2024屆新高考一輪復(fù)習(xí)人教A版 第六章 第4節(jié)　余弦定理和正弦定理 作業(yè)

第4節(jié)余弦定理和正弦定理[選題明細(xì)表]知識(shí)點(diǎn)、方法題號利用正弦、余弦定理解三角形1,2,4,9,10,11判斷三角形的形狀5,6與面積有關(guān)的解三角形問題3,7,8,12綜合13,14,151.已知在△ABC中,A=π6,B=πA.2B.1C.3D.2解析:由正弦定理asinA=bsinB?b=2.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,b=7,a=1,B=2π3A.5B.2C.3D.3解析:由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得7=1+c2+c,解得c=2或-3(舍去).3.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若△ABC的面積為a2A.π2B.π3C.π4 解析:根據(jù)題意及三角形的面積公式知12absinC=a所以sinC=a2所以在△ABC中,C=π44.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若bsin2A=asinB,且c=2b,則abA.2 B.3 C.2 D.3解析:由正弦定理及bsin2A=asinB,得2sinBsinAcosA=sinAsinB,又sinA≠0,sinB≠0,則cosA=12又c=2b,所以由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=b2+4b2-4b2×12=3b2,得ab=5.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若cbA.鈍角三角形 B.直角三角形C.銳角三角形 D.等邊三角形解析:由cb<cosA,得sin又B∈(0,π),所以sinB>0,所以sinC<sinBcosA,即sin(A+B)<sinBcosA,所以sinAcosB<0.因?yàn)樵谌切沃衧inA>0,所以cosB<0,即B為鈍角,所以△ABC為鈍角三角形.6.(多選題)對于△ABC,有如下判斷,其中正確的是(ABD)A.若cosA=cosB,則△ABC為等腰三角形B.若△ABC為銳角三角形,有A+B>π2C.若a=8,c=10,B=60°,則符合條件的△ABC有兩個(gè)D.若sin2A+sin2B<sin2C,則△ABC是鈍角三角形解析:對于A,若cosA=cosB,則A=B,所以△ABC為等腰三角形,故A正確;對于B,若A+B>π2則π2>A>π所以sinA>cosB,故B正確;對于C,由余弦定理可得b=82+1只有一解,故C錯(cuò)誤;對于D,若sin2A+sin2B<sin2C,則根據(jù)正弦定理得a2+b2<c2,cosC=a27.(2021·全國乙卷)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,面積為3,B=60°,a2+c2=3ac,則b=.

解析:由題意得S△ABC=12acsinB=34ac=所以a2+c2=3ac=3×4=12,所以b2=a2+c2-2accosB=12-2×4×12則b=22.答案:228.我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在他的著作《數(shù)書九章》卷五“田域類”里有一個(gè)題目:問有沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里.里法三百步.欲知為田幾何.意思是已知三角形沙田的三邊長分別為13里,14里,15里,求三角形沙田的面積.則該沙田的面積為平方里.

解析:由題意畫出△ABC,且AB=13里,BC=14里,AC=15里,在△ABC中,由余弦定理得,cosB=AB2+BC1-cos2B=1213,則該沙田的面積S=12AB·BC·sinB=184(平方里).答案:849.(2022·全國甲卷)已知△ABC中,點(diǎn)D在邊BC上,∠ADB=120°,AD=2,CD=2BD.當(dāng)ACAB取得最小值時(shí),BD=解析:設(shè)BD=k(k>0),則CD=2k.根據(jù)題意作出大致圖形,如圖.在△ABD中,由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB=22+k2-2×2k·(-12)k2+2k+4.在△ACD中,由余弦定理得AC2=AD2+CD2-2AD·CDcos∠ADC=22+(2k)2-2×2×2k·12=4k2則AC2AB2=4k2-4因?yàn)閗+1+3k+1≥23(當(dāng)且僅當(dāng)k+1=3k+1,即k=3-1時(shí),等號成立),所以AC2AB2≥4-12BD=k=3-1.答案:3-110.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且b2+c2-3bc=a2,bc=3a2,則角C的大小是(A)A.π6或2π3 C.2π3 D.解析:由b2+c2-3bc=a2,得b2+c2-a2=3bc,則cosA=b2+c2-因?yàn)?<A<π,所以A=π6由bc=3a2及正弦定理,得sinBsinC=3sin2A=3×14=3即4sin(C+A)sinC=4sin(C+π6)sinC=3整理得3cos2C=sin2C,則tan2C=3,又0<2C<5π3即2C=π3或4π3,即C=π611.(多選題)在△ABC中,a,b,c分別是內(nèi)角A,B,C的對邊,C為鈍角,且c-b=2bcosA,則下列結(jié)論正確的是(ABD)A.a2=b(b+c) B.A=2BC.0<cosA<12 D.0<sinB<解析:因?yàn)閏-b=2bcosA,所以由余弦定理得c-b=2b·b2+c2-a22bc2sinBcosA,所以sinAcosB-sinBcosA=sinB,所以sin(A-B)=sinB,由于C是鈍角,所以A-B=B,即A=2B,故B正確;由于A=2B,且C>90°,所以0°<A<60°,0°<B<30°,因此12<cosA<1,0<sinB<112.(2022·山東濱州二模)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若a+c=4,且sinA,sinB,sinC成等差數(shù)列,則△ABC的面積的最大值為.

解析:因?yàn)閟inA,sinB,sinC成等差數(shù)列,所以2sinB=sinA+sinC,由正弦定理可得2b=a+c,又a+c=4,所以2b=4,即b=2,所以由余弦定理可得22=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac-2accosB,即ac(1+cosB)=6,又22=a2+c2-2accosB≥2ac-2accosB,即2≥ac(1-cosB),當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí),等號成立,所以2×6≥ac(1-cosB)·ac(1+cosB)=(acsinB)2,因?yàn)閟inB>0,所以acsinB≤23,所以S△ABC=12acsinB≤3當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí),等號成立,所以△ABC的面積的最大值為3.答案:313.在①(a-c)(sinA+sinC)=b(sinA-sinB);②2ccosC=acosB+bcosA;③△ABC的面積為12c(asinA+bsinB-csinC)這三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面的問題中,并加以解答.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且(1)求C;(2)若D為AB的中點(diǎn),且c=2,CD=3,求a,b的值.解:(1)選擇①.根據(jù)正弦定理得(a-c)(a+c)=b(a-b),整理得a2-c2=ab-b2,即a2+b2-c2=ab,所以cosC=a2+b因?yàn)镃∈(0,π),所以C=π3選擇②.根據(jù)正弦定理有sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC,所以sin(A+B)=2sinCcosC,即sinC=2sinCcosC.因?yàn)镃∈(0,π),所以sinC≠0,從而有cosC=12,故C=π選擇③.因?yàn)?2casinB=1所以asinB=asinA+bsinB-csinC,即ab=a2+b2-c2,由余弦定理,得cosC=a2+b2-又因?yàn)镃∈(0,π),所以C=π3(2)在△ACD中,由余弦定理得,AC2=AD2+CD2-2AD·CDcos∠ADC,即b2=1+3-23cos∠ADC.在△BCD中,由余弦定理得,BC2=BD2+CD2-2BD·CDcos∠BDC,即a2=1+3-23cos∠BDC.因?yàn)椤螦DC+∠BDC=π,所以cos∠ADC=-cos∠BDC,所以a2+b2=8.由C=π3及c=2,得a2+b2所以ab=4,從而a2+b2-2ab=0,所以a=b=2.14.(2022·新高考Ⅱ卷)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,分別以a,b,c為邊長的三個(gè)正三角形的面積依次為S1,S2,S3.已知S1-S2+S3=32,sinB=1(1)求△ABC的面積;(2)若sinAsinC=23解:(1)由S1-S2+S3=32得34(a2-b2+c2)=3即a2-b2+c2=2,又a2-b2+c2=2accosB,所以accosB=1.由sinB=13得cosB=223或cosB=-所以ac=322=則△ABC的面積S=12acsinB=12×324×(2)由sinAsinC=23,ac=324及正弦定理知b2sin2即b2=94×19=1415.(2022·新高考Ⅰ卷)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知cosA1+(1)若C=2π3(2)求a2解:(1)因?yàn)閏osA1+所以cosA1+所以cosA1+所以cosAcosB=sinB+sinAsinB,