中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)重難點(diǎn)復(fù)習(xí)題型04 多邊形證明 類型二 特殊四邊形證明（專題訓(xùn)練）（解析版）

題型四多邊形證明類型二特殊四邊形證明（專題訓(xùn)練）1.如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在菱形ABCD的邊BC，CD上，且BE＝DF．求證：∠BAE＝∠DAF．【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)可得∠B＝∠D，AB＝AD，再證明△ABE≌△ADF，即可得∠BAE＝∠DAF．【解答】證明：四邊形ABCD是菱形，∴∠B＝∠D，AB＝AD，在△ABE和△ADF中，AB=AD∠B=∠D∴△ABE≌△ADF（SAS），∴∠BAE＝∠DAF．2.如圖，在菱形ABCD中，將對(duì)角線AC分別向兩端延長(zhǎng)到點(diǎn)E和F，使得AE＝CF．連接DE，DF，BE，BF．求證：四邊形BEDF是菱形．【分析】四邊形ABCD是菱形，可得AB＝BC＝CD＝DA，∠DCA＝∠BCA，∠DAC＝∠BAC，可以證明△CDF≌△CBF，△DAE≌△BFC，△DCF≌△BEA，進(jìn)而證明平行四邊形BEDF是菱形．【解答】證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴BC＝CD，∠DCA＝∠BCA，∴∠DCF＝∠BCF，∵CF＝CF，∴△CDF≌△CBF（SAS），∴DF＝BF，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠BCF，∵AE＝CF，DA＝AB，∴△DAE≌△BFC（SAS），∴DE＝BF，同理可證：△DCF≌△BEA（SAS），∴DF＝BE，∴四邊形BEDF是平行四邊形，∵DF＝BF，∴平行四邊形BEDF是菱形．3.如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是邊AB、CD的中點(diǎn)．求證：DE=BF．【答案】證明見試題解析．【分析】由矩形的性質(zhì)和已知得到DF=BE，AB∥CD，故四邊形DEBF是平行四邊形，即可得到答案．【詳解】∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB=CD，又E、F分別是邊AB、CD的中點(diǎn)，∴DF=BE，又AB∥CD，∴四邊形DEBF是平行四邊形，∴DE=BF．考點(diǎn)：1．矩形的性質(zhì)；2．全等三角形的判定．4.已知：如圖，在?ABCD中，點(diǎn)O是CD的中點(diǎn)，連接AO并延長(zhǎng)，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，求證：AD＝CE．【分析】只要證明△AOD≌△EOC（ASA）即可解決問題；【解答】證明：∵O是CD的中點(diǎn)，∴OD＝CO，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠D＝∠OCE，在△ADO和△ECO中，∠D=∠OCEOD=OC∴△AOD≌△EOC（ASA），∴AD＝CE．5.如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)F在CD的延長(zhǎng)線上，滿足BE＝DF．連接EF，分別與BC，AD交于點(diǎn)G，H．求證：EG＝FH．【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∠ABC＝∠FDH，在△BEG與△DFH中，∠E=∠FBE=DF∴△BEG≌△DFH（ASA），∴EG＝FH．6.如圖，?ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作EF⊥AC，分別交AB、DC于點(diǎn)E、F，連接AF、CE．（1）若OE=3（2）判斷四邊形AECF的形狀，并說明理由．【分析】（1）判定△AOE≌△COF（ASA），即可得OE＝OF=3（2）先判定四邊形AECF是平行四邊形，再根據(jù)EF⊥AC，即可得到四邊形AECF是菱形．【解析】（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AO＝CO，∴∠FCO＝∠EAO，又∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF=3∴EF＝2OE＝3；（2）四邊形AECF是菱形，理由：∵△AOE≌△COF，∴AE＝CF，又∵AE∥CF，∴四邊形AECF是平行四邊形，又∵EF⊥AC，∴四邊形AECF是菱形．7.已知：如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E、F分別在AD、BC上，且BE平分∠ABC，EF∥AB．求證：四邊形ABFE是菱形．【答案】見解析【分析】先證四邊形ABFE是平行四邊形，由平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)證AB＝AE，依據(jù)有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明即可．【解析】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，又∵EF∥AB，∴四邊形ABFE是平行四邊形，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠FBE，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBF，∴∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE，∴平行四邊形ABFE是菱形．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定、菱形的判定，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用相關(guān)知識(shí)進(jìn)行推理證明，特別注意角平分線加平行，可證等腰三角形．8.如圖，四邊形SKIPIF1<0是菱形，點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別在邊SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的延長(zhǎng)線上，且SKIPIF1<0．連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0．求證：SKIPIF1<0．【答案】見解析【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得到BC=CD，∠ADC=∠ABC，根據(jù)SAS證明△BEC≌△DFC，可得CE=CF．【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴BC=CD，∠ADC=∠ABC，∴∠CDF=∠CBE，在△BEC和△DFC中，SKIPIF1<0，∴△BEC≌△DFC（SAS），∴CE=CF．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)菱形得到判定全等的條件．9.如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0的角平分線交SKIPIF1<0于點(diǎn)D，SKIPIF1<0．（1）試判斷四邊形SKIPIF1<0的形狀，并說明理由；（2）若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求四邊形SKIPIF1<0的面積．【答案】（1）菱形，理由見解析；（2）4【分析】（1）根據(jù)DE∥AB，DF∥AC判定四邊形AFDE是平行四邊形，再根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義得到∠EDA=∠EAD，可得AE=DE，即可證明；（2）根據(jù)∠BAC=90°得到菱形AFDE是正方形，根據(jù)對(duì)角線AD求出邊長(zhǎng)，再根據(jù)面積公式計(jì)算即可．【詳解】解：（1）四邊形AFDE是菱形，理由是：∵DE∥AB，DF∥AC，∴四邊形AFDE是平行四邊形，∵AD平分∠BAC，∴∠FAD=∠EAD，∵DE∥AB，∴∠EDA=∠FAD，∴∠EDA=∠EAD，∴AE=DE，∴平行四邊形AFDE是菱形；（2）∵∠BAC=90°，∴四邊形AFDE是正方形，∵AD=SKIPIF1<0，∴AF=DF=DE=AE=SKIPIF1<0=2，∴四邊形AFDE的面積為2×2=4．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定，正方形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是掌握特殊四邊形的判定方法．10.如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求證：四邊形AOBE是菱形；（2）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求菱形AOBE的面積．【答案】（1）證明過程見解答；（2）SKIPIF1<0【分析】（1）根據(jù)BE∥AC，AE∥BD，可以得到四邊形AOBE是平行四邊形，然后根據(jù)矩形的性質(zhì)，可以得到OA=OB，由菱形的定義可以得到結(jié)論成立；（2）根據(jù)∠AOB=60°，AC=4，可以求得菱形AOBE邊OA上的高，然后根據(jù)菱形的面積=底×高，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可．【解析】解：（1）證明：∵BE∥AC，AE∥BD，∴四邊形AOBE是平行四邊形，∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD，OA=OC=SKIPIF1<0AC，OB=OD=SKIPIF1<0BD，∴OA=OB，∴四邊形AOBE是菱形；（2）解：作BF⊥OA于點(diǎn)F，∵四邊形ABCD是矩形，AC=4，∴AC=BD=4，OA=OC=SKIPIF1<0AC，OB=OD=SKIPIF1<0BD，∴OA=OB=2，∵∠AOB=60°，∴BF=OB?sin∠AOB=SKIPIF1<0，∴菱形AOBE的面積是：OA?BF=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的判定、矩形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確菱形的判定方法，知道菱形的面積=底×高或者是對(duì)角線乘積的一半．11.如圖，點(diǎn)C是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形．（1）求證：四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形；（2）如果SKIPIF1<0，求證：四邊形SKIPIF1<0是矩形．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)以及點(diǎn)C是BE的中點(diǎn)，得到AD∥CE，AD=CE，從而證明四邊形ACED是平行四邊形；（2）由平行四邊形的性質(zhì)證得DC=AE，從而證明平行四邊形ACED是矩形．【詳解】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，且AD=BC．∵點(diǎn)C是BE的中點(diǎn)，∴BC=CE，∴AD=CE，∵AD∥CE，∴四邊形ACED是平行四邊形；（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=DC，∵AB=AE，∴DC=AE，∵四邊形ACED是平行四邊形，∴四邊形ACED是矩形．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形和矩形的判定和性質(zhì)，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．12.如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O的直線EF與BA、DC的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)E、F．（1）求證：AE＝CF；（2）請(qǐng)?jiān)偬砑右粋€(gè)條件，使四邊形BFDE是菱形，并說明理由．【答案】（1）見解析；（2）EF⊥BD或EB＝ED，見解析【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和全等三角形的證明方法證明SKIPIF1<0，則可得到AE＝CF；（2）連接BF，DE，由SKIPIF1<0，得到OE=OF，又AO=CO，所以四邊形AECF是平行四邊形，則根據(jù)EF⊥BD可得四邊形BFDE是菱形．【詳解】證明：（1）∵四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形∴OA＝OC，BE∥DF∴∠E＝∠F在△AOE和△COF中SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴AE＝CF（2）當(dāng)EF⊥BD時(shí)，四邊形BFDE是菱形，理由如下：如圖：連結(jié)BF，DE∵四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形∴OB＝OD∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形∵EF⊥BD，∴四邊形SKIPIF1<0是菱形【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定、平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定等知識(shí)點(diǎn)，熟悉相關(guān)性質(zhì)，能全等三角形的性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．13.如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BD和DB的延長(zhǎng)線上，且DE＝BF，連接AE，CF．（1）求證：△ADE≌△CBF；（2）連接AF，CE．當(dāng)BD平分∠ABC時(shí)，四邊形AFCE是什么特殊四邊形？請(qǐng)說明理由．【分析】（1）根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，可以得到AD＝CB，∠ADC＝∠CBA，從而可以得到∠ADE＝∠CBF，然后根據(jù)SAS即可證明結(jié)論成立；（2）根據(jù)BD平分∠ABC和平行四邊形的性質(zhì)，可以證明?ABCD是菱形，從而可以得到AC⊥BD，然后即可得到AC⊥EF，再根據(jù)題目中的條件，可以證明四邊形AFCE是平行四邊形，然后根據(jù)AC⊥EF，即可得到四邊形AFCE是菱形．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝CB，∠ADC＝∠CBA，∴∠ADE＝∠CBF，在△ADE和△CBF中，AD=CB∠ADE=∠CBF∴△ADE≌△CBF（SAS）；（2）當(dāng)BD平分∠ABC時(shí)，四邊形AFCE是菱形，理由：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，OB＝OD，AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD，∴平行四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴AC⊥EF，∵DE＝BF，∴OE＝OF，又∵OA＝OC，∴四邊形AFCE是平行四邊形，∵AC⊥EF，∴四邊形AFCE是菱形．14.如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，分別過點(diǎn)A，C作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分別為E，F(xiàn)．AC平分∠DAE．（1）若∠AOE＝50°，求∠ACB的度數(shù)；（2）求證：AE＝CF．【分析】（1）利用三角形內(nèi)角和定理求出∠EAO，利用角平分線的定義求出∠DAC，再利用平行線的性質(zhì)解決問題即可．（2）證明△AEO≌△CFO（AAS）可得結(jié)論．【解答】（1）解：∵AE⊥BD，∴∠AEO＝90°，∵∠AOE＝50°，∴∠EAO＝40°，∵CA平分∠DAE，∴∠DAC＝∠EAO＝40°，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∠ACB＝∠DAC＝40°，（2）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEO＝∠CFO＝90°，∵∠AOE＝∠COF，∴△AEO≌△CFO（AAS），∴AE＝CF．15.如圖，在平行四邊形ABCD中，AE，CF分別平分∠BAD和∠DCB，交對(duì)角線BD于點(diǎn)E，F(xiàn)．（1）若∠BCF＝60°，求∠ABC的度數(shù)；（2）求證：BE＝DF．【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AB∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ABC+∠BCD＝180°，根據(jù)角平分線的定義得到∠BCD＝2∠BCF，于是得到結(jié)論；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AB∥CD，AB＝CD，∠BAD＝∠DCB，求得∠ABE＝∠CDF，根據(jù)角平分線的定義得到∠BAE＝∠DCE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解析】（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∵CF平分∠DCB，∴∠BCD＝2∠BCF，∵∠BCF＝60°，∴∠BCD＝120°，∴∠ABC＝180°﹣120°＝60°；（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD，∠BAD＝∠DCB，∴∠ABE＝∠CDF，∵AE，CF分別平分∠BAD和∠DCB，∴∠BAE=12∠BAD，∠∴∠BAE＝∠DCE，∴△ABE≌△CDF（ASA），∴BE＝CF．16.如圖，點(diǎn)E是?ABCD的邊CD的中點(diǎn)，連結(jié)AE并延長(zhǎng)，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．（1）若AD的長(zhǎng)為2，求CF的長(zhǎng)．（2）若∠BAF＝90°，試添加一個(gè)條件，并寫出∠F的度數(shù)．【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得出AD∥CF，則∠DAE＝∠CFE，∠ADE＝∠FCE，由點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，得出DE＝CE，由AAS證得△ADE≌△FCE，即可得出結(jié)果；（2）添加一個(gè)條件當(dāng)∠B＝60°時(shí)，由直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)果（答案不唯一）．【解析】（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥CF，∴∠DAE＝∠CFE，∠ADE＝∠FCE，∵點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，∴DE＝CE，在△ADE和△FCE中，∠DAE=∠CFE∠ADE=∠FCE∴△ADE≌△FCE（AAS），∴CF＝AD＝2；（2）∵∠BAF＝90°，添加一個(gè)條件：當(dāng)∠B＝60°時(shí)，∠F＝90°﹣60°＝30°（答案不唯一）．17.如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，DE∥BF，且分別交對(duì)角線AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接BE，DF．（1）求證：AE＝CF；（2）若BE＝DE，求證：四邊形EBFD為菱形．【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可以得到AD＝CB，AD∥CB，從而可以得到∠DAE＝∠BCF，再根據(jù)DE∥BF和等角的補(bǔ)角相等，從而可以得到∠AED＝∠CFB，然后即可證明△ADE和△CBF全等，從而可以得到AE＝CF；（2）根據(jù)（1）中的△ADE和△CBF全等，可以得到DE＝BF，再根據(jù)DE∥BF，即可得到四邊形EBFD是平行四邊形，再根據(jù)BE＝DE，即可得到四邊形EBFD為菱形．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝CB，AD∥CB，∴