材料力學(xué)第五章梁彎曲時的位移演示文稿

材料力學(xué)第五章梁彎曲時的位移演示文稿當(dāng)前第1頁\共有98頁\編于星期三\3點一.概述第五章梁彎曲時的位移三.撓曲線近似微分方程四.疊加法計算梁的位移五.梁的剛度計算二.梁的位移─撓度及轉(zhuǎn)角能量法I-靜定結(jié)構(gòu)變形計算當(dāng)前第2頁\共有98頁\編于星期三\3點一.概述1.工程實踐中的彎曲變形問題在工程中，對某些受彎構(gòu)件，要求變形不能過大，即要求構(gòu)件有足夠的剛度，以保證正常工作。

在另外一些情況下，卻要求構(gòu)件具有較大的彈性變形，以滿足特定的工作需要。★變形過大的不利影響（工程實例）當(dāng)前第3頁\共有98頁\編于星期三\3點●搖臂鉆床的搖臂等變形過大，就會影響零件的加工精度，甚至?xí)霈F(xiàn)廢品。搖臂鉆床(自重、鉆頭等約束力影響）當(dāng)前第4頁\共有98頁\編于星期三\3點●橋式起重機的橫梁變形過大,則會使小車行走困難，出現(xiàn)爬坡現(xiàn)象?！駛鲃虞S的支座處轉(zhuǎn)角過大，軸承發(fā)生磨損。當(dāng)前第5頁\共有98頁\編于星期三\3點

●車輛上的板彈簧，要求有足夠大的變形，以緩解車輛受到的沖擊和振動作用?！镒冃蔚挠欣矫妫üこ虒嵗?/p>

●求解超靜定問題。當(dāng)前第6頁\共有98頁\編于星期三\3點二.梁的位移─撓度及轉(zhuǎn)角撓度w：橫截面形心處的鉛垂位移。轉(zhuǎn)角：橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)過的角度。梁對稱彎曲時用什么參數(shù)表示軸線的變形??當(dāng)前第7頁\共有98頁\編于星期三\3點xy撓度w：橫截面形心處的鉛垂位移。轉(zhuǎn)角：橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)過的角度。撓曲線撓曲線(deflectioncurve):變形后的軸線。當(dāng)前第8頁\共有98頁\編于星期三\3點★工程實例控制截面的撓度、控制橋墩的水平位移當(dāng)前第9頁\共有98頁\編于星期三\3點★工程中測量撓度的方法、儀器精密水準(zhǔn)儀、全站儀、GPS、機電百分表、光電方法等當(dāng)前第10頁\共有98頁\編于星期三\3點三.撓曲線近似微分方程1.撓曲線方程(deflectionequation)xy撓曲線撓曲線方程：轉(zhuǎn)角方程：當(dāng)前第11頁\共有98頁\編于星期三\3點

曲線

w=f(x)的曲率為梁純彎曲時曲率由幾何關(guān)系得當(dāng)前第12頁\共有98頁\編于星期三\3點問題的關(guān)鍵：考慮上式中的取正還是取負(fù)？考慮小變形條件：當(dāng)前第13頁\共有98頁\編于星期三\3點問題的關(guān)鍵：考慮上式中的取正還是取負(fù)？當(dāng)前第14頁\共有98頁\編于星期三\3點思考:與小撓度微分方程相對應(yīng)的坐標(biāo)系為？（）xxxyyy(a)(b)(c)教材中采用（a)圖坐標(biāo)系當(dāng)前第15頁\共有98頁\編于星期三\3點2.積分法求彎曲變形式中積分常數(shù)C、D由邊界條件確定●彎矩方程不分段時●彎矩方程分n段時，積分常數(shù)個數(shù)為2n由邊界條件確定的方程需要2n個方法的局限性：外力復(fù)雜或多跨靜定梁時計算量過大當(dāng)前第16頁\共有98頁\編于星期三\3點光滑連續(xù)條件：FC邊界條件√××約束條件:兩端鉸處撓度為零。當(dāng)前第17頁\共有98頁\編于星期三\3點鉸支座對位移的限制(A、B處撓度為零）連續(xù)光滑曲線(A、B處轉(zhuǎn)角、撓度唯一）邊界條件當(dāng)前第18頁\共有98頁\編于星期三\3點固定端約束對位移的影響：B處轉(zhuǎn)角、撓度?連續(xù)光滑曲線邊界條件當(dāng)前第19頁\共有98頁\編于星期三\3點例1.已知梁的抗彎剛度為EI。試求圖示簡支梁在均布載荷q作用下的轉(zhuǎn)角方程、撓曲線方程，并確定θmax和wmax。當(dāng)前第20頁\共有98頁\編于星期三\3點解：由邊界條件：得：當(dāng)前第21頁\共有98頁\編于星期三\3點最大轉(zhuǎn)角和最大撓度：θAθB（↓）（）★轉(zhuǎn)角為正時，表示其轉(zhuǎn)向和由x軸轉(zhuǎn)向y軸的時針相同；撓度為正時，表示其方向和y軸正向相同。當(dāng)前第22頁\共有98頁\編于星期三\3點例2.已知梁的抗彎剛度為EI。試求圖示懸臂梁在集中力P作用下的轉(zhuǎn)角方程、撓曲線方程，并確定θmax和wmax。當(dāng)前第23頁\共有98頁\編于星期三\3點解：由邊界條件：得：當(dāng)前第24頁\共有98頁\編于星期三\3點梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為：最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為：θB當(dāng)前第25頁\共有98頁\編于星期三\3點另解：邊界條件：當(dāng)前第26頁\共有98頁\編于星期三\3點梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為：最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為：θB當(dāng)前第27頁\共有98頁\編于星期三\3點例3已知梁的抗彎剛度為EI。試求圖示簡支梁在集中力F作用下的轉(zhuǎn)角方程、撓曲線方程，并確定θmax和wmax。當(dāng)前第28頁\共有98頁\編于星期三\3點解：由邊界條件：得：由對稱條件：得：思考：?當(dāng)前第29頁\共有98頁\編于星期三\3點AC段梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為：最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為：當(dāng)前第30頁\共有98頁\編于星期三\3點例4.已知梁的抗彎剛度為EI。試求圖示簡支梁的轉(zhuǎn)角方程、撓曲線方程，并確定θmax和wmax。(請同學(xué)課后思考）當(dāng)前第31頁\共有98頁\編于星期三\3點四.用疊加法計算梁的變形在材料服從胡克定律、且變形很小的前提下,載荷與它所引起的變形成線性關(guān)系。若計算幾個載荷共同作用下在某截面上引起的變形，則可分別計算各載荷單獨作用下的變形，然后疊加。當(dāng)梁上同時作用幾個載荷時，各個載荷所引起的變形是各自獨立的，互不影響。當(dāng)前第32頁\共有98頁\編于星期三\3點如圖示，要計算三種載荷作用下在某截面如C截面撓度，則可直接查表：各載荷單獨作用下的撓度，然后疊加（代數(shù)和）。如果不能直接查表，則要采用分段剛化等方法化成可查表形式。當(dāng)前第33頁\共有98頁\編于星期三\3點例5.用疊加法求當(dāng)前第34頁\共有98頁\編于星期三\3點解：將梁上的各載荷分別引起的位移疊加P361（）（）（）當(dāng)前第35頁\共有98頁\編于星期三\3點逐段剛化法：變形后：ABAB`

BCB`C`C點的位移為：wc當(dāng)前第36頁\共有98頁\編于星期三\3點當(dāng)前第37頁\共有98頁\編于星期三\3點例6.若圖示梁B端的轉(zhuǎn)角θB=0，求力偶矩m和P的關(guān)系？當(dāng)前第38頁\共有98頁\編于星期三\3點解：當(dāng)前第39頁\共有98頁\編于星期三\3點例7.求外伸梁C處的位移。LaCABP解：ABCP剛化EI=PCfc1BC引起的位移θc1剛化AB當(dāng)前第40頁\共有98頁\編于星期三\3點剛化BC，

AB部分引起的位移CABP剛化EI=fc2θB2PPaθB2當(dāng)前第41頁\共有98頁\編于星期三\3點例8.求圖示變截面梁B、C截面的撓度。當(dāng)前第42頁\共有98頁\編于星期三\3點解：當(dāng)前第43頁\共有98頁\編于星期三\3點思考:梁橫截面為邊長為a的正方形，彈性模量為E1；拉桿橫截面為直徑為d的圓，彈性模量為E2。求:拉桿的伸長及AB梁中點的撓度。當(dāng)前第44頁\共有98頁\編于星期三\3點四、圖形互乘法二、卡氏第二定理三、單位力法能量法I-靜定結(jié)構(gòu)變形計算一、桿件的應(yīng)變能當(dāng)前第45頁\共有98頁\編于星期三\3點在彈性范圍內(nèi)，彈性體在外力作用下發(fā)生變形而在體內(nèi)積蓄的能量，稱為彈性應(yīng)變能，簡稱應(yīng)變能(又稱變形能)。

一、桿件的應(yīng)變能物體在外力作用下發(fā)生變形，物體的變形能在數(shù)值上等于外力在加載過程中在相應(yīng)位移上所做的功，即當(dāng)前第46頁\共有98頁\編于星期三\3點★桿件應(yīng)變能計算1、軸向拉伸和壓縮一般地當(dāng)前第47頁\共有98頁\編于星期三\3點2、扭轉(zhuǎn)一般地當(dāng)前第48頁\共有98頁\編于星期三\3點3、彎曲一般地純彎曲：當(dāng)前第49頁\共有98頁\編于星期三\3點橫力彎曲時剪力影響：一般地當(dāng)前第50頁\共有98頁\編于星期三\3點對橫力彎曲的梁，截面上彎矩和剪力，當(dāng)高跨比較大（長梁）時，剪切變形能影響較小，可忽略不計，對短梁應(yīng)考慮剪切變形的影響。長梁應(yīng)變能：組合變形應(yīng)變能：當(dāng)前第51頁\共有98頁\編于星期三\3點

對于線彈性體，其應(yīng)變能對某一荷載的偏導(dǎo)數(shù)，等于該荷載的相應(yīng)位移Δi。用卡氏第二定理求結(jié)構(gòu)某處的位移時，該處需要有與所求位移相應(yīng)的荷載。如需計算某處的位移，而該處并無與位移對應(yīng)的荷載，則可采取附加力法。二、卡氏第二定理當(dāng)前第52頁\共有98頁\編于星期三\3點卡氏第二定理應(yīng)用于計算梁的截面轉(zhuǎn)角和撓度計算梁截面轉(zhuǎn)角計算梁的截面撓度當(dāng)前第53頁\共有98頁\編于星期三\3點例1彎曲剛度為EI的懸臂梁受三角形分布荷載作用，不計剪力對變形影響。用卡氏第二定理計算懸臂梁自由端A處轉(zhuǎn)角。BAl解：A處無與轉(zhuǎn)角對應(yīng)的力偶，可附加力偶。任意截面彎矩為當(dāng)前第54頁\共有98頁\編于星期三\3點()請課后完成A處撓度的計算當(dāng)前第55頁\共有98頁\編于星期三\3點例2圖示平面折桿AB與BC垂直，在自由端C受集中力P作用。已知各段彎曲剛度均為EI,拉伸剛度為EA。試用卡氏第二定理求截面C的水平位移和鉛垂位移。ACBPaa當(dāng)前第56頁\共有98頁\編于星期三\3點ACBP解：1.計算C處鉛垂位移任意截面彎矩方程,軸力方程為當(dāng)前第57頁\共有98頁\編于星期三\3點()2.計算C處水平位移()請同學(xué)課后完成水平位移的計算當(dāng)前第58頁\共有98頁\編于星期三\3點三、單位力法（單位載荷法）對于梁,彎矩應(yīng)用完全疊加法表示應(yīng)用卡氏第二定理應(yīng)變能當(dāng)前第59頁\共有98頁\編于星期三\3點對于梁,有莫爾積分對應(yīng)于去掉原結(jié)構(gòu)中外力,只在i處加相應(yīng)單位力后的彎矩方程對應(yīng)于原結(jié)構(gòu)的彎矩方程?！裼嬎懔航孛孓D(zhuǎn)角時,加單位力偶矩1●計算梁截面撓度時,加單位集中力1當(dāng)前第60頁\共有98頁\編于星期三\3點對于組合變形時,推廣為對于平面桁架對應(yīng)于去掉原結(jié)構(gòu)中外力,只在i處加相應(yīng)單位力后的彎矩方程當(dāng)前第61頁\共有98頁\編于星期三\3點例3.已知懸臂梁長為l,彎曲剛度為EI,受力大小為F,計算自由端B處撓度和轉(zhuǎn)角。當(dāng)前第62頁\共有98頁\編于星期三\3點解：1.計算B處撓度()當(dāng)前第63頁\共有98頁\編于星期三\3點2.計算B處轉(zhuǎn)角()當(dāng)前第64頁\共有98頁\編于星期三\3點四、圖形互乘法在應(yīng)用莫爾積分求梁位移時，需計算下列形式的積分：對于等直桿，EI=const，可以提到積分號外，故只需計算積分當(dāng)前第65頁\共有98頁\編于星期三\3點直桿圖必定是直線或折線。當(dāng)前第66頁\共有98頁\編于星期三\3點圖分段面積圖形心圖中對應(yīng)于C下縱坐標(biāo)當(dāng)前第67頁\共有98頁\編于星期三\3點在平面剛架,組合結(jié)構(gòu)時，用下列形式計算注意:分段必須為直線段★在取面積的圖中找形心,另圖找對應(yīng)的縱坐標(biāo)M分段為直線段時,也可以★找縱坐標(biāo)的圖必須為直線段

當(dāng)前第68頁\共有98頁\編于星期三\3點頂點頂點二次拋物線★參考用圖

當(dāng)前第69頁\共有98頁\編于星期三\3點例4.已知懸臂梁長為l,彎曲剛度為EI,受分布力集度為q,計算自由端B處轉(zhuǎn)角。當(dāng)前第70頁\共有98頁\編于星期三\3點解：1.畫M圖2.畫圖(請同學(xué)畫出)(請同學(xué)畫出)3.圖乘當(dāng)前第71頁\共有98頁\編于星期三\3點許可撓跨比和許可轉(zhuǎn)角，它們決定于構(gòu)件正常工作時的要求。五、梁的剛度計算剛度條件：當(dāng)前第72頁\共有98頁\編于星期三\3點例9.圖示工字鋼梁，l=8m，Iz=2370cm4,Wz=237cm3，[w]=l／500，E=200GPa，[σ]=100MPa。試根據(jù)梁的剛度條件，確定梁的許可載荷[P]，并校核強度。當(dāng)前第73頁\共有98頁\編于星期三\3點解：由剛度條件當(dāng)前第74頁\共有98頁\編于星期三\3點●提高彎曲剛度的措施

影響梁彎曲變形的因素不僅與梁的支承和載荷情況有關(guān)，而且還與梁的材料、截面尺寸、形狀和梁的跨度有關(guān)。所以，要想提高彎曲剛度，就應(yīng)從上述各種因素入手。①增大梁的抗彎剛度EI；②減小跨度或增加支承；③改變加載方式和支座位置。當(dāng)前第75頁\共有98頁\編于星期三\3點選擇題練習(xí)當(dāng)前第76頁\共有98頁\編于星期三\3點1、鋼筋緾繞一大圓滾筒上，關(guān)于鋼筋的最大正應(yīng)力()。①

、與圓滾筒的半徑無關(guān)②

、與圓滾筒的半徑成正比③

、與圓滾筒的半徑近似成反比④

、與圓滾筒的半徑嚴(yán)格成反比當(dāng)前第77頁\共有98頁\編于星期三\3點2、等剛度梁發(fā)生平面平面彎曲時，撓曲線的最大曲率在()處。①

、轉(zhuǎn)角最大②

、撓度最大③

、剪力最大④

、彎矩最大當(dāng)前第78頁\共有98頁\編于星期三\3點3、與小撓度微分方程相對應(yīng)的坐標(biāo)系為（）？xy(a)xy(b)xy(c)①、(a)和(c)(d)xy②

、(a)和(b)③

、(a)和(d)④

、(c)和(d)當(dāng)前第79頁\共有98頁\編于星期三\3點4、多跨靜定梁的用二次積分法求變形時，正確的為()。①

、彎矩方程和撓曲線方程可只分二段②、C處連續(xù)條件為：撓度和轉(zhuǎn)角連續(xù)。③、A處邊界條件為、：撓度為零，轉(zhuǎn)角不為零④

、彎矩方程和撓曲線方程必須分三段當(dāng)前第80頁\共有98頁\編于星期三\3點5、等截面梁純彎曲時，關(guān)于撓曲線()。①

、按二次積分法為圓?、?/p>

、實際為圓弧③

、按積分法為拋物線，可見圓弧假設(shè)是近似④

、以上均不對當(dāng)前第81頁\共有98頁\編于星期三\3點6.不計自重的圓截面梁，外力作用于自由端，如只有梁的長度增加一倍，外力作用于自由端，則自由端的撓度為原來的（）。AB①

、2倍②

、4倍③

、8倍④

、16倍當(dāng)前第82頁\共有98頁\編于星期三\3點7.不計自重的圓截面梁，外力作用于自由端，如只使外力增加一倍，其他不變，則自由端的撓度為原來的（）。AB①

、2倍②

、4倍③

、8倍④

、16倍當(dāng)前第83頁\共有98頁\編于星期三\3點ABC8.彎曲剛度為EI梁，正確說法為（）。①、A、B、C處轉(zhuǎn)角相等②、B、C處轉(zhuǎn)角不相等③、B處撓度為C處的二倍④、B處和C處轉(zhuǎn)角相同當(dāng)前第84頁\共有98頁\編于星期三\3點9.彎曲剛度為EI的梁，B處轉(zhuǎn)角等于（）。①、②、③、④、ABC當(dāng)前第85頁\共有98頁\編于星期三\3點10.圖示力偶矩,則梁B端的轉(zhuǎn)角為（）。①、②、③、④、當(dāng)前第86頁\共有98頁\編于星期三\3點11.一等截面懸臂梁，在均勻自重作用下，自由端的撓度與（）。①

、梁的長度成正比②

、梁的長度的平方成正比③

、梁的長度的立方成正比④

、梁的長度的四次方成正比當(dāng)前第87頁\共有98頁\編于星期三\3點11.簡支梁，一為鋼梁，另一為鋁梁。兩者長度，剛度都相同，不計自重下，跨中在相同的外力作用下，二者的（）不同。①

、最大撓度②

、最大轉(zhuǎn)角③

、約束反力④

、最大正應(yīng)力當(dāng)前第88頁\共有98頁\編于星期三\3點12.一水平梁的撓曲線方程為則（）。①、梁的彎矩圖為圓弧部分②、梁的彎矩圖為拋物線部分③

、梁的彎矩圖為斜直線④、以上均不對當(dāng)前第89頁\共有98頁\編于星期三\3點13.已知懸臂梁長為l,彎曲剛度為EI,受力大小為F,用圖乘法計算自由端B處撓度和轉(zhuǎn)角。當(dāng)前第90頁\共有98頁\編于星期三\3點14.已知懸臂梁長彎曲剛度為EI,受力如圖

,用圖乘法計算自由端B處撓度和轉(zhuǎn)角。當(dāng)前第9