細分曲面造型及應用

細分曲面造型及應用第一頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三內容提要1背景2細分曲面簡介3尖銳特征造型4曲面混合5N邊洞填充63D布狀樣條曲線和曲面7法向插值與網格簡化8結論與展望2第二頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三背景參數(shù)曲面造型的困境物體復雜性受到限制曲面的3D網格逼近表示受關注3D醫(yī)學數(shù)據(jù)、3D散亂數(shù)據(jù)3D網格數(shù)據(jù)的有效表示

傳輸、存儲、編輯、變形等定位:算法研究3第三頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三2細分曲面簡介2.1細分方法發(fā)展歷史2.2什么是細分曲面?2.3細分方法研究內容2.4細分模式舉例4第四頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三2.1細分方法發(fā)展歷史1980年前后Chaikin曲線算法(1974)Catmull-Clark模式、Doo-Sabin特征分析（78）1990年前后Loop(1987)，Dyn-Levin-Sabin(1989,1990)Ball&Storry：Catmull-Clark曲面切平面連續(xù)1995年后~連續(xù)條件：Reif95,Zorin98,Prautzsch95,98多分辯率分析及應用:Lounsbery1994,Eck1995商業(yè)系統(tǒng)：Maya,Renderman,Lightwave3D等5第五頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三2.2

什么是細分曲面?初始控制網格插入新頂點拓撲規(guī)則(頂點/面分裂)計算新頂點位置幾何規(guī)則細分曲面網格序列的極限（圖2.1):細分模式=初始網格+拓撲規(guī)則+幾何規(guī)則

圖2.16第六頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三2.3細分方法研究內容新模式構造：高階光滑曲面、非流型曲面收斂性、連續(xù)性等理論造型方法：插值、各種特殊效果、光順細分曲面的邏輯運算：并、交、差，裁剪應用：大規(guī)模網格擬合及多分辨率表示與參數(shù)表示的溶合7第七頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三2.4例1:Catmull-Clark模式19781-4面分裂(圖2.2)V-頂點、E-頂點、F-頂點奇異點處一階光滑，正則情形為三次B樣條曲面圖例(圖2.3)圖2.2圖2.3Catmull-Clark曲面.8第八頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三2.5例2：Loop模式Loop19871-4面分裂(圖2.4)初始網格為三角網格奇異頂點處一階光滑圖例(圖2.5)圖2.41-4分裂圖2.5Loop曲面1/81/83/83/89第九頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三2.5例2：蝶形（Butterfly)模式蝶形模式初始網格為三角網格，1-4面分裂插值模式圖例(圖2.6)圖2.6圖例.-1/16-1/161/8-1/16-1/161/81/21/210第十頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三2.5例4：Doo-Sabin模式Doo-Sabin模式頂點分裂一階光滑正則網格時為二次B樣條曲面圖例(圖2.11)圖2.7頂點分裂圖2.7圖例.11第十一頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三3尖銳特征造型3.1什么是尖銳特征造型？3.2已有方法介紹3.3基于網格拓撲修改的方法3.4小結12第十二頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三3.1

什么是尖銳特征？曲面上不光滑點構成的集合尖銳特征分類折痕

尖刺錐角13第十三頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三3.2

已有方法已有方法HuguesHoppeetal(1994)DeRoseetal(1998)Sedebergetal（1998）Habbib&Warren方法(1999）存在問題都是基于細分規(guī)則修改：不直觀，不易推廣到其它模式，復雜，需要重新考慮連續(xù)性問題14第十四頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三3.3一種基于網格拓撲修改的方法思想尖銳特征的內部頂點和邊

邊界頂點和邊步驟標記：標記各類特殊效果頂點分裂：特殊效果的頂點和邊分裂細分：以新網格生成細分曲面15第十五頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三3.3.1標記圖3.1頂點標記錐點角點折痕內點折痕端點16第十六頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三3.3.2分裂（1）圖3.2折痕(Crease)被標記為網格頂點鏈(圖3.2)內部折痕點分裂為2折痕的每條邊分裂為2折痕端點內部：分裂為1，邊界角點邊界：分裂為2，邊界角點尖刺(Darts)：折痕端點17第十七頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三3.3.2分裂（2）錐點分裂為n個頂點(n為頂點的鄰邊數(shù),圖3.3)多邊形處理(圖3.4)圖3.3錐頂點分裂圖3.4出現(xiàn)非四邊形情形18第十八頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三3.3.2分裂（3）內部角點(Corners)各條折痕其余部分與3.2節(jié)類似角點處理(圖3.5折痕數(shù)為3)圖3.519第十九頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三3.3.2圖例（1）折痕:圖3.6開折痕；圖表3.7閉折痕圖3.6開折痕的初始控制網格及效果圖圖3.7閉折痕20第二十頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三3.3.2圖例（2）錐：圖3.8圖3.8錐的初始控制網格及效果圖21第二十一頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三3.3.2圖例（3）角:圖3.9圖3.9角的初始控制網格及效果圖22第二十二頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三3.3.3連續(xù)性討論在折痕上是連續(xù)的沿折痕是不光滑的非特尖銳特征處的連續(xù)階由標準細分模式確定23第二十三頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三3.4小結特點直觀：基于網格拓撲修改簡單：不改變子分規(guī)則一致：歸為邊界的生成易推廣：推廣到其它模式有效：生成大部分效果24第二十四頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三4基于細分方法

的參數(shù)曲面混合4.1曲面混合4.2基于輪廓刪除的細分模式4.3基于細分曲面的混合4.4圖例4.5小結25第二十五頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三

4.1

什么是曲面混合？在兩片或多片曲面之間進行平滑過渡基曲面,混合曲面滾動球方法（RollingBalls):混合曲面次數(shù)偏高，往往只能得到近似解參數(shù)曲面方法:不適于三片以上曲面片間的混合隱式曲面方法:構造與計算都比較復雜PDE方法:混合曲面形狀難控制26第二十六頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三

4.2

基于輪廓刪除的細分模式以Catmull-Clark模式為基模式方法描述(圖4.1)采用Catmull-Clark方法作一次細分刪除所得網格的邊界邊、頂點、面（輪廓）圖4.1初始控制網格；Catmull-Clark細分；刪除輪廓.27第二十七頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三

4.2.1

圖例

圖4.3帶凹角的曲面.

圖4.2逐片光滑曲面.

逐段光滑曲面片(圖4.2)與凹角曲面片(圖4.3)28第二十八頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三

4.2.2

輪廓刪除法生成曲面的性質是Catmull-Clark曲面的一部分（圖4.4）對正則網格，是雙三次B樣條曲面

圖4.4新曲面與控制網格的對應.29第二十九頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三

4.3

基于細分曲面的混合

圖4.5網格構造.問題描述基曲面為三次Ｂ樣條構造細分混合曲面初始網格構造（圖4.5)從基曲面上各取三行頂點加入若干新頂點新頂點計算30第三十頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三

4.4

圖例

圖４.6三片曲面混合.圖４.7六管道混合控制網格.三張曲面片的混合(圖4.6)、六通管(圖4.7)31第三十一頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三

4.5

小結基于輪廓刪除的邊界生成方法對三次B樣條曲面進行混合,拼接新頂點計算：啟發(fā)式+交互32第三十二頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三5基于細分方法

的參數(shù)曲面

邊洞填充5.1N邊洞填充回顧5.2基于細分曲面的N邊洞填充5.3基于細分曲面的N邊洞填充5.4實驗結果5.5小結33第三十三頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三

5.1

N邊洞填充回顧(1)復雜物體造型時，需要由多片曲面拼接，從而導致N邊洞(圖5.1-5.3)圖5.1圖5.2圖5.334第三十四頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三

5.1

N邊洞填充回顧(2)基于參數(shù)曲面的兩類方法四邊或三邊片拼接方法（Du1990,Gregory1989，1994，1999,Varady1991,Ye1996,Wu1996）N邊曲面片拼接方法（Charrot1987,Hosaka1984,Loop1989,Schichtel1993,Loop1990,Kuriyama1994）存在問題:相容性問題，N邊域參數(shù)化問題35第三十五頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三以細分曲面為填充曲面的兩個方法AdiLevin方法:修改Catmull-Clark細分規(guī)則Storry&Ball方法:基曲面是三次Hermite曲面，通過構造初始控制網格實現(xiàn)插值存在的問題:前者需要修改細分規(guī)則涉及復雜的連續(xù)性分析;兩種方法在拼接處只達到一階連續(xù)5.1

N邊洞填充回顧(3)36第三十六頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三

5.2

基于細分曲面的N邊洞填充問題描述參數(shù)曲面為三次Ｂ樣條構造細分填充曲面方法取基曲面前三行頂點增加1個新頂點，連接關系如圖5.4所示圖5.4(a)N邊洞;(b)細分曲面的初始控制網格.(a)(b)37第三十七頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三

5.3

基于細分曲面的N邊洞填充問題描述與構造方法與填充完全相同中心頂點采用Ｐrautzsch-Umlauf權值圖5.5與奇頂點相鄰的邊點與面點模板.比較38第三十八頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三

5.4

實驗結果圖5.7六邊洞填充.

圖5.6三邊洞填充.圖5.8八邊洞連續(xù)填充.三邊洞與六邊洞填充(圖5.6-5.7)八邊洞填充(圖5.8)39第三十九頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三

5.5

小結三次B樣條曲面的N邊洞和連續(xù)填充基曲面與填充曲面二階連續(xù)拼接新頂點計算：啟發(fā)式+交互40第四十頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三6離散布狀樣條6.1背景介紹6.2離散曲率6.3離散布狀樣條6.4離散Frenet標架6.53D離散布狀樣條曲線6.6開網格上的離散布狀樣條曲面6.7小結41第四十一頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三

6.1背景介紹3D曲線造型曲面造型,娛樂設施(過山車),高速公路構造光順曲線曲面的兩種方法最小能量方法:Moreton92,Welch&Witkin92曲率分布方法Brunnett&Kiefer94:分段多項式曲率函數(shù),Frey&Field00：單調曲率的圓錐曲線段,Meek91:布狀樣條.42第四十二頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三

6.2

離散曲率(1)多邊形離散曲率估計(頂點曲率)圖6.1多邊形和曲率圓.

圖6.2凹和凸頂點.43第四十三頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三

6.2

離散曲率(2)網格離散平均曲率估計（Desbrun2000)平均曲率為如下向量模長，是一個積分均值

圖6.3頂點I的1-鄰域及邊有兩對角.44第四十四頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三

6.3離散布狀（Clothoid)樣條(1)離散布狀樣條曲線(Schneider&Kobbelt1999)

,,稱為關于的PDCS(圖6.4)，如果均勻參數(shù)化：，線性分布,存在問題:只能得到平面曲線

圖6.4新舊多邊形45第四十五頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三

6.3離散布狀樣條(2)

閉網格上的離散布狀樣條曲面（DCSS)已知網格和

且插值頂點和內部頂點

稱為的DCSS，如果(圖6.5)內部頂點均勻參數(shù)化平均曲率是逐片線性分布的存在問題:不能自然推廣到開網格上

圖6.5白色：新網格;黃色:舊網格46第四十六頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三

6.4

離散Frenet標架多邊形離散Frenet標架定義為(圖6.6):圖6.6離散Frenet標架.47第四十七頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三

6.5

3D離散布狀樣條曲線(1)離散曲率密切向量3D離散布狀樣條(3DDCS)均勻參化最小二乘意義下離散曲率密切向量線性分布取極小值48第四十八頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三

6.5

3D離散布狀樣條曲線(2)構造3DDCS的迭代算法(從3D多邊形構造)對作一次r倍線性線分得從到重復如下步驟(圖6.7,6.8)求中插值頂點的離散曲率密切法向估計的離散Frenet標架所有的頂點個數(shù)相同:

圖6.7新頂點計算

圖6.8流程求曲率49第四十九頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三

6.5

3D離散布狀樣條曲線(3)圖例

圖6.93DDCS

圖6.10開3DDCS

圖6.11PDCS50第五十頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三

6.5

3D離散布狀樣條曲線(3)迭代算法的數(shù)值收斂性誤差:相應頂點距離之和迭代次數(shù)與平均誤差關系(圖6.12),一次細分

PDCS3DDCS3DDCS偶數(shù)序列

圖6.12數(shù)值收斂性51第五十一頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三

6.5

開網格上的離散布狀樣條曲面(1)定義與閉網格類似,但邊界曲線定義成3DDCS構造基本與Schneider&Kobbelt方法相同,但采用Desbrun方法增強魯棒性

52第五十二頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三

6.5

開網格上的離散布狀樣條曲面(2)

圖6.13(a-c)開網格上的DCSS;(d-e)Loop曲面;(f-g)蝶形曲面53第五十三頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三

6.6

小結定義離散Frenet標架和離散曲率密切向量將PDCS推廣到3DDCS在數(shù)值上對算法的收斂作了分析在此基礎上構造開網格上的DCSS比Loop曲面更能保持特征；比蝶形曲面更光順用途構造光順離散曲面生成光順控制頂點54第五十四頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三7應用7.1法向插值7.2二次B樣條頂點和法向插值7.3三次B樣條頂點和法向插值7.4三角網格簡化7.5一個三角網格簡化算法7.6小結

55第五十五頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三

7.1

法向插值法向插值應用顯示屏曝光用的校正透鏡[畢2000，曹2000]曲線和曲面形狀的設計[Biermann2000]傳統(tǒng)參數(shù)方法反求頂點實現(xiàn)位置插值[Farin1997]逐片構造實現(xiàn)法向插值[曹2000]存在問題把法向分解為切向，不唯一,一階連續(xù)56第五十六頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三

7.2

二次B樣條頂點與法向插值問題描述：（圖7.1)矩形網格+頂點法向N求:二次B樣條插值曲面二次B樣條曲面性質

過四邊形面的中心(圖7.2)中心點處法向為四邊形的平均法向圖7.1頂點與法向圖7.2四邊形57第五十七頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三

7.2.1

方法(圖7.3)設網格與

有相同拓撲求W使的四邊形面中心對應V中指定頂點以Doo-Sabin模式對細分得旋轉的與插值頂點相對應的四邊形面,但保持中心不變DS細分圖7.3流程58第五十八頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三

7.2.2

實驗結果兩組不同法向的結果（圖7.4）分片構造,避免求解大型線性方程組(圖7.5）圖7.4單片插值圖7.5分片構造59第五十九頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三

7.3三次B樣條頂點與法向插值問題描述：矩形網格V+頂點法向N求:三次B樣條插值曲面三次B樣條曲面性質

過模板中心(圖7.6)中心點處法向為四邊形的平均法向圖7.6模板60第六十頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三

7.3.1

方法(圖7.7)設網格與

有相同拓撲求對作Catmull-Clark細分得對作Doo-Sabin細分得旋轉中模板使插值法向CC細分圖7.7流程DS細分61第六十一頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三

7.3.2

實驗結果三次B樣條插值曲面(圖7.8)法向分布與光順(圖7.9)圖7.8單片插值圖7.9分片構造62第六十二頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三

7.4

三角網格簡化(1)三角網格簡化分類(按簡化網格頂點的構成，圖7.10)無新頂點[Kalvin1996,馬小虎1998,Schroeder1992,周昆1998]全部新頂點[GregTurk92,Eck1995混合型[Hoppe93,96,97]圖7.10分類圖示63第六十三頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三

7.4

三角網格簡