藝術(shù)生專用卷02（解析版）-(新高考卷)

2022年高考藝術(shù)生專用試題（二）數(shù)學(xué)（新高考卷）（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。寫在本試卷上無效。3．回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求.1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】，，則，故選：B.2．設(shè)復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，若，則對應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面內(nèi)的（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D【詳解】依題意有，則，∴對應(yīng)的點(diǎn)為，位于復(fù)平面內(nèi)的第四象限.故選：D3．今有2個紅球、3個黃球、4個白球，同色球不加以區(qū)分，將這9個球排成一列的排法總數(shù)為（

）A．1782 B．1720 C．2520 D．1260【答案】D【詳解】同色球不加以區(qū)分可以理解為定序問題，故將這9個球排成一列的排法總數(shù)為種.故選：D4．函數(shù)的部分圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，且，所以函?shù)為奇函數(shù)，故排除選項(xiàng)和；又因?yàn)楫?dāng)時，，當(dāng)時，，且當(dāng)時，，故排除選項(xiàng).故選：.5．已知，則三個數(shù)的大小順序是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】由，，，所以.故選：B.6．已知拋物線與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，點(diǎn)A是兩曲線的一個交點(diǎn)，且軸，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由拋物線可得焦點(diǎn)，則雙曲線的右焦點(diǎn)為，即，若軸，可設(shè)，則，由題意可得：，解得，∴雙曲線的離心率為.故選：D.7．“阿基米德多面體”也稱為半正多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.如圖，將一個正方體沿交于一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個三棱錐，共可截去八個三棱錐，得到八個面為正三角形，六個面為正方形的“阿基米德多面體”，則該多面體中具有公共頂點(diǎn)的兩個正三角形所在平面的夾角正切值為（

）A． B．1 C． D．【答案】D【詳解】將該“阿基米德多面體”放入正方體中，如圖，平面和平面為有公共頂點(diǎn)的兩個正三角形所在平面，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為2，則設(shè)平面的法向量為所以，令，所以設(shè)平面的法向量為所以，令，所以設(shè)平面平面和平面的夾角為，則，因?yàn)槠矫婧推矫娴膴A角為銳角，所以，所以，故選：D8．已知函數(shù)的極值點(diǎn)為，函數(shù)的最大值為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】的定義域?yàn)?，在上單調(diào)遞增，且，，所以，．的定義域?yàn)椋?，?dāng)時，，當(dāng)時，，故在處取得極大值，也是最大值，，即．所以．故選：A多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.9．空氣質(zhì)量指數(shù)大小分為五級.指數(shù)越大說明污染的情況越嚴(yán)重，對人體危害越大，指數(shù)范圍，，，，分別對應(yīng)“優(yōu)”“良”“輕度污染”“中度污染”“重污染”五個等級.如圖是某市連續(xù)天的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢圖，下面說法正確的是（

）A．這天中有天空氣質(zhì)量指數(shù)為“輕度污染”B．從日到日空氣質(zhì)量越來越好C．這天中空氣質(zhì)量的中位數(shù)是D．連續(xù)三天中空氣質(zhì)量指數(shù)方差最小是日到日【答案】ABC【詳解】對于A，由空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢圖可知：這天中，空氣質(zhì)量指數(shù)位于的天數(shù)有日，則有天空氣質(zhì)量指數(shù)為“輕度污染”，A正確；對于B，從日到日空氣質(zhì)量指數(shù)依次下降，則空氣質(zhì)量越來越好，B正確；對于C，將天空氣質(zhì)量指數(shù)按照從小到大順序排序，中位數(shù)為第和第個數(shù)的平均數(shù)，即，C正確；對于D，若連續(xù)三天空氣質(zhì)量指數(shù)方差最小，則連續(xù)三天數(shù)據(jù)波動幅度最小，顯然日到日數(shù)據(jù)波動幅度最大，則方差應(yīng)為最大，D錯誤.故選：ABC.10．已知函數(shù),現(xiàn)將函數(shù)的圖象沿x抽向左平移單位后,得到一個偶函數(shù)的圖象,則（

）A．函數(shù)的周期為B．函數(shù)圖象的一個對稱中心為C．當(dāng)時,函數(shù)的最小值為D．函數(shù)的極值點(diǎn)為【答案】AC【詳解】解:由題知將的圖象沿x抽向左平移單位后為:,因?yàn)闉榕己瘮?shù),所以把,因?yàn)?所以解得,故;所以周期為,故選項(xiàng)A正確;令,解得,因?yàn)楣蕿榈囊粋€對稱中心,故選項(xiàng)B錯誤;因?yàn)?令,則在單調(diào)遞減,所以,故選項(xiàng)C正確;令,可得,極值點(diǎn)處即為對稱軸處,故極值點(diǎn)為,故選項(xiàng)D錯誤.故選:AC11．過點(diǎn)的直線與圓交于兩點(diǎn)，是圓上的兩點(diǎn)，且，則下列說法正確的是（

）A．的最小值為B．面積的最大值為C．的最小值為D．的最大值為【答案】ACD【詳解】設(shè)圓心到直線的距離為，由題意得，，所以，故A正確；的面積，當(dāng)時，，故B錯誤；設(shè)的中點(diǎn)為，又，則，即點(diǎn)E的軌跡為圓，所以，，因?yàn)?，所以的最小值?故C正確；，所以的最大值為，故D正確，故選：ACD.12．在正方體中，點(diǎn)P滿足，則（

）A．對于任意的正實(shí)數(shù)，三棱錐的體積始終不變B．對于任意的正實(shí)數(shù)，都有平面C．存在正實(shí)數(shù)，使得異面直線與所成的角為D．存在正實(shí)數(shù)，使得直線與平面所成的角為【答案】AB【詳解】A：因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，因?yàn)?，所以在線段（不包括端點(diǎn)）上，因此對于任意的正實(shí)數(shù)，點(diǎn)到平面的距離不變，而，所以對于任意的正實(shí)數(shù)，三棱錐的體積始終不變，因此本選項(xiàng)正確；建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為，B：設(shè)平面的法向量為，，所以有，因?yàn)椋?，而平面，所以平面，因此本選項(xiàng)正確；C：假設(shè)存在正實(shí)數(shù)，使得異面直線與所成的角為，則有解得：，所以不存在正實(shí)數(shù)，使得異面直線與所成的角為，因此本選項(xiàng)不正確；D：假設(shè)存在正實(shí)數(shù)，使得直線與平面所成的角為，設(shè)平面的法向量為，所以有，，解得，所以假設(shè)不成立，因此不存在正實(shí)數(shù)，使得直線與平面所成的角為，所以本選項(xiàng)不正確，故選：AB填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13．若展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為64，則該展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)為______.【答案】【詳解】令，則的展開式各項(xiàng)系數(shù)之和為，則,其中通項(xiàng)，令，則，則，故含的項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為：.14．設(shè)向量，的夾角的余弦值為，且，，則______.【答案】12【詳解】因?yàn)?，，所以，則.故答案為：.15．九連環(huán)是中國的一種古老智力游戲，它用九個圓環(huán)相連成串，環(huán)環(huán)相扣，以解開為勝，趣味無窮．中國的末代皇帝溥儀（1906—1967）也曾有一個精美的由九個翡翠繯相連的銀制的九連環(huán)（如圖）．現(xiàn)假設(shè)有個圓環(huán)，用表示按照某種規(guī)則解下個圓環(huán)所需的銀和翠玉制九連環(huán)最少移動次數(shù)，且數(shù)列滿足，，，則______．【答案】【詳解】解：因?yàn)椋?，，所以?dāng)且時，，所以.故答案為：.16．已知在處取得極值，則的最小值為__________.【答案】3【詳解】由，因?yàn)楹瘮?shù)在處取得極值，所以有，于是有，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時取等號，即當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故答案為：3解答題：本小題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．從①；②；③，這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中，并加以解答．在中，分別是角的對邊，若選______________________________．(1)求角的大??；(2)若點(diǎn)在邊上，滿足，且，求邊的長．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計(jì)分．【答案】(1)(2)12【詳解】（1）選①：∵，由正弦定理可得，則，∵，則，∴，即，又∵，故；選②：∵，由正弦定理可得：，即，∴，又∵，故；選③：∵，則，解得或，又∵，則，可得，即，∴，故.（2）由題意可得：，則，即，解得或（舍去），故邊的長12.18．已知數(shù)列中，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)求數(shù)列的前100項(xiàng)和.【答案】(1)(2)22950.【詳解】（1），所以是常數(shù)列，即；（2）由（1）知，是首項(xiàng)為2，公差為3的等差數(shù)列，由題意得，，設(shè)數(shù)列，的前50項(xiàng)和分別為，，所以，，所以的前100項(xiàng)和為；綜上，，的前100項(xiàng)和為.19．如圖1，在直角梯形中，，點(diǎn)E、F分別是邊的中點(diǎn)，現(xiàn)將沿邊折起，使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)P的位置（如圖2所示），且.(1)求證：平面平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）如圖，連接BF，由條件知四邊形ABFD是正方形，，是等腰直角三角形，E是BC的中點(diǎn)，；并且，；如圖：在中，，

，，平面ABD，平面ABD，又，平面ABD，平面APE，平面平面ABD；（2）因?yàn)閮蓛纱怪?，以E為原點(diǎn)，BE為x軸，F(xiàn)E為y軸，EP為z軸建立空間直角坐標(biāo)系如下圖：則有，，設(shè)平面ABP與平面ADP的夾角為，平面ABP的一個法向量為，平面ADP的一個法向量為，則有：，，令，則；，，令，則，

，；20．某班在一次班會課上推出了一項(xiàng)趣味活動：在一個箱子里放有4個完全相同的小球，小球上分別標(biāo)注有1、2、3、4號碼.參加活動的學(xué)生有放回地摸兩次球，每次摸1個，并分別記錄下球的號碼數(shù)字x，y.獎勵規(guī)則如下：①若xy≤3，則獎勵筆記本1本；②若xy≥8，則獎勵水杯1個；③其余情況獎勵飲料1瓶.(1)求小王獲得筆記本的概率；(2)試分析小王獲得水杯與獲得飲料，哪一個概率大?【答案】(1)(2)獲得水杯的概率大【詳解】（1）小王兩次摸球，的情況包含（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）共16種情況，其中滿足的有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（3，1），共有5種情況，所以小王獲得筆記本的概率（2）滿足的基本事件包含（2，4），（3，3），（3，4），（4，2），（4，3），（4，4）共6個基本事件，所有小王獲得水杯的概率，小王獲得飲料的概率，因?yàn)?，所有獲得水杯的概率大.21．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)為橢圓上兩點(diǎn)．(1)若直線過左焦點(diǎn)，求的周長；(2)若直線過點(diǎn)，求的取值范圍；．(3)若點(diǎn)是橢圓與拋物線在第一象限的交點(diǎn)．是否存在點(diǎn)，使得線段的中點(diǎn)在拋物線上？若存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)8(2)(3)存在；【詳解】（1）由題意知，所以，的周長為；（2）設(shè)，當(dāng)直線斜率不存在時，直線方程為，代入中，得：，，當(dāng)直線斜率為0時，，所以；當(dāng)直線斜率不為0時，設(shè)，由得