2023版高三一輪總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)新教材新高考第5章第2節(jié)平面向量基本定理及坐標(biāo)表示

缸塞平面向量基本定理及坐標(biāo)表示

［考試要求］

1.了解平面向量基本定理及其意義.

2.掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.

3.會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算.

4.理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件.

［走進(jìn)教材?夯實(shí)基礎(chǔ)］回顧知識(shí)?激活技能

◎梳理?必備知識(shí)

1.平面向量基本定理

(1)定理：如果ei，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量,那么對(duì)于這一平面

內(nèi)的任一向量Q,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)21,丸2,使4=九61+%202.

(2)基底：若ei，62不共線,我們把｛約，02｝叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的

一個(gè)基底.

2.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

(1)向量加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算及向量的模

設(shè)4=(X1,>1),b=(X2,y2),則

a+：=(xi+x2,yi+y2),a-—=(xi-九2,yi-y2),Aa=(Zri>z.vi)>|a|=、/++y阜.

(2)向量坐標(biāo)的求法

①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo).

②設(shè)A(xi,yi),B(X2,yi),則-8=(x2—汨，y2—yi),|A8=~\/^2—xi)2+(y2—yi)2.

3.平面向量共線的坐標(biāo)表示

設(shè)a=(xi,yi),b=(x2,*),其中〃W0,則a〃b<=>xiy2—x2.yi=O.

［常用結(jié)論］

1.若a與b不共線，且za+//Z>=0,則%=〃=().

2.已知P為線段A3的中點(diǎn)，若A(x\,y\),BQ2,y2),則P點(diǎn)坐標(biāo)為

(Xl+xzyi土口

I22)

3.已知△ABC的重心為G,若A(xi,yi),8(x2,”)，C(X3,”)，則

13—3)

◎激活?基本技能

一'易錯(cuò)易誤辨析(正確的打"J"，錯(cuò)誤的打“x”)

⑴平面內(nèi)的任何兩個(gè)向量都可以作為一組基底.()

⑵向量的坐標(biāo)就是向量終點(diǎn)的坐標(biāo).()

(3)若a=(xi,yi),b=(X2,yi),則a〃分的充要條件可以表示成

()

(4)若a,萬(wàn)不共線，且2ia+〃山=/ha+〃2〃，則為=義2,"i=〃2.()

[答案](1)X(2)X(3)X(4)V

二'教材習(xí)題衍生

13

1.已知平面向量a=(l,l),6=(1,—1),則向量呼一/=()

A.(-2,-1)B.(-2,1)

C.(-1,0)D.(-1,2)

D[Va=(l,l),1=(1,-1),

.?.%=&全=住，高

.13(131,3、

??呼一手=6一2,科3=(-1，2)，

故選D.]

2.若Pi(l,3),P2(4,0)且P是線段P1P2的一個(gè)三等分點(diǎn)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為()

A.(2,2)B.(3,-1)

C.(2,2)或(3,-1)D.(2,2)或(3,1)

D［由題意可知后72=(3,-3).

~A1~?

若PIP=QPIP2,則P點(diǎn)坐標(biāo)為(2,2);

~A2-*■

若P|P=1P1P2,則P點(diǎn)坐標(biāo)為(3,1),

故選D.]

3.已知口48CO的頂點(diǎn)A(-l,-2),8(3,—1),C(5,6),則頂點(diǎn)。的坐標(biāo)

為.

(1,5)[設(shè)。(x,y),則由然=慶，得(4』)=(5—x,6—y),

4=5—x,fx=l,

即，/解得c]

[\=6~y,ly=5.

4.如圖，0A,々不共線，且萬(wàn)="%?GR),用以，治表示辦=.

{\-t)OA+tOB［'：AP=tAB,

：.OP=OA+AP=OA+tAB

=OA+t{OB-OA)=OA+tOB-tOA

=(1一疝+屈］

［細(xì)研考點(diǎn)?突破題型］重難解惑直擊高考

□考點(diǎn)一平面向量基本定理的應(yīng)用《師生共研

［典例1］如圖，已知在△OCB中，A是CB的中點(diǎn)，D是將為分成2:1

的一個(gè)內(nèi)分點(diǎn)，。。和04交于點(diǎn)E,設(shè)方=a,0B=b.

⑴用a和6表示向量次，DC；

(2)若求實(shí)數(shù)2的值.

-*■2-A

［解］(1)由題意知，A是BC的中點(diǎn)，且。。=1。3,由平行四邊形法則,

得防+女=2成

所以又=2后一防=2。一力,

25

DC=OC—OD=(2a—b)—^b=2a—:jb.

(2)由題意知，EC//DC,故設(shè)成

因?yàn)閼?yīng)?=元一己=(2。一加一加

f5

=(2—2)a—萬(wàn)，DC=2a~^b.

所以(2一%)a—Z>=.i(2a—$>).

因?yàn)閍與》不共線，由平面向量基本定理,

'2—2=2x,p=|,

得5解得〈,

〔一匚一產(chǎn)〔4*

故：=亍

畬反思領(lǐng)悟平面向量基本定理解決問(wèn)題的一般思路

(1)先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示為向量的形式，再通

過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)解決.

(2)在基底未給出的情況下，合理地選取基底會(huì)給解題帶來(lái)方便.另外，要

熟練運(yùn)用平面幾何的一些性質(zhì)定理.

一［跟進(jìn)訓(xùn)練］

1.(多選)(2021?惠州調(diào)研)設(shè)a是已知的平面向量且“W0,關(guān)于向量a的分

解，有如下四個(gè)命題(向量4c和a在同一平面內(nèi)且兩兩不共線)，則真命題是

()

A.給定向量瓦總存在向量c,使a=Z>+c

B.給定向量。和c,總存在實(shí)數(shù)2和〃，使。=肪+〃c

C.給定單位向量〃和正數(shù)〃，總存在單位向量c和實(shí)數(shù)九使。=勸+”

D.給定正數(shù)2和〃，總存在單位向量分和單位向量c,使。=勸+3

AB?向量仇c和4在同一平面內(nèi)且兩兩不共線，.：bWO,cWO,

給定向量a和。，只需求得其向量差。一兒

即為所求的向量c,

故總存在向量c,使n=〃+c,故A正確；

當(dāng)向量乩c和。在同一平面內(nèi)且兩兩不共線時(shí)，向量從c可作基底，

由平面向量基本定理可知結(jié)論成立，故B正確；

取。=（4,4）,〃=2,6=（1,0）,

無(wú)論2取何值，向量而都平行于光軸，而向量〃c的模恒等于2,

要使a=〃>+〃c成立，根據(jù)平行四邊形法則，向量〃C的縱坐標(biāo)一定為4,

故找不到這樣的單位向量c使等式成立，故C錯(cuò)誤；

因?yàn)?和〃為正數(shù)，所以勸和〃c代表與原向量同向的且有固定長(zhǎng)度的向量，

這就使得向量。不一定能用兩個(gè)單位向量的組合表示出來(lái)，故不一定能使a

=勸+"成立，故D錯(cuò)誤.故選AB.]

2.如圖，A,8分別是射線OM,ON上的點(diǎn)，給出下列向量：①晶+23k

1―?1—?3-*,1-?3-*■1—?

卷5。4+1。8；跖04+103；%。4+5。8,若這些向量均以。為起點(diǎn)，則終

點(diǎn)落在陰影區(qū)域內(nèi)（包括邊界）的是（）

A.①②B.①③

C.②③D.②④

B[由向量共線的充要條件可得：當(dāng)點(diǎn)P在直線43上時(shí)，存在唯一的一對(duì)

有序?qū)崝?shù)〃，v,使得。P=〃OA+oQB成立，且“+。=1.

可以證明當(dāng)點(diǎn)P位于陰影區(qū)域內(nèi)的充要條件是：滿足辦=〃豆辦，且“

>0,。>0,u+v>l.

?；1+2>1,.?.點(diǎn)P位于陰影區(qū)域內(nèi)，故①正確；同理③正確；而②④錯(cuò)誤.故

選B.]

3.在△ABC中，點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上，且證=3日），點(diǎn)。在線段

CD上（與點(diǎn)C,D不重合），若花=%還+（1—幻/，則x的取值范圍是

A.(0

C.T，。)D.(To)

D[法一：依題意，設(shè)而，其中1V2

/I-?―?—?―?—A―?—?

<y則有A0=A8+B0=AB+彷C=A8+4AC-

贏)=(1一?誦+2啟.又啟=入靠+(l-x)啟，且

AB,元不共線，于是有x=l-AG(一；,0),即x的取值范圍是(一；，0),故選

D.

法二：'：AO=xAB+AC-xAC,：.AO-AC=X(AB-AC),即53=xd=-

-?]

3xCD,：O在線段CD(不含C,。兩點(diǎn))上，.\0<-3x<l,二一QVXVO.]

□考點(diǎn)二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算《師生共研

[典例2](1)向量a,h,c在正方形網(wǎng)格中，如圖所示，若c=〃r+〃伙九〃6R),

則己=()

(2)已知A(—2,4),8(3,-1),C(-3,-4).i^AB=a,BC=b,CA=c,且

CM=3c,Bj=~2b.

①求3a+。-3c；

②求ALN的坐標(biāo)及向量MN的坐標(biāo).

(1)D[以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)為1,

可得。8=(6,2),c=(—l,-3).

c=2a+〃伙2,〃6R),

—1=-2+6//,1

[-3=+2〃，解得』2,

.?尸=4.故選D.]

4

(2)[解]由已知得。=(5,-5),b=(-6,-3),c=(l,8).

①3a+Z>—3c=3(5,—5)+(—6,—3)—3(1,8)

=(15—6—3,—15—3—24)=(6,—42).

②設(shè)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，,：CM=-0M~0C=3c,

.?.原=3c+女=(3,24)+(—3,-4)=(0,20).

.\M(0,20).又?：CN=ON—OC=-2b,

：.ON=-2Z?+OC=(12,6)+(-3,-4)=(9,2),

.?.Mg,2),：.MN=(9,-18).

令反思領(lǐng)悟平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧

(1)利用向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算的法則來(lái)進(jìn)行求解，若已知有向線段兩端點(diǎn)

的坐標(biāo)，則應(yīng)先求向量的坐標(biāo).

(2)解題過(guò)程中，常利用“向量相等，則坐標(biāo)相同”這一結(jié)論，由此可列方

程(組)進(jìn)行求解.

［跟進(jìn)訓(xùn)練廠

4.⑴在平行四邊形ABCD中,4(1,2),B(-2,0),AC=(2,-3),則點(diǎn)。的

坐標(biāo)為()

A.(6,1)B.(—6,—1)

C.(0,-3)D.(0,3)

(2)(2021.陽(yáng)泉三模)如圖，在正方形ABCO中，M,N分別是BCCO的中點(diǎn),

一f一

若AC=Z4〃+//3N,貝！J2+〃=________.----“

(DA(2)|[(l)AB=(-3,-2)=DC,

AAD=AC+CD=AC-AB=(5,一1),則0(6,1).

故選A.

(2)法一：以AB,AO所在直線分別為x軸，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如

圖所示,

設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1,則AM=(1,習(xí)，BN=(一與,1),AC=(1,1),

一出，

p—1u=l,p=|,

.,?<解得J2

：

?.?A1?〃_~85.

―?―?1—?—?1—?—D,得啟=疝/+〃麗=1一§淡

法二：由AM=A8+F。，BN=~^AB+A

+e+〃淡，又元=Q+Ab,

p—2=hp=|,

???<x解得J2??"+〃=*

/〃=1,1〃=亍

□考點(diǎn)三向量共線的坐標(biāo)表示?多維探究

卜考向1利用向量共線求參數(shù)

［典例3—1］已知。=(1,0),6=(2,1).

(1)當(dāng)上為何值時(shí)，人一方與a+2A共線；

(2)若贏=2a+3b,BC=a+mb,且A,BC三點(diǎn)共線，求〃2的值.

［解］(l)Va=(l,0),6=(2,1),

：.ka-b=k(l,0)-(2,l)=(k-2,-1),

a+2b=(l,0)+2(2,l)=(5,2),

■:ka—b與Q+2〃共線，

A2(^-2)-(-l)X5=0,

：'k=~2'

(2)AB=2(l,0)+3(2,l)=(8,3),

詼=(1,0)+祖(2,1)=(2加+1,m).

VA,B,C三點(diǎn)共線，

：.AB//BC,.,.8〃2-3(2機(jī)+1)=0,

??Z72?.

考向2利用向量共線求向量或點(diǎn)的坐標(biāo)

［典例3—2］已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A(4,0),8(4,4),C(2,6),則AC與。8

的交點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)_______.

(3,3)［法一：由。，P,B三點(diǎn)共線，可設(shè)方=%d=(4九44),則崩=67

-04=(42-4,4^).