2016版步步高高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習(xí)與增分策略全國通用理科配套課件專題函數(shù)導(dǎo)數(shù)第2講

第2講函數(shù)的應(yīng)用專題二 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)高考真題體驗(yàn)熱點(diǎn)分類突破高考押題精練欄目索引高考真題體驗(yàn)1

2

3

4x21.(2014·北京)已知函數(shù)f(x)＝6－log

x，在下列區(qū)間中，包含f(x)零點(diǎn)的區(qū)間是(

C

)A.(0,1)

B.(1,2)

C.(2,4)

D.(4，＋∞)解析

由題意知，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上為減函數(shù)，又f(1)＝6－0＝6>0，f(2)＝3－1＝2>0，24

2f(4)＝6－log

4＝3－2＝－1

，2<0由零點(diǎn)存在性定理，可知函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,4)上必存在零點(diǎn).1

2

3

42.(2014·江蘇)已知f(x)是定義在R

上且周期為3

的函數(shù)，當(dāng)x∈[0,3)時，f(x)＝|x2－2x＋1

若函數(shù)y＝f(x)－a

在區(qū)間[－3,4]2|.上有

10

個零點(diǎn)(互不相同)，則實(shí)數(shù)

a

的取值范圍是

.解析

作出函數(shù)y＝f(x)在[－3,4]上的圖象，2f(－3)＝f(－2)＝f(－1)＝f(0)＝f(1)＝f(2)＝f(3)＝f(4)＝1，1

2

3

4觀察圖象可得10<a<2.答案

(0，12)1

2

3

43.(2015·四川)某食品的保鮮時間y(單位：小時)與儲藏溫度

x(單位：℃)滿足函數(shù)關(guān)系y＝ekx＋b(e＝2.718…為自然對數(shù)的

底數(shù)，k，b為常數(shù)).若該食品在0

℃的保鮮時間是192小時，在22

℃的保鮮時間是48小時，則該食品在33

℃的保鮮時間

是

小時.解析

由題意得eb＝192，＋22k

be

＝48，1

2

3

4∴e22k＝

48

＝1，∴e11k＝1，192

4

2∴x＝33時，y＝e33k＋b＝(e11k)3×eb21＝

3×192＝1

192＝24.8×答案

241

2

3

44.(2014·湖北)某項(xiàng)研究表明：在考慮行車安全的情況下，某路段車流量F(單位時間內(nèi)經(jīng)過測量點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛/時)與車流速度v(假設(shè)車輛以相同速度v行駛，單位：米/秒)，平均車長l(單位：米)的值有關(guān)，其76公00式0v

為F＝

.v2＋18v＋20l1

2

3

4(1)如果不限定車型，l＝6.05，則最大車流量為

1

900

輛/時；76

000vv2＋18v＋121解析

當(dāng)

l＝6.05

時，F(xiàn)＝

＝76

000vv＋121＋18≤76

0002

·

v

＋18v

121

22＋18＝

76

000

＝1

900.當(dāng)且僅當(dāng)v＝11

米/秒時等號成立，此時車流量最大為1

900輛/時.1

2

3

476

000vv2＋18v＋100解析

當(dāng)

l＝5

時，F(xiàn)＝

＝76

000vv＋100＋18(2)如果限定車型，l＝5，則最大車流量比(1)中的最大車流量增加

100

輛/時.≤1002

v·

v

＋1876

000 76

000＝20＋18＝2

000.當(dāng)且僅當(dāng)v＝10

米/秒時等號成立,此時車流量最大為2

000輛/時.比(1)中的最大車流量增加100

輛/時.考情考向分析函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間、零點(diǎn)個數(shù)及參數(shù)的取值范圍是高考的常見題型，主要以選擇題、填空題的形式出現(xiàn).函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用以二次函數(shù)、分段函數(shù)模型為載體，主要考查函數(shù)的最值問題.熱點(diǎn)一函數(shù)的零點(diǎn)零點(diǎn)存在性定理如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，且有f(a)·f(b)<0，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，這個c也就是方程f(x)＝0的根.函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)＝g(x)的根，即函數(shù)y＝f(x)的圖象與函數(shù)y＝g(x)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo).熱點(diǎn)分類突破xC.(2,3)

D.(3,10)例

1

(1)函數(shù)

f(x)＝lg

x－1的零點(diǎn)所在的區(qū)間是(

C)A.(0,1)

B.(1,2)解析

∵f(2)＝lg

2－112<0，f(3)＝lg

3－3>0，∴f(2)f(3)<0，故f(x)的零點(diǎn)在區(qū)間(2,3)內(nèi).(2)已知函數(shù)f(x)＝ex＋x，g(x)＝ln

x＋x，h(x)＝ln

x－1的零點(diǎn)依次為a，b，c，則(

A

)A.a<b<c

B.c<b<a

C.c<a<b

D.b<a<c解析

由f(a)＝ea＋a＝0，得a＝－ea<0；b是函數(shù)y＝lnx和y＝－x圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，畫圖可知0<b<1；由h(x)＝ln

c－1＝0知c＝e，所以a<b<c.思維升華函數(shù)零點(diǎn)(即方程的根)的確定問題，常見的有(1)函數(shù)零點(diǎn)值大致存在區(qū)間的確定；(2)零點(diǎn)個數(shù)的確定；(3)兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)或有幾個交點(diǎn)的確定.解決這類問題的常用方法有解方程法、利用零點(diǎn)存在的判定或數(shù)形結(jié)合法，尤其是方程兩端對應(yīng)的函數(shù)類型不同的方程多以數(shù)形結(jié)合求解.B.1

C.2

D.3跟蹤演練1

(1)函數(shù)f(x)＝x2－2x在x∈R上的零點(diǎn)的個數(shù)是(

D

)A.0解析

注意到

f(－1)×f(0)＝1

(－1)<0，2×因此函數(shù)f(x)在(－1,0)上必有零點(diǎn)，又f(2)＝f(4)＝0，因此函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個數(shù)是3，選D.(2)

已

知

定

義

在

R

上

的

函

數(shù)

f(x)

滿

足

：

f(x)

＝x2＋2，x∈[0，1)，22－x

，x∈[－1，0)，2x＋5且f(x＋2)＝f(x)，g(x)＝

x＋2

，則方程

f(x)＝g(x)在區(qū)間[－5,1]上的所有實(shí)根之和為(

)A.－5

B.－6

C.－7

D.－8解析

由題意知

g(x)＝2x＋52(x＋2)＋1x＋2

＝

x＋2＝2＋1x＋2，函數(shù)f(x)的周期為2，則函數(shù)f(x)，g(x)在區(qū)間[－5,1]上的圖象如圖所示：由圖形可知函數(shù)f(x)，g(x)在區(qū)間[－5,1]上的交點(diǎn)為A，B，C，易知點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為－3，若設(shè)C的橫坐標(biāo)為t(0<t<1)，則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為－4－t，所以方程f(x)＝g(x)在區(qū)間[－5,1]上的所有實(shí)根之和為－3＋(－4－t)＋t＝－7.答案

C熱點(diǎn)二

函數(shù)的零點(diǎn)與參數(shù)的范圍解決由函數(shù)零點(diǎn)的存在情況求參數(shù)的值或取值范圍問題，關(guān)鍵是利用函數(shù)方程思想或數(shù)形結(jié)合思想，構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的方程或不等式求解.例

2

(1)

對任意實(shí)數(shù)

a

，

b

定義運(yùn)算“

?

”

：

a

?

b

＝b，a－b≥1，a，a－b<1.2設(shè)

f(x)＝(x

－1)?(4＋x)，若函數(shù)

y＝f(x)＋k的圖象與x

軸恰有三個不同交點(diǎn)，則

k

的取值范圍是(

)A.(－2,1)

B.[0,1]

C.[－2,0)

D.[－2,1)解析

解不等式x2－1－(4＋x)≥1，得x≤－2或x≥3，所以，f(x)＝x＋4，x∈(－∞，－2]∪[3，＋∞)，2x

－1，x∈(－2，3).函數(shù)y＝f(x)＋k的圖象與x軸恰有三個不同交點(diǎn)轉(zhuǎn)化為函數(shù)y＝f(x)的圖象和直線y＝－k恰有三個不同交點(diǎn)．如圖，所以－1<－k≤2，故－2≤k<1.答案

D(2)已知函數(shù)f(x)＝ex

－2x

＋a

有零點(diǎn)，則a

的取值范圍是aa當(dāng)x∈(ln

2，＋∞)時，f′(x)>0，所以f(x)min＝f(ln

2)＝2－2ln

2＋a.由于f(2)＝e2

>0，所以f(x)有零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)2－2ln

2＋a≤0，所以a≤2ln

2－2.(－∞，2ln

2－2]

.解析

f′(x)＝ex－2，當(dāng)x∈(－∞，ln

2)時，f′(x)<0；思維升華f(x)＝g(x)根的個數(shù)即為函數(shù)y＝f(x)和y＝g(x)圖象交點(diǎn)的個數(shù)；關(guān)于x的方程f(x)－m＝0有解，m的范圍就是函數(shù)y＝f(x)的值域.跟蹤演練2

(1)若函數(shù)f(x)＝m＋log2x(x≥1)存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(

A

)A.(－∞，0]C.(－∞，0)B.[0，＋∞)D.(0，＋∞)解析

m＝－log2x(x≥1)存在零點(diǎn)，則m的范圍即為函數(shù)y＝－log2x(x≥1)的值域，∴m≤0.(2)(2015·湖南)若函數(shù)f(x)＝|2x－2|－b有兩個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是

.解析

將函數(shù)f(x)＝|2x－2|－b的零點(diǎn)個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y＝|2x－2|的圖象與直線y＝b的交點(diǎn)個數(shù)問題，數(shù)形結(jié)合求解.由f(x)＝|2x－2|－b＝0，得|2x－2|＝b.在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出y＝|2x－2|與y＝b的圖象，如圖所示.則當(dāng)0<b<2時，兩函數(shù)圖象有兩個交點(diǎn)，從而函數(shù)f(x)＝|2x－2|－b有兩個零點(diǎn).答案

(0,2)熱點(diǎn)三

函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問題解決函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用題，首先考慮題目考查的函數(shù)模型，并要注意定義域.其解題步驟是(1)閱讀理解，審清題意：分析出已知什么，求什么，從中提煉出相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題；(2)數(shù)學(xué)建模：弄清題目中的已知條件和數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式；(3)解函數(shù)模型：利用數(shù)學(xué)方法得出函數(shù)模型的數(shù)學(xué)結(jié)果；(4)實(shí)際問題作答：將數(shù)學(xué)問題的結(jié)果轉(zhuǎn)化成實(shí)際問題作出解答.例

3

已知一家公司生產(chǎn)某種品牌服裝的年固定成本為

10萬元，每生產(chǎn)1

千件需另投入2.7

萬元.設(shè)該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該品牌服裝x

千件并全部銷售完，每千件的銷售收入為R(x)1210.8－30x

(0<x≤10)，萬元，且R(x)＝108 1

000

x

－

3x2

(x>10).(1)寫出年利潤W(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(千件)的函數(shù)解析式；解

當(dāng)0<x≤10時，x3W＝xR(x)－(10＋2.7x)＝8.1x－30－10；當(dāng)x>10時，3xW＝xR(x)－(10＋2.7x)＝98－1

000－2.7x.∴W＝98－x38.1x－30－10

(0<x≤10)，1

0003x－2.7x

(x>10).(2)年產(chǎn)量為多少千件時，該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲得的年利潤最大？(注：年利潤＝年銷售收入－年總成本)解

x2①當(dāng)0<x≤10

時，由W′＝8.1－10＝0，得x＝9，且當(dāng)x∈(0,9)時，W′>0；當(dāng)x∈(9,10)時，W′<0，∴當(dāng)x＝9時，W取得最大值，max30且

W

＝8.1×9－

1

×93－10＝38.6.②當(dāng)x>10時，W＝98－

1

0001

0003x

3x＋2.7x≤98－2

×2.7x＝38，當(dāng)且僅當(dāng)1

000＝2.7x，即x＝100時，W＝38，3x

9故當(dāng)x＝100時，W

取最大值38.9綜合①②知：當(dāng)x＝9時，W取最大值38.6萬元，故當(dāng)年產(chǎn)量為9千件時，該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲得的年利潤最大.思維升華關(guān)于解決函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問題，首先要耐心、細(xì)心地審清題意，弄清各量之間的關(guān)系，再建立函數(shù)關(guān)系式，然后借助函數(shù)的知識求解，解答后再回到實(shí)際問題中去.對函數(shù)模型求最值的常用方法：單調(diào)性法、基本不等式法及導(dǎo)數(shù)法.跟蹤演練3

(1)國家規(guī)定某行業(yè)征稅如下：年收入在280萬元及以下的稅率為p%，超過280萬元的部分按(p＋2)%征稅，有一公司的實(shí)際繳稅比例為(p＋0.25)%，則該公司的年收入是(

)A.560萬元C.350萬元B.420萬元

D.320萬元解析

設(shè)該公司的年收入為x萬元(x>280)，則有280×p%＋(x－280)(p＋2)%x＝(p＋0.25)%，解得x＝320.故該公司的年收入為320萬元.答案

D(2)某租賃公司擁有汽車100輛.當(dāng)每輛車的月租金為3000元時，可全部租出.當(dāng)每輛車的月租金每增加50元時，未出租的車將會增加一輛.租出的車每輛每月需要維護(hù)費(fèi)150元，未租出的車每輛每月需要維護(hù)費(fèi)50元，要使租賃公司的月收益最大，則每輛車的月租金應(yīng)定為

元.解析設(shè)每輛車的月租金為x(x>3

000)元，50則租賃公司月收益為

y

＝

(100

－

x－3

000

)(x

－

150)

－x－3

00050×50，x21整理得y＝－50＋162x－21

000＝－50(x－4

050)2＋307

050.∴當(dāng)x＝4

050時，y取最大值為307050，即當(dāng)每輛車的月租金定為4

050元時，

租賃公司的月收益最大為307

050元.答案

4050高考押題精練1

2

3

41.f(x)＝2sin

πx－x＋1的零點(diǎn)個數(shù)為(

)A.4

B.5

C.6

D.7押題依據(jù)

函數(shù)的零點(diǎn)是高考的熱點(diǎn)，利用函數(shù)圖象求零點(diǎn)個數(shù)是一種常用方法.1

2

3

4解析

令2sinπx－x＋1＝0，則2sin

πx＝x－1，令h(x)＝2sin

πx，g(x)＝x－1，則f(x)＝2sin

πx－x＋1的零點(diǎn)個數(shù)問題就轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)h(x)與g(x)圖象的交點(diǎn)個數(shù)問題.h(x)＝2sin

πx

的最小正周期為T＝2π＝2，π畫出兩個函數(shù)的圖象，如圖所示，1

2

3

4因?yàn)?/p>

h(1)＝g(1)，h

5

g

5

，g(4)＝3>2，g(－1)＝－2，(2)>

(2)所以兩個函數(shù)圖象的交點(diǎn)一共有5個，所以f(x)＝2sin

πx－x＋1的零點(diǎn)個數(shù)為5.答案

B1

2

3

42.已知函數(shù)

f(x)＝2x－1，x>0，2－x

－2x，x≤0，若函數(shù)

g(x)＝f(x)－m有

3

個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)

m

的取值范圍是

.押題依據(jù)

利用函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)求參數(shù)范圍，很好地體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想，同時分段函數(shù)也是高考的重要考點(diǎn).1

2

3

4解析

畫出

f(x)＝2x－1，x>0，2－x

－2x，x≤0的圖象，如圖.由于函數(shù)g(x)＝f(x)－m有3個零點(diǎn)，結(jié)合圖象得：0<m<1，即m∈(0,1).答案

(0,1)1

2

3

43.已知函數(shù)f(x)＝5x＋x－2，g(x)＝log5x＋x－2的零點(diǎn)分別為x1，x2，