相似三角形（全）(zzq)

27.2.1相似三角形的判定（1）相似三角形

對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例的三角形叫做相似三角形.

ABCEDF相似的表示方法符號(hào)：∽讀作：相似于ABCA1B1C1∠A=∠A1，∠B=∠B1，∠C=∠C1，AB:A1B1=BC:B1C1=CD:C1D1=k當(dāng)時(shí)，則△ABC與△A1B1C1相似，記作△ABC∽△A1B1C1.

要把表示對(duì)應(yīng)角頂點(diǎn)的字母寫在對(duì)應(yīng)的位置上.注意

相似比AB:A1B1=BC:B1C1=CD:C1D1

=k時(shí)，ABCA1B1C1則△ABC與△A1B1C1的相似比為

k

.或△A1B1C1與△ABC的相似比為.

想一想:如果k=1，這兩個(gè)三角形有怎樣的關(guān)系？

請(qǐng)分別度量l3,l4,l5.在l1上截得的兩條線段AB,

BC和在l2上截得的兩條線段DE,EF的長度,AB：BC與DE：EF相等嗎？任意平移l5

,再量度AB,BC,DE,EF的長度,它們的比值還相等嗎？

????猜想：ABCDEFl3l4l5

l1l2

除此之外，還有其他對(duì)應(yīng)線段成比例嗎？事實(shí)上，當(dāng)l3//l4//l5時(shí)，都可以得到，

還可以得到，，

等等.ABCDEFl3l4l5

l1l2

想一想：通過探究，你得到了什么規(guī)律呢？三條平行線截兩條直線,所得到的對(duì)應(yīng)線段的比相等.歸納平行線分線段成比例定理：思考如果把圖1中l(wèi)1

,l2兩條直線相交，交點(diǎn)A剛落到l3上，如圖2所得的對(duì)應(yīng)線段的比會(huì)相等嗎？依據(jù)是什么？

ABCEF

圖2（1）ABCDEFl3l4l5

l1l2（D）

圖1思考如果把圖1中l(wèi)1,l2兩條直線相交，交點(diǎn)A剛落到l4上，如圖2（2）所得的對(duì)應(yīng)線段的比會(huì)相等嗎？依據(jù)是什么？

ABCDEFl3l4l5

l1l2

ABCED

圖1

圖2（2）l2l3l1l3ll

平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.ABCDEl2ABCDEl1ll

推論2.如圖,DE//BC,△ADE與△ABC有什么關(guān)系?說明理由.相似ABCDE證明:在△ADE與△ABC中∠A=∠A∵DE//BC∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C過E作EF//AB交BC于F∵DBFE是平行四邊形F∴DE=BF定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交,所構(gòu)成的三角形與原三角形相似∴△ADE∽△ABC平行于三角形一邊的直線與其它兩邊(或延長線)相交,所得的三角形與原三角形________.相似“A”型“X”型（圖2）DEOBCABCDE（圖1）理解請(qǐng)寫出它們的對(duì)應(yīng)邊的比例式理解已知：如圖，AB∥EF∥CD，3圖中共有____對(duì)相似三角形?！鱁OF∽△COD

AB∥EF△AOB∽△FOEAB∥CDEF∥CD△AOB∽△DOC理解

如圖，△ABC中，DE∥BC，GF∥AB，DE、ＧＦ交于點(diǎn)Ｏ，則圖中與△ABC相似的三角形共有多少個(gè)?請(qǐng)你寫出來.解：與△ABC相似的三角形有3個(gè):

△AＤＥ△ＧＦＣ△ＧＯＥABCDEFGO運(yùn)用4如圖,已知DE∥BC,AE=50cm,EC=30cm,BC=70cm,∠BAC=450,∠ACB=400.(1)求∠AED和∠ADE的大小;(2)求DE的長.（2）ADBEC解:(1)DE∥BC△ADE∽△ABC∠AED=∠C=400.△ADE∽△ABC運(yùn)用在△ADE中,∠ADE=1800-400-450=950.1：如圖，EF∥BC，F(xiàn)D∥AB，AE=18，BE=12，CD=14，則BD=____________。

歸納總結(jié)1、“三角形相似的預(yù)備定理”。這個(gè)定理揭示了有三角形一邊的平行線，必構(gòu)成相似三角形，因此在三角形相似的解題中，常作平行線構(gòu)造三角形與已知三角形相似。2、相似比是帶有順序性和對(duì)應(yīng)性的。布置作業(yè)

補(bǔ)充：1、在ABC中，DE∥BC，DE與AB相交于D，與AC相交于E。（1）已知AD=5,DB=3,AE=4，求EC的長。（2）已知AC=12,EC=4,DB=5求AD的長。（3）已知AD:BD=3:2,AC=10，求AE的長。2、如圖，已知，AB∥CD∥EF，OA=14，AC=16，CE=8，BD=12，求OB、DF的長。27.2.2相似三角形的判定（2）新課導(dǎo)入思考：如何證明呢？如圖，在△ABC中，DE∥BC，DE分別交AB，AC于點(diǎn)D，E，證明：△ADE與△ABC相似。

如圖，在△ABC中，DE∥BC，DE分別交AB，AC于點(diǎn)D，E，證明：△ADE與△ABC相似。

判定三角形相似的（預(yù)備）定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊所在直線相交，所成的三角形與原來三角形相似。例：如圖，AB∥EF∥CD，圖中共有

對(duì)相似三角形，寫出來并說明理由。

例：如圖，小明在打網(wǎng)球時(shí)，使球恰好能打過網(wǎng)，而且落在離網(wǎng)5米的位置上，求球拍擊球的高度h。(設(shè)網(wǎng)球是直線運(yùn)動(dòng))圖中有幾個(gè)相似三角形？重心的性質(zhì)：三角形的重心到一個(gè)頂點(diǎn)的距離，等于它到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的兩倍。

鞏固練習(xí)1、如圖，在△ABC中，DE∥BC，AE=2，EC=3，DE=4，求BC的長。

2、如圖：BD∥AC，CE=3，CD=5，AC=5，求BD的長。

課堂小結(jié)談?wù)劚竟?jié)課你有哪些收獲。

教材P54頁，第5、6題27.2.3相似三角形的判定（3）復(fù)習(xí)回顧回答：不需要，如SSSSASASAAAS。

（預(yù)備定理）平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所成的三角形與原來三角形相似。復(fù)習(xí)提問：(1)兩個(gè)三角形全等有哪些判定方法？是否要判斷所有對(duì)應(yīng)角相等且所有對(duì)應(yīng)邊相等？

(2)我們學(xué)習(xí)過哪些判定三角形相似的方法？(3)相似三角形與全等三角形有怎樣的關(guān)系？

相似比k=1時(shí)，兩個(gè)相似三角形全等提出探討問題：1、如果要判定△ABC與△A’B’C’相似，是不是一定需要一一驗(yàn)證所有的對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊的關(guān)系？2、可否用類似于判定三角形全等的SSS方法，能否通過一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)的比相等，來判定兩個(gè)三角形相似呢？探究：任意畫一個(gè)三角形，再畫一個(gè)三角形，使它的各邊長都是原來三角形各邊長的k倍，度量這兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)角，它們相等嗎？這兩個(gè)三角形相似嗎？與同學(xué)交流一下，看看是否有同樣的結(jié)論。同學(xué)分成幾組，每組選定不同的K的值，探究后再統(tǒng)一匯總。三角形相似的判定方法1:

如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊的比相等，

那么這兩個(gè)三角形相似．

提出探討問題：可否用類似于判定三角形全等的SAS方法，能否通過兩個(gè)三角形的兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等和它們對(duì)應(yīng)的夾角相等，來判定兩個(gè)三角形相似呢？三角形相似的判定方法2：

兩個(gè)三角形的兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等，且它們的夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似。思考：（1）中兩個(gè)三角形相似比是少？

相似比為7/3或3/7

（2）中，要使兩三角形相似，不改變AC的長，A’C’的長應(yīng)改為多少？AC的長度為24

練習(xí)：教材P451、2、3．思考:上圖中是否還有相似三角形?

思考:兩條直角邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)直角三角形是否相似?為什么?思考：等腰三角形ABC與等腰三角形DEF有一角相等,這兩個(gè)三角形是否相似?為什么?

B練習(xí)：1、一個(gè)直角三角形的兩邊長分別為3和6,另一個(gè)直角三角形的兩邊長分別為2和4,那么這兩個(gè)直角三角形（）相似。(A)一定(B)一定不(C)可能(D)無法判斷C三角形相似的判定方法1:

如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊的比相等，

那么這兩個(gè)三角形相似．三角形相似的判定方法2：

兩個(gè)三角形的兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等，且它們的夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似。歸納小結(jié)：布置作業(yè)教材P541、2（1）（2）、3．

27.2.4相似三角形的判定

(4)復(fù)習(xí)回顧我們已學(xué)習(xí)過哪些判定三角形相似的方法？判定三角形相似的（預(yù)備）定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊所在直線相交，所成的三角形與原來三角形相似。三角形相似的判定方法1:

如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似．三角形相似的判定方法2:兩個(gè)三角形的兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等，且它們的夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似。如下圖，兩個(gè)三角形中有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，這兩個(gè)三角形相似嗎？直觀上看這兩個(gè)三角形是相似的，如何證明呢？把小的三角形平移到大的三角形上，使得A與A’重合且角所在的邊是重合的，又∠B與∠B’相等，所以BC平移后所在的直線與直線B’C’平行，根據(jù)判定三角形相似的（預(yù)備）定理可知，這兩個(gè)三角形是相似的。三角形相似的判定方法3:

如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似．分析：要證PA?PB=PC?PD，需要證，則需要證明這四條線段所在的兩個(gè)三角形相似．由于所給的條件是圓中的兩條相交弦，故需要先作輔助線構(gòu)造三角形，然后利用圓的性質(zhì)“同弧上的圓周角相等”得到兩組角對(duì)應(yīng)相等，再由三角形相似的判定方法3，可得兩三角形相似。思考：對(duì)于兩個(gè)直角三角形，我們還可以用“HL”判定它們?nèi)?。那么，滿足斜邊的比等于一組直角邊的比的兩個(gè)直角三角形相似？例：如圖，在矩形ABCD中，AC是對(duì)角線，E是AC的中點(diǎn)，過E作MN交AD于M，交BC于N，⑴求證：AM=CN；⑵若∠CEN=90°，EN:AB=2:3，EC=3，求BC