2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷數(shù)學(xué)試卷【含答案】_第1頁(yè)
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2023年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(新高考全國(guó)Ⅰ卷)數(shù)學(xué)一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合,,則()A. B. C. D.22已知,則()A. B. C.0 D.13.已知向量,若,則()A. B.C D.4.設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,則的取值范圍是()A. B.C. D.5.設(shè)橢圓的離心率分別為.若,則()A. B. C. D.6.過(guò)點(diǎn)與圓相切的兩條直線(xiàn)的夾角為,則()A1 B. C. D.7.記為數(shù)列的前項(xiàng)和,設(shè)甲:為等差數(shù)列;乙:為等差數(shù)列,則()A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件8.已知,則().A. B. C. D.二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得0分.9.有一組樣本數(shù)據(jù),其中是最小值,是最大值,則()A.的平均數(shù)等于的平均數(shù)B.的中位數(shù)等于的中位數(shù)C.的標(biāo)準(zhǔn)差不小于的標(biāo)準(zhǔn)差D.的極差不大于的極差10.噪聲污染問(wèn)題越來(lái)越受到重視.用聲壓級(jí)來(lái)度量聲音的強(qiáng)弱,定義聲壓級(jí),其中常數(shù)是聽(tīng)覺(jué)下限閾值,是實(shí)際聲壓.下表為不同聲源的聲壓級(jí):聲源與聲源距離聲壓級(jí)燃油汽車(chē)10混合動(dòng)力汽車(chē)10電動(dòng)汽車(chē)1040已知在距離燃油汽車(chē)、混合動(dòng)力汽車(chē)、電動(dòng)汽車(chē)處測(cè)得實(shí)際聲壓分別為,則().A. B.C. D.11.已知函數(shù)的定義域?yàn)?,,則().A. B.C.是偶函數(shù) D.為的極小值點(diǎn)12.下列物體中,能夠被整體放入棱長(zhǎng)為1(單位:m)的正方體容器(容器壁厚度忽略不計(jì))內(nèi)的有()A.直徑為的球體B.所有棱長(zhǎng)均為的四面體C.底面直徑為,高為的圓柱體D.底面直徑為,高為的圓柱體三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.某學(xué)校開(kāi)設(shè)了4門(mén)體育類(lèi)選修課和4門(mén)藝術(shù)類(lèi)選修課,學(xué)生需從這8門(mén)課中選修2門(mén)或3門(mén)課,并且每類(lèi)選修課至少選修1門(mén),則不同的選課方案共有________種(用數(shù)字作答).14.在正四棱臺(tái)中,,則該棱臺(tái)的體積為_(kāi)_______.15.已知函數(shù)在區(qū)間有且僅有3個(gè)零點(diǎn),則的取值范圍是________.16.已知雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為.點(diǎn)在上,點(diǎn)在軸上,,則的離心率為_(kāi)_______.四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知在中,.(1)求;(2)設(shè),求邊上的高.18.如圖,在正四棱柱中,.點(diǎn)分別在棱,上,.(1)證明:;(2)點(diǎn)在棱上,當(dāng)二面角為時(shí),求.19.已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)證明:當(dāng)時(shí),.20.設(shè)等差數(shù)列的公差為,且.令,記分別為數(shù)列的前項(xiàng)和.(1)若,求的通項(xiàng)公式;(2)若為等差數(shù)列,且,求.21.甲、乙兩人投籃,每次由其中一人投籃,規(guī)則如下:若命中則此人繼續(xù)投籃,若末命中則換為對(duì)方投籃.無(wú)論之前投籃情況如何,甲每次投籃的命中率均為0.6,乙每次投籃的命中率均為0.8.由抽簽確定第1次投籃的人選,第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.(1)求第2次投籃的人是乙的概率;(2)求第次投籃的人是甲的概率;(3)已知:若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布,且,則.記前次(即從第1次到第次投籃)中甲投籃的次數(shù)為,求.22.在直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)到軸的距離等于點(diǎn)到點(diǎn)的距離,記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為.(1)求方程;(2)已知矩形有三個(gè)頂點(diǎn)在上,證明:矩形的周長(zhǎng)大于.1.C.2.A.3.D.4.D5.A6.B.7.C8.B9.BD.10.ACD.11..12.ABD.13.64.14..15..16..17.,,即,又,,,,即,所以,.由(1)知,,由,由正弦定理,,可得,,.18.以為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線(xiàn)為軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,則,,,又不在同一條直線(xiàn)上,.設(shè),則,設(shè)平面的法向量,則,令,得,,設(shè)平面的法向量,則,令,得,,,化簡(jiǎn)可得,,解得或,或,.19.因?yàn)?,定義域?yàn)椋?,?dāng)時(shí),由于,則,故恒成立,所以在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),令,解得,當(dāng)時(shí),,則在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,則在上單調(diào)遞增;綜上:當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.方法一:由(1)得,,要證,即證,即證恒成立,令,則,令,則;令,則;所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以,則恒成立,所以當(dāng)時(shí),恒成立,證畢.方法二:令,則,由于在上單調(diào)遞增,所以在上單調(diào)遞增,又,所以當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,故,則,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,因?yàn)?,?dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號(hào)成立,所以要證,即證,即證,令,則,令,則;令,則;所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以,則恒成立,所以當(dāng)時(shí),恒成立,證畢.20.,,解得,,又,,即,解得或(舍去),為等差數(shù)列,,即,,即,解得或,,,又,由等差數(shù)列性質(zhì)知,,即,,即,解得或(舍去)當(dāng)時(shí),,解得,與矛盾,無(wú)解;當(dāng)時(shí),,解得.綜上,.21.記“第次投籃的人是甲”為事件,“第次投籃的人是乙”為事件,所以,.設(shè),依題可知,,則,即,構(gòu)造等比數(shù)列,設(shè),解得,則,又,所以是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,即.因?yàn)椋?,所以?dāng)時(shí),,故.22.設(shè),則,兩邊同平方化簡(jiǎn)得,故.法一:設(shè)矩形的三個(gè)頂點(diǎn)在上,且,易知矩形四條邊所在直線(xiàn)的斜率均存在,且不為0,則,令,同理令,且,則,設(shè)矩形周長(zhǎng)為,由對(duì)稱(chēng)性不妨設(shè),,則.,易知?jiǎng)t令令,解得,當(dāng)時(shí),,此時(shí)單調(diào)遞減,當(dāng),,此時(shí)單調(diào)遞增,則,故,即.當(dāng)時(shí),,且,即時(shí)等號(hào)成立,矛盾,故,得證.法二:不妨設(shè)在上,且,依題意可設(shè),易知直線(xiàn),的斜率均存在且不為0,則設(shè),的斜率分別為和,由對(duì)稱(chēng)性,不妨設(shè),直線(xiàn)的方程為,則聯(lián)立得,,則則,同理,令,則,設(shè),則,令,解得,當(dāng)時(shí),,此時(shí)單調(diào)遞減,當(dāng),,此時(shí)單調(diào)遞增,則,,但,此處取等條件為,與最終取等時(shí)不一致,故.法三:為了計(jì)算方便,我們將拋物線(xiàn)向下移動(dòng)個(gè)

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