
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河北省滄州市大官廳鄉(xiāng)中學(xué)高二數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知既有極大值又有極小值,則的取值范圍為(
)A.
B.
C.
D.參考答案:D2.若實(shí)數(shù)滿足,則的取值范圍是
。參考答案:略3.直線x﹣y+1=0的傾斜角的大小為()A.30° B.60° C.120° D.150°參考答案:B【考點(diǎn)】直線的傾斜角.【分析】設(shè)直線x﹣y+1=0的傾斜角為θ,則tanθ=,θ∈[0°,180°).即可得出.【解答】解:設(shè)直線x﹣y+1=0的傾斜角為θ,則tanθ=,θ∈[0°,180°).∴θ=60°,故選:B.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線的傾斜角與斜率的關(guān)系,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.4.設(shè)o為同一平面內(nèi)具有相同起點(diǎn)的任意三個(gè)非零向量,且滿足不共線,則的值一定等于
(
)A.以為兩邊的三角形的面積;B.以為兩邊的三角形的面積;C.以為鄰邊的平行四邊形的面積;D.以為鄰邊的平行四邊形的面積。參考答案:C5.設(shè),函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù),若曲線的一條切線的斜率是,則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 A. B. C. D.參考答案:D6.右邊程序執(zhí)行后輸出的結(jié)果是(
)A.
B.
C.
D.
參考答案:D
解析:7.在等差數(shù)列中,,,則等于(
)A.19
B.50
C.100
D.120
參考答案:C略8.已知函數(shù)f(x)=ex+的圖象在點(diǎn)(0,f(0))處的切線與直線x﹣my+4=0垂直,則實(shí)數(shù)m的值為()A.﹣3 B.3 C.﹣ D.參考答案:A【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程.【分析】由出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),得到f′(0),再由兩直線垂直與斜率的關(guān)系求得m值.【解答】解:由f(x)=ex+,得f′(x)=,則f′(0)=e0+2=3,∵函數(shù)f(x)=ex+的圖象在點(diǎn)(0,f(0))處的切線與直線x﹣my+4=0垂直,∴,則m=﹣3.故選:A.9.若不等式(a﹣2)x2+2(a﹣2)x﹣4<0對(duì)任意實(shí)數(shù)x均成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(﹣2,2] B.[﹣2,2] C.(2,+∞) D.(﹣∞,2]參考答案:A【考點(diǎn)】函數(shù)最值的應(yīng)用.【分析】分類討論,結(jié)合不等式(a﹣2)x2+2(a﹣2)x﹣4<0對(duì)任意實(shí)數(shù)x均成立,利用函數(shù)的圖象,建立不等式,即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解答】解:a=2時(shí),不等式可化為﹣4<0對(duì)任意實(shí)數(shù)x均成立;a≠2時(shí),不等式(a﹣2)x2+2(a﹣2)x﹣4<0對(duì)任意實(shí)數(shù)x均成立,等價(jià)于,∴﹣2<a<2.綜上知,實(shí)數(shù)a的取值范圍是(﹣2,2].故選A.【點(diǎn)評(píng)】本題考查恒成立問題,考查解不等式,考查分類討論的數(shù)學(xué)思想,考查學(xué)生的計(jì)算能力,屬于中檔題.10.已知非零向量、滿足向量與向量的夾角為,那么下列結(jié)論中一定成立的是(
)A.
B.
C.
D.參考答案:B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.
=
.參考答案:12.拋物線x2=y上一點(diǎn)到直線2x﹣y﹣4=0的距離最短的點(diǎn)的坐標(biāo)是.參考答案:(1,1)【考點(diǎn)】拋物線的簡單性質(zhì).【分析】設(shè)拋物線y=x2上一點(diǎn)為A(x0,x02),求出點(diǎn)A(x0,x02)到直線2x﹣y﹣4=0的距離,利用配方法,由此能求出拋物線y=x2上一點(diǎn)到直線2x﹣y﹣4=0的距離最短的點(diǎn)的坐標(biāo).【解答】解:設(shè)拋物線y=x2上一點(diǎn)為A(x0,x02),點(diǎn)A(x0,x02)到直線2x﹣y﹣4=0的距離d==|(x0﹣1)2+3|,∴當(dāng)x0=1時(shí),即當(dāng)A(1,1)時(shí),拋物線y=x2上一點(diǎn)到直線2x﹣y﹣4=0的距離最短.故答案為:(1,1).13.已知復(fù)數(shù)z滿足(i為虛數(shù)單位),則________.參考答案:【分析】把已知等式變形,再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡得答案.【詳解】由題意,復(fù)數(shù),可得,所以.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,考查復(fù)數(shù)的基本概念,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.14.函數(shù)f(x)=x3+ax﹣2在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)是增函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
.參考答案:[﹣3,+∞)考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.專題:計(jì)算題.分析:求出f′(x),因?yàn)橐蠛瘮?shù)的增區(qū)間,所以令f′(x)大于0,然后討論a的正負(fù)分別求出x的范圍,根據(jù)函數(shù)在區(qū)間(1,+∞)上是增函數(shù)列出關(guān)于a的不等式,求出a的范圍即可.解答: 解:f′(x)=3x2+a,令f′(x)=3x2+a>0即x2>﹣,當(dāng)a≥0,x∈R;當(dāng)a<0時(shí),解得x>,或x<﹣;因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)是增函數(shù),所以≤1,解得a≥﹣3,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是[﹣3,+∞)故答案為:[﹣3,+∞)點(diǎn)評(píng):本題主要考查導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系,即當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增,當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減.會(huì)利用不等式解集的端點(diǎn)大小列出不等式求字母的取值范圍,是一道綜合題.15.在平面直角坐標(biāo)系xoy中,A,B是圓x2+y2=4上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且AB=2,則線段AB中點(diǎn)M的軌跡方程為
.參考答案:x2+y2=3【考點(diǎn)】軌跡方程.【分析】由題意,OM⊥AB,OM==,即可求出線段AB中點(diǎn)M的軌跡方程.【解答】解:由題意,OM⊥AB,OM==,∴線段AB中點(diǎn)M的軌跡方程為x2+y2=3,故答案為x2+y2=3.【點(diǎn)評(píng)】本題考查軌跡方程,考查垂徑定理的運(yùn)用,比較基礎(chǔ).16.一個(gè)幾何體的三視圖及其尺寸(單位:)如圖所示,則該幾何體的表面積為__________.參考答案:根據(jù)三視圖可知該幾何體是一個(gè)正四棱錐,底面邊長為,側(cè)高為,則該幾何體的側(cè)表面,底面積.故該幾何體的表面積.17.小軍、小燕和小明是同班同學(xué),假設(shè)他們?nèi)嗽缟系叫O群蟮目赡苄允窍嗤?,則事件“小燕比小明先到校”的概率是________.參考答案:三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.(Ⅰ)在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程是(為參數(shù),),以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系.(1)寫出的極坐標(biāo)方程;(2)若為曲線上的兩點(diǎn),且,求的范圍.參考答案:.(Ⅰ)(1)直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),曲線的直角坐標(biāo)方程:.(2)把直線的參數(shù)方程代入,得,,,根據(jù)直線參數(shù)的幾何意義,,得或.又因?yàn)?,所?19.設(shè)是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn).(1)求a與b的關(guān)系式(用a表示b)(2)求的單調(diào)區(qū)間;(3)設(shè),若存在,使得成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.參考答案:(1);(2)①當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增區(qū)間為:;單調(diào)遞減區(qū)間為:,;②當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增區(qū)間為:;單調(diào)遞減區(qū)間為:,;(3).試題分析:(1)解決類似的問題時(shí),注意區(qū)分函數(shù)的最值和極值.求函數(shù)的最值時(shí),要先求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)使的點(diǎn),再計(jì)算函數(shù)在區(qū)間內(nèi)所有使的點(diǎn)和區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值,最后比較即得.(2)第二問關(guān)鍵是分離參數(shù),把所求問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值問題.(3)若可導(dǎo)函數(shù)在指定的區(qū)間上單調(diào)遞增(減),求參數(shù)問題,可轉(zhuǎn)化為恒成立,從而構(gòu)建不等式,要注意“=”是否可以取到.試題解析:(1)∵∴由題意得:,即,∴且令得,∵是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn).∴,即故與的關(guān)系式(2)①當(dāng)時(shí),,由得單調(diào)遞增區(qū)間為:;由得單調(diào)遞減區(qū)間:,;②當(dāng)時(shí),,由得單調(diào)遞增區(qū)間為:;由得單調(diào)遞減區(qū)間為:,;(3)由(2)知:當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,,在上的值域?yàn)橐字谏鲜窃龊瘮?shù)在上的值域?yàn)橛捎?,又因?yàn)橐嬖?,使得成立,所以必須且只須,解得:所以:的取值范圍為考點(diǎn):(1)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值;(2)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.(3)函數(shù)的恒成立問題.20.設(shè)數(shù)列{an}滿足,且點(diǎn)在直線上,數(shù)列{bn}滿足:,.(1)數(shù)列{an}、{bn}的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn,求Tn.參考答案:(Ⅰ);(Ⅱ).【分析】(1)利用等差數(shù)列的性質(zhì)求數(shù)列的通項(xiàng)公式,利用等比數(shù)列的性質(zhì)求的通項(xiàng)公式.(2)由題得,再利用分組求和、錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】(1)是以為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列,,,
是以為首項(xiàng),3為公比的等比數(shù)列,。(2)由(1)知,設(shè)的前項(xiàng)和為①②①—②得
,,所以。設(shè)的前項(xiàng)和為,當(dāng)為偶數(shù)時(shí),,當(dāng)為奇數(shù)時(shí),為偶數(shù),,?!军c(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列等比數(shù)列的判定和通項(xiàng)的求法,考查錯(cuò)位相減法、分組求和法求數(shù)列的前n項(xiàng)和,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理計(jì)算能力.21.(本小題滿分14分)調(diào)查某校100名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績情況,得下表:
一般良好優(yōu)秀男生(人)18女生(人)1017已知從這批學(xué)生中隨機(jī)抽取1名學(xué)生,抽到成績一般的男生的概率為0.15.(1)求的值;(2)若用分層抽樣的方法,從這批學(xué)生中隨機(jī)抽取20名,問應(yīng)在優(yōu)秀學(xué)生中抽多少名?(3)已知,優(yōu)秀學(xué)生中男生不少于女生的概率.參考答案:解:(1)由題意可知,∴=15(人).
--------4分(2)由題意可知,優(yōu)秀人數(shù)為(人).設(shè)應(yīng)在優(yōu)秀中抽取人,則
,∴(人)所以應(yīng)在優(yōu)秀中抽8名
--------8分(3)由題意可知,,且,滿足條件的有(17,23),(18,22),(19,21),(20,20),(21,19),(22,18),共有6組.
設(shè)事件為“優(yōu)秀學(xué)生中男生不少于女生”,即,滿足條件的有(20,20),(21,19),(22,18)共有3組,所以
.即優(yōu)秀學(xué)生中女生少于男生的概率為.
-------14分略22.(22分,理科做文科不做)在四棱錐P-ABCD中,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD=60°,PA⊥平面ABCD,E為PD的中點(diǎn),PA=2AB=2.(1)求四棱錐P-ABCD的體積V;高&考%資(源#網(wǎng)wxc(2)若F為PC的中點(diǎn),求證PC⊥平面AEF;(3)求證CE∥平面PAB.參考答案:解:(Ⅰ)在Rt△ABC中,AB=1,∠BAC=60°,∴BC=,AC=2.在Rt△ACD中,AC=2,∠CAD=60°,∴CD=2,AD=4.∴SABCD=.……………2分則V=.………………4分(Ⅱ)∵PA=CA,F(xiàn)為PC的中點(diǎn),∴AF⊥PC.…7分∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥CD.∵AC⊥CD,PA∩AC=A,∴CD⊥平面PAC.∴CD⊥PC.∵E為PD中點(diǎn),F(xiàn)為PC中點(diǎn),∴EF∥CD.則EF⊥PC.
………8分∵AF∩EF=F,∴PC⊥平面AEF.……9分(Ⅲ)證法一:取AD中點(diǎn)M,連EM、CM,則EM∥PA.∵EM平面PAB,PA平面PAB,∴EM∥平面PAB.
………11分在Rt△ACD中,∠CAD=60°,AC=A
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