三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

1.4三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)O′①下面我們借助正弦線(幾何法)來畫出y=sinx在[0，2π]上的圖象.首先，我們來作坐標(biāo)為(x0，sinx0)的點(diǎn)S，不妨設(shè)x0>0，如圖所示，在單位圓中設(shè)AP的長(zhǎng)為x0(即∠AO′P=x0)，則MP=sinx0，所以點(diǎn)S(x0，sinx0)是以AP的長(zhǎng)為橫坐標(biāo)，正弦線MP

的數(shù)量為縱坐標(biāo)的點(diǎn).⌒⌒S(x0，sinx0)My-----x1-1π2πO1.4.1正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像PA為了更直觀地研究三角函數(shù)的性質(zhì)，可以先作出它們的圖象.22021/5/9知道如何作出y=sinx的圖象的一個(gè)點(diǎn)，就可以作出一系列的點(diǎn)，例如，在單位圓中，作出對(duì)應(yīng)于的角及相應(yīng)的正弦線,相應(yīng)地,把x軸上從0到2π這一段分成12等份，把角x的正弦線向右平移，使它的起點(diǎn)與x軸上表示數(shù)x的點(diǎn)重合，再用光滑的曲線把這些正弦線連結(jié)起來，既得到正弦函數(shù)y=sinx在[0，2π]區(qū)間上的圖象，如圖所示.---11yxAO2ππ鏈接32021/5/9最后我們只要將函數(shù)y=sinx，x∈[0，2π]的圖象向左、右平移(每次2π個(gè)單位)，就可以得到正弦函數(shù)y=sinx，x∈R的圖象，如圖所示.正弦函數(shù)的圖象叫做正弦曲線(sinecurve).正弦曲線--yxO1-12π4π6π-2π-4π-6π以上是借助正弦線描點(diǎn)來作出正弦曲線，也可以利用圖形計(jì)算器、計(jì)算機(jī)作出正弦曲線.yxO1-1π2π4π-π-2π3π42021/5/9②用描點(diǎn)法(代數(shù)法)作出正弦函數(shù)在[0，2π]上的圖象，然后由周期性就可以得到整個(gè)圖象.x0π2πy=sinx010-10(1)列表(2)

描點(diǎn)(3)

連線-----xy1-1Oπ2π(五點(diǎn)法)由上圖可以看出，函數(shù)y=sinx，x∈[0，2π]的圖象上起著關(guān)鍵作用的點(diǎn)有以下五個(gè):(0，0)，(，1)，(π

，0)，(π，-1)，(2π

，0)52021/5/9

觀察正弦和余弦曲線(如下圖)

的形狀和位置,說出它們的異同點(diǎn)，yxO1-1π2π4π-π-2π3πy=cosxy=sinx它們的形狀相同，且都夾在兩條平行直線y=1與y=－1之間.但它們的位置不同，正弦曲線交y軸于原點(diǎn)，余弦曲線交y軸于點(diǎn)(0，1).由cox=sin(x+)，可知y=cosx圖象向左平移個(gè)單位得到，余弦函數(shù)的圖象叫做余弦曲線.y=cosx圖象的最高點(diǎn)(0，1)，與x軸的交點(diǎn)(，0)，(，0),

圖象的最低點(diǎn)(π，－1).62021/5/9事實(shí)上，描出五點(diǎn)后，函數(shù)y=sinx，x∈[0，2π]的圖象形狀就基本確定了，因此在精確程度要求不高時(shí)，我們常常找出這五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，然后用光滑曲線將它們連結(jié)起來，就得到函數(shù)的簡(jiǎn)圖，今后，我們將經(jīng)常使用這種“五點(diǎn)(畫圖)法”例1畫出下列函數(shù)的簡(jiǎn)圖：(1)y=1+sinx；(2)y=－cosxx∈[0，2π

)-----xy1-1Oπ2π-----xy1-1Oπ2π72021/5/9x0π2x0π2πsin2x010－10例2用“五點(diǎn)法”畫出下列函數(shù)的簡(jiǎn)圖：y=sin2xx∈[0，2π

)描點(diǎn)畫圖，然后由周期性得整個(gè)圖象(如圖所示)yxO1-1π2π-3π-π-2π3πy=sin2xy=sinx兩圖象有何關(guān)系？82021/5/9練習(xí)1.畫出下列函數(shù)的簡(jiǎn)圖，并說明這些函數(shù)的圖象與正弦曲線的區(qū)別和聯(lián)系:(1)y=sinx－1；(2)y=2sinx.y=sinx－1y=sinxxyO2ππ-π-2π1-2-1-3πy=sinx－1的圖象可由正弦曲線向下平移1個(gè)單位.92021/5/9y=sinxy=2sinxxyO2ππ-π-2π1-2-1-3π22.畫出下列函數(shù)的簡(jiǎn)圖，并說明這些函數(shù)的圖象與正弦曲線的區(qū)別和聯(lián)系:(2)y=2sinx.y=2sinx的圖象可由正弦曲線上的每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，橫坐標(biāo)不變.102021/5/92.畫出下列函數(shù)的簡(jiǎn)圖，并說明這些函數(shù)的圖象與余弦曲線的區(qū)別和聯(lián)系:(1)y=1+cosx；(2)y=cos(x+).y=1+cosx的圖象可由余弦曲線向上平移1個(gè)單位.可由余弦曲線上每一點(diǎn)向左平移個(gè)單位得到.y=1+cosxy=cosxxyO2ππ-π-2π12y=cosxy=cos(x+)xyO2ππ-π-2π1112021/5/9周期性的有關(guān)概念：那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)(periodicfunction)，非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期(period).一般地對(duì)于函數(shù)f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得定義域內(nèi)的每一個(gè)x值，都滿足f(x+T)=f(x)最小正周期：對(duì)一個(gè)周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做這個(gè)函數(shù)的最小正周期.正弦函數(shù)和余弦函數(shù)都是周期函數(shù)，2kπ(k∈z且k≠0)都是它們的周期，它們最小的正周期都是2π;正切函數(shù)也是周期函數(shù)，其最小的正周期是π.1.4.2正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)122021/5/9說明:①當(dāng)函數(shù)對(duì)于自變量的一切值每增加或減少一個(gè)定值，函數(shù)值就重復(fù)出現(xiàn)時(shí)，這個(gè)函數(shù)就叫做周期函數(shù).②設(shè)f(x)是定義在實(shí)數(shù)集D上的函數(shù)，若存在一個(gè)常數(shù)T(T≠0)，具有下列性質(zhì):

(1)對(duì)于任何的

x∈D，有(x±T)∈D；

(2)對(duì)于任何的

x∈D，有f(x+T)=f(x)成立，則f(x)叫做周期函數(shù).③若函數(shù)f(x)不是當(dāng)x取定義域內(nèi)的“每一個(gè)值”時(shí)，都有f(x+T)=f(x)成立，則T就不是f(x)周期.今后本書所說的周期，如果不加特別說明，一般都是指函數(shù)的最小的正周期.132021/5/9⑤要重視

“T≠0”且為常數(shù)這一條件，若T=0，則f(x+T)=f(x)恒成立，函數(shù)值不變沒有研究?jī)r(jià)值；若T為變數(shù)，則失去了周期的意義.一般地，函數(shù)y=Asin(ωx+φ)，y=Acos(ωx+φ)(其中A，ω，φ為常數(shù)，且A≠0，ω>0)的周期若函數(shù)y=f(x)的周期為T，則y=Af(ωx+φ)的周期為，(其中A，ω，φ為常數(shù),且A≠0，ω≠0)④若在函數(shù)的定義域內(nèi)至少能找到一個(gè)x

，使f(x+T)=f(x)不成立，我們就斷然函數(shù)f(x)不是周期函數(shù)或T不是函數(shù)f(x)的周期.142021/5/9y=sinx(xR)

y=cosx(xR)

定義域值域周期性xR.y[-1,1].T=2.我們得到正弦、余弦函數(shù)定義域、值域、周期:yxO1-1π2π4π-π-2π3πy=sinxyxO1-1π2π4π-π-2π3πy=cosx152021/5/9正弦、余弦函數(shù)的奇偶性yxO1-1π2π4π-π-2π3πy=sinxyxO1-1π2π4π-π-2π3πsin(－x)=－sinx

y=sinx是奇函數(shù)cos(－x)=cosx

y=cosx是偶函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱y=sinx162021/5/9正弦函數(shù)的單調(diào)性

？？yxO1-1π2π4π-π-2π3πy=sinx(xR)x…0……π…sinx－1010－1增區(qū)間為，

其值從－1增至1.減區(qū)間為，

其值從1增至－

1.172021/5/9余弦函數(shù)的單調(diào)性

y=cosx(xR)yxO1-1π2π4π-π-2π3πx-π……0……πcosx－1010－1

？？增區(qū)間為[－π，0]

，其值從－1增至1.減區(qū)間為[0，

－π]，其值從1增至－

1.[－π+2kπ，2kπ]，(k∈z)[2kπ，2kπ+π]，(k∈z)182021/5/9正弦、余弦函數(shù)的對(duì)稱軸、對(duì)稱中心:yxO1-1π2π4π-π-2π3πy=sinxyxO1-1π2π4π-π-2π3πy=cosx對(duì)稱軸對(duì)稱中心y=sinxy=cosx函數(shù)軸、中心192021/5/9x0π2πcosx10－1012cosx20－202(1)先用“五點(diǎn)法”畫一個(gè)周期的圖象，列表:例1用“五點(diǎn)法”畫出下列函數(shù)的簡(jiǎn)圖：(1)y=2cosxx∈R(2)y=sin2xx∈R描點(diǎn)畫圖，然后由周期性得整個(gè)圖象(如圖所示)xO2-1π2π4π-π-2π3π-21yy=2cosxy=cosx兩圖象有何關(guān)系？202021/5/9例2求下列函數(shù)的最大值及取得最大值時(shí)自變量

x的集合：(1)y=cos；解

函數(shù)的y=cos的最大值為1，因?yàn)槭筩osz取得最大值的z的集合為:{z|z=2kπ，k∈z}，令z=，由于=2kπ，得x=6kπ.所以，使函數(shù)y=cos取得最大值時(shí)自變量x的集合為:{z|z=6kπ，k∈z}.練習(xí)

函數(shù)y=sinx的值域是()A.[－1,1]B.[，1]C.D.B212021/5/9解

函數(shù)的y=2－sin2x的最大值為2－(－1)=3，因?yàn)槭箂inz取得最小值的z的集合為:令z=2x，由于2x=+2kπ，得所以，使函數(shù)y=2－sin2x取得最小值時(shí)自變量x

的集合為:例2求下列函數(shù)的最大值及取得最大值時(shí)自變量

x的集合：(2)y=2－sin2x.練習(xí)

求下列函數(shù)的最小值及取得最小值時(shí)自變量

x的集合：(1)y=－2sinx；(2)y=2－cos222021/5/9例3不通過求值，指出下列各式大于0還是小于0

(1)sin()–sin();(2)cos()–cos()又y=sinx

在上是增函數(shù)，又y=cosx

在[0，π]上是減函數(shù)解(1)232021/5/9

(1)sin2500>sin2600;(2)cos>cos練習(xí)1不求值，分別比較下列各組中兩個(gè)三角函數(shù)值的大小:

(1)sin2500

與

sin2600;(2)cos與

cos練習(xí)2

利用函數(shù)的性質(zhì)，比較下列各題中兩個(gè)三角函數(shù)值的大小:

(1)sin103045′與

sinsin164030′;(2)sin5080與

sin1440;(3)cos7600與

cos(－7700)；

(4)cos與

cos.

(4)cos>cossin103045′>sinsin164030′(2)sin5080<

sin1440(3)cos7600

>cos(－7700)242021/5/9解

(1)

y=2sin(－x)=－2sinx，例4

求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：

(1)y=2sin(－x)；(2)y=sin(2x+

)

所以單調(diào)增區(qū)間為:函數(shù)在上單調(diào)遞增.∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，單調(diào)減區(qū)間為:252021/5/9例4

求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：(2)y=sin(2x+

)

所以單調(diào)增區(qū)間為:單調(diào)減區(qū)間為:解

(2)

令z=2x+，函數(shù)y=sinz的單調(diào)增區(qū)間為:函數(shù)y=sinz的單