平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義 省賽獲獎(jiǎng)_第1頁
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文檔簡介

平面向量的數(shù)量積2.4.1平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角為θ，我們把數(shù)量|a||b|cosθ叫做a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作a·b

a·b=|a||b|cosθ定義規(guī)定:零向量與任一向量的數(shù)量積為0。|a|cosθ（|b|cosθ）叫做向量a在b方向上（向量b在a方向上）的投影。注意：向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量。向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量，那么它什么時(shí)候?yàn)檎?，什么時(shí)候?yàn)樨?fù)？思考：a·b=|a||b|cosθ當(dāng)0°≤θ＜

90°時(shí)a·b為正；當(dāng)90°＜θ≤180°時(shí)a·b為負(fù)。當(dāng)θ=90°時(shí)a·b為零。重要性質(zhì):設(shè)是非零向量，方向相同的單位向量，的夾角，則特別地OABθ

abB1解：a·b=|a||b|cosθ=5×4×cos120°=5×4×（-1/2）=－10例1已知|a|=5，|b|=4，a與b的夾角θ=120°，求a·b。例2已知a=(1,1),b=(2,0),求a·b。解：

|a|=√2,|b|=2,θ=45°∴a·b=|a||b|cosθ=√2×2×cos45°

=

2a·b的幾何意義：OABθ|b|cosθabB1等于的長度與的乘積。練習(xí)：1．若a=0，則對任一向量b

，有a

·

b=0．2．若a≠0，則對任一非零向量b,有a·b≠0．3．若a≠0，a

·b=0，則b=04．若a

·

b=0，則a

·

b中至少有一個(gè)為0．5．若a≠0，a

·

b=b

·

c，則a=c6．若a

·

b=a

·

c,則b≠c,當(dāng)且僅當(dāng)a=0時(shí)成立．7．對任意向量a有√×××××√二、平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算律：數(shù)量積的運(yùn)算律：其中，是任意三個(gè)向量，注：ONMa+bbac

向量a、b、a+b在c上的投影的數(shù)量分別是OM、MN、ON,證明運(yùn)算律(3)例3：求證：（1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；（2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.證明：（1）(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b)＝(a＋b)·a＋(a＋b)·b＝a·a＋b·a＋a·b＋b·b＝a2＋2a·b＋b2.例3：求證：（1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；（2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.證明：（2）(a＋b)·(a－b)＝(a＋b)·a－(a＋b)·b＝a·a＋b·a－a

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