拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程

拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程當(dāng)前第1頁\共有56頁\編于星期二\7點問題探究：當(dāng)e=1時，即|MF|=|MH|

，點M的軌跡是什么？探究？

可以發(fā)現(xiàn),點M隨著H運動的過程中,始終有|MF|=|MH|,即點M與點F和定直線l的距離相等.點M生成的軌跡是曲線C的形狀.(如圖)

我們把這樣的一條曲線叫做拋物線.M·Fl·e=1幾何畫板觀察當(dāng)前第2頁\共有56頁\編于星期二\7點當(dāng)前第3頁\共有56頁\編于星期二\7點拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程當(dāng)前第4頁\共有56頁\編于星期二\7點M·Fl·e=1

在平面內(nèi),與一個定點F和一條定直線l(不在直線上）的距離相等的點的軌跡叫拋物線.點F叫拋物線的焦點,直線l叫拋物線的準(zhǔn)線|MF|=dd為M到l的距離準(zhǔn)線焦點d一、拋物線的定義:當(dāng)前第5頁\共有56頁\編于星期二\7點M·Fl·e=1二、標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)

思考：拋物線是軸對稱圖形嗎？怎樣建立坐標(biāo)系,才能使焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程更簡捷?當(dāng)前第6頁\共有56頁\編于星期二\7點1.建系2.設(shè)點3.列式4.化簡l解：以過F且垂直于l的直線為x軸,垂足為K.以F,K的中點O為坐標(biāo)原點建立直角坐標(biāo)系xoy.兩邊平方,整理得xKyoM(x,y)F依題意得5.檢驗這就是所求的軌跡方程.y如圖，若以準(zhǔn)線所在直線為y軸，則焦點F(P,0),準(zhǔn)線L:x=0

由拋物線的定義，可導(dǎo)出拋物線方程為y2=2p(x-)(p＞0）p2當(dāng)前第7頁\共有56頁\編于星期二\7點三、標(biāo)準(zhǔn)方程

把方程

y2=2px(p＞0)叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.其中

p為正常數(shù),表示焦點在

x軸正半軸上.且

p的幾何意義是:右焦點是：左準(zhǔn)線方程為:

一條拋物線，由于它在坐標(biāo)平面內(nèi)的位置不同，方程也不同，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式.lxKyoM(x,y)F焦點到準(zhǔn)線的距離當(dāng)前第8頁\共有56頁\編于星期二\7點yxo﹒﹒yxoyxo﹒yxo﹒

圖形

焦點

準(zhǔn)線

標(biāo)準(zhǔn)方程第一:一次項的變量為x(或y),則x軸(或y軸)為拋物線的對稱軸,焦點就在對稱軸上.第二:一次項的系數(shù)的正負(fù)決定了開口方向.

不容易錯的最好方法是看看x(或y)的取值范圍即：焦點與一次項變量相同；正負(fù)決定開口方向！

當(dāng)前第9頁\共有56頁\編于星期二\7點例11）拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2=6x，求焦點和準(zhǔn)線方程；2）拋物線的方程是y=－6x2,求焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；3）拋物線的焦點坐標(biāo)是F（0，-2）,求它的標(biāo)準(zhǔn)方程。解:因焦點在y軸的負(fù)半軸上,且p=4,故其標(biāo)準(zhǔn)方程為:x=-8y232解：因為ｐ＝３，故焦點坐標(biāo)為（－,０）32準(zhǔn)線方程為x=-－.解:方程可化為:故焦點坐標(biāo)為,準(zhǔn)線方程為當(dāng)前第10頁\共有56頁\編于星期二\7點焦點坐標(biāo)準(zhǔn)線方程（1）（2）（3）（4）（5，0）x=-5（0，—）18y=-—188x=—5（-—，0）58（0，-2）y=2練習(xí)1求下列拋物線的焦點和準(zhǔn)線方程（1）y2=20x（2）y=2x2（3）2y2+5x=0（4）x2+8y=0注意：求拋物線的焦點一定要先把拋物線化為標(biāo)準(zhǔn)形式當(dāng)前第11頁\共有56頁\編于星期二\7點練習(xí)2拋物線的頂點是坐標(biāo)原點，根據(jù)下列條件，分別寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）焦點是F（3，0）；（2）準(zhǔn)線方程是x=；（3）焦點到準(zhǔn)線的距離是2。y2=12xy2=xy2=4x、y2=-4x、x2=4y或x2=-4y反思：已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程求其焦點和準(zhǔn)線方程先定位，后定量當(dāng)前第12頁\共有56頁\編于星期二\7點．AOyx解:(1)當(dāng)焦點在y軸正半軸上時，把A(-3,2)代入x2=2py，得p=

(2)當(dāng)焦點在x軸負(fù)半軸上時,把A(-3,2)代入y2=-2px，得p=∴拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=y或y2=x

。練習(xí)3拋物線經(jīng)過點P(4,－2)，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。

提示：注意到P為第四象限的點，所以可以設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2px或x2=-2py例2.求頂點是坐標(biāo)原點,且過A(-3,2)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.當(dāng)前第13頁\共有56頁\編于星期二\7點4a1∴焦點坐標(biāo)是（，0），準(zhǔn)線方程是：x=4a1例3已知拋物線方程為x=ay2（a≠0)，討論拋物線的開口方向、焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程？解：拋物線的方程化為：y2=x1a即2p=1

a②當(dāng)a<0時,,拋物線的開口向左p2=14a∴焦點坐標(biāo)是（，0），準(zhǔn)線方程是：x=4a114a①當(dāng)a>0時,,拋物線的開口向右p2=14a當(dāng)前第14頁\共有56頁\編于星期二\7點

思考:M是拋物線y2=2px（p＞0）上一點，若點M

的橫坐標(biāo)為x0，則x0+—2pOyxFM這就是拋物線的焦半徑公式!yxoFMyxoFMyxoFMx0–(–—)2p當(dāng)前第15頁\共有56頁\編于星期二\7點例4拋物線的焦點在x軸上，拋物線上的橫坐標(biāo)為3的點M到焦點的距離等于6，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.y2=2px(p>0)由拋物線的定義知3-(-)=6,即p=6.數(shù)形結(jié)合,用定義轉(zhuǎn)化條件,解:因為是焦點在x

軸上且過M點的拋物線,所以設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程為所求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=12x變式：拋物線的焦點在x軸上，拋物線上的點M(3,m)到焦點的距離等于6，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.OyxFMx0–(–—)2p當(dāng)前第16頁\共有56頁\編于星期二\7點過拋物線的焦點F作x軸的垂線交拋物線與Ａ、Ｂ兩點，且。34頁作業(yè)9當(dāng)前第17頁\共有56頁\編于星期二\7點變式2平面上到定點和到定直線距離相等的點的軌跡為()(A)直線(B)拋物線(C)雙曲線(D)橢圓變式3點M與點F(2，0)的距離比它到直線l:x+4=0的距離小2,求點M的軌跡方程?例5平面上到定點和到定直線距離相等的點的軌跡為()(A)直線(B)拋物線(C)雙曲線(D)橢圓變式1平面上到定點和到定直線距離相等的點的軌跡為()(A)直線(B)拋物線(C)雙曲線(D)橢圓OyxFM35頁作業(yè)11當(dāng)前第18頁\共有56頁\編于星期二\7點第2課時當(dāng)前第19頁\共有56頁\編于星期二\7點準(zhǔn)線方程焦點坐標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)方程焦點位置

圖

形不同位置的拋物線

x軸的正方向

x軸的負(fù)方向

y軸的正方向

y軸的負(fù)方向y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2pyF(----yxo﹒﹒yxoyxo﹒yxo﹒當(dāng)前第20頁\共有56頁\編于星期二\7點OyxFMyxoFMyxoFMyxoFMx0–(–—)2p拋物線的焦半徑公式當(dāng)前第21頁\共有56頁\編于星期二\7點例1拋物線的焦點在x軸上，拋物線上的橫坐標(biāo)為-3的點M到焦點的距離等于5，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.y2=-8x變式１：拋物線的焦點在x軸上，拋物線上的點M(-3,m)到焦點的距離等于5，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并求m的值.OyxFM—–x0

2p變式２：在拋物線y2=-8x上，到焦點的距離等于5的點的坐標(biāo).35頁作業(yè)10當(dāng)前第22頁\共有56頁\編于星期二\7點當(dāng)前第23頁\共有56頁\編于星期二\7點36頁作業(yè)8(改)35頁作業(yè)5（改）當(dāng)前第24頁\共有56頁\編于星期二\7點37頁作業(yè)7（改）練習(xí)當(dāng)前第25頁\共有56頁\編于星期二\7點后備練習(xí).已知拋物線x2=4y的焦點F和點A(-1，8)，P為拋物線上一點，則|PA|+|PF|的最小值是()(A)16(B)6(C)12(D)9D當(dāng)前第26頁\共有56頁\編于星期二\7點第3課時當(dāng)前第27頁\共有56頁\編于星期二\7點直線與拋物線位置關(guān)系種類xyO1、相離:2、相切:3、相交:（一個交點，兩個交點）（一個交點）（沒有交點）當(dāng)前第28頁\共有56頁\編于星期二\7點(0,1)當(dāng)前第29頁\共有56頁\編于星期二\7點判斷直線是否與拋物線的對稱軸平行不平行直線與拋物線相交(一個交點)平行

計算判別式>0=0<0相交相切相離(0,1)當(dāng)前第30頁\共有56頁\編于星期二\7點K=1/2K=0K=-1若直線l與拋物線有公共點,l在y軸上截距的最小值?當(dāng)前第31頁\共有56頁\編于星期二\7點變式1:已知實數(shù)x,y滿足方程y2=4x,求函數(shù)的最值變式3:點(x,y)在拋物線y2=4x上運動,求函數(shù)z=x-y的最值.本題轉(zhuǎn)化為過定點(-2,1)的直線與拋物線有公共點時斜率的最值問題.本題轉(zhuǎn)化為直線y=x-z與拋物線有公共點時z的最值問題.無最大值變式2:點(x,y)在橢圓x2/4+y2=1上運動,求點(0,-2)與橢圓上任一點連線的斜率k的范圍.當(dāng)前第32頁\共有56頁\編于星期二\7點當(dāng)前第33頁\共有56頁\編于星期二\7點當(dāng)前第34頁\共有56頁\編于星期二\7點第4課時當(dāng)前第35頁\共有56頁\編于星期二\7點例１斜率為1的直線經(jīng)過拋物線的焦點,與拋物線相交于A,B,求線段AB的長。

yxo∴|AB|==8方法(1)

解：如圖:由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可知,拋物線的焦點坐標(biāo)為F(1,0),所以直線AB的方程為即A,B的坐標(biāo)分別為:

(,)(,)

解得,

得①②由代入方程①問題(1)試問還有其他方法或更簡捷一點的解法么?方法(2)

(弦長公式)|AB|=當(dāng)前第36頁\共有56頁\編于星期二\7點yxo方法(3)由拋物線定義|AB|=|AF|+|BF|問題(1)試問還有其他方法或更簡捷一點的解法么?

=|AA′|+|BB′|==8

A′B′方法(４)焦半徑公式例１斜率為1的直線經(jīng)過拋物線的焦點,與拋物線相交于A,B,求線段AB的長。

當(dāng)前第37頁\共有56頁\編于星期二\7點|PF|=x0+p/2FP拋物線的焦半徑公式：FPFPFP|PF|=-x0+p/2|PF|=y0+p/2|PF|=-y0+p/2當(dāng)前第38頁\共有56頁\編于星期二\7點xyOFABB’A’方法(４)焦半徑公式例１斜率為1的直線經(jīng)過拋物線的焦點,與拋物線相交于A,B,求線段AB的長。

當(dāng)前第39頁\共有56頁\編于星期二\7點§

拋物線的焦點弦

問題（2）從方法（4）中你能得到什么結(jié)論？

過拋物線y2=2px(p>0)的焦點的直線交拋物線于A,B兩點則|AB|=問題（3）能否把例（2）推廣到一般性的命題呢？

斜率為k的直線經(jīng)過拋物線(p>0)的焦點，與拋物線相交于A，B，求線段AB的長。（用k,p表示）解：設(shè)直線AB的方程為

x1+x2+p∴|AB|=即:()y2=2px消y得:由當(dāng)前第40頁\共有56頁\編于星期二\7點斜率為k的直線經(jīng)過拋物線(p>0)的焦點，與拋物線相交于A，B，求線段AB的長。（用k,p表示）解：設(shè)直線AB的方程為()

y2=2px

消y得:

即:

|AB|=

由此可得,即通徑.問題(4):把上題中的斜率k換成直線的傾斜角呢?(0<<)通徑是拋物線的焦點弦中最短的弦.xOyFP(分類討論合并，即分斜率存在或不存在)當(dāng)前第41頁\共有56頁\編于星期二\7點練習(xí).過拋物線y2=4x的焦點，作直線L交拋

物線于A、B兩點，若線段AB中點的橫

坐標(biāo)為3，則|AB|=______.8焦點弦的長度公式當(dāng)前第42頁\共有56頁\編于星期二\7點焦半徑公式例１斜率為1的直線經(jīng)過拋物線的焦點,與拋物線相交于A,B,求線段AB的長。

當(dāng)前第43頁\共有56頁\編于星期二\7點斜率為k的直線經(jīng)過拋物線(p>0)的焦點，與拋物線相交于A，B，求線段AB的長。（用k,p表示）解：設(shè)直線AB的方程為()

y2=2px

消y得:

即:

命題:如果過拋物線(p>0)的焦點的一條直線和此拋物線相交于A(x1,y1),B(x2,y2)，則x1x2=p2/4,y1y2=-p2當(dāng)前第44頁\共有56頁\編于星期二\7點第5課時當(dāng)前第45頁\共有56頁\編于星期二\7點xy問題(6):過拋物線(p>0)焦點的一條直線與它相交于A,B兩點,經(jīng)過A和拋物線頂點的直線交準(zhǔn)線于點C

(2001高考題－作業(yè)本３９頁第８題)設(shè)拋物線(p>0)的焦點F,經(jīng)過F的直線交拋物線A,B兩點,點C在拋物線的準(zhǔn)線上,且BC∥x軸,證明:AC經(jīng)過原點O.那么BC與拋物線的對稱軸有什么關(guān)系呢?(證KOC=KOA)∴BC平行于對稱軸.(的結(jié)論略證)

當(dāng)時

(x2,y2)(x1,y1)則直線OA的方程證明:設(shè)A(),B(),C()當(dāng)前第46頁\共有56頁\編于星期二\7點問題(6):有什么幾何意義呢?

(x1,y1)(x2,y2)xyF′B′A′結(jié)論:Q(2)以Q為圓心,以A′B′為直徑的圓切AB于F點.

△AQA′與△AQF全等當(dāng)前第47頁\共有56頁\編于星期二\7點問題(6):有什么幾何意義呢?(x1,y1)(x2,y2)xyF′B′A′結(jié)論:Q(2)以Q為圓心,以為直