第七章 7.5合情推理與演繹推理

§7.5合情推理與演繹推理最新考綱推理，體會并認識合情推理在數學發(fā)現中的作用．了解演繹推理的含義，掌握演繹推理的“三段論并能運用“三段論”進行一些簡單演繹推理．

考情考向分析以理解類比推理、歸納推理和演繹推理的推理方法為主，常以演繹推理的方法根據幾個人的不同說法作出推理判斷進行命題．注重培養(yǎng)學生的推理能力；在高考中以填空題的形式進行考查，屬于中低檔題.合情推理類型類型定義特點根據某類事物的部分對象具有某些特征，推出該歸納 由部分到整體、由個類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者推理 別到一般由個別事實概括出一般結論的推理由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的類比某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征 由特殊到特殊推理的推理演繹推理(1)定義：從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結論，我們把這種推理稱為演繹推理．簡言之，演繹推理是由一般到特殊的推理．(2)“三段論”是演繹推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情況；概念方法微思考1．合情推理所得結論一定是正確的嗎？提示合情推理所得結論是猜想，不一定正確，用演繹推理能夠證明的猜想是正確的，否則不正確．2．合情推理對我們學習數學有什么幫助？為我們提供證明的思路和方向．3前提是否可以省略？提示大前提是已知的一般原理，當已知問題背景很清楚的時候，大前提可以省略．題組一思考辨析1．判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)歸納推理得到的結論不一定正確，類比推理得到的結論一定正確．(×)(2)由平面三角形的性質推測空間四面體的性質，這是一種合情推理．(√)(3)(4)“所有3的倍數都是9的倍數，某數m是3的倍數，則m一定是9推理一個數列的前三項是，2，，那么這個數列的通項公式是a(N*×)n題組二教材改編2．[P711a}中，a＝1，a＝aa，a，a后，猜想an

n 1的表達式( )

n n－1

2 3 4A．anCa＝2n答案C

B．anD．a＝3n－1n解析aa＋＝aa＋＝aa＝1a1a2a3a＝4，猜想a2 1＝2.

3 2 4 3

1 2 3 4 nT5aaa＋a＋…＋a＝a＋a＋…＋a

(n<19，n 10

1 2 n 1 2

19－nN*)成立類比上述性質在等比數中若b1則存在的等式 ．n 9答案bb…bbb…b(<1，N)12 n 12 17－n解析利用類比推理，借助等比數列的性質，2b·b，9 1＋n 17－n可知存在的等式為bb…b＝bbb(<1，N12題組三易錯自糾

n 12

17－n)＝sin＋1)是正弦函數，因此(＝sin21上推( )A．結論正確C．小前提不正答案C

B．大前提不正確D．全不正確解析(＝sin＋1①垂直于同一個平面的兩條直線互相平行；②垂直于同一條直線的兩條直線互相平行；③垂直于同一個平面的兩個平面互相平行；④垂直于同一條直線的兩個平面互相平行則正確的結論．(填序)答案①④解析顯然①④正確；對于②，在空間中垂直于同一條直線的兩條直線可以平行，也可以異面或相交；對于③，在空間中垂直于同一個平面的兩個平面可以平行，也可以相交．6．(201·河南八市聯考)觀察下列關系式：1＋＝＋；1)2≥＋，1＋)3≥1＋3x，……，由此規(guī)律，得到的第n個關系式答案解析左邊為等比數列，右邊為等差數列，所以第n＋)≥n(N)．題型一歸納推理題型一歸納推理命題點1與數式有關的的推理例1(1)(2018·數的思想方法．我們用近代術語解釋為：把陽爻“做數字“0”，則八卦代表的數表示如下：

”當做數字1，把陰爻“ ”當卦名符號表示的二進制數表示的十進制數坤0000震0011坎0102兌兌0113以此類推，則六十四卦中的“屯”卦，符號“A．18B．17C．16D．15答案B

”表示的十進制數( )解析由題意類推，可知六十四卦中的“屯”卦符號“ ”表示二進制數的010001，轉化為十進制數的計算為1×20＋0×21＋0×22＋0×23＋1×24＋0×25＝17，故選B.13 1 15 1 1 17(2)觀察下列式子：1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，…，根據以上式子可以猜想：1222 22 323 22 32 4241 1 122 2 ＋＋＋…＋ < .22 2 3 20184035答案2018解析由題意得，不等式右邊分數的分母是左邊最后一個分數的分母的底數，所以猜想的分23a＝3＋(22017×2＝4035.命題點2與圖形變化有關的推理例2哈師大附中模)分形理論是當今世界十分風靡和活躍的新理論新學科其中把部分與整體以某種方式相似的形體稱為分形．分形是一種具有自相似特性的現象、圖象或者物理過程．標準的自相似分形是數學上的抽象，迭代生成無限精細的結構．也就是說，在分形中，每一組成部分都在特征上和整體相似，只僅僅是變小了一些而已，謝爾賓斯基三角形就是一種典型的分形是由波蘭數學家謝爾賓斯基在1915年提出的按照如下規(guī)律依次在一個黑色三角形內去掉小三角形則當時該黑色三角形內去掉小三角形個數( )A．81C．364答案C

B．121D．1093解析由圖可知，每一個圖形中小三角形的個數等于前一個圖形小三角形個數的3倍加1，a＝1；1a＝3＋1＝4；2a＝3×4＋1＝13；3a＝3×13＋1＝40；4a＝3×40＋1＝121；5a＝3×121＋1＝364，故選C.6思維升華歸納推理問題的常見類型及解題策略(1)與數字有關的等式的推理．觀察數字特點，找出等式左右兩側的規(guī)律及符號可解．(2)與式子有關的推理．觀察每個式子的特點，注意是縱向看，找到規(guī)律后可解．(3)偽性．跟蹤訓練1某種樹的分枝生長規(guī)律如圖所示，第1年到第5年的分枝數分別為1，1，2，3，5，則預計第10年樹的分枝數( )A．21B．34C．52D．55答案D解析由2＝1＋1，3＝1＋2，5＝2＋3知，從第三項起，每一項都等于前兩項的和，則第6年為8，第7年為13，第8年為21，第9年為34，第10年為55，故選D.題型二類比推理3(1a＝5，a＋a＋a＋…＋a

＝5×2019.若為等比數列，n 1010

1 2

2019 nb＝5，{b類似的結論( )1010 nA．b＋b＋b＋…＋b＝5×20191 2 3 2019B．bbb…b＝5×2019123 2019C．b＋b＋b＋…＋b

＝520191 2 3 2019D．bbb…b

＝52019123 2019答案Da}中，令＋a＋a＋…＋a，n則＋a＋a

1 2 3＋…＋a，

20192019

2

2017 1＋a

)＋(a＋a

)＋(a＋a

)＋…＋(a

＋a)＝2019(a＋a)1 2

2 2

3 2

2019 1

1 2019＝2019×2a＝10×2019，1010∴S＝a＋a＋a＋…＋a＝5×2019.1 2 3 2019b}中，令bb…b，n 123 2019則bb…b，201920182017 1∴2(bb

)(bb

)(bb

)…(b

b)2

)2019，12019

22018

32017

2019

1010bb…b

＝(b

)2019＝52019.12

2

1010(2)(2015世紀末提出祖暅(1)是一個半徑為R(2)是從圓柱中挖去一個圓錐所得到的幾何體．(圓柱和圓錐的底面半徑和高均為利用類似的方法，可以計算拋物體的體積：在xOy坐標系中，設拋物線C的方程為1－2C圍繞yπ π 2π 3πA.3 B.2 C.3 D.4答案B解析構造如圖所示的直三棱柱，高設為x，底面兩個直邊長為2，1，π2＝π1＝2下面說明截面面積相等，設截面距底面為t，矩形截面長為a，圓形截面半徑為r，a1－t a t由左圖得到，＝ 2 1

＝2(1－)，t π t2(12＝(1－)π，＝12＝(1)π，∴二者截面面積相等，∴體積相等．∴拋物體的體積為V

Sh1 ππ＝三棱柱

＝×2×1×＝.故選B.2 2 22在平面上，設h是△ABC到相應a b cPPPP，P，P，我們可以得到結論：＋＋a b c

hhha b c棱錐中的類似結論．PPPP答案 d＝1hhhha b c d解析設h，h，h，h分別是三棱錐為三棱錐A－BCD內任一點，a b c d

PPPPPP＋＋＋題型三演繹推理

a b c d

n＋2

hhhha b c d例4數列a}的前n項和記為S，已知a，a＝ S(N*．證明：nS

n 1 n＋1 nn(1)數列n是等比數列；n(2)S＝4a.n＋1 n證明(1)∵a＝S－S，a

n＋2＝ S，n＋1

n＋1

n n＋1 nn∴(n＋2)S－S)，即nS

.n n＋1 nS S

n＋1 n∴nn＋1＝2·＋1 nS又1＝1≠0，(小前提)1S故n是以1為首項，2為公比的等比數列．(結論)n(大前提是等比數列的定義，這里省略了)S S(2)由(1nn＋1＝4·nn－1＋1 －1S ∴Sn－1＝4· ·Sn＋1

n－1＝4ana＝3S＝3，S＝a＋a＝1＋3＝4＝4a2 1 2 1 2 1∴對于任意正整數，都有S＝4an＋1 n(第(2)問的大前提是第(1)問的結論以及題中的已知條件)當首先明確什么是大前提和小前提，若前提是顯然的，則可以省略．跟蹤訓練3限行一天，周末(周六和周日)不限行．某公司有五輛車，保證每天至少有四輛車可以上路行駛．已知E兩車連續(xù)四天都能上路行駛車明天可以上路，由此可知下列推測一定正確的( )今天是周六C．A答案B

今天是周四D．C車周五限行是周三；因為B車昨天限行，所以今天不是周一，不是周五，也不是周日；因為A，C兩車連續(xù)四天都能上路行駛，所以今天不是周二和周六，所以今天是周四．故選B.1．(2018·豫南九校聯考)“對數函數是非奇非偶函數，f(x)＝log|x|是對數函數，因此f(x)2＝log|是非奇非偶函數，以上推( )2結論正確C．答案C

大前提錯誤D．解析本命題的小前提是2＝log且2 a數．故選C.2．(2018·四川沖刺演練)中國古代十進位制的算籌記數法在世界數學史上是一個偉大的創(chuàng)7738可用算籌表示為 .19這9個數字的縱式與橫式的表示數碼如上圖所示，3log264的運算結果可用算籌表示( )答案D解析根據題意，3log264＝3672，用算籌記數表示為 ，故選D.3．(2018·西北師大附中沖刺診下列推理是歸納推理的( )為定點，動點PP的軌跡是以為焦點的雙曲線由a＝2，a求出S，S，Sa}的前n項和

的表達式1 n 1 2 3

n n2 2由圓＋22的面積＝π，猜想出橢圓＋1的面積＝πab2 2答案B解析A3個S，S

的值，1 2 3猜想出Sn

C選項由圓＋2的面積＝2，猜想2 2出橢圓＋＝1的面積S＝πab，用的是類比推理，不符合要求．D選項用的是演繹推理，2 2不符合要求．故選B.根據上述規(guī)律，13＋23＋33＋43＋53＋63等( )A．192答案C

B．202

C．212

D．222解析因為13＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，等式的右端依次為(1＋2)2，(1＋2＋3)2，(1＋2＋3＋4)2，所以13＋23＋33＋43＋53＋63＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)2＝212，故選C.5．天干地支紀年法源于中國，中國自古便有十天干與十二地支．十天干即甲、乙、丙、丁戊、己庚辛、壬、癸十二地支即子丑、寅、卯、辰、巳、午未申、酉、戌、亥．天干地支紀年法是按順序以一個天干和一個地支相配，排列起來，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年為“甲子，第二年為“乙丑，第三年為“丙寅，…，以此類推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新開始，即“甲戌“乙亥，然后地支回到“子”重新開始，即“丙子，以此類推．已知1949年為“己丑”年，那么到中華人民共和國成立80年時( )A．丙酉年B．戊申年C．己申年D．己酉年答案D解析天干是以10為公差的等差數列，地支是以12為公差的等差數列，19492029801949194980÷10＝8，20298，2029D.甲、乙、丙、丁四名同學一起去向老師詢問數學學業(yè)水平考試成績等級．老師說“你們四人中有2人A等人B等人C等，我現在給甲看乙、丙的成績等級，給乙看丙的成績等級，給丙看丁的成績等級．看后甲對大家說“我知道我的成績等級了．根據以上信息則( )A．甲、乙的成績等級相同B．C．乙、丙的成績等級相同D．答案D解析由題意，四個人所知的只有自己看到的，以及甲最后所說的話，AC丁沒有看任何人的成績等級，所以丁不可能知道四人的成績等級，所以B是不對的，只有乙可能知道四人的成績等級，所以D是正確的．7(201·π＝；4＝2＝π3.應用合情推理，若3四維空間中“特級球”的三維測度＝1π，則其四維測度＝ .答案3π4解析＝＝π2；觀察發(fā)現4′＝π＝π′3＝，∴四維空間中“特級球”的三維測度＝1π，猜想其四維測度，則3＝π4.8．已知aiaa1aa1122≥ ；3aaaa3aaa1 2 3≥3

；1234≥4aaaa4≥4aaaa1 2 34

1234…a＋a＋…＋a照此規(guī)律，當N*2時，1 2n .nanaa…a12 na＋a＋…＋a解析根據題意得1 2

aa…aN*，2．n 12 nx

f

)(fN，則f

(x)的表達1＋x 1

n＋1 n

2019式為 ．x答案f2019

1＋2019xx xx 1＋x x 1＋2x x解析f()＝ f()＝ ＝ f(＝ ＝ …f(＝(f())1 1＋x

x 1＋2x1＋ x

x 1＋ x

n＋1 n1＋x＝1＋(n＋1)x，x

1＋2歸納可得f.2019

1＋2019x定理＝＋2垂直的三棱錐，若這三個兩兩垂直的側面的面積分別為S，截面面積為1 2 3的結論．答案22＋2＋21 2 3解析三角形類比空間中的三棱錐，線段的長度類比圖形的面積，于是作出猜想：2＝2＋122.2 311(201訣自詡無所阻，額上墳起終不悟22＝322＝32，33

3 3 4＝4，415＝ 3＝4，4158 8 1555245524＝5，……，248n＝8n＝則按照以上規(guī)律，若8 n 具有“穿墻術，則＝ .答案63222－1222－1＝2，23解析∵2 3332－1332－1＝3，383 ＝38442－1442－1＝4，4154 ＝415552－1552－1＝5，5245 ＝5248∴按照以上規(guī)律8

88，可得82－＝63.1801年由高斯得出的關于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國剩余定理2201820172除余1且被3除余1a}，則此數列的項數為n 答案336解析因為這些整數能被2除余1且被3除余1，所以這些數組成的數列的通項ann n n 16＋1≤2018

≤2017，所以

≤336.6所以此數列的項數為336.一質點從坐標原點出發(fā)，按如圖的運動軌跡運動，每步運動一個單位，例如第3步結束(0，1)，第41，1)，那么第2018步結束時該質點所在位置的坐標．答案(16，－22)解析當運動：1＋1＋2＋2步時，坐標為(－1，－1)；當運動：1＋1＋2＋2＋3＋3＋4＋4步時，坐標為(－2，－2)；當運動：1＋1＋2＋2＋3＋3＋4＋4＋5＋5＋6＋6步時，坐標為(－3，－3)；……當運動22 n 22坐標為－，－.而1＋1＋2＋2＋3＋3＋4＋4＋5＋5＋6＋6＋…＋n＋n≤2018，即(＋1≤2018N*)，解得44.198038(16，－22)．14．(2019·貴州適應性考試)為了提高信息在傳輸中的抗干擾能力，通常在原信息中按一定aaahaaahh＝a123 11232 1 1a，h＝h a，運算規(guī)則為0＝0，0 1＝1，1 例如：原信息2 2 1 3為111，則傳輸信息為01111.傳輸信息在傳輸過程中受到干擾可能導致接收信息出錯，則列接收信息出錯的( )A．01100B．11010C．10110D．11000答案D解析A選項原信息為110，則h＝a a＝1 ＝h

a＝0 0＝0，所以傳輸信1 1 2息為01100，A選項正確；B選項原信息為101則h＝a a1 ＝hh

2 1 3a＝1 11101，B選項正確；

1 1 2

2 1 3C選項原信息為011h＝a

a0 ＝hh

a＝1 11011，C選項正確；

1 1 2

2 1 3D選項原信息為100h＝a

a1 ＝hh