．也可以取區(qū)間的端點（）作為函數(shù)的零點的近似值．即可以取閉區(qū)間中的任意一個實數(shù)作為函數(shù)的零點的近似值，為了方便，我們一般取區(qū)間端點的實數(shù)作為方程的近似解．下表體現(xiàn)了用這種方法求方程的近似解的過程：區(qū)間區(qū)間中點的值中點函數(shù)近似值區(qū)間長度（2,3）2．5-0．0841（2．5，3）2．750．5120．5（2．5，2．75）2．6250．2150．25（2．5，2．625）2．56250．0660．125（2．5，2．5625）2．53125-0．0090．0625（2．53125，2．5625）2．5468750．0290．03125（2．53125，2．546875）2．53906250．0100．015625（2．53125，2．5390625）2．535156250．0010．0078125問題：對于其他函數(shù)（方程），如果存在零點（實數(shù)解），是不是也可以用這種方法去求它的零點（近似解）呢？引入二分法概念：對于在區(qū)間上連續(xù)不斷且滿足的函數(shù)，通過不斷地把函數(shù)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進(jìn)而得到零點近似值的方法叫做二分法．注：應(yīng)用二分法的前提是零點的存在性定理,只適合求變號零點，即：在區(qū)間上連續(xù)不斷且滿足的．四、【理解新知】1．類比“猜商品價格”與“求函數(shù)零點的近似值”，將猜價格游戲的一些具體環(huán)節(jié)類比到求函數(shù)零點近似值問題上來，讓學(xué)生更加直觀、清晰的得到二分法的步驟：給學(xué)生4分鐘合作研討的時間，由學(xué)生類比歸納出用二分法求函數(shù)（方程）的零點（實數(shù)解）的近似值的一般方法：用二分法求函數(shù)的零點近似值的步驟如下：1．確定區(qū)間，驗證，給定精確度；2．求區(qū)間的中點；3．計算；（1）若，則就是函數(shù)的零點；（2）若，則令（此時零點）；（3）若，則令（此時零點）．4．判斷是否達(dá)到精確度：即若，則得到零點近似值（或）；否則重復(fù)2～4．最后可以用“①定②求③算④判”簡單概括．【設(shè)計意圖】1．進(jìn)一步理解用二分法求函數(shù)（方程）的零點（實數(shù)解）的近似值的思想方法．鍛煉學(xué)生的類比推理能力．2．用二分法求函數(shù)（方程）的零點（實數(shù)解）的近似值，一般情況下需要多次重復(fù)相同的步驟：“求區(qū)間中點→計算區(qū)間中點函數(shù)值→判斷零點（實數(shù)解）所在區(qū)間”，這種重復(fù)當(dāng)區(qū)間中點函數(shù)值等于0或者滿足精確度要求時結(jié)束．五、【運用新知】例2．借助計算器或計算機用二分法求方程的近似解（精確度0．1）．解：原方程即，令，用計算器或計算機作出函數(shù)的對應(yīng)值表與圖象．觀察圖或表可知，說明這個函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點．取區(qū)間的中點，用計算器算得．因為，所以．再取區(qū)間的中點，用計算器算得．因為，所以．同理可得，，．由于，所以，原方程的近似解可取為（或）．【設(shè)計意圖】進(jìn)一步理解函數(shù)的零點與方程的解之間的關(guān)系，讓學(xué)生形成用函數(shù)的方式解決問題．進(jìn)一步理想二分法的思想和步驟．練習(xí)1下列函數(shù)中不能用二分法求函數(shù)零點的近似解的是（）ABCD答案:C【點撥】：判斷一個函數(shù)能否用二分法求其零點的依據(jù)是零點的存在性定理:在區(qū)間上連續(xù)不斷且滿足的函數(shù)，故答案為C．【設(shè)計意圖】本題考查二分法的定義，按定義，只有在上連續(xù)不斷且滿足，才能不斷地把函數(shù)的零點所在的區(qū)間一分為二，進(jìn)而求出函數(shù)的零點．例2．在用二分法求圖象連續(xù)不斷的函數(shù)在內(nèi)零點近似值的過程中得到,,,則函數(shù)的零點落在區(qū)間（）．A．

B．C．D．不能確定解：．又的圖象連續(xù)不斷，在區(qū)間內(nèi)存在零點．故答案為B．【設(shè)計意圖】：利用二分法求方程的近似解的依據(jù)是零點的存在性定理:函數(shù)在上連續(xù)不斷且滿足，才能不斷地把函數(shù)的零點所在的區(qū)間一分為二，進(jìn)而求出函數(shù)的零點．變式練習(xí)：用二分法研究函數(shù)的零點時，第一次經(jīng)計算可得其中一個零點第二次應(yīng)計算____________．答案：（0,0．5），．六、【課堂小結(jié)】知識層面：1．二分法求函數(shù)零點近似值的步驟定②求③算④判2．能用二分法求函數(shù)QUOTEy=f(x)y=f(x)零點的條件①在區(qū)間QUOTE[a,b][a,b]上連續(xù)不斷②QUOTEfafb<0f3．求方程QUOTEfx=0fx=0方程QUOTEfx=0fx=0近似解QUOTEQUOTEy=f(x)y=f(x)零點近似值思想方法層面：類比的方法與思想類比“猜商品價格”的步驟，得到“用二分法求函數(shù)（方程）的零點（實數(shù)解）的近似值”的步驟．?dāng)?shù)形結(jié)合思想結(jié)合函數(shù)的對應(yīng)值表和函數(shù)圖象，發(fā)現(xiàn)函數(shù)零點所在的區(qū)間．轉(zhuǎn)化的思想將求方程近似解的問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)零點近似值的問題．七、【布置作業(yè)】1．探究(1)二分法等分區(qū)間的次數(shù)與精確度QUOTEε的關(guān)系．(2)調(diào)查生活中的一些實際問題，如電線線路檢修、下水道堵塞處的查找等的處理方法，考慮與二分法求函數(shù)零點有何相似之處？2．書面作業(yè)課本P91練習(xí)1．2．課下練習(xí):P92習(xí)題3．1A組（必做）B組（選做）2．課外閱讀:P91-92中外歷史上的方程求解．八、【教后反思】二分法是求方程近似解的一種方法．引入二分法的主要目的是加強函數(shù)與方程的聯(lián)系，二分法中逼近思想和算法思想非常明確．如何安排本節(jié)的教學(xué)過程？如何達(dá)到良好教學(xué)效果？如何利用現(xiàn)有的素材？等等問題一直圍繞著我．本節(jié)課在教授之前，下了很大功夫，試圖讓學(xué)生能夠更加輕松、更加深刻的掌握知識點．但教授之后，也發(fā)現(xiàn)了一些問題．下邊把本節(jié)課的優(yōu)缺點總結(jié)如下：優(yōu)點：多媒體的使用效果比較明顯．《歡樂購物節(jié)》游戲的設(shè)置，讓學(xué)生能夠親自操作，參與其中，比單純看電視錄像更能讓學(xué)生體會深刻．引例中，flash演示求函數(shù)零點過程，學(xué)生總結(jié)求解過程變得輕松．例題2中，設(shè)計的求函數(shù)值的程序，彌補了傳統(tǒng)方法的不足，更直觀，學(xué)生的參與度更高；設(shè)計上，各個環(huán)節(jié)比較完整，且前后呼應(yīng)．題目設(shè)計難度適中，時間把握合理．缺點：部分環(huán)節(jié)，老師講解過多，語言不夠簡練，還可以再加工；例題2，如果能讓學(xué)生自己操作完成，可能效果更好．但由于課堂時間有限，沒放開給學(xué)生；課上練習(xí)1，部分學(xué)生沒能理解，應(yīng)該在之前再加引導(dǎo)．九、【板書設(shè)計】3．1．2用二分法求方程的近似解二分法的定義用二分法求一般的函數(shù)的零點近似值的步驟引例例2小結(jié)：作業(yè)：學(xué)情分析學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了“方程的根與函數(shù)的零點”，理解函數(shù)的零點與方程的根的關(guān)系，并具有一定的數(shù)形結(jié)合思想，這些成為本節(jié)知識學(xué)習(xí)的生長點，在用二分法求近似解的步驟中又滲透著算法思想，為今后的算法內(nèi)容學(xué)習(xí)埋下伏筆。但是學(xué)生對動態(tài)與靜態(tài)的認(rèn)識薄弱，對于函數(shù)與方程的聯(lián)系缺乏一定的認(rèn)識，這些都給學(xué)生在縮小零點所在區(qū)間的過程造成一定的難度。因此在教學(xué)中應(yīng)該多給學(xué)生動手的機會，給學(xué)生創(chuàng)設(shè)熟悉的問題情境，引導(dǎo)學(xué)生觀察，計算，思考和總結(jié)，使他們理解問題背后的本質(zhì)從而得出結(jié)論學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容的時候可能會對二分法的本質(zhì)理解不夠透徹，特別是在“循環(huán)迭代與替換區(qū)間端點”這一環(huán)節(jié)的理解上相對比較困難，對精確的理解比較困難。同時在運算過程中，數(shù)值較繁瑣，這些都使學(xué)生對本節(jié)的學(xué)習(xí)與理解產(chǎn)生較大的阻礙，在課前應(yīng)給學(xué)生提前預(yù)習(xí)，以做好思想準(zhǔn)備。

效果分析學(xué)生通過自己參與《猜猜樂翻天》的游戲，直觀體會出“二分法”的核心思想，并提升學(xué)習(xí)的興趣；通過flash課件，演示求函數(shù)QUOTEfx=lnx+2x-6f配合《函數(shù)計算器》完成例題2，讓學(xué)生能夠進(jìn)一步體會二分法的思想，明確二分法求方程近似解的步驟，進(jìn)一步鞏固理解方程解和函數(shù)零點的關(guān)系；教材分析本節(jié)是人教A版《普通高中標(biāo)準(zhǔn)試驗教科書·數(shù)學(xué)1（必修）》第三章“函數(shù)的應(yīng)用”中第一節(jié)“函數(shù)與方程”的第二塊內(nèi)容，是在學(xué)習(xí)了集合與函數(shù)概念、基本初等函數(shù)后，研究函數(shù)與方程關(guān)系的內(nèi)容。本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容是：結(jié)合函數(shù)大致圖象，能夠借助計算器用二分法求出相應(yīng)方程的近似解，理解二分法的思想及了解這種方法是求方程近似解的常用方法。

本節(jié)內(nèi)容是課標(biāo)教材中新增的內(nèi)容。在初中，學(xué)生學(xué)習(xí)了簡單的一元一次方程和一元二次方程等簡單方程的求根問題，但是實際問題中，有具體求根公式的方程是很少的。對于這類方程，我們只能根據(jù)根的存在性定理判斷根的存在，在利用二分法可以求出方程給定精確度的近似解。經(jīng)過本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，將使學(xué)生更加深入理解函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想。

評測練習(xí)(C)(B)(A)1、下列函數(shù)中能用二分法求零點的是（）.(C)(B)(A)·y·yxxoo(D)(D)2、用二分法求圖象是連續(xù)不斷的函數(shù)在∈(0,4)內(nèi)零點近似值的過程中得到,,，,則函數(shù)的零點落在區(qū)間（）(A)（0,1）

(B)（1,2）(C)（2,3）(D)（3,4）3、用二分法求方程在區(qū)間（0,2）內(nèi)的近似解時，若要求精確度為0.1，則最多需要將區(qū)間（0,2）平分幾次？4、借助計算器或計算機，用二分法求方程在區(qū)間（2，3）內(nèi)的近似解（精確度0.1）.課后反思本節(jié)課在教授之前，下了很大功夫，試圖讓學(xué)生能夠更加輕松、更加深刻的掌握知識點。但教授之后，也發(fā)現(xiàn)了一些問題。下邊把本節(jié)課的優(yōu)缺點總結(jié)如下：優(yōu)點：多媒體的使用效果比較明顯。《歡樂購物節(jié)》游戲的設(shè)置，讓學(xué)生能夠親自操作，參與其中，比單純看電視錄像更能讓學(xué)生體會深刻。引例中，flash演示求函數(shù)零點過程，學(xué)生總結(jié)求解過程變得輕松。例題2中，設(shè)計的求函