中考數(shù)學二輪復習重難點復習題型09 二次函數(shù)綜合題 類型九 二次函數(shù)與菱形有關(guān)的問題（專題訓練）（解析版）

題型九二次函數(shù)綜合題類型九二次函數(shù)與菱形有關(guān)的問題（專題訓練）1.（2022·湖南湘潭）已知拋物線SKIPIF1<0．(1)如圖①，若拋物線圖象與SKIPIF1<0軸交于點SKIPIF1<0，與SKIPIF1<0軸交點SKIPIF1<0．連接SKIPIF1<0．①求該拋物線所表示的二次函數(shù)表達式；②若點SKIPIF1<0是拋物線上一動點（與點SKIPIF1<0不重合），過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0軸于點SKIPIF1<0，與線段SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0．是否存在點SKIPIF1<0使得點SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0的三等分點？若存在，請求出點SKIPIF1<0的坐標；若不存在，請說明理由．(2)如圖②，直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸交于點SKIPIF1<0，同時與拋物線SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0，以線段SKIPIF1<0為邊作菱形SKIPIF1<0，使點SKIPIF1<0落在SKIPIF1<0軸的正半軸上，若該拋物線與線段SKIPIF1<0沒有交點，求SKIPIF1<0的取值范圍．【答案】(1)①SKIPIF1<0，②存在，點P坐標為(2，-3)或（SKIPIF1<0，-SKIPIF1<0），理由見解析(2)b<SKIPIF1<0或b>SKIPIF1<0【分析】（1）①直接用待定系數(shù)法求解；②先求出直線AB的解析式，設(shè)點M(m，m-3)點P（m，m2-2m-3）若點SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0的三等分點，則SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，代入求解即可；（2）先用待定系數(shù)法求出n的值，再利用勾股定理求出CD的長為5，因為四邊形CDFE是菱形，由此得出點E的坐標．再根據(jù)該拋物線與線段SKIPIF1<0沒有交點，分兩種情況（CE在拋物線內(nèi)和CE在拋物線右側(cè)）進行討論，求出b的取值范圍．(1)①解：把SKIPIF1<0，SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0②解：存在，理由如下，設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，把SKIPIF1<0，SKIPIF1<0代入，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴直線AB的解析式為y=x-3，設(shè)點M(m，m-3)、點P（m，m2-2m-3）若點SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0的三等分點，則SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，解得：m=2或m=SKIPIF1<0或m=3，經(jīng)檢驗，m=3是原方程的增根，故舍去，∴m=2或m=SKIPIF1<0∴點P坐標為(2，-3)或（SKIPIF1<0，-SKIPIF1<0）(2)解：把點D（-3，0）代入直線SKIPIF1<0，解得n=4，∴直線SKIPIF1<0，當x=0時，y=4，即點C（0，4）∴CD=SKIPIF1<0=5，∵四邊形CDFE是菱形，∴CE=EF=DF=CD=5，∴點E（5，4）∵點SKIPIF1<0在拋物線SKIPIF1<0上，∴（-3）2-3b+c=0，∴c=3b-9，∴SKIPIF1<0，∵該拋物線與線段SKIPIF1<0沒有交點，分情況討論當CE在拋物線內(nèi)時52+5b+3b-9<4解得：b<SKIPIF1<0當CE在拋物線右側(cè)時，3b-9>4解得：b>SKIPIF1<0綜上所述，b<SKIPIF1<0或b>SKIPIF1<0【點睛】此題考查了二次函數(shù)和一次函數(shù)以及圖形的綜合，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合和分情況討論．2．（2021·湖南中考真題）如圖，在直角坐標系中，二次函數(shù)SKIPIF1<0的圖象與x軸相交于點SKIPIF1<0和點SKIPIF1<0，與y軸交于點C．（1）求SKIPIF1<0的值；（2）點SKIPIF1<0為拋物線上的動點，過P作x軸的垂線交直線SKIPIF1<0于點Q．①當SKIPIF1<0時，求當P點到直線SKIPIF1<0的距離最大時m的值；②是否存在m，使得以點SKIPIF1<0為頂點的四邊形是菱形，若不存在，請說明理由；若存在，請求出m的值．【答案】（1）b=SKIPIF1<0，c=SKIPIF1<0；（2）①SKIPIF1<0；②不存在，理由見解析【分析】（1）將A（-1，0），B（3，0）代入y=x2+bx+c，可求出答案；（2）①設(shè)點P（m，m2-2m-3），則點Q（m，m），再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；②分情況討論，利用菱形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）∵拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于點A（-1，0），B（3，0），∴SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∴b=SKIPIF1<0，c=SKIPIF1<0；（2）①由（1）得，拋物線的函數(shù)表達式為：y=x2SKIPIF1<0，設(shè)點P（m，m2-2m-3），則點Q（m，m），∵0<m<3，∴PQ=m-(m2-2m-3)=-m2+3m+3=-SKIPIF1<0+SKIPIF1<0，∵-1<0，∴當SKIPIF1<0時，PQ有最大值，最大值為SKIPIF1<0；②∵拋物線的函數(shù)表達式為：y=x2-2x-3，∴C（0，-3），∴OB=OC=3，由題意，點P（m，m2-2m-3），則點Q（m，m），∵PQ∥OC，當OC為菱形的邊，則PQ=OC=3，當點Q在點P上方時，∴PQ=SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，點P與點O重合，菱形不存在，當SKIPIF1<0時，點P與點B重合，此時BC=SKIPIF1<0，菱形也不存在；當點Q在點P下方時，若點Q在第三象限，如圖，∵∠COQ=45°，根據(jù)菱形的性質(zhì)∠COQ=∠POQ=45°，則點P與點A重合，此時OA=1SKIPIF1<0OC=3，菱形不存在，若點Q在第一象限，如圖，同理，菱形不存在，綜上，不存在以點O、C、P、Q為頂點的四邊形是菱形．【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查的是二次函數(shù)的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)等知識，其中，熟練掌握方程的思想方法和分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵．3.（2021·湖北恩施土家族苗族自治州·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形SKIPIF1<0為正方形，點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0軸上，拋物線SKIPIF1<0經(jīng)過點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，且與直線SKIPIF1<0交于另一點SKIPIF1<0．（1）求拋物線的解析式；（2）SKIPIF1<0為拋物線對稱軸上一點，SKIPIF1<0為平面直角坐標系中的一點，是否存在以點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為頂點的四邊形是以SKIPIF1<0為邊的菱形．若存在，請求出點SKIPIF1<0的坐標；若不存在，請說明理由；（3）SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸上一點，過點SKIPIF1<0作拋物線對稱軸的垂線，垂足為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．探究SKIPIF1<0是否存在最小值．若存在，請求出這個最小值及點SKIPIF1<0的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）存在以點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為頂點的四邊形是以SKIPIF1<0為邊的菱形，點SKIPIF1<0的坐標為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0存在最小值，最小值為SKIPIF1<0，此時點M的坐標為SKIPIF1<0．【分析】（1）由題意易得SKIPIF1<0，進而可得SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，然后把點B、D代入求解即可；（2）設(shè)點SKIPIF1<0，當以點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為頂點的四邊形是以SKIPIF1<0為邊的菱形時，則根據(jù)菱形的性質(zhì)可分①當SKIPIF1<0時，②當SKIPIF1<0時，然后根據(jù)兩點距離公式可進行分類求解即可；（3）由題意可得如圖所示的圖象，連接OM、DM，由題意易得DM=EM，四邊形BOMP是平行四邊形，進而可得OM=BP，則有SKIPIF1<0，若使SKIPIF1<0的值為最小，即SKIPIF1<0為最小，則有當點D、M、O三點共線時，SKIPIF1<0的值為最小，然后問題可求解．【詳解】解：（1）∵四邊形SKIPIF1<0為正方形，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴OB=1，∴SKIPIF1<0，把點B、D坐標代入得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∴拋物線的解析式為SKIPIF1<0；（2）由（1）可得SKIPIF1<0，拋物線解析式為SKIPIF1<0，則有拋物線的對稱軸為直線SKIPIF1<0，∵點D與點E關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，∴SKIPIF1<0，∴由兩點距離公式可得SKIPIF1<0，設(shè)點SKIPIF1<0，當以點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為頂點的四邊形是以SKIPIF1<0為邊的菱形時，則根據(jù)菱形的性質(zhì)可分：①當SKIPIF1<0時，如圖所示：∴由兩點距離公式可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∴點F的坐標為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；②當SKIPIF1<0時，如圖所示：∴由兩點距離公式可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∴點F的坐標為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；綜上所述：當以點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為頂點的四邊形是以SKIPIF1<0為邊的菱形，點SKIPIF1<0的坐標為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；（3）由題意可得如圖所示：連接OM、DM，由（2）可知點D與點E關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，DM=EM，∵過點SKIPIF1<0作拋物線對稱軸的垂線，垂足為SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴四邊形BOMP是平行四邊形，∴OM=BP，∴SKIPIF1<0，若使SKIPIF1<0的值為最小，即SKIPIF1<0為最小，∴當點D、M、O三點共線時，SKIPIF1<0的值為最小，此時OD與拋物線對稱軸的交點為M，如圖所示：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0，設(shè)線段OD的解析式為SKIPIF1<0，代入點D的坐標得：SKIPIF1<0，∴線段OD的解析式為SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合、菱形的性質(zhì)及軸對稱的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的綜合、菱形的性質(zhì)及軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4.（2021·山西中考真題）如圖，拋物線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點（點SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0的左側(cè)），與SKIPIF1<0軸交于點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三點的坐標并直接寫出直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的函數(shù)表達式；（2）點SKIPIF1<0是直線SKIPIF1<0下方拋物線上的一個動點，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的平行線SKIPIF1<0，交線段SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0．①試探究：在直線SKIPIF1<0上是否存在點SKIPIF1<0，使得以點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為頂點的四邊形為菱形，若存在，求出點SKIPIF1<0的坐標；若不存在，請說明理由；②設(shè)拋物線的對稱軸與直線SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0，與直線SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0．當SKIPIF1<0時，請直接寫出SKIPIF1<0的長．【答案】（1）點SKIPIF1<0的坐標為SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0的坐標為SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0的坐標為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的函數(shù)表達式為：SKIPIF1<0；直線SKIPIF1<0的函數(shù)表達式為：SKIPIF1<0；（2）①存在，點SKIPIF1<0的坐標為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0．【分析】（1）分別令SKIPIF1<0和SKIPIF1<0時即可求解SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三點的坐標，然后再進行求解直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的函數(shù)表達式即可；（2）①設(shè)點SKIPIF1<0的坐標為SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，由題意易得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為頂點的四邊形是平行四邊形，進而可根據(jù)菱形的性質(zhì)分當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0是菱形，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0是菱形，然后分別求解即可；②由題意可作圖，則由題意可得拋物線的對稱軸為直線SKIPIF1<0，由（1）可得直線SKIPIF1<0的函數(shù)表達式為：SKIPIF1<0；直線SKIPIF1<0的函數(shù)表達式為：SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0的坐標為SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0的坐標為SKIPIF1<0，進而可得SKIPIF1<0，設(shè)點SKIPIF1<0，然后可求得直線l的解析式為SKIPIF1<0，則可求得點SKIPIF1<0，所以就有SKIPIF1<0，最后根據(jù)面積公式及兩點距離公式可進行求解．【詳解】解：（1）當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵點SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0的左側(cè)，∴點SKIPIF1<0的坐標為SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0的坐標為SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，∴點SKIPIF1<0的坐標為SKIPIF1<0，設(shè)直線SKIPIF1<0的函數(shù)表達式為SKIPIF1<0，代入點A、C的坐標得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∴直線SKIPIF1<0的函數(shù)表達式為：SKIPIF1<0．同理可得直線SKIPIF1<0的函數(shù)表達式為：SKIPIF1<0；（2）①存在．設(shè)點SKIPIF1<0的坐標為SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，∵點SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0的坐標分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴當SKIPIF1<0時，以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為頂點的四邊形是平行四邊形，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0是菱形，如圖所示：∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（舍去），∴點SKIPIF1<0的坐標為SKIPIF1<0，∴點SKIPIF1<0的坐標為SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0是菱形，如圖所示：∴SKIPIF1<0，解，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（舍去），∴點SKIPIF1<0的坐標為SKIPIF1<0，∴點SKIPIF1<0的坐標為SKIPIF1<0；綜上所述，存在點SKIPIF1<0，使得以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為頂點的四邊形為菱形，且點SKIPIF1<0的坐標為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；②由題意可得如圖所示：由題意可得拋物線的對稱軸為直線SKIPIF1<0，由（1）可得直線SKIPIF1<0的函數(shù)表達式為：SKIPIF1<0；直線SKIPIF1<0的函數(shù)表達式為：SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0的坐標為SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0的坐標為SKIPIF1<0，∴點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，設(shè)點SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴設(shè)直線l的解析式為SKIPIF1<0，把點M的坐標代入得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∴直線l的解析式為SKIPIF1<0，∴聯(lián)立直線l與直線AC的解析式得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴點SKIPIF1<0，∵點SKIPIF1<0是直線SKIPIF1<0下方拋物線上的一個動點，且SKIPIF1<0，∴點M在點N的上方才有可能，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0（不符合題意，舍去），∴SKIPIF1<0，∴由兩點距離公式可得SKIPIF1<0．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合及菱形的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的綜合及菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5.（2021·內(nèi)蒙古）如圖，拋物線SKIPIF1<0交x軸于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，交y軸于點C，動點P在拋物線的對稱軸上．（1）求拋物線的解析式；（2）當以P，B，C為頂點的三角形周長最小時，求點P的坐標及SKIPIF1<0的周長；（3）若點Q是平面直角坐標系內(nèi)的任意一點，是否存在點Q，使得以A，C，P，Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)P點坐標為(1,2)，SKIPIF1<0的周長最小值為SKIPIF1<0；(3)Q點坐標存在，為(2，2)或(4，SKIPIF1<0)或(4，SKIPIF1<0)或(SKIPIF1<0，SKIPIF1<0)或(SKIPIF1<0，SKIPIF1<0)【分析】(1)將SKIPIF1<0，SKIPIF1<0代入即可求解；(2)連接BP、CP、AP，由二次函數(shù)對稱性可知，BP=AP，得到BP+CP=AP+CP，當C、P、A三點共線時，△PBC的周長最小，由此求出AC解析式，將P點橫坐標代入解析式中即可求解；(3)設(shè)P點坐標為(1，t)，Q點坐標為(m，n)，按AC為對角線，AP為對角線，AQ為對角線分三種情況討論即可求解．【詳解】解：(1)將SKIPIF1<0，SKIPIF1<0代入二次函數(shù)表達式中，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴二次函數(shù)的表達式為：SKIPIF1<0；(2)連接BP、CP、AP，如下圖所示：由二次函數(shù)對稱性可知，BP=AP，∴BP+CP=AP+CP，SKIPIF1<0BC為定直線，當C、P、A三點共線時，SKIPIF1<0有最小值為SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0的周長也最小，設(shè)直線AC的解析式為：SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴直線AC的解析式為：SKIPIF1<0，二次函數(shù)的對稱軸為SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，∴P點坐標為(1,2)，此時SKIPIF1<0的周長最小值=SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0設(shè)P點坐標為(1，t)，Q點坐標為(m，n)，分類討論：情況一：AC為菱形對角線時，另一對角線為PQ，此時由菱形對角互相平分知：AC的中點也必定是PQ的中點，由菱形對角線互相垂直知：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴P點坐標為(1，1)，對應的Q點坐標為(2，2)；情況二：AP為菱形對角線時，另一對角線為CQ，同理有：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，∴P點坐標為(1，SKIPIF1<0)或(1，SKIPIF1<0)，對應的Q點坐標為(4，SKIPIF1<0)或(4，SKIPIF1<0)；情況三：AQ為菱形對角線時，