利用球坐標(biāo)計(jì)算三重積分【優(yōu)質(zhì)PPT】

節(jié)

三重積分換元法計(jì)算三重積分一、柱面坐標(biāo)求三重積分二、球面坐標(biāo)求三重積分2021/5/91回顧三重積分的概念

類似二重積分解決問題的思想,采用引例:設(shè)在空間有限閉區(qū)域內(nèi)分布著某種不均勻的物質(zhì),求分布在內(nèi)的物質(zhì)的可得“分割,近似,求和,取極限”解決方法:質(zhì)量

M.密度函數(shù)為2021/5/92定義.

設(shè)存在,稱為體積元素,

若對作任意分割:任意取點(diǎn)則稱此極限為函數(shù)在上的三重積分.在直角坐標(biāo)系下常寫作下列“乘積和式”極限記作2021/5/931.利用直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分方法1.投影法(“先一后二”)方法2.截面法(“先二后一”)先假設(shè)連續(xù)函數(shù)并將它看作某物體通過計(jì)算該物體的質(zhì)量引出下列各計(jì)算最后,推廣到一般可積函數(shù)的積分計(jì)算.的密度函數(shù),方法:2021/5/94方法1.投影法(“先一后二”)找及在面投影區(qū)域D。過D上一點(diǎn)“穿線”確定的積分上下限，完成了“先一”這一步（定積分）；進(jìn)而按照二重積分的計(jì)算步驟計(jì)算投影區(qū)域D上的二重積分，完成”后二“這一步。2021/5/95方法2.截面法(“先二后一”)為底,dz為高的柱形薄片質(zhì)量為該物體的質(zhì)量為面密度≈記作2021/5/962.利用柱坐標(biāo)計(jì)算三重積分

就稱為點(diǎn)M

的柱坐標(biāo).直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的關(guān)系:坐標(biāo)面分別為圓柱面半平面平面2021/5/97如圖所示,在柱面坐標(biāo)系中體積元素為，在二重積分的時(shí)候我們講過極坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化面積微元為因此其中適用范圍:1)積分域表面用柱面坐標(biāo)表示時(shí)方程簡單

;2)被積函數(shù)用柱面坐標(biāo)表示時(shí)變量互相分離.體積微元2021/5/98其中為由例1.計(jì)算三重積分所圍解:

在柱面坐標(biāo)系下及平面柱面成半圓柱體.先二后一2021/5/99例2.

計(jì)算三重積分解:

在柱面坐標(biāo)系下所圍成.與平面其中由拋物面原式=2021/5/910例3.計(jì)算三重積分解:

在柱面坐標(biāo)系下所圍立體.其中與球面注：這個式子雖容易寫出，但是要求積分結(jié)果非常難，我們能不能找到更加簡便的方法來研究這道題目呢？2021/5/9113.利用球坐標(biāo)計(jì)算三重積分

就稱為點(diǎn)M

的球坐標(biāo).直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的關(guān)系坐標(biāo)面分別為球面半平面錐面2021/5/912如圖所示,在球面坐標(biāo)系中體積元素為因此有其中適用范圍:1)積分域表面用球面坐標(biāo)表示時(shí)方程簡單;2)被積函數(shù)用球面坐標(biāo)表示時(shí)變量互相分離.2021/5/913例5.計(jì)算三重積分解:

在球面坐標(biāo)系下所圍立體.其中與球面這種方法簡單多了！2021/5/914內(nèi)容小結(jié)積分區(qū)域多由坐標(biāo)面被積函數(shù)形式簡潔,或坐標(biāo)系體積元素適用情況直角坐標(biāo)系柱面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系*說明:三重積分也有類似二重積分的換元積分公式:對應(yīng)雅可比行列式為變量可分離.圍成;2021/5/915（1）若空間閉區(qū)域關(guān)于平面對稱,即即被積函數(shù)關(guān)于z為偶函數(shù)時(shí)，即被積函數(shù)關(guān)于z為奇函數(shù)時(shí),則當(dāng)當(dāng)其中是位于平面上側(cè)的部分.積分區(qū)域關(guān)于其它坐標(biāo)平面：對稱，且被積函數(shù)分別是的奇、偶函數(shù)，也有上述類似的結(jié)論一、利用空間區(qū)域的對稱性或被積函數(shù)的奇偶性計(jì)算三重積分

2021/5/916（2）若空間區(qū)域具有輪換對稱性，即則也就是三字母輪換積分區(qū)域不改變，2021/5/9174.