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文檔簡介
2024屆重慶市普通高中高三3月份模擬考試數(shù)學試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.設(shè),,,則,,三數(shù)的大小關(guān)系是A. B.C. D.2.若的二項展開式中的系數(shù)是40,則正整數(shù)的值為()A.4 B.5 C.6 D.73.已知正三角形的邊長為2,為邊的中點,、分別為邊、上的動點,并滿足,則的取值范圍是()A. B. C. D.4.已知將函數(shù)(,)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象,若和的圖象都關(guān)于對稱,則的值為()A.2 B.3 C.4 D.5.若雙曲線的一條漸近線與圓至多有一個交點,則雙曲線的離心率的取值范圍是()A. B. C. D.6.偶函數(shù)關(guān)于點對稱,當時,,求()A. B. C. D.7.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限8.設(shè),則()A. B. C. D.9.如圖網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為,粗線畫出的是某幾何體的三視圖,則該幾何體的所有棱中最長棱的長度為()A. B. C. D.10.已知函數(shù)(),若函數(shù)在上有唯一零點,則的值為()A.1 B.或0 C.1或0 D.2或011.設(shè)命題:,,則為A., B.,C., D.,12.在中,D為的中點,E為上靠近點B的三等分點,且,相交于點P,則()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.某種產(chǎn)品的質(zhì)量指標值服從正態(tài)分布,且.某用戶購買了件這種產(chǎn)品,則這件產(chǎn)品中質(zhì)量指標值位于區(qū)間之外的產(chǎn)品件數(shù)為_________.14.拋物線上到其焦點的距離為的點的個數(shù)為________.15.函數(shù)的定義域是___________.16.已知,若,則a的取值范圍是______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在全面抗擊新冠肺炎疫情這一特殊時期,我市教育局提出“停課不停學”的口號,鼓勵學生線上學習.某校數(shù)學教師為了調(diào)查高三學生數(shù)學成績與線上學習時間之間的相關(guān)關(guān)系,對高三年級隨機選取45名學生進行跟蹤問卷,其中每周線上學習數(shù)學時間不少于5小時的有19人,余下的人中,在檢測考試中數(shù)學平均成績不足120分的占,統(tǒng)計成績后得到如下列聯(lián)表:分數(shù)不少于120分分數(shù)不足120分合計線上學習時間不少于5小時419線上學習時間不足5小時合計45(1)請完成上面列聯(lián)表;并判斷是否有99%的把握認為“高三學生的數(shù)學成績與學生線上學習時間有關(guān)”;(2)①按照分層抽樣的方法,在上述樣本中從分數(shù)不少于120分和分數(shù)不足120分的兩組學生中抽取9名學生,設(shè)抽到不足120分且每周線上學習時間不足5小時的人數(shù)是,求的分布列(概率用組合數(shù)算式表示);②若將頻率視為概率,從全校高三該次檢測數(shù)學成績不少于120分的學生中隨機抽取20人,求這些人中每周線上學習時間不少于5小時的人數(shù)的期望和方差.(下面的臨界值表供參考)0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828(參考公式其中)18.(12分)已知函數(shù)(1)若函數(shù)在處取得極值1,證明:(2)若恒成立,求實數(shù)的取值范圍.19.(12分)團購已成為時下商家和顧客均非常青睞的一種省錢、高校的消費方式,不少商家同時加入多家團購網(wǎng).現(xiàn)恰有三個團購網(wǎng)站在市開展了團購業(yè)務(wù),市某調(diào)查公司為調(diào)查這三家團購網(wǎng)站在本市的開展情況,從本市已加入了團購網(wǎng)站的商家中隨機地抽取了50家進行調(diào)查,他們加入這三家團購網(wǎng)站的情況如下圖所示.(1)從所調(diào)查的50家商家中任選兩家,求他們加入團購網(wǎng)站的數(shù)量不相等的概率;(2)從所調(diào)查的50家商家中任取兩家,用表示這兩家商家參加的團購網(wǎng)站數(shù)量之差的絕對值,求隨機變量的分布列和數(shù)學期望;(3)將頻率視為概率,現(xiàn)從市隨機抽取3家已加入團購網(wǎng)站的商家,記其中恰好加入了兩個團購網(wǎng)站的商家數(shù)為,試求事件“”的概率.20.(12分)某商場舉行優(yōu)惠促銷活動,顧客僅可以從以下兩種優(yōu)惠方案中選擇一種.方案一:每滿100元減20元;方案二:滿100元可抽獎一次.具體規(guī)則是從裝有2個紅球、2個白球的箱子隨機取出3個球(逐個有放回地抽?。?,所得結(jié)果和享受的優(yōu)惠如下表:(注:所有小球僅顏色有區(qū)別)紅球個數(shù)3210實際付款7折8折9折原價(1)該商場某顧客購物金額超過100元,若該顧客選擇方案二,求該顧客獲得7折或8折優(yōu)惠的概率;(2)若某顧客購物金額為180元,選擇哪種方案更劃算?21.(12分)如圖,已知四棱錐,平面,底面為矩形,,為的中點,.(1)求線段的長.(2)若為線段上一點,且,求二面角的余弦值.22.(10分)已知函數(shù).(1)解不等式;(2)使得,求實數(shù)的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】
利用對數(shù)函數(shù),指數(shù)函數(shù)以及正弦函數(shù)的性質(zhì)和計算公式,將a,b,c與,比較即可.【詳解】由,,,所以有.選C.【點睛】本題考查對數(shù)值,指數(shù)值和正弦值大小的比較,是基礎(chǔ)題,解題時選擇合適的中間值比較是關(guān)鍵,注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化.2、B【解析】
先化簡的二項展開式中第項,然后直接求解即可【詳解】的二項展開式中第項.令,則,∴,∴(舍)或.【點睛】本題考查二項展開式問題,屬于基礎(chǔ)題3、A【解析】
建立平面直角坐標系,求出直線,設(shè)出點,通過,找出與的關(guān)系.通過數(shù)量積的坐標表示,將表示成與的關(guān)系式,消元,轉(zhuǎn)化成或的二次函數(shù),利用二次函數(shù)的相關(guān)知識,求出其值域,即為的取值范圍.【詳解】以D為原點,BC所在直線為軸,AD所在直線為軸建系,設(shè),則直線,設(shè)點,所以由得,即,所以,由及,解得,由二次函數(shù)的圖像知,,所以的取值范圍是.故選A.【點睛】本題主要考查解析法在向量中的應(yīng)用,以及轉(zhuǎn)化與化歸思想的運用.4、B【解析】
因為將函數(shù)(,)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象,可得,結(jié)合已知,即可求得答案.【詳解】將函數(shù)(,)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象,又和的圖象都關(guān)于對稱,由,得,,即,又,.故選:B.【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)圖象平移和根據(jù)圖象對稱求參數(shù),解題關(guān)鍵是掌握三角函數(shù)圖象平移的解法和正弦函數(shù)圖象的特征,考查了分析能力和計算能力,屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】
求得雙曲線的漸近線方程,可得圓心到漸近線的距離,由點到直線的距離公式可得的范圍,再由離心率公式計算即可得到所求范圍.【詳解】雙曲線的一條漸近線為,即,由題意知,直線與圓相切或相離,則,解得,因此,雙曲線的離心率.故選:C.【點睛】本題考查雙曲線的離心率的范圍,注意運用圓心到漸近線的距離不小于半徑,考查化簡整理的運算能力,屬于中檔題.6、D【解析】
推導(dǎo)出函數(shù)是以為周期的周期函數(shù),由此可得出,代值計算即可.【詳解】由于偶函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱,則,,,則,所以,函數(shù)是以為周期的周期函數(shù),由于當時,,則.故選:D.【點睛】本題考查利用函數(shù)的對稱性和奇偶性求函數(shù)值,推導(dǎo)出函數(shù)的周期性是解答的關(guān)鍵,考查推理能力與計算能力,屬于中等題.7、B【解析】
化簡復(fù)數(shù)為的形式,然后判斷復(fù)數(shù)的對應(yīng)點所在象限,即可求得答案.【詳解】對應(yīng)的點的坐標為在第二象限故選:B.【點睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算,考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義,屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】試題分析:,.故C正確.考點:復(fù)合函數(shù)求值.9、C【解析】
利用正方體將三視圖還原,觀察可得最長棱為AD,算出長度.【詳解】幾何體的直觀圖如圖所示,易得最長的棱長為故選:C.【點睛】本題考查了三視圖還原幾何體的問題,其中利用正方體作襯托是關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】
求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),當時,只需,即,令,利用導(dǎo)數(shù)求其單調(diào)區(qū)間,即可求出參數(shù)的值,當時,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及零點存在性定理可判斷;【詳解】解:∵(),∴,∴當時,由得,則在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以是極小值,∴只需,即.令,則,∴函數(shù)在上單調(diào)遞增.∵,∴;當時,,函數(shù)在上單調(diào)遞減,∵,,函數(shù)在上有且只有一個零點,∴的值是1或0.故選:C【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點問題,零點存在性定理的應(yīng)用,屬于中檔題.11、D【解析】
直接利用全稱命題的否定是特稱命題寫出結(jié)果即可.【詳解】因為全稱命題的否定是特稱命題,所以,命題:,,則為:,.故本題答案為D.【點睛】本題考查命題的否定,特稱命題與全稱命題的否定關(guān)系,是基礎(chǔ)題.12、B【解析】
設(shè),則,,由B,P,D三點共線,C,P,E三點共線,可知,,解得即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè),則,,因為B,P,D三點共線,C,P,E三點共線,所以,,所以,.故選:B.【點睛】本題考查了平面向量基本定理和向量共線定理的簡單應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
直接計算,可得結(jié)果.【詳解】由題可知:則質(zhì)量指標值位于區(qū)間之外的產(chǎn)品件數(shù):故答案為:【點睛】本題考查正太分布中原則,審清題意,簡單計算,屬基礎(chǔ)題.14、【解析】
設(shè)拋物線上任意一點的坐標為,根據(jù)拋物線的定義求得,并求出對應(yīng)的,即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)拋物線上任意一點的坐標為,拋物線的準線方程為,由拋物線的定義得,解得,此時.因此,拋物線上到其焦點的距離為的點的個數(shù)為.故答案為:.【點睛】本題考查利用拋物線的定義求點的坐標,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】
由于偶次根式中被開方數(shù)非負,對數(shù)的真數(shù)要大于零,然后解不等式組可得答案.【詳解】解:由題意得,,解得,所以,故答案為:【點睛】此題考查函數(shù)定義域的求法,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】
函數(shù)等價為,由二次函數(shù)的單調(diào)性可得在R上遞增,即為,可得a的不等式,解不等式即可得到所求范圍.【詳解】,等價為,且時,遞增,時,遞增,且,在處函數(shù)連續(xù),可得在R上遞增,即為,可得,解得,即a的取值范圍是.故答案為:.【點睛】本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性的判斷和運用:解不等式,考查轉(zhuǎn)化思想和運算能力,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)填表見解析;有99%的把握認為“高三學生的數(shù)學成績與學生線上學習時間有關(guān)”(2)①詳見解析②期望;方差【解析】
(1)完成列聯(lián)表,代入數(shù)據(jù)即可判斷;(2)利用分層抽樣可得的取值,進而得到概率,列出分布列;根據(jù)分析知,計算出期望與方差.【詳解】(1)分數(shù)不少于120分分數(shù)不足120分合計線上學習時間不少于5小時15419線上學習時間不足5小時101626合計252045有99%的把握認為“高三學生的數(shù)學成績與學生線上學習時間有關(guān)”.(2)①由分層抽樣知,需要從不足120分的學生中抽取人,的可能取值為0,1,2,3,4,,,,,所以,的分布列:②從全校不少于120分的學生中隨機抽取1人,此人每周上線時間不少于5小時的概率為,設(shè)從全校不少于120分的學生中隨機抽取20人,這些人中每周線上學習時間不少于5小時的人數(shù)為,則,故,.【點睛】本題考查了獨立性檢驗與離散型隨機變量的分布列、數(shù)學期望與方差的計算問題,屬于基礎(chǔ)題.18、(1)證明見詳解;(2)【解析】
(1)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),由在處取得極值1,可得且.解出,構(gòu)造函數(shù),分析其單調(diào)性,結(jié)合,即可得到的范圍,命題得證;
(2)由分離參數(shù),得到恒成立,構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)函數(shù),再構(gòu)造函數(shù),進行二次求導(dǎo).由知,則在上單調(diào)遞增.根據(jù)零點存在定理可知有唯一零點,且.由此判斷出時,單調(diào)遞減,時,單調(diào)遞增,則,即.由得,再次構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)分析單調(diào)性,從而得,即,最終求得,則.【詳解】解:(1)由題知,∵函數(shù)在,處取得極值1,,且,,,令,則為增函數(shù),,即成立.(2)不等式恒成立,即不等式恒成立,即恒成立,令,則令,則,,,在上單調(diào)遞增,且,有唯一零點,且,當時,,,單調(diào)遞減;當時,,,單調(diào)遞增.,由整理得,令,則方程等價于而在上恒大于零,在上單調(diào)遞增,.,∴實數(shù)的取值范圍為.【點睛】本題考查了函數(shù)的極值,利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的零點存在定理,證明不等式,解決不等式恒成立問題.其中多次構(gòu)造函數(shù),是解題的關(guān)鍵,屬于綜合性很強的難題.19、(1);(2)從而的分布列為012;(3).【解析】
(1)運用概率的計算公式求概率分布,再運用數(shù)學期望公式進行求解;(2)借助題設(shè)條件運用貝努力公式進行分析求解:(1)記所選取額兩家商家加入團購網(wǎng)站的數(shù)量相等為事件,則,所以他們加入團購網(wǎng)站的數(shù)量不相等的概率為.(2)由題,知的可能取值分別為0,1,2,,,從而的分布列為012.(3)所調(diào)查的50家商家中加入了兩個團購網(wǎng)站的商家有25家,將頻率視為概率,則從市中任取一家加入團購網(wǎng)站的商家,他同時加入了兩個團購網(wǎng)站的概率為,所以,所以事件“”的概率為.20、(1)(2)選擇方案二更為劃算【解析】
(1)計算顧客獲得7折優(yōu)惠的概率,獲得8折優(yōu)惠的概率,相加得到答案.(2)選擇方案二,記付款金額為元,則可取的值為126,144,162,180.,計算概率得
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