矩形的判定 全省一等獎(jiǎng)

義務(wù)教育教科書SHUXUE八年級(jí)下湖南教育出版社第2章四邊形矩形本課內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容2.5矩形的判定本課內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容2.5.21、探索并證明矩形的判定定理：

三個(gè)角是直角的四邊形是矩形。

對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形。2、會(huì)運(yùn)用矩形的判定定理判定一個(gè)四邊形是矩形。兩組對(duì)邊分別平行．．．．一個(gè)角是直角．．．一般四邊形平行四邊形矩形(二)矩形定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形。(三)矩形性質(zhì):1．矩形是四邊形,所以它具備四邊形的一切性質(zhì)。2．矩形是平行四邊形的特例，所以它具備平行四邊形的一切性質(zhì)。3．矩形的四個(gè)角都是直角。4．矩形的對(duì)角線相等。

(一)或者說:矩形的對(duì)角線相等且互相平分.(四)平行四邊形.矩形的對(duì)角線各有什么特點(diǎn)?溫故而知新動(dòng)腦筋矩形的四個(gè)角是直角，那么，四個(gè)角是直角的四邊形是矩形嗎？三個(gè)角是直角呢？?jī)蓚€(gè)角是直角呢？如圖2-46，四邊形ABCD

的四個(gè)角都是直角.由于“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”，因此AB∥DC，AD∥BC，從而四邊形ABCD

是平行四邊形.所以□ABCD

是矩形.由此得到四個(gè)角是直角的四邊形是矩形.圖2-46何斯雨同學(xué)用這樣四步畫出了一個(gè)四邊形，她說這就是一個(gè)矩形．你認(rèn)為她的判斷對(duì)嗎？說明你的理由．②①③④探究猜想:有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.已知:如圖,在四邊形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.證明:∵∠A=∠B=∠C=90°,∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°.∴AD∥BC,AB∥CD.求證:四邊形ABCD是矩形.∴四邊形ABCD是平行四邊形.DBCA∴四邊形ABCD是矩形.(矩形定義)又∵∠C=90°.┑┑┑動(dòng)腦筋結(jié)論三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.三個(gè)角是直角的四邊形，容易知道另一個(gè)角也是直角，由此得到：幾何語言：

∵∠A=∠B=∠C=90°∴四邊形ABCD是矩形

四邊形中只有兩個(gè)角是直角，我想到了下邊的圖形：動(dòng)腦筋從“矩形的對(duì)角線相等且互相平分”這一性質(zhì)受到啟發(fā)，你能畫出對(duì)角線長(zhǎng)度為4cm的一個(gè)矩形嗎？這樣的矩形有多少個(gè)？

過點(diǎn)O

畫兩條線段AC，BD，使得OA=OC=2cm，OB=OD=2cm.連接AB，BC，CD，DA.則四邊形ABCD

是矩形，且它的對(duì)角線長(zhǎng)度為4cm，如圖2-47.這樣的矩形有無窮多個(gè).2cm2cm圖2-47你能說出這樣畫出的四邊形一定是矩形的道理嗎？已知:

在對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形.猜想:ABCD中,AC=BD.求證:ABCD是矩形.探究或者說:對(duì)角線相等且互相平分的四邊形是矩形.證明：在ABCD中,AB=DC,BC=CB,AC=DB,∴△ABC≌△DCB(SSS)∴∠ABC=∠DCB.∵AB∥CD,∴∠ABC+∠DCB=180°,

∴∠ABC＝90°.

∴四邊形ABCD是矩形（有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形）猜想加證明定理:對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形.猜想:結(jié)論對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形.由此得到矩形的判定定理：幾何語言：∵四邊形ABCD是平行四邊形

AC=BD（或OA=OC=OB=OD）∴四邊形ABCD是矩形（對(duì)角線相等且互相平分的四邊形是矩形。）對(duì)角線相等的四邊形是矩形嗎？議一議議一議議一議議一議議一議議一議矩形的判定方法:1.有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形.2.有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.3.對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形.或者:對(duì)角線相等且互相平分的四邊形是矩形.你能歸納矩形的幾種判定方法嗎？下列各句判定矩形的說法是否正確？（1）對(duì)角線相等的四邊形是矩形；（2）對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是矩形；（3）有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形；（5）有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形；（6）四個(gè)角都相等的四邊形是矩形；（7）對(duì)角線相等，且有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形；（10）一組鄰邊垂直，一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是矩形；（9）對(duì)角線相等且互相垂直的四邊形是矩形；（8）一組對(duì)角互補(bǔ)的平行四邊形是矩形；（4）有三個(gè)角都相等的四邊形是矩形;XXXX2023/6/11如何檢查一個(gè)四邊形的畫框是否為矩形？動(dòng)腦筋(1)測(cè)量三個(gè)角是否都是直角(1)對(duì)角線是否相等且互相平分因此△OAB是等腰三角形.（2）設(shè)△OAB是等腰三角形，其中OA＝OB，則AC＝2OA＝2OB＝BDABCDO解（1）如果ABCD是矩形，則AC=BD，從而例1如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，它的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)O．（1）如果ABCD是矩形，試問：△OAB是什么樣的特殊三角形？（2）如果△OAB是等腰三角形，其中OA＝OB，試問:ABCD是矩形嗎？因此ABCD是矩形（對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形）舉例如圖2-48，在□ABCD中，它的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)O.（1）如果□ABCD是矩形，試問：△OBC是什么樣的三角形？（2）如果△OBC是等腰三角形，其中OB=OC，那么□ABCD是矩形嗎？例2圖2-48舉例（2）∵△OBC是等腰三角形，其中OB=OC，解（1）∵□ABCD是矩形，

∴

AC與DB相等且互相平分.∴△OBC是等腰三角形.∴∴

AC=2OC=2OB=BD.∴□ABCD是矩形.圖2-48例3：如果平行四邊形四個(gè)內(nèi)角的平分線能夠圍成一個(gè)四邊形，那么這個(gè)四邊形是矩形．已知：如圖，

ABCD的四個(gè)內(nèi)角的平分線分別相交于E、F、G、H，求證：四邊形EFGH為矩形．∴∠BGC=90°同理可證∠AFB=∠AED=90°∴四邊形EFGH是矩形．(有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形)證明：∵AB∥CD∴∠ABC＋∠BCD=180°∵BG平分∠ABC，CG平分∠BCD

2023/6/11

1、能夠判斷一個(gè)四邊形是矩形的條件是（）

A對(duì)角線相等B對(duì)角線垂直

C對(duì)角線互相平分且相等D對(duì)角線垂直且相等

2、矩形的一組鄰邊長(zhǎng)分別是3cm和4cm，則它的對(duì)角線長(zhǎng)是()cm3、如圖,直線EF∥MN,PQ交EF、MN于A、C兩點(diǎn),AB、CB、CD、AD分別是∠EAC、∠MCA、∠ACN、∠CAF的角平分線,則四邊形ABCD是（）

A菱形B平行四邊形

C矩形D不能確定C5C牛刀小試

4、如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于O，∠BOC=2∠AOB，若AC=6cm,試求AB.解:∵∠BOC+∠AOB=180°,∠BOC=2∠AOB,∴3∠AOB=180°.即∠AOB=60°.∴∠BOC=180°－∠AOB=120°.

又∵OB=OC,∴∠ACB=(180°－∠BOC)/2=30°.

在Rt△ABC中,AC=6cm,∴AB=1/2AC=3cm牛刀小試1.如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D，求證：四邊形ABCD是矩形.練習(xí)證明：因?yàn)樗倪呅沃?，∠A=∠B=∠C=∠D，

四邊形的內(nèi)角和為360°，所以∠A=∠B=∠C=∠D=90°，

所以四邊形ABCD是矩形.

(三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.)2.如圖，在□ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，∠AOB=60°，AB=2，AC=4，求□ABCD的面積.解：∵

OA==2，AB=2，∴△OAB是等腰三角形.∴△OAB是等邊三角形.又∠AOB=60°，∴

OA=OB=2，

∴AC=BD=4.∴

□ABCD是矩形.(對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形.)∴作OE⊥AD于點(diǎn)E.∴∴E在Rt

△OAE中，AO=2，OE==1，(一)矩形的判定方法:1.有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形.2.有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.3.對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形.或者:對(duì)角線相等且互相平分的四邊形是矩形.(三)探索發(fā)現(xiàn)猜想推理歸納應(yīng)用的學(xué)習(xí)方法.小結(jié)(四)一題多證,訓(xùn)練思維.(二)類比的數(shù)學(xué)思想.中考試題例在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD互相平分，交點(diǎn)為O，在不添加任何輔助線的前提下，要使四邊形ABCD成