排列組合問題

排列組合問題：6位新教師全部分給4所學校，每校至少1人，共有多少種不同的分配方安？給每個學校分一個老師先，其分配方案為：第一個學校有6種可能，第二個學校有5種可能，第三個學校有4種可能，第四個學校有3個可能，即：A1=6*5*4*3；即A64(打不出來那種符號，理解便可)；然后是把兩個老師分到4個學校的問題了，即：剩下的兩個人每一個都有4種可能，他們可以去四所學校的任一學校A2=4*4；總的方案為：A=A1*A2；1.3名醫(yī)生和6名護士被分配到3所所為學生體檢，每校分配1名醫(yī)生和2名護士，不同的分配方法共有( )(A)90種 (B)180種(C)270種(D)540種【解析】三名醫(yī)生各自去一所學校，即對醫(yī)生或者學校其中一個全排列即可，A33=6種護士是每所學校去2名，即2，2，2的分配，因此是C62*C42/A33，然后對醫(yī)院全排列，即A33，所以護士是C62*C42(知識鏈接參考蘋果分盤子問題)A33*C62*C42=5402．5本不同的書，全部分給四個學生，每個學生至少1本，不同分法的種數為()(A)480(B)240(C)120 (D)96【解析】分配的方法是：1，1，1，2根據從左往右法直接列式C52*A44=2403．編號為1，2，3，4，5的五個人分別去坐在編號為1，2，3，4，5的座位上，至多有兩個號碼一致的坐法種數為() (先看29題)(A)90(B)105(C)109 (D)100【解析】至多有兩個號碼一致，要分情況考慮沒有號碼一致：即都不正確的方法是：44(全排錯，對應元素有5個)只有一個號碼一致：其他4個不正確的方法是：C51*9(全排錯，對應元素有4個)只有兩個號碼一致：其他3個不正確的方法是：C52*2(全排錯，對應元素有3個)44+C51*9+C52*2=109若把英語“errO中字母的拼寫順序寫錯了，則可能出現的錯誤的種數是()。(A)19(B)20 (C)119(D)60【解析】先對5個元素全排列，然后除去3個元素相同的情況，最后再減去正確的拼寫方法一種即可A55/A33-1=19某賽季足球比賽的計分規(guī)則是：勝一場，得3分；平一場，得1分；負一場，得0分，一球隊打完15場，積分33分若不考慮順序，該隊勝、負、平的情況有()(A)6種(B)5種(C)4種 (D)3種【解析】33=11*3+4*033=10*3+3*1+2*033=9*3+6*1+0*03種從6臺原裝計算機和5臺組裝計算機中任意選取5臺,其中至少有原裝與組裝計算機各兩臺,則不同的取法有（）種?！窘馕觥糠诸惪紤]：從6臺原裝計算機里面取2臺，再從5臺組裝計算機里面取3臺，C62*C53從6臺原裝計算機里面取3臺，再從5臺組裝計算機里面取2臺，C63*C52C62*C53+C63*C52=350在一次運動會上有四項比賽的冠軍在甲、乙、丙三人中產生，那么不同的奪冠情況共有（）種.（A）24 （B）64 （C）81 （D）6【解析】每一項比賽的冠軍都可以是甲乙丙三個人中的任意一個3人4=81有大小形狀相同的3個紅色小球和5個白色小球，排成一排，共有多少種不同的排列方法？【解析】對8個元素全排列，然后除去3個同色和5個同色的全排列即可A88/A33*A55或者在8個元素里面選出3個或者5個同色的即可C83=56某交通崗共有3人，從周一到周日的七天中，每天安排一人值班，每人至少值2天，其不同的排法共有（）種.（A）5040 （B）1260 （C）210 （D）630【解析】“蘋果分盤子的變形”將7天看成“蘋果”，3個人看成是3個“盤子”一周7天各不相同，人與人也不相同可以分配的方法是：2，2，3根據從左往右法直接列出式子C73*C42/A22*A33=630用數字0，1，2，3，4組成沒有重復數字的比1000大的奇數共有（）（A）36個 （B）48個（C）66個 （D）72個【解析】分四位數和五位數考慮，72現有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、20元、50元人民幣各一張，100元人民幣2張，從中至少取一張共可組成不同的幣值種數是（）（A）1024種（B）1023種（C）1536種（D）1535種【解析】“插板法”的運用除了100元，其他的人民幣都可以有選取或者不選取這兩種，2人9100元有三種，不選取、選取1張、選取2張，3再除去都不取的情況1種，答案即出來2人9*3-1=153512、 現有8個人排成一排照相，其中有甲、乙、丙三人不能相鄰的排法有（）種.【解析】“捆綁法”的運用將甲乙丙三人“捆綁”成一個元素，那么總的元素變成6個，A33*A66然后用總的8個元素全排列去減即可A88-A33*A6613、 高三年級的三個班到甲、乙、丙、丁四個工廠進行社會實踐，其中工廠甲必須有班級去，每班去何工廠可自由選擇，則不同的分配方案有（）（A）16種（B）18種 （C）37種（D）48種【解析】“逆向思維”來考慮不考慮甲廠必須要有班級的情況3個班級，每個班級都可以選擇4家廠中的任意一個，4人3都不取甲廠的情況：3人34人3-3人3=3714、 7名學生站成一排，甲、乙必須站在一起有多少不同排法？【解析】“捆綁法”的運用將甲乙捆綁成一個元素，總的元素變成6個A22*A6615、 7名學生站成一排，甲乙互不相鄰有多少不同排法？【解析】“插孔法”的運用7個人，除去甲乙2人，剩下5個人，有6個空在6個空中插入甲乙2人，C62*A22=A62然后對那5個人全排列即可A55*A6216、 正六邊形的中心和頂點共7個點，以其中3個點為頂點的三角形共有多少個?！窘馕觥?個點，任取3個，C73然后除去三個點在一條直線的即可C73-317、 1名老師和4名獲獎學生排成一排照像留念，若老師不排在兩端，則共有不同的排法種?！窘馕觥?個人全排列，然后去掉老師在兩端的情況即可A55-2A4418、 乒乓球隊的10名隊員中有3名主力隊員，派5名隊員參加比賽，3名主力隊員要安排在第一、三、五位置，其余7名隊員選2名安排在第二、四位置，那么不同的出場安排共有種?！窘馕觥咳髁υ谝弧⑷?、五位置上全排列即可，A33然后在剩下的7名非主力中選取2人分在二、四位置上即可A33*A72=25219、 某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目.如果將這兩個節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同插法的種數為（）A.42 B.30 C.20 D.12【解析】“插孔法”的運用5個節(jié)目，有6個空，插入一個即，6種6個節(jié)目，有7個空，插入一個即，7種6*720、12名同學分別到三個不同的路口進行車流量的調查，若每個路口4人，則不同的分配方案共有（）【解析】“蘋果分盤子”的運用分配方法：4，4，4根據從左往右法即可C（12，4）*C（8，4）21、從黃瓜、白菜、油菜、扁豆4種蔬菜品種中選出3種，分別種在不同土質的三塊土地上，其中黃瓜必須種植，不同的種植方法共有（）A.24種B.18種 C.12種D.6種【解析】先從除了黃瓜以外的其他三種蔬菜中取出2種，C32再對取出的3種蔬菜全排列即可C32*A33=1822、 把10本相同的書發(fā)給編號為1、2、3的三個學生閱覽室，每個閱覽室分得的書的本數不小于其編號數，試求不同分法的種數?！窘馕觥俊安灏宸ā钡倪\用先給編號是1，2，3的閱覽室分別給予0，1，2本書那么還剩下10-0-1-2=7本書題目轉化成：7本相同的書，分到3個閱覽室，每個閱覽室至少有一本書的情況。7本書，6個空，2塊板將其分成3分C6223、用0,2,3,4,5,五個數字，組成沒有重復數字的三位數，其中偶數共有（）°A.24個 B.30個C.40個D.60個【解析】分類考慮即可4*3+2*3*3=3024、 有8本不同的書；其中數學書3本,外語書2本,其它學科書3本．若將這些書排成一列放在書架上,讓數學書排在一起,外語書也恰好排在一起的排法共有（）種?！窘馕觥俊袄壏ā钡倪\用數學書、外語書,看成2個元素,那么總的元素變成5個,全排列再對數學書和外語書分別排列即可A33*A22*A5525、 用1、2、3、4、5、6、7、8組成沒有重復數字的八位數,要求1與2相鄰,2與4相鄰,5與6相鄰,而7與8不相鄰。這樣的八位數共有（）個?！窘馕觥?與2相鄰,2與4相鄰,那么情況要么是124,要么是421這兩種5月6相鄰,那么全部元素變成5種：124,3,56,7,8因為7、8不能相鄰,那么124,3,56這3個元素全排列,A33對56全排列，A22然后在124，3，56三個元素的4個空中插入7、8即可，A422*A22*A33*A42=28826、 6個人排隊，甲、乙、丙三人按“甲---乙---丙”順序排的排隊方法有多少種？【解析】甲乙丙的順序確定，那么對6個元素全排列后再除去3個元素的全排列即可A66/A3327、 4個男生和3個女生，高矮不相等，現在將他們排成一行，要求從左到右女生從矮到高排列，有多少種排法?！窘馕觥颗捻樞虼_定，那么對7個人全排列后再除去3個元素的全排列即可A77/A3328、 7個人坐兩排座位，第一排3個人，第二排坐4個人，則不同的坐法有多少種？【解析】7個人可以任意坐，直接對人全排列即可A7729、 將數字1，2，3，4填入標號為1，2，3，4的方格中，每方格填1個，方格標號與所填數字均不相同的填法種數有()A.6 B.9 C.ll D.23【解析】元素是1個：0種元素是2個：1種元素是3個：2種元素是4個：9種元素是5個：44種元素是6個：265種 本題的全排錯元素有4個，故為9種30、方程a+b+c+d=12有多少組正整數解【解析】正整數就是除去0的自然數1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1=1211個加號，選取其中的3個加號即可C(11，3)31、從4臺甲型和5臺乙型電視機中任意取出3臺，其中至少要甲型與乙型電視機各一臺，則不同的取法共有()種.A.140種B.80種 C.70種 D.35種【解析】先從4臺甲型電視機中取1臺，5臺乙型電視機中取2臺，C41*C52再從4臺甲型電視機中取2臺，5臺乙型電視機中取1臺，C42*C51加起來即可C41*C52+C42*C51=7032、從1到100的自然數中，每次取出不同的兩個數，使它們的和大于100，則不同的取法種數有多少種?！窘馕觥壳蠛凸接涀〖纯蒒A2=50A2=250033、六人站成一排，求甲不在排頭，乙不在排尾的排列數甲不在排頭，乙不在排尾，且甲乙不相鄰的排法數【解析】六個人全排列－(甲在排頭+乙在排尾)+甲在排頭乙在排尾A66-2A55+A44對除了甲乙的其他4個人全排列，A444個人有5個空_人_人_人_人_甲在第二個空時，乙可以在：1，3，4空甲在第三個空時，乙可以在：1，2，4空甲在第四個空時，乙可以在：1，2，3空甲在第五個空時，乙可以在：1，2，3，4空所以答案就是：A44*(3+3+3+4)=31234、某同學逛書店，發(fā)現三本喜歡的書，決定至少買其中一本，則購買方案有A.3種B.6種C.7種D.9種【解析】正面法考慮：一本的情況有：C31=3種兩本的情況有：C32=3種三本的情況有：C33=1種3+3+1=7種反面法考慮：隨便拿的情況：2人3=8種一本都不拿的情況：C30=1種8-1=7種35、某公共汽車上有10名乘客，沿途有5個車站，乘客下車的可能方式有（）A.5T0種B.10A5種C.50種D.以上都不對【解析】每個人都可以選擇任何一個車站下車，5A10種36、某高校從8名優(yōu)秀畢業(yè)生中選出5名支援中國西部開發(fā)建設，某人必須當選的種數是（）A.35 B.56 C.21 D.36【解析】某人必須當選，這個人已經確定了，剩下7個人中選4個即可，C74=3537、某種產品有4只次品和6只正品，每只產品均不相同，但需進行科學測試才能區(qū)分出來，今每次取出一只測試，直到4只次品全測出為止，則最后一只次品恰好在第五次測試時被發(fā)現的不同情況共有種數是（）A.24 B.144 C.576 D.720【解析】第五個是次品，有4種情況，前面四個里面有3個是次品，因為各不相同，所以4*A43*6=57638、 甲、乙兩人參加環(huán)保知識競答，共有8道不同的題目，其中選擇題5個，判斷題3個，甲、乙二人依次各抽一題甲抽到選擇題、乙抽到判斷題的概率是【解析】5/8*3/7=15/5639、 用0，1，2，3，4，5六個數碼，可以組成無重復數字且被5整除的四位數的個數是（）【解析】被五整除，末尾是0或者5當末尾是0時有：A53=60當末尾是5時有：4*4*3=4860+48=10840、某運輸公司有7個車隊，每個車隊的車都多于4輛且型號相同，要從這7個車隊中抽出10輛車組成一個運輸車隊，每個隊至少抽1輛車，則不同的抽法有()種?！窘馕觥?0輛車，分配到7個車隊，每個車隊至少要有1輛車。滿足插板法10輛車，9個空，6塊板將其分成7份C96=8441、10件新產品中有一等品7件，二等品2件，三等品1件，從中任取3件，一等品、二等品、三等品各一件的概率是()?！窘馕觥?C71*C21*C11)/C(10，3)=7/6042、 某班有12名工人，其中A型血3人，B型血3人，O型血4人，AB型血2人，隨意抽取2人去驗血，恰有2人是相同血型的概率是()?！窘馕觥?C32+C32+C42+C22)/C(12，2)=13/6643、 從3位老師和8位學生中，選派1位老師和2位學生一起參加某項活動，不同的選派方法的種數是()?！窘馕觥緾31*C82=84種44、 有三個袋子，其中一個袋子裝有紅色小球20個，每個球上標有1至20中的一個號碼.一個袋子裝有白色小球15個，每個球上標有1至15中的一個號碼，第三個袋子裝有黃色小球8個，每個球上標有1至8中的一個號碼。(1)從袋子里任取一個小球，有多少種不同的取法?口(1)從袋子里任取紅、白、黃色球各一個，有多少種不同的取法?【解析】總共有20+15+8=43個小球，那么就有43種取法20*15*8=2400種取法45、5男5女共10個同學排成一行女生都排在一起，有幾種排法?女生與男生相間，有幾種排法?任何兩個男生都不相鄰，有幾種排法?5名男生不排在一起，有幾種排法?男生甲與男生乙中間必須排而且只能排2位女生，女生又不能排在隊伍的兩端，有幾種排法?【解析】5個女生捆綁在一起再加上5個男生，就是6個元素，A66*A55即可A55*A55*2即可5個女生6個空，A65*A55即可全排列－男生排在一起=男生不排在一起，A(10，10)-A66*A55即可分情況討論甲在第一個位置時：甲__乙 男甲乙排列，A22；中間兩個女生排列，A52；接下去5個人全排列，A55;最后一個是男生，A31。即A22*A52*A55*A31=A33*A52*A55甲不在第一個位置時：“甲__乙”看成一個元素，首尾有兩個男生，即A22*A32*A52*A55因此答案就是上面的相加即可46、 要從12人中選出5人去參加一項活動，按下列要求，有多少種不同選法?A、B、C三人必須入選A、B、C三人不能入選A、B、C三人只有一人入選A、B、C三人至少一人入選A、B、C三人至多二人入選【解析】在除了ABC三人以外的其他9人中取2人即可，C92=36在除了ABC三人以外的其他9人中取5人即可，C95=126在除了ABC三人以外的其他9人中取4人即可，C31*C94=378正面法考慮：三人中有一個的情況：剩下9人中選取4人，C31*C94=378三人中有兩個的情況：剩下9人中選取3人，C32*C93=252三人中都有的情況：C92=36378+252+36=666反面法考慮：除去三個人都沒入選的情況：C(12，5)-C95=666(5)正面法考慮：沒有一個入選的情況：C95=126只有一個入選的情況：C31*C94=378只有兩個入選的情況：C32*C93=252126+378+252=756反面法考慮：除去三人都入選的情況即可，C(12，5)-C92=75647、 有紅、黃、綠三種顏色的卡片，每種顏色均有A、B、C、D、E字母的各一張，現每次取出五張，要求字母各不相同，三種顏色齊備，問有多少種不同的取法?【解析】分配方法：113和122C53*3!=60C52*C32/2*3!=9060+90=15048、將5封信投入3個郵筒，不同的投法共有()種?！窘馕觥?封信都有3個選擇，3A549、同室4人各寫1張賀年卡，然后每人從中拿1張別人送出的賀年卡，則4張賀年卡不同的分配方式有（）種?！窘馕觥咳佩e數列，元素有4個，對應9種50、某單位準備用不同花色的裝飾石材分別裝飾辦公樓中的辦公室、走廊、大廳的地面及樓的外墻，現有編號為1到6的6種不同花色的石材可選擇，其中1號石材有微量的放射性，不可用于辦公室內，則不同的裝飾效果有（）種?！窘馕觥哭k公室有5種選擇，其他三個地方分別由A53種答案就是：5*A53=30051、某銀行儲蓄卡的密碼是一個4位數碼，某人采用千位、百位上的數字之積作為十位個位上的數字（如2816）的方法設計密碼，當積為一位數時，十位上數字選0.千位、百位上都能取0.這樣設計出來的密碼共有（）種?！窘馕觥壳粩底譃?時，百位取[0，9]10個千位數字為1時，百位取[0，9]10個千位數字為2時，百位取[0，9]10個千位數字為3時，百位取[0，9]10個千位數字為9時，百位取[0，9]10個因此，共有10*10=100種52、 某班上午要上語、數、外和體育4門課，如體育不排在第一、四節(jié)；語文不排在第一、二節(jié)，則不同排課方案種數為（）?！窘馕觥康谝还?jié)課不安排體育和語文，那么第一節(jié)課有2種選擇第二節(jié)課不安排語文，那么第二節(jié)課有除去第一節(jié)課，剩下2種選擇，這時要分類考慮：第二節(jié)課是體育的話：第三節(jié)課有2種選擇第二節(jié)課不是體育的：第三節(jié)課有1種選擇（只能上體育）所以答案就是：2*（2+1）=653、 四個不同的小球全部放入編號為1、2、3、4的四個盒中。恰有兩個空盒的放法有（）種；甲球只能放入第2或3號盒，而乙球不能放入第4號盒的不同放法有（）種【解析】分配方法有：0013和0022這兩種，根據從左往右法：（C43+C42/A22）*A42=84甲在第2號盒子的時候，乙可以在1、2、3號盒子，丙丁可以在1，2，3，4號盒子，所以有3*4*4=48種甲在甲在第3號盒子的時候，乙可以在1、2、3號盒子，丙丁可以在1，2，3，4號盒子，所以有3*4*4=48種因此答案為：48*2=9654、 設有編號為1、2、3、4、5的五個茶杯和編號為1、2、3、4、5的5個杯蓋，將五個杯蓋蓋在五個茶杯上，至少有兩個杯蓋和茶杯的編號相同的蓋法有（）種?！窘馕觥咳佩e問題至少有兩個杯蓋和茶杯的編號相同，分類兩個都相同，那么三個都不同：C53*2=20三個都相同，那么兩個都不同：C52*1=10四個都相同，那么一個都不同：C51*0=0五個都相同，那么沒有都不同：120+10+1=31種55、 某人射擊8槍，命中4槍，4槍命中中恰好有3槍連在一起的情況的不同種數為（）?！窘馕觥坷壏?、插空法的綜合運用連著命中的3槍和單獨命中的1槍不能“相遇”，看成2份因此在剩下沒命中的4槍里，出現5個空，C52然后對2份全排列即可，A22答案就是：C52*A22=2056、 把一同排6張座位編號為1，2，3，4，5，6的電影票全部分給4個人，每人至少分1張，至多分2張，且這兩張票具有連續(xù)的編號，那么不同的分法種數有（）種?！窘馕觥空婵紤]：分配的情況是：1，1，2，2出現兩個連號的情況我們分類討論：12在一起：34，45，563種23在一起：45，562種34在一起：3+2+1=6種561種在4個人中選取兩個人去拿2張票的情況，A42=12再對拿兩張票的人全排列，A22因此答案就是：6*A42*A22=144種反面考慮：6張票分給4個人，利用插板法：C53*A44分配的情況有：1，1，2，2和1，1，1，3這兩種情況因此只需要減去1，1，1，3這種情況即可票出現3個連號的情況：123，234，345，456這4種，4*A44因此：C53*A44-4*A44=14457、 某化工廠實驗生產中需依次投入2種化工原料，現有5種原料可用，但甲、乙兩種原料不能同時使用，且依次投料時，若使用甲原料，則甲必須先投放.那么不同的實驗方案共有（）種?！窘馕觥糠诸愑懻摚簺]甲時，在剩下的4種里面取2種：A42=12種有甲時，在除了乙以外的其他3種里選取2種：C32=3種12+3=15種58、 某公司新招聘進8名員工，平均分給下屬的甲、乙兩個部門.其中兩名英語翻譯人員不能同給一個部門；另三名電腦編程人員也不能同給一個部門，則不同的分配方案有（）種?！窘馕觥科骄峙?，那么甲乙各有4人英語翻譯人員：1，1A22電腦編程人員：1，2A32其他三個人員：2，1C32所以答案就是：A22*A32*C32=3659、9名翻譯中，6個懂英語，4個懂日語，從中選撥5人參加外事活動，要求其中3人擔任英語翻譯，選撥的方法有()種?！窘馕觥靠偣灿?個人，有6個懂英語、4個懂日語，那么9個人中有1個既懂英語又懂日語，即5人懂英語，3人懂日語，1人兩樣全懂。正面法考慮：全懂的去做英語翻譯：C52*C32=30全懂的去做日語翻譯：C53*C31=30全懂的沒有參加：C53*C32=3030+30+30=90反面法考慮：全部的情況－全懂的既做英語翻譯又做日語翻譯：C63*C42－C52*C31=120-30=9060、從7名男同學和5名女同學中選出5人，至少有2名女同學當選的選法有()種?！窘馕觥空娣紤]：有2名女同學的情況：C52*C73=350有3名女同學的情況：C53*C72=210有4名女同學的情況：C54*C71=35有5名女同學的情況：C55*C70=1350+210+35+1=596反面法考慮：所有的情況－(沒有女同學+有1名女同學的情況)即可C(12，5)－(C50*C75+C51*C74)=59661、 4名醫(yī)生和6名護士組成一個醫(yī)療小組，若把他們分配到4所學校去為學生體檢，每所學校需要一名醫(yī)生和至少一名護士的不同選派方法有()種?！窘馕觥酷t(yī)生的分配：1,1,1,1即全排列即可，A44護士的分配：1,1,1,3和1,1,2,2即(C63+C62*C42/A22)*A44相乘得到：A44*(C63+C62*C42/A22)*A44=3744062、 10個相同的球各分給3個人,每人至少一個,有多少種分發(fā)？每人至少兩個呢?【解析】滿足插板法的三個條件,C92=36蘋果轉換法即可,C62=1563、從6雙不同顏色的手套中任取4只,其中恰好有一雙同色的取法有 。(A)240 (B)180 (C)120 (D)60【解析】先從6雙中取出一雙，C61再從5雙中取出2雙，C52然后取出的2雙分別有2只，區(qū)分左右手，即2人2因此答案就是：C61*C52*2人2=24064、 清明節(jié)三天假期，公司售后服務部要求必須每天有三人值班，而且每天必須有兩名男職員，安排服務部的4男3女值班的方法有多少種？（）【解析】總共安排的總數有：C42*C31+C43*C30=18+4=22種現在有3天，那么總的情況就是：22人3種65、 某單位今年新進了3個工作人員，可以分到3個不同的部門，但是每個部門最多只能接收兩個人，問，共有幾種不同的分配方案？【解析】分配方式：0，1，2和1，1，1根據從右往左法直接列式：（C32+1）*A33=2466、 5男4女排成一排，要求男生必須按從高到矮的順序，共有多少種不同的方法?【解析】男生順序已經確定，所以在全排列的基礎上去掉男生全排列即可A99/A55=A9467、 一張節(jié)目表上原有3個節(jié)目，如果保持這3個節(jié)目的相對順序不變，再添進去2個新節(jié)目，有多少種安排方法？（08國考）A.20 B.12 C.6 D.4【解析】插孔法：4*5=2068、 廚師從12種主料中挑出2種，從13種配料中挑選出3種來烹飪某道菜肴，烹飪的方式共有7種，那么該廚師最多可以做出多少道不一樣的菜肴A.131204 B.132132 C.130468D.133456【解析】分別選取即可，根據乘法原理C（12，2）*C（13，3）*769、 有6個不同的徽章分給4個人有幾種分法？有6個相同的徽章分給4個人有幾種分法？【解析】4人6插板法：C（9，3）70、10個人坐成一個圓圈，問不同坐法有多少種？【解析】十個人全排列：A(10,10)因為ABCDEFGHIJ和BCDEFGHIJA等十個相同，故A(10,10)/10=A(9,9)即可71、 用1、2、3、4、5、6、7、8、9組成數字不重復的九位數,但要求1排在2前面,求符合要求的九位數的個數?！窘馕觥繉?個數字全排列,A（9,9）,因為1不在2前面就在2后面故答案為：A（9,9）/272、 7個人坐成一排照像,其中甲、乙、丙三人的順序不能改變且不相鄰,則共有多少排法?！窘馕觥咳サ艏滓冶齻€人以外,剩下4個人,5個空把甲乙丙按照一定順序放進5個空中,C53所以排法數就是：C53*A4473、 一排共9個座位,甲、乙、丙三人按如下方式入座,每人左、右兩旁都有空座位,且甲必須在乙、丙兩人之間,則不同的坐法共有幾種【解析】甲乙丙順序已定,剩下6個人中間有5個空,C53乙丙全排列A22答案就是：C53*A2274、 將9個學生分配到甲乙丙三個宿舍,每宿舍至多四人（床鋪不分次序）,則不同的分配方法有幾種？【解析】分配方法：1,4,4 2,3,43,3,3根據從右往左法得到：（C94*C54+C94*C53+C93*C63/A33）*A3375、 將"一寸光陰一寸金"全取重新排列,問一任意排列有幾種排法?二同字不相鄰，則有幾種排法？【解析】：全排列，去掉“一”、“寸”各自排列即可，A77/A22/A22：任意排列一“一”、“寸”分別相鄰+“一”、“寸”都相鄰A77/A22/A22-2*A66/A22+A5576、 甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛等八人排成一列，若甲、乙不排首位，丙、丁不排末位，則有幾種排法？【解析】全排列－甲（或乙）在首位－丙（或?。┰谀┪?甲（或乙）在首位、丙（或?。┰谀┪布矗篈88-4*A77+4*A6677、 設有相同的白球6個，紅球7個，黑球8個，從中任取4個球取法有幾種？又排成一列有幾種方法？【解析】：分類討論一種顏色：3種兩種顏色：3*3=9種三種顏色：3種所以總共有：3+9+3=15種或者，紅白黑三種顏色的小球都大于4個，所以整個為一個重復組合即H（4，3）=C（4，3+4-1）=C（4，6）=15種②：因為每個位置上可以有3種選擇，所以是3*3*3*3=3人4=81種78、設x+y+z+u=12，求正整數解有幾組？非負整數解有幾組？正奇數解有幾組？x>2,y>3,z>-4,u>-5，之整數解有幾組？【解析】：正整數解，則x、y、z、u都>1，滿足至少一個的情況，用插板法即可C（11,3）非負整數解，則x、y、z、u都>0,原式子化成（x+1）+（y+1）+（z+1）+（u+1）=16，這樣滿足插板法，C（15，3）：正奇數解，則（x+1）/2、（y+1）/2、（z+1）/2、（u+1）/2都是正整數解，原式子化成x+1）/2+（y+1）/2+（z+1）/2+（u+1）/2=8，滿足插板法C（7，3）：x>2,y>3,z>-4,u>-5，則x-2>0,y-3>0,z+5>l,u+6>l原式子化成（x-2）+（y-3）+（z+5）+（u+6）=18,滿足插板法C（17，3）79、 四對夫妻參加一個舞會，試就下列情況求各有幾種方法？①男女任意配對。有兩位先生不以其妻為舞伴。有三位先生不以其妻為舞伴。位先生均不以其妻為舞伴?！窘馕觥浚簩δ械娜帕校ɑ蛘邔ε娜帕屑纯桑珹44=24：有兩位先生不以其妻為舞伴，所以C42*1=6：有三位先生不以其妻為舞伴，所以C43*2=8：四位先生均不以其妻為舞伴，所以C44*9=980、 爸爸、媽媽、哥哥與妹妹4人參加喜宴，與其他客人坐滿一桌12個坐位。若桌子為圓桌，且此12人任意圍圓而坐，則有幾種不同的坐法？若桌子為圓桌，而爸爸、媽媽、哥哥與妹妹4人坐位相鄰且哥哥、妹妹夾坐于爸爸、媽媽中間，則有幾種不同的坐法?若桌子為長桌，長邊坐4人，短邊坐2人，此12人任意圍坐，有幾種不同的坐法呢？【解析】①：（12-1）!=11!：四個人捆綁成一個元素，剩下8個人，合起來就是9個元素，（9-1）!=8!,然后再對爸爸媽媽以及哥哥妹妹全排列即可，8!*2!*2!：將12人排成直線就是12!,然后因為1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12和7,8,9,10,11,12,1,2,3,4，5，6是相同的，所以答案為：12!/281、設x+y+zV12，求正整數解有幾組？②非負整數解有幾組？【解析】和78題類似：C(11,2)：C(14，2)82、設有四支相同的筆，分給甲、乙、丙、丁、戊、己，等六人，①任意分有幾種分法？②甲至多一枝有幾種分法？每人至多一枝有幾種分法？【解析】：“蘋果轉換法”，假設六個人已經沒人都有一支相同的筆，那么筆的總數變成10支，10支筆9個空，找5塊板將其分給6個人即可，C(9，5)：分類討論甲一支都沒有時：同①，C(8,4)甲只有一支筆時：同①，C(7,4)答案加起來即可：分配方式為：0,0,1,1,1，1，就是6個人選4個人去拿蘋果，C6483、甲、乙、丙等9人，任選5人圍圓桌而坐，其余4人圍方桌而坐，而且甲、乙不能同桌，會有幾種不同的坐法呢?【解析】“全排列”－“甲乙在一桌即可”A(9,5)/5*A(4,4)/4－A(7,4)/4*A(5,5)/5-A(7,5)/5*A(4,4)/4=A94*A33-A73*A44-A74*A3384、 有不同色之珠子10顆,取六顆串成一項鏈,并從剩下的珠子里面取一顆放于環(huán)心,求其方法數?！窘馕觥?0顆里面取6顆,A(10,6)再從剩下的4顆里面選1顆,C41因為項鏈可以翻轉,所以要*1/2然后排列即可,答案為：A(10,6)/6*C41*1/285、 設有七支相同的筆,分給甲乙丙三人,求任意分有幾種分法？甲至少一支有幾種分法？每人至少一支有幾種分法？甲至少一支，乙至少二支有幾種分法？【解析】TOC\o"1-5"\h\z：C92：C82：C62：C6286、有一正三角柱，即頂面與底面為兩全等正三角形，側面為三全等矩形。今欲從7種顏色中選取5種涂于此柱，各面異色，可得()種不同的正三角柱?！窘馕觥繉θ〕龅?種顏色全排列，因為旋轉后側面有3種相同，底面有2種相同，所以再/2*3=6即可，A75/2*387、一平面上有12點，其中有5點共線，其余任意三點不共線，問：這些點可以連成多少條直線?幾個三角形?【解析】：逆向思維2點確定一條直線12個點可以有C（12，2）條直線5個點可以有C（5，2）條直線C（12，2）－C（5，2）+1（+1是5個點共線的情況）：逆向思維3點確定一個三角形C（12，3）－C（5，3）88、將18本不同的寫真集，依6本、6本、6本分成三堆之方法有幾種？5本、5本、8本分成三堆之方法有幾種？5本、6本、7本分成三堆之方法有幾種？【解析】：分配方法是6，6，6C（18,6）*C（12,6）/A33：分配方法是5，5，8C（18，8）*C（10，5）/A22：分配方法是5，6，7C（18，7）*C（11，6）89、從1到20的自然數中，選出相異三數，求下列組合數各為多少:三數中的最大數大于10?三數中的最大數大于17且最小數小于3?【解析】：任意取3個數，C（20，3）再選取都小于10的情況，C（10，3）所以是C（20，3）-C（10，3）：分類討論最小數在［1,2］時，其他兩個在［18,20］，有2x3=6種最小和第二小數在［1,2］時，最大數在［18,20］，有1x3=3種最小數在［1，2］，中間數在［3，17］，最大數在［18，20］時，2x15x3=90種所以答案就是：6+3+90=99種90、假設某餐廳備有肉4種，魚3種，蔬菜5種，有位客人預計各點一種肉、魚、和蔬菜，問他可有幾種點菜的方法？【解析】種肉中選1種，C413種魚中選1種，C31種蔬菜選1種，C51答案就是：C41*C31*C51=6091、一兔穴有進出口4處，問由不同進出口進出的方法有幾種？【解析】入口有4種選擇，出口有3種選擇4x3=12種92、 某商店販賣5家廠商出品的牙膏，而每一家廠商出品的牙膏都有3種大小不同的包裝，又每種包裝均分含有氟化物及不含氟化物的2種，今某人欲在此商店選購一支牙膏，問方法有幾種？【解析】乘法原則：5x3x2=30種93、 由1,2,3,4,5,6,7,8,9九個數字所構成的三位數有多少個?其中數字可以重復出現?！窘馕觥咳粩?，每個位有9種選擇，9人3=72994、 將5個不同的球放入4個不同盒子中，每個盒子裝球的數量不限，試問共有幾種放法?【解析】每個小球有4種選擇，4人595、 某地共有6家飯店，今有3人欲投宿至此地之飯店，試問共有幾種投宿法?【解析】每個人有6種選擇，6人396、 有5件獎品要分給7個人，每人可拿超過一件，試問共有幾種方法?【解析】每件獎品有7種選擇，7A597、 將4種酒倒入3個不同的酒杯，每杯都要倒酒，且只能倒一種酒，試問共有幾種倒法?【解析】3個酒杯都有4種選擇，4人398、 將3顆不同的珠子（紅、黃、藍），作成一條手鍊，可作成幾條不同的手鍊呢？【解析】2！/2=199、 有10顆不同的珠子全部串成一條項鍊，有多少種不同的串法？取出6顆串成一條項鍊，有多少種不同的串法?【解析】：9！，然后因為項鏈可以翻轉，所以再*1/2即可，9！/2：A（10，6）/6，同上，A（10，6）/6/2100、 用9粒不同色鉆石，取5粒做項鍊，問有多少種不同的串法？【解析】A（9，5）/5/2101、有紅、黃、藍等20顆不同色的珠子，串成一個項鍊，若紅、黃、藍三色相鄰，可串成幾種不同的項鍊？【解析】紅、黃、藍捆綁成一個元素，剩下17顆珠子，所以共有18個元素所以對（18-1=17）全排列，再對紅黃藍全排列，最后因為翻轉再*1/2即可17!x3!/2102、有四種不同顏色的珠子，每種顏色均有大小各一，共8顆串成一串珠鍊，大小相隔且同色相鄰，則可串成幾種不同的珠鍊？【解析】同色捆綁，捆成4捆，3!/2，再對同色排列即可3!x2!/2103、 有10顆不同的珠子，取出其中6顆作一項圈，再取出另一顆放在項圈中心，若項圈可翻轉，試問共有多少種不同的做法?【解析】A（10，6）/6x4/2104、 若要從A,B,C,D,E五個人之中不考慮次序選出三個人作為一組，參加三對三籃球賽，將會有多少種選法?【解析】C53=10105、從6個男生，5個女生當中選出五人組成一個委員會，但規(guī)定男女生至少各有2人，問有多少種選法?【解析】C62*C53+C63*C52106、從6個男生，5個女生當中選出五人組成一個委員會，但規(guī)定最少要有一名女生委員，問有幾種不同的選法?【解析】C（11，5）－C（6，5）107、 一副撲克牌共有52張，自一副撲克牌中任取5張，試求下列的情形各有幾種:Full-house（5張之中有2張同點數，另外3張亦同點數）Two-pairs（即點數如（x,x,y,y,z）的形式，但x,y,z是不同點數）同花順同花（不含同花順）【解析】：A（13，2）xC42xC43：A（13，3）xC42xC42xC41：4x10：4x[C（13，5）－10）]108、 自一副撲克牌中任取13張，試求13張牌中至少有一張黑桃的情況有幾種?【解析】52張牌中選13張，C（53，13）在沒有黑桃的39張中選13張，C（39，13）答案就是：C（53，13）－C（39，13）109、 右圖是由三組平行線構成，試問：①圖中共有 個三角形圖中共有 個平行四邊形圖中共有 個梯形（平行四邊形不視為梯形）【解析】：三邊確定一個三角形，2x3x4=24：四邊確定一個三角形，C22xC32+C22xC42+C32xC42=27：C22xC31xC41+C32xC21xC41+C42xC21xC31=72110、 試問下圖中有多少矩形?從左上角走到右下角，每次走一段，請問最捷徑的方法有多少種？【解析】1、 C72xC622、 向下走5段，向左走6段，總共需要走11段，C（11，5）種111、 同花色的13張撲克牌中，若把J,Q,K,A等四張表示的牌稱為大牌，試求自此13張牌中任意抽出3張，其中恰含有二張大牌的組合數?【解析】C42xC91=54112、有8位旅客搭乘一列掛有4節(jié)車廂的火車，試求：第一節(jié)車廂恰有2位旅客之坐法有幾種？每節(jié)車廂皆有其中2位旅客之坐法有幾種?【解析】：8個旅客選2個進第一節(jié)車廂，C82剩下6個人任意坐，每個人有3種選擇，3人6答案就是：C82x3A6：分配情況是：2，2,2，2C82xC62xC42113、 從1到50之正整數中任意取出3個，若其和為3之倍數的共有幾種？若三數相乘，其積為3之倍數的共有幾種？【解析】：50/3=16 2所以有17個除以3余1的數，17個除以3余2的數，16個除以3余0的數三個數之和是3的倍數，組合的情況是：000、111、222、012這4種000時：C（16，3）111時：C（17，3）222時：C（17，3）012時：16x17x17加起來就是答案：C（16，3）+C（17，3）+C（17，3）+16x17x17：分類討論1張除以3余0的時候：13xC（34，2）2張除以3余0的時候：C（13，2）xC（34，1）3張除以3余0的時候：C（13，3）114、 如下圖之街道圖，某人欲從A走捷徑至B但不經過C,試問共有幾種走法？【解析】A到B任意走的情況：(7+4)！/7！/4！=C(11，4)經過C的情況：(3+1)!/3!x(4+3)!13!/4!=C(4,3)xC(7,3)減一下就是答案：C(11,4)-C(4,3)xC(7,3)=330—140=190115、 三個"1",二個"3",一個"0"及一個"8",共七個數字排成一列,試問可排成幾個不同的7位數?【解析】任意排列：7!/3!/2!=4200在首位：6!/3!/2!=60420-60=360個116、 甲、乙、丙、丁、戊、己為三男三女,圍一圓桌而坐,則男女相隔的坐法有幾種?【解析】3個男生全排列：3!3個男生中間有3個空3個女生放進去全排列：3!/3=2!所以是：3!x2!=12種117、 五對夫婦圍一圓桌而坐,男女相間之坐法有幾種?【解析】5個男士全排列：5!5個男士中間有5個空5個女士放進去全排列：5!/5=4!所以是：5!x4!118、 甲、乙、丙、丁、戊、己6人圍圓而坐,若甲乙兩人相鄰而坐,其坐法有幾種?【解析】甲乙捆綁成一個元素,算上剩下的4個人,共有5個元素,5!/5=4!甲乙全排列：2!所以答案是：4!x2!119、乙、丙、丁、戊、己6人圍圓而坐,若甲、乙、丙三人相鄰而坐,其坐法有幾種？【解析】甲乙丙捆綁,剩下3個人,組成4個元素：4!/4=3!然后對甲乙丙全排列：3!答案就是：3!x3!120、 甲、乙、丙三人一起去吃飯,他們挑了一正方桌而坐,每邊至多坐一人,請想想他們三人會有幾種不同的坐法呢？【解析】將3個人和1個空位看成4個元素,4!方桌有4邊,所以答案為：4!/4=3!121、 用六種顏色涂一正四面體,使其每面顏色均不同之方法數為何？【解析】六種顏色涂四個面：A(6,4)正四面體旋轉有3種,然后有4個相同的面所以答案為：A(6,4)/3/4=30種122、用6種顏料涂一正方體之每邊，且各面須異色，則可涂出若干種不同色彩之正方體?【解析】六種顏色涂六個面：6！正方體翻轉數有6，旋轉數有4所以答案為：6！/6/4=30種123、若由10種顏料來涂此正方體，情形又如何?【解析】10種顏料涂六個面：A(10,6)正方體翻轉數有6，旋轉數有4所以答案為：A(10,6)/6/4=6300種124、 有一正三角柱,即頂面與底面為兩全等正三角形,側面為三全等矩形。今有7種顏色,涂于此柱,各面異色,可得多少種不同正三角柱?！窘馕觥?種顏色涂5個面：A(7,5)正三角柱旋轉數有3,翻轉數有2所以答案為：A(7,5)/3/2=420種125、 有一圓柱,今有10種顏色,涂于此圓柱上,各面異色,可得幾種不同的圓柱?【解析】10種顏色涂3個面：A(10,3)圓柱體旋轉數為1,翻轉數為2所以答案為：A(10,3)/1/2=360種126、 用5種不同的顏色涂抹一直圓錐,規(guī)定每面僅涂一色,而且相鄰兩面不能涂同色,則其涂法有幾種?【解析】5種顏色涂2個面：A(5,2)圓錐旋轉數有1,翻轉數有1所以答案為：A(5,2)/1/1=20種127、5名學生分配到4個不同的科技小組參加活動,每個科技小組至少有一名學生參加,則分配方法共有 種.【解析】分配方法：1,1,1,2C52*A44=240128、 六個人站一排甲不在排頭,乙不在排尾的排列數【解析】A66-2A55+A44=504甲不在排頭,乙不在排尾,且甲乙不相鄰的排法數【解析】甲在第二個位置,乙可以在第四、五的位置甲在第三個位置,乙可以在第一、五的位置甲在第四個位置,乙可以在第一、二的位置甲在第五個位置,乙可以在第一二三的位置甲在第六個位置，乙可以在第一二三四位置所以總的情況是：A44*（2+2+2+3+4）=312129、從0,1,2, , 9中取出2個偶數數字，3個奇數數字，可組成多少個無重復數字的五位數?【解析】出現0時，C41*C53=40，40*4*3*2=3840沒出現0，C42*C53=60，60*5*4*3*2=72003840+7200=11040種130、電梯有7位乘客，在10層樓房的每一層停留，如果三位乘客從同一層出去，另外兩位在同一層出去，最后兩人各從不同的樓層出去，有多少種不同的下樓方法?【解析】分配方法：1，1，2，3C73*C42*A（10，4）131、某班的10人中恰有班干部和團干部各5名（1）班干部不全排在一起；【解析】10！-5！*6?。?）任何兩名團干部都不相鄰；【解析】5！*A65（3）班干部和團干部相間排列?！窘馕觥?！*5！*2排列組合問題解析2008年12月25日星期四09:36P.M.排列組合應用問題，題型繁多，解法獨特，但經仔細分析研究，還是有一定規(guī)律可循。關鍵是掌握兩個計數原理及排列組合的定義，了解一些基本題型及其解法，掌握基本的一些分析問題的方法。一、基本題型及其解法（1）純排列問題“從幾個不同元素中取出m個元素的排列”是最簡單的純排列問題，但是它有三種題型變化，下面分別用例題予以說明。例1現有九位同學排成一行，試問：如果其中甲、乙兩位同學必須排在兩端，那么一共有多少種排法？如果甲不能排在最左端，乙不能排在最右端，那么一共有多少種排法？本例是屬于“某些元素'在'或'不在'某幾個位置上”的一種排列題型?！霸凇?，一般用直接法解，即先取出這幾個元素并讓它們落在指定的位置上，然后再考慮其它元素；“不在”，一般用間接法，轉化為“在”來求解。例2現有五位男同學，四位女同學排成一行，試問：如果男女同學各自排在一起，那么一共有多少種排法？如果男女同學相間地排，那么一共有多少種排法？本例是屬于“某些元素'相鄰'或'不相鄰'的一種排列題型?！跋噜彙眲t將這要求“相鄰”的m個元素捆綁起來看成一個整體（一個大元素）與另外（n-m）個元素進行全排列，再乘以這m個元素自身的全排列數即種排法；“不相鄰”，一般用插空法來解，即先將另外p（P三m-1）個元素排好，留出（p+1）個空擋，再讓這不能相鄰的m個元素插進去，共有排法（種）。例3 現有五位男同學，四位女同學排成一行，試問：如果其中甲、乙、丙三人次序一定，那么一共有多少種排法？如果男同學次序一定，女同學次序也一定，那么一共有多少種排法？本例是屬于“某幾個元素“次序一定”的一種排列題型。它的解法是先將n（n〉m）個元素全排列有種，就其中m個元素而言有種排法，但由于要求這m個元素次序一定，因此只能取 中的某一種排法，故共有排法/種，即順序固定問題用除法。（2） 純組合問題“從幾個不同元素中取出m個元素的組合”是最簡單的純組合問題，但是它有兩種題型變化，下面分別用例題予以說明。例4現從五位男同學，四位女同學中選出5名代表，試問其中：男甲、女A都必須當選，有幾種選法？男甲必須當選，女A不能當選，有幾種選法？本例是屬于“'含有'或'不含有'某些元素”的一種組合題型?！昂眲t先將這些元素取出，再由另外元素補足；“不含”則先將這些元素剔除，再從留下的元素中去取。例5現從五位男同學，四位女同學中選出5名代表，試問其中：至少有一個女同學當選，有幾種選法？最多有三個女同學當選，有幾種選法？本例是屬于“'至少'或'最多'含有幾個元素”的一種組合題型。用分類法或排雜法解都可以，但是解這類題必須十分重視“至少”與“最多”這兩個關鍵詞的含義，要保證分類合理，排雜準確，謹防漏解與重復。（3） 排列組合混合題這類問題有兩群之間的排列題和分配（分組）問題兩類題型。例6①用1，2，3，4，5，6，7這七個數字組成沒有重復數字的五位數中，由兩個偶數數字和三個奇數數字組成的有多少個？②從n個不同元素里取出的m個元素的排列中，試問其中含有al,a2,，ap（n〉m〉p）這p個元素且這p個元素排在一起的排列有多少種？本例是典型的“兩群之間的排列問題”，它的解法是根據公式得來的，即從n個元素中取出m個元素的排列，可以分成兩步來完成：取出（）一排好（）。例7、6本不同的書，按照以下要求處理，各有幾種分法？平均分給甲、乙、丙三人。甲得一本，乙得兩本，丙得三本。一人得一本，一人得兩本，一人得三本。平均分成三堆（組）。一堆一本，一堆兩本，一堆三本。本例的①、②、③是屬于“分配問題”，它有兩種情況：一種是平均分配或者按某一種確定的分配方案分配（如②），那么只要一個一個地按要求去取，然后再將這些組合數乘起來即得；另一種是分配方案不確定的（如③），那么還要乘以分配人數的全排列數。本例的④、⑤是屬于“分堆（組）”問題，它有兩種情況：一是平均分組，如有kn不同元素平均分成k組，那么分法有種。另一種不是平均分組，那么其解法與分配問題的前一種情況相同。二、解排列組合應用問題的一些分析方法對于解比較復雜的排列組合應用題，往往比較困難，會有無從下手的感覺。為了提高分析問題和解決問題的能力，這里根據問題的不同特點，介紹五種分析方法。（一）特征分析法例8從1,2,3，……，100這一百個數中，任取兩個不同的數相乘，其中積能被5整除的有多少個？能被5整除但不能被5n（n22,nUN）整除的有多少個？解：兩數中只要有一個是5的倍數，那么它們的積就能被5整除，而1到100中共有20個5的倍數的數，故共有取法種；能被5整除而不能被5n（n22,nUN）整除，那就是說這20個5的倍數的數中，不能取兩個相乘；同時還不能取這20個數中本已含有52因數的數25，50，75，100，因此符合題意的積共有（種）例9用1,2,3,4,5,6,7這七個數字組成沒有重復數字的五位數，試問其中能被3整除的有多少？分析：能被3整除的數的特征是各位數字之和是3的倍數，由1+2+3+4+5+6+7=28，又組成的是五位數，因此應從28中減去兩個數字使其差為3的倍數，再由大到小依次考慮，便得到下面四種情況：解①28-1-2=24,由2,4,5,6,7五個數字，可組成個五位數。28-1-6=21或28-2-5=21或28-3-4=21,一共可組成 個五位數。28-3-7=18或28-4-6=18可組成個五位數。28-6-7=15可組成個五位數。根據分類計數原理：可得能被3整除的五位數共有 =840（個）。上面兩例是抓住了能被5整除與能被3整除的數的特征，再進行有條理有次序（特別是例2）的分析而得出解答的。因此在解應用題時，必須十分注意題意的內含特征以及解題的條理性。（二） 排陣分析法例10從1到9這九個自然數中，每次取出不同的兩個分別作為對數的底數與真數，問一共可以得到多少個不同的對數值？分析：由于底數不能取1,因此底數可以從2到9這八個數字中任取一個；真數可以從留下的八個數字中任取一個，故有個對數。但本題是問“有幾個不同的對數值？”，顯然是相同的，只能算一個。那么另外有沒有相同的對數值呢？那就要費一番周折了，而且一個一個地找很容易造成遺漏，再考慮到底數取法只有八種情況，當取某一值為底時，真數依次排上的次序性很強（如等等），而且在排時若遇相同的值立即舍去，“重復取”的情況也就避免了，因此還是直接排出要方便些，可靠些。分別以2,3,4, , 9為底直接排出，可得共有53個不同的對數值例11 現在將準備從七個學校選出12人組成區(qū)籃球隊，要求每校至少有一人參加，向各校分配到的隊員人數，可能有幾種不同情況？解：由于每校至少要有一人參加，因此這一個名額不妨先分配下去，還余下五個名額，因為沒有其他的分配要求，因此這5個名額分配時，可能有如下六種情況。（注：記號“11111”表示將5個名額分成5個“1”，分配到七個學校中去，每校1人，其余類推）分成“11111”有種分配法。分成“2111”有種分配法。分成“221”有種分配法。分成“311”有種分配法。分成“23”有種分配法。分成“41”有種分配法。分成“5”有種分配法。因此共有種分配法。通過上述兩例的分析，可以看出“排陣分析法”主要有三個優(yōu)點：①解題方法直觀，易被接受；②條理性強，便于思考分析；③取舍明確，可避免漏解或重復。（三） 元素、位置分析法例12 3封不同的信，投入4個不同的信箱，共有多少種不同的投信方法？解法一：元素分析法（以信為主）第一封信有四種不同的投法，不論把它投入哪一個信箱里，第二封信還有四種投法，同理第三封信也有四種投法，根據分步計數原理，故共有投法4x4x4=64（種）解法二：位置分析法（以信箱為主）四個信箱中某一個信箱收到3封信的有；四個信箱中某一個信箱收到2封信的有；四個信箱中某三個信箱各收到1封信的，收信方法有。因此收信方法（種）元素分析法（即以元素為主考慮各種可能性）與位置分析法（即以位置為主考慮多種可能性）是解排列組合應用題的兩種常用方法，它的優(yōu)點是研究對象清楚單一易于分析各種情況。例13三位教師分配到六個班里，各人數不同的班級，若每人都教兩個班，有幾種分配方法？解法一（以教師為主）這是一個分配問題，第一位教師可從六個班中選二個有，第二位教師可從四個班中選二個有，第三位教師教余下的二班有，因此共有種不同的分法。解法二（以班級為主）將六個班分成三組，每組兩個班，共有分組法，再將每種方法中的三組分配給三位教師有種，因此共有種方法。（四） 圖形分析法例14用0，1，2，3,4，5組成沒有重