荷載結(jié)構(gòu)模型的數(shù)值方法課件

southwestjIaotongunIversIty西南交通大學(xué)SouthwestJiaotongUniversity《山嶺隧道》課程第五章支護(hù)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)鄭余朝制作張俊儒講師

荷載結(jié)構(gòu)模式計(jì)算方法地層結(jié)構(gòu)模式計(jì)算方法復(fù)合式襯砌結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)單層襯砌結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

TBM管片襯砌結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)襯砌結(jié)構(gòu)耐久性設(shè)計(jì)概要主要內(nèi)容第一節(jié)荷載結(jié)構(gòu)模式計(jì)算方法——數(shù)值方法地下結(jié)構(gòu)——地層中的封閉式結(jié)構(gòu)，超靜定問(wèn)題?？紤]結(jié)構(gòu)與圍巖的相互作用，由結(jié)構(gòu)的變位才能確定彈性反力的范圍和大小。結(jié)構(gòu)的變位又是在主動(dòng)荷載和彈性反力共同作用下發(fā)生的，求解是一個(gè)非線性問(wèn)題。

計(jì)算方法：主動(dòng)荷載模型，假定彈性反力模型，計(jì)算彈性反力模型。地下結(jié)構(gòu)桿系結(jié)構(gòu)有限元基本原理為：將結(jié)構(gòu)與圍巖共同組成的結(jié)構(gòu)體系-離散-節(jié)點(diǎn)和單元（梁?jiǎn)卧?、桿單元和彈性支承單元等）；以每一個(gè)節(jié)點(diǎn)的

（分別為x方向、y方向的位移及xOy平面內(nèi)的轉(zhuǎn)角）3個(gè)位移為未知數(shù)；2個(gè)連續(xù)條件：連接在同一節(jié)點(diǎn)的各單元的節(jié)點(diǎn)位移應(yīng)該相等——變形協(xié)調(diào)條件；節(jié)點(diǎn)上作用的各單元的節(jié)點(diǎn)力相平衡——靜力平衡條件。有限元分析過(guò)程如下：初期支護(hù)單元模型

首先要進(jìn)行單元分析，找出單元節(jié)點(diǎn)力與單元節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系——單元?jiǎng)偠染仃?，然后進(jìn)行整體分析，建立起以節(jié)點(diǎn)靜力平衡為條件的總體結(jié)構(gòu)剛度方程式，在總體構(gòu)剛度方程式中引入邊界條件，求得結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)位移后，再由各單元的節(jié)點(diǎn)荷載與位移的關(guān)系計(jì)算各單元的節(jié)點(diǎn)抗力、單元內(nèi)力。結(jié)構(gòu)力學(xué)計(jì)算模型的建立單元?jiǎng)偠染仃嚪治龅刃Ч?jié)點(diǎn)荷載整體分析計(jì)算模型建立工程實(shí)例單元內(nèi)力分析主要內(nèi)容一、結(jié)構(gòu)力學(xué)計(jì)算模型建立結(jié)構(gòu)體系的理想化外荷載理想化邊界條件主要內(nèi)容地下結(jié)構(gòu)—有限個(gè)單元的組合體；單元之間通過(guò)節(jié)點(diǎn)連接，作用在結(jié)構(gòu)上的外荷載和內(nèi)力只能通過(guò)節(jié)點(diǎn)力進(jìn)行傳遞；以節(jié)點(diǎn)位移（或節(jié)點(diǎn)力）來(lái)代表整個(gè)結(jié)構(gòu)的變形狀態(tài)（或受力狀態(tài)）。對(duì)于地下結(jié)構(gòu)體系來(lái)說(shuō)，結(jié)構(gòu)的理想化包括支護(hù)結(jié)構(gòu)的理想化和圍巖的理想化兩部分內(nèi)容。1、結(jié)構(gòu)體系的理想化桿系結(jié)構(gòu)常常可離散成桿、梁、柱等單元1）支護(hù)結(jié)構(gòu)理想化單元的聯(lián)節(jié)點(diǎn)視為節(jié)點(diǎn)；地下支護(hù)結(jié)構(gòu)：彎矩和軸力是主要因素，離散化為同時(shí)承受彎矩和軸力的直桿所組成的折線形組合體；隧道支護(hù)結(jié)構(gòu)單元的力學(xué)性質(zhì)—荷載和位移的關(guān)系，由彈性地基梁理論確定，即它是小變形的，符合虎克定律。桿系結(jié)構(gòu)常常可離散成桿、梁、柱等單元1）支護(hù)結(jié)構(gòu)理想化

拱、墻的單元各取相等的長(zhǎng)度。假定每個(gè)單元都是等厚度的，其計(jì)算厚度有三種取法：①取單元兩端厚度的平均值；②取單元中點(diǎn)的厚度；③取單元的平均厚度。1）支護(hù)結(jié)構(gòu)理想化

整體式隧道襯砌結(jié)構(gòu)本身的理想化模型見(jiàn)下圖。拱形結(jié)構(gòu)—邊墻底端是彈性固定的，能產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)和垂直下沉。整體式拱形結(jié)構(gòu)的理想化1）支護(hù)結(jié)構(gòu)理想化復(fù)合式隧道襯砌結(jié)構(gòu)復(fù)合式隧道襯砌，噴層較?。ㄈ?cm以下）時(shí)，可離散化為桿單元，噴層較厚（如5cm以上）時(shí)，可離散化為梁?jiǎn)卧?；噴層和二次襯砌之間用桿單元連接，如下圖。1）支護(hù)結(jié)構(gòu)理想化將連續(xù)圍巖離散為獨(dú)立巖柱，縱向計(jì)算寬度，取單位長(zhǎng)度,b=1；另一邊長(zhǎng)取兩個(gè)相鄰的襯砌單元的長(zhǎng)度和之半,h。用彈性支承代替巖柱，并以鉸接的方式作用在襯砌單元的節(jié)點(diǎn)上，只承受軸力。彈簧服從局部變形假定（即溫克爾假定）,即：2）圍巖的理想化K—圍巖的彈性抗力系數(shù)，《隧規(guī)》2）圍巖的理想化拱形結(jié)構(gòu)圍巖的理想化圍巖-限制襯砌軸線的法向位移和切向位移。法向設(shè)置，代替圍巖的法向約束，切向設(shè)置，代替圍巖的切向約束。2）圍巖的理想化彈性支承的設(shè)置方向襯砌與圍巖的粘結(jié)就比較好，傳遞法向壓力、法向拉力，具有抗剪強(qiáng)度，遵循摩爾—庫(kù)侖條件，即：τ=δtgφ+c

τ、δ——襯砌與圍巖接觸面的切向和法向應(yīng)力；

φ——襯砌與圍巖間的的摩擦角；c——襯砌與圍巖的粘結(jié)力。2）圍巖的理想化復(fù)合式襯砌，噴層和二次襯砌之間設(shè)有防水層，只傳遞法向力，可用法向桿單元來(lái)模擬。隧道結(jié)構(gòu)的外荷載，除了自重外，主要是圍巖的壓力。外荷載和內(nèi)力都通過(guò)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行傳遞。隧道結(jié)構(gòu)理想化：將作用在單元中間的荷載，置換成作用在單元節(jié)點(diǎn)上的荷載，稱為節(jié)點(diǎn)荷載。2、外荷載理想化應(yīng)按靜力等效原則進(jìn)行置換，即虛功原理。

實(shí)際——常按簡(jiǎn)支分配的原則進(jìn)行置換2、外荷載理想化外荷載理想化例如：第1節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)荷載P1為:

第2節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)荷載P2為：2、外荷載理想化邊界條件就是通常所說(shuō)的結(jié)構(gòu)支承方式。拱形支護(hù)結(jié)構(gòu)：

無(wú)仰供—墻腳水平剛性約束，豎向和轉(zhuǎn)動(dòng)彈性約束；有仰供—基底較硬時(shí)可以法向采用剛性約束，較軟時(shí)，豎向和切向彈性約束；統(tǒng)一解決方案：封閉結(jié)構(gòu)采用全周的彈性約束（法向或切向），不封閉結(jié)構(gòu)還需考慮腳趾處的彈性轉(zhuǎn)動(dòng)約束。3、邊界條件二、單元?jiǎng)偠染仃嚪治隽簡(jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃嚕ㄖ攸c(diǎn)）桿單元?jiǎng)偠染仃噺椈芍С袉卧膭偠染仃嚮讖椥灾С袉卧膭偠戎饕獌?nèi)容用桿系結(jié)構(gòu)有限元分析地下結(jié)構(gòu)時(shí):梁?jiǎn)卧g用節(jié)點(diǎn)連接地下結(jié)構(gòu)與圍巖的作用彈簧單元表示:單元定義ijk1）局部坐標(biāo)系下的梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃?、梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃?/p>

離散的梁?jiǎn)卧捎盟膬啥它c(diǎn)來(lái)命名。（1）局部坐標(biāo)系下的梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃噷?duì)每一根梁?jiǎn)卧猧j均可取一個(gè)坐標(biāo)x’o′y′，稱為ij梁?jiǎn)卧木植孔鴺?biāo)系。1、梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃嚵簡(jiǎn)卧木植孔鴺?biāo)系1）局部坐標(biāo)系下的梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃?、梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃?/p>

梁?jiǎn)卧诤奢d作用下將產(chǎn)生變形，兩節(jié)點(diǎn)也將產(chǎn)生位移,以列陣表示：則

稱為梁?jiǎn)卧植孔鴺?biāo)系中的節(jié)點(diǎn)位移列陣。1）局部坐標(biāo)系下的梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃?、梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃噷?duì)于i節(jié)點(diǎn)：對(duì)于j節(jié)點(diǎn)：

ui’i’x’y’ijvi’vj’uj’j’

節(jié)點(diǎn)位移Xi’Mi’x’y’ijYi’Yj’Xj’Mj’

內(nèi)力分量1）局部坐標(biāo)系下的梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃?、梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃?/p>

梁端內(nèi)力,在局部坐標(biāo)系中分別用X′、Y′、M′表示，組成一個(gè)列陣。對(duì)于i節(jié)點(diǎn)：對(duì)于j節(jié)點(diǎn)：1）局部坐標(biāo)系下的梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃?/p>

利用疊加原理，可以得到局部坐標(biāo)系下，在局部坐標(biāo)系的分量的表達(dá)式為：

式中：E-彈性模量；l-單元的長(zhǎng)度，I-單元的截面慣性矩，A-單元的橫截面積。1）局部坐標(biāo)系下的梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃?、梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃囘@三個(gè)式子可以用矩陣表示：

（2.2.7）1、梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃?）局部坐標(biāo)系下的梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃囃砜傻胘端內(nèi)力矩陣表達(dá)式：

（2.2.8）1、梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃?）局部坐標(biāo)系下的梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃噷ⅲ?.2.7）和（2.2.8）式合并，則：

（2.2.9）1、梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃?）局部坐標(biāo)系下的梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃嚭?jiǎn)寫為：

其中：

1、梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃?）局部坐標(biāo)系下的梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃?、梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃?/p>

矩陣稱為梁?jiǎn)卧诰植孔鴺?biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃嚒Ａ簡(jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃?/p>

具有如下性質(zhì)：①

梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃囍慌c梁?jiǎn)卧奈锢硇再|(zhì)（如E）和幾何尺寸（如A、I、l）有關(guān)；②

是一個(gè)對(duì)稱矩陣；③

對(duì)應(yīng)的行列式=0,奇異矩陣。1）局部坐標(biāo)系下的梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃?、梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃?）坐標(biāo)變換

在對(duì)整個(gè)支護(hù)結(jié)構(gòu)進(jìn)行討論時(shí)，必須要對(duì)整個(gè)結(jié)構(gòu)再建立一個(gè)統(tǒng)一的，通用的坐標(biāo)系xoy，這樣建立的坐標(biāo)系稱為整體坐標(biāo)系，如圖2.2.5所示。1、梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃噲D2.2.5節(jié)點(diǎn)內(nèi)力坐標(biāo)系下轉(zhuǎn)換Xj’Xi’Mi’=Mix’y’ijYi’Yj’yxMj’=MjXjXiYiYj2）坐標(biāo)變換1、梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃?/p>

對(duì)于梁?jiǎn)卧诰植孔鴺?biāo)系中存在的這些量各關(guān)系，在整體坐標(biāo)系中，也將有相應(yīng)的量和關(guān)系存在。

坐標(biāo)變換，內(nèi)容包括：i）導(dǎo)出梁?jiǎn)卧憾藘?nèi)力在局部坐標(biāo)系中的分量和在整體坐標(biāo)系中的分量之間的關(guān)系；2）坐標(biāo)變換1、梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃噄i)導(dǎo)出梁?jiǎn)卧?jié)點(diǎn)位移在局部坐標(biāo)系中的分量和在整體坐標(biāo)系中的分量之間的關(guān)系；iii)給出在整體坐標(biāo)系中梁端內(nèi)力列陣

和節(jié)點(diǎn)位移列陣

之間的關(guān)系式。坐標(biāo)變換是由局部坐標(biāo)系中對(duì)梁?jiǎn)卧姆治鲞^(guò)渡到由整體坐標(biāo)系中對(duì)梁?jiǎn)卧姆治鲋胁豢扇鄙俚囊粋€(gè)中心環(huán)節(jié)。2）坐標(biāo)變換圖2.2.6桿單元的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換1、梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃嚔倭憾藘?nèi)力的坐標(biāo)變換

如圖2.2.6所示,設(shè)局坐標(biāo)系

和整體坐標(biāo)系

之間的夾角為α。2）坐標(biāo)變換1、梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃噭t在局部坐標(biāo)系下的梁端內(nèi)力分量為：2）坐標(biāo)變換1、梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃噭t在整體坐標(biāo)系下的梁端內(nèi)力分量為：2）坐標(biāo)變換1、梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃?/p>

以i端為例，導(dǎo)出梁端內(nèi)力在局部坐標(biāo)系下的分量和在整體坐標(biāo)系下的分量關(guān)系，寫成矩陣形式：

（2.2.13）2）坐標(biāo)變換1、梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃囇芯縥端情況，同理可得：（2.2.14）2）坐標(biāo)變換1、梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃嚭喜ⅲ?.2.13）和（2.2.14），得：

（2.2.15）2）坐標(biāo)變換1、梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃嚭?jiǎn)寫為：

（2.2.16）2）坐標(biāo)變換1、梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃?/p>

[R]稱為轉(zhuǎn)換矩陣。2）坐標(biāo)變換1、梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃嚔?/p>

梁端位移的坐標(biāo)變換

完成由局部坐標(biāo)系下的分量向整體坐標(biāo)系下的分量轉(zhuǎn)換，可建立如下類似關(guān)系。節(jié)點(diǎn)位移坐標(biāo)系下轉(zhuǎn)換uj’ui’i’=ix’y’ijvi’vj’yxj’=jujuivivj2）坐標(biāo)變換1、梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃?/p>

（2.2.18）2）坐標(biāo)變換1、梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃嚭?jiǎn)寫為：

（2.2.19）2）坐標(biāo)變換1、梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃嚔壅w坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃?/p>

在式（2.2.19）及式（2.2.16）兩邊左乘以一個(gè)[R]-1，考慮[R]為正交矩陣，[R]-1=[R]T，可以推導(dǎo)出：{δˊ}=[R]T{δ}（2.2.20）{fˊ}=[R]T{f}（2.2.21）2）坐標(biāo)變換1、梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃?/p>

內(nèi)力分量和梁端的位移分量之間的[k]稱為在整體整體系中的梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃?。通過(guò)變換，得出表示在整體坐標(biāo)系中梁?jiǎn)卧年P(guān)系式為：2）坐標(biāo)變換1、梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃?/p>

(2.2.27)展開得：(2.2.28)(2.2.29)2）坐標(biāo)變換1、梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃?/p>

按（2.2.29）式，可由梁?jiǎn)卧谡w坐標(biāo)系中的梁端節(jié)點(diǎn)位移分量計(jì)算梁端內(nèi)力分量。

整體坐標(biāo)系中的梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃嘯k]和局部坐標(biāo)系中的梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃嘯k，]一樣具有對(duì)稱性和奇異性。2）坐標(biāo)變換

桿單元可用它的兩端節(jié)點(diǎn)來(lái)命名（圖2.2.7），如桿單元一端節(jié)點(diǎn)號(hào)為i，另一端節(jié)點(diǎn)號(hào)為j，則該桿單元為ij桿單元。它的剛度矩陣的推求方法同梁?jiǎn)卧?、桿單元?jiǎng)偠染仃噲D2.2.7單元定義1）局部坐標(biāo)系下的桿單元?jiǎng)偠染仃囃?，按梁?jiǎn)卧耐茖?dǎo)方式可得局部坐標(biāo)系下的桿單元?jiǎng)偠染仃嚕?、桿單元?jiǎng)偠染仃?/p>

（2.2.32）式中，

——分別為桿單元在局部坐標(biāo)系中的內(nèi)力分量；

——分別為桿單元在局部坐標(biāo)系中的位移分量；[k′]即為桿單元在局部坐標(biāo)系中的剛度矩。2、桿單元?jiǎng)偠染仃?）整體坐標(biāo)系下的桿單元?jiǎng)偠染仃嚄U單元整體坐標(biāo)系見(jiàn)圖2.2.8所示。2、桿單元?jiǎng)偠染仃噲D2.2.8桿單元的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換轉(zhuǎn)換矩陣如下；

（2.2.35）2、桿單元?jiǎng)偠染仃嚄U單元在整體坐標(biāo)系中的剛度矩陣如下：

（2.2.41）

2、桿單元?jiǎng)偠染仃?/p>

當(dāng)隧道支護(hù)結(jié)構(gòu)向圍巖方向變形時(shí)，圍巖作用支護(hù)結(jié)構(gòu)以彈性反力，則計(jì)算圖示可按圖2.2.9所示，即彈簧支承單元按徑向布置。3、彈簧支承單元的剛度矩陣圖2.2.9隧道支護(hù)結(jié)構(gòu)計(jì)算圖示（不計(jì)摩擦力）1）局部坐標(biāo)系下的彈簧單元?jiǎng)偠染仃?/p>

如圖2.2.10所示，彈簧支承單元i一端固定，另一端與梁?jiǎn)卧?jié)點(diǎn)i相連，則可稱為該彈簧支承單元為i號(hào)彈簧支承單元。3、彈簧支承單元的剛度矩陣圖2.2.10彈簧單元

設(shè)i號(hào)彈簧支承單元作用范圍的大小為沿隧道周邊長(zhǎng)度li、沿隧道縱向長(zhǎng)度為b的矩形區(qū)域，則：

Ai=lib

（2.2.42）3、彈簧支承單元的剛度矩陣圖2.2.11每根彈簧作用范圍

彈簧支承單元在局部坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃嚾缦拢?/p>

（2.2.47）

3、彈簧支承單元的剛度矩陣2）整體坐標(biāo)系下的彈簧單元?jiǎng)偠染仃?/p>

整體坐標(biāo)系下，如圖2.2.11所示。

3、彈簧支承單元的剛度矩陣圖2.2.11彈簧支承單元的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換

彈簧支承單元在整體坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃嚾缦拢?/p>

（2.2.55）3、彈簧支承單元的剛度矩陣

為了模擬墻底和地基的這種作用，定義一種基底彈性支座單元（圖2.2.12）：假定隧道支護(hù)結(jié)構(gòu)的墻底放在一個(gè)無(wú)厚度的板上，板放在彈性地基上，彈性地基對(duì)板的作用可用垂直彈簧和水平彈簧來(lái)模擬。下面推導(dǎo)這種基底彈性支座單元的剛度矩陣。

4、基底彈性支承單元的剛度4、基底彈性支承單元的剛度圖2.2.12基底彈性支座單元1）局部坐標(biāo)系中基底彈性支座單元的剛度矩陣建立局部坐標(biāo)系見(jiàn)圖2.2.12所示。

基底彈性支座單元與地基的接觸面積為Ai，Ai可由隧道支護(hù)結(jié)構(gòu)墻底的厚度di和隧道縱向計(jì)算長(zhǎng)度b確定，即：

Ai=bdi

（2.2.56）4、基底彈性支承單元的剛度

假定地基的垂直彈性抗力系數(shù)為kd，橫向綜合抗力系數(shù)為k￡。局部坐標(biāo)系中基底彈性支座單元的剛度矩陣如下：

（2.2.61）

4、基底彈性支承單元的剛度2）整體坐標(biāo)系中基底彈性支座單元的剛度矩陣

整體坐標(biāo)系見(jiàn)圖2.2.13所示。4、基底彈性支承單元的剛度圖2.2.13基底彈性支座單元的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換整體坐標(biāo)系中基底彈性支座單元的剛度矩陣如下：

（2.2.64）4、基底彈性支承單元的剛度三、等效節(jié)點(diǎn)荷載勻布荷載轉(zhuǎn)化為等效節(jié)點(diǎn)荷載梯形分布荷載轉(zhuǎn)化為等效節(jié)點(diǎn)荷載集中力作用轉(zhuǎn)化為等效節(jié)點(diǎn)荷載力偶作用下的等效節(jié)點(diǎn)荷載復(fù)雜荷載轉(zhuǎn)化為等效節(jié)點(diǎn)荷載自重荷載作用下的等效節(jié)點(diǎn)荷載計(jì)算地下結(jié)構(gòu)等效節(jié)點(diǎn)荷載列陣的形成本章主要內(nèi)容

單元和單元之間通過(guò)節(jié)點(diǎn)相連，作用在隧道結(jié)構(gòu)上的任何荷載，都必須轉(zhuǎn)換為節(jié)點(diǎn)荷載。等效節(jié)點(diǎn)荷載

用等效節(jié)點(diǎn)荷載來(lái)代替非節(jié)點(diǎn)荷載，其處理原則為在等效節(jié)點(diǎn)荷載作用下結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)位移與實(shí)際非節(jié)點(diǎn)荷載作用下結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)位移應(yīng)相等。

地下結(jié)構(gòu)所受的荷載都可分解成如下六類基本荷載（如圖2.3.1）。

單元ij受如圖所示的勻布荷載q，單元長(zhǎng)度為l，

為兩坐標(biāo)系之間的夾角（圖示逆時(shí)針轉(zhuǎn)角為正）。2.3.1.勻布荷載轉(zhuǎn)化為等效節(jié)點(diǎn)荷載

假想將單元ij的兩端節(jié)點(diǎn)位移完全約束住如圖2.3.3所示。這樣，單元ij成為兩端固定的桿件，勻布荷載q在兩端節(jié)點(diǎn)上產(chǎn)生的在局部坐標(biāo)系中的固端力為,即

解除約束，即將上述固端力變號(hào)并由式進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，得到結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中的單元ij的等效節(jié)點(diǎn)荷載陣列。在局部坐標(biāo)系中的單元等效節(jié)點(diǎn)荷載為

，即

對(duì)于單元ij，有則結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中的單元等效節(jié)點(diǎn)荷載陣列為單元ij受如圖2.3.4所示的梯形分布荷載：2.3.2.梯形分布荷載轉(zhuǎn)化為等效節(jié)點(diǎn)荷載圖2.3.4梯形分布荷載轉(zhuǎn)化為等效節(jié)點(diǎn)荷載梯形分布荷載在兩端節(jié)點(diǎn)上產(chǎn)生的在局部坐標(biāo)系中的固端力為

，即在局部坐標(biāo)系中的單元等效節(jié)點(diǎn)荷載為

，即得結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中單元ij的等效節(jié)點(diǎn)荷載陣列

，即單元ij受如圖2.3.5所示：2.3.3.集中力作用轉(zhuǎn)化為等效節(jié)點(diǎn)荷載圖2.3.5集中力轉(zhuǎn)化為等效節(jié)點(diǎn)荷載集中力作用在兩端節(jié)點(diǎn)上產(chǎn)生的在局部坐標(biāo)系中的固端力為

：在局部坐標(biāo)系中的單元等效節(jié)點(diǎn)荷載為

，即得結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中單元ij的等效節(jié)點(diǎn)荷載陣列

，即單元ij受如圖2.3.6所示的力偶作用：2.3.4.力偶作用下的等效節(jié)點(diǎn)荷載圖2.3.6力偶作用下的等效節(jié)點(diǎn)荷載P力偶作用在兩端節(jié)點(diǎn)上產(chǎn)生的在局部坐標(biāo)系中的固端力為在局部坐標(biāo)系中的單元等效節(jié)點(diǎn)荷載為

，即得結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中單元ij的等效節(jié)點(diǎn)荷載陣列

，即得結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中單元ij的等效節(jié)點(diǎn)荷載陣列

，即2.3.5.復(fù)雜荷載轉(zhuǎn)化為等效節(jié)點(diǎn)荷載圖2.3.7復(fù)雜荷載作用下的等效節(jié)點(diǎn)荷載

所受的荷載，分解成平行于x軸和y軸的荷載作用，假定單元ij受力如圖2.3.7所示。則在整體坐標(biāo)系下，i節(jié)點(diǎn)的等效節(jié)點(diǎn)荷載為：j節(jié)點(diǎn)的等效節(jié)點(diǎn)荷載為：?jiǎn)卧猧j受如圖2.3.8所示的自重作用，單元和整體坐標(biāo)系的夾角為α（逆時(shí)針轉(zhuǎn)角為正）。2.3.6.自重荷載作用下的等效節(jié)點(diǎn)荷載計(jì)算則在整體坐標(biāo)系下，i節(jié)點(diǎn)的等效節(jié)點(diǎn)荷載列陣為：j節(jié)點(diǎn)的等效節(jié)點(diǎn)荷載列陣為：2.3.7.地下結(jié)構(gòu)等效節(jié)點(diǎn)荷載列陣的形成

先求出各單元的等效節(jié)點(diǎn)荷載列陣，然后將各單元的等效節(jié)點(diǎn)荷載列陣疊加起來(lái)，就得到隧道支護(hù)結(jié)構(gòu)的等效節(jié)點(diǎn)荷載列陣。（1）、各單元的等效節(jié)點(diǎn)荷載列陣的計(jì)算荷載作用在隧道支護(hù)結(jié)構(gòu)上，見(jiàn)圖2.3.9所示。（2）、隧道支護(hù)結(jié)構(gòu)等效節(jié)點(diǎn)荷載列陣的計(jì)算

將每個(gè)單元的等效節(jié)點(diǎn)荷載列陣{F}求出后，再進(jìn)行疊加，即可得到支護(hù)結(jié)構(gòu)等效節(jié)點(diǎn)荷載列陣，即：

式中，{F}為隧道支護(hù)結(jié)構(gòu)等效節(jié)點(diǎn)荷載列陣，{F}e為第e單元的等效節(jié)點(diǎn)荷載列陣，n為單元總數(shù)。

有一個(gè)等截面直梁，分成3個(gè)單元，受荷載情況如圖2.3.10所示，三個(gè)單元的長(zhǎng)度相等，都為l節(jié)點(diǎn)編號(hào)見(jiàn)圖。對(duì)于單元①，節(jié)點(diǎn)1等效節(jié)點(diǎn)荷載：節(jié)點(diǎn)2等效節(jié)點(diǎn)荷載：對(duì)于單元②，節(jié)點(diǎn)2等效節(jié)點(diǎn)荷載（同理可得其他節(jié)點(diǎn)的受力）：將節(jié)點(diǎn)1的等效節(jié)點(diǎn)力、節(jié)點(diǎn)2的等效節(jié)點(diǎn)力、節(jié)點(diǎn)3的等效節(jié)點(diǎn)力、節(jié)點(diǎn)4的等效節(jié)點(diǎn)力組成矩陣，即得結(jié)構(gòu)的等效荷載列陣：

可以看出，在求結(jié)構(gòu)的等效荷載列陣時(shí)，只要把具有相同下標(biāo)的等效節(jié)點(diǎn)力列陣相加到一起即可。

可以總結(jié)出一般規(guī)律，即對(duì)于兩端編號(hào)為ij的單元e來(lái)說(shuō)，它的節(jié)點(diǎn)等效荷載列陣為：{Pi}e、{Pj}e，則它們?cè)谥ёo(hù)結(jié)構(gòu)的等效荷載列陣中的相應(yīng)位置為i行、j行，即：

對(duì)每個(gè)單元都是這樣對(duì)號(hào)入座，當(dāng)同一位置上有幾個(gè)列陣時(shí)應(yīng)予相加，這樣即可得到隧道支護(hù)結(jié)構(gòu)的等效荷載列陣。四、整體分析節(jié)點(diǎn)平衡方程組節(jié)點(diǎn)平衡方程建立示例總剛度矩陣的特點(diǎn)邊界條件的引入主要內(nèi)容整體分析1、節(jié)點(diǎn)平衡方程組如圖2.4.2中，單元m、n都與節(jié)點(diǎn)j相連，都對(duì)節(jié)點(diǎn)j有力的作用，除此之外，還有彈簧單元、外荷載等作用。圖2.4.2節(jié)點(diǎn)j的作用力jj{fj}{fji}m{fjk}n{Fj}1）m單元對(duì)節(jié)點(diǎn)j的作用力：

2）n單元對(duì)節(jié)點(diǎn)j的作用力：3）j彈簧作用（或基底作用）：（1）j彈簧作用：

（2）基底作用：4）外荷載：5）j節(jié)點(diǎn)平衡方程的建立：

j節(jié)點(diǎn)要保持平衡，則以下方程必須滿足：即在節(jié)點(diǎn)j處：從而得出平衡方程：2、節(jié)點(diǎn)平衡方程建立示例

圖2.4.3梁?jiǎn)卧獅F1}{F2}{F3}{F4}2134如圖2.4.3，各節(jié)點(diǎn)的的平衡方程為：合并簡(jiǎn)寫為：[K]{δ}={F}

其中：[K]為整個(gè)結(jié)構(gòu)的剛度矩陣，是由三個(gè)梁?jiǎn)卧八膫€(gè)彈簧單元（或基底單元）組合而成的：{F}即為結(jié)構(gòu)的等效荷載列陣由式（2.4.16）可以看出，迭加時(shí)把具有相同下標(biāo)的剛度矩陣元素（或子矩陣）相加在一起為：?jiǎn)卧唬簡(jiǎn)卧簡(jiǎn)卧阂惶?hào)彈簧單元：二號(hào)彈簧單元：三號(hào)彈簧單元：四號(hào)彈簧單元：3、總剛度矩陣的特點(diǎn)直接剛度法可分為兩個(gè)步驟：（1）把每個(gè)單元的單元?jiǎng)偠染仃嚨碾A數(shù)擴(kuò)大成總剛度矩陣的階數(shù)。（2）總剛度矩陣中同一位置有幾個(gè)子陣時(shí)應(yīng)予相加，從而得出總剛度矩陣[K]。4、邊界條件的引入總剛度矩陣組成后，由于沒(méi)有考慮支承條件，結(jié)構(gòu)存在剛體位移，因而原始剛度矩陣具有奇異性，故式：不能求出節(jié)點(diǎn)的位移。需要在方程組中統(tǒng)一引入支承條件。如荷載——結(jié)構(gòu)模式中，常常遇到的邊界條件如圖2.4.4所示。圖2.4.4邊界條件u=0v=0u=0u=0v=0θ=0v=0θ=0v=0處理邊界條件的兩種常用方法：劃0置1法和乘大數(shù)法。1）劃0置1法：

如果支承條件為節(jié)點(diǎn)i的x方向位移ui=0，作如下修正：①在總剛矩陣[K]的第3i－2行中，主對(duì)角線元素改為1，其他元素改為0。②把荷載向量{F}中的第3i－2號(hào)元素改為0。這樣修改后，第3i－2號(hào)方程變形為：2）乘大數(shù)法：如果支承條件為節(jié)點(diǎn)i的x方向位移ui=0作如下的修改：總剛中主對(duì)角線元素k3i—2，3i--2乘以一個(gè)大數(shù)A，相應(yīng)的荷載項(xiàng)改為Ak3i—2，3i--2，總剛第3i－2行展開式為：方程兩邊都除以大數(shù)A，由于A是一個(gè)很大的數(shù)，其余各項(xiàng)都趨于0，則：即=ui，滿足給定的支承條件。五、計(jì)算模型建立工程實(shí)例

拱形結(jié)構(gòu)模型建立工程實(shí)例單元內(nèi)力分析

主要內(nèi)容拱形結(jié)構(gòu)模型

一單心圓無(wú)仰拱拱形隧道，巖體為Ⅲ級(jí)圍巖，隧道埋深50m；彈性反力系數(shù)取k＝400×106Pa/m；隧道寬B＝12m；側(cè)壓力系數(shù)取0.5；地下水位深45m；隧道半徑R＝6m，圓心角＝120°，襯砌厚度為0.4m；計(jì)算模型如右圖。工程背景

圖2.5.5計(jì)算模型簡(jiǎn)圖

1、計(jì)算作用在襯砌結(jié)構(gòu)的主動(dòng)荷載

豎向均布荷載：=1150kPa水平側(cè)向荷載：=600kPa

=789kPa2、結(jié)構(gòu)離散化

為了清晰的演示結(jié)構(gòu)的離散，左右圓弧各劃分為10個(gè)單元。實(shí)際計(jì)算時(shí)單元還需劃分的更細(xì)。圖2.5.6結(jié)構(gòu)離散化簡(jiǎn)圖

結(jié)構(gòu)對(duì)稱、荷載對(duì)稱，可取右半側(cè)結(jié)構(gòu)分析。計(jì)算得各節(jié)點(diǎn)等效節(jié)點(diǎn)荷載如下表：3、等效節(jié)點(diǎn)荷載計(jì)算

表2.5.3拱形結(jié)構(gòu)等效節(jié)點(diǎn)荷載計(jì)算表

六、單元內(nèi)力分析彈簧存在的判別條件結(jié)構(gòu)內(nèi)力計(jì)算主要內(nèi)容一、彈簧存在的判別條件

工程實(shí)際中，根據(jù)彈性反力的定義，彈性支承單元僅存在于結(jié)構(gòu)變形朝向圍巖方向的節(jié)點(diǎn)上。計(jì)算出節(jié)點(diǎn)位移后，應(yīng)進(jìn)行彈性支承單元存在的判別。對(duì)于節(jié)點(diǎn)i，已解出位移ui、vi、φi，從而也就可以求出I

彈簧的內(nèi)力：（2.6.1）

上式當(dāng)Xi′≤0時(shí)，表明該彈簧受拉，實(shí)際中，該處將向結(jié)構(gòu)內(nèi)變形，可能形成脫離區(qū)，顯然該處的彈簧不起作用，應(yīng)該取消．當(dāng)Xi′>0時(shí)，表明該彈簧受壓，實(shí)際中，結(jié)構(gòu)變形朝向圍巖方向，形成擠壓區(qū)，該處的彈簧受壓。每根彈簧都要經(jīng)過(guò)判斷，當(dāng)判定該彈簧不起作用時(shí)，就取消該彈簧。將所有應(yīng)該取消的彈簧取消后，再重新計(jì)算，用新條件下所求得的位移，再判別保留下來(lái)的每根彈簧是否都起作用，取消所有不起作用的彈簧，再重新計(jì)算……，如此往復(fù)，直至每根彈簧都起作用，此時(shí)計(jì)算出的結(jié)果即為所求結(jié)果。二、結(jié)構(gòu)內(nèi)力計(jì)算對(duì)于支護(hù)結(jié)構(gòu)的梁?jiǎn)卧猧j，當(dāng)節(jié)點(diǎn)i和j的位移被求出后，就可以求出梁?jiǎn)卧膬?nèi)力。由式（2.2.10）可知，在局部坐標(biāo)系下，梁?jiǎn)卧膬?nèi)力為

{f′}={k′}{δ′}+{F′}

（2.6.3）由式（2.2.22）可知，局部坐標(biāo)系下的位移列陣與整體坐標(biāo)系下的位移列陣的轉(zhuǎn)換關(guān)系為：

{δ}={R}{δ′}

（2.6.4）單元在局部坐標(biāo)系下的內(nèi)力列陣為：

{f′}={k′}[R]T{δ}+{F′}

（2.6.5）上式中，{f′}={X