第七章 7.5合情推理與演繹推理

§7.5合情推理與演繹推理最新考綱推理，體會(huì)并認(rèn)識(shí)合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用．了解演繹推理的含義，掌握演繹推理的“三段論并能運(yùn)用“三段論”進(jìn)行一些簡單演繹推理．

考情考向分析以理解類比推理、歸納推理和演繹推理的推理方法為主，常以演繹推理的方法根據(jù)幾個(gè)人的不同說法作出推理判斷進(jìn)行命題．注重培養(yǎng)學(xué)生的推理能力；在高考中以填空題的形式進(jìn)行考查，屬于中低檔題.合情推理類型類型定義特點(diǎn)根據(jù)某類事物的部分對(duì)象具有某些特征，推出該歸納 由部分到整體、由個(gè)類事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理，或者推理 別到一般由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理由兩類對(duì)象具有某些類似特征和其中一類對(duì)象的類比某些已知特征，推出另一類對(duì)象也具有這些特征 由特殊到特殊推理的推理演繹推理(1)定義：從一般性的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論，我們把這種推理稱為演繹推理．簡言之，演繹推理是由一般到特殊的推理．(2)“三段論”是演繹推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情況；概念方法微思考1．合情推理所得結(jié)論一定是正確的嗎？提示合情推理所得結(jié)論是猜想，不一定正確，用演繹推理能夠證明的猜想是正確的，否則不正確．2．合情推理對(duì)我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有什么幫助？為我們提供證明的思路和方向．3前提是否可以省略？提示大前提是已知的一般原理，當(dāng)已知問題背景很清楚的時(shí)候，大前提可以省略．題組一思考辨析1．判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)歸納推理得到的結(jié)論不一定正確，類比推理得到的結(jié)論一定正確．(×)(2)由平面三角形的性質(zhì)推測空間四面體的性質(zhì)，這是一種合情推理．(√)(3)(4)“所有3的倍數(shù)都是9的倍數(shù)，某數(shù)m是3的倍數(shù)，則m一定是9推理一個(gè)數(shù)列的前三項(xiàng)是，2，，那么這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是a(N*×)n題組二教材改編2．[P711a}中，a＝1，a＝aa，a，a后，猜想an

n 1的表達(dá)式( )

n n－1

2 3 4A．a(chǎn)nCa＝2n答案C

B．a(chǎn)nD．a(chǎn)＝3n－1n解析aa＋＝aa＋＝aa＝1a1a2a3a＝4，猜想a2 1＝2.

3 2 4 3

1 2 3 4 nT5aaa＋a＋…＋a＝a＋a＋…＋a

(n<19，n 10

1 2 n 1 2

19－nN*)成立類比上述性質(zhì)在等比數(shù)中若b1則存在的等式 ．n 9答案bb…bbb…b(<1，N)12 n 12 17－n解析利用類比推理，借助等比數(shù)列的性質(zhì)，2b·b，9 1＋n 17－n可知存在的等式為bb…b＝bbb(<1，N12題組三易錯(cuò)自糾

n 12

17－n)＝sin＋1)是正弦函數(shù)，因此(＝sin21上推( )A．結(jié)論正確C．小前提不正答案C

B．大前提不正確D．全不正確解析(＝sin＋1①垂直于同一個(gè)平面的兩條直線互相平行；②垂直于同一條直線的兩條直線互相平行；③垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面互相平行；④垂直于同一條直線的兩個(gè)平面互相平行則正確的結(jié)論．(填序)答案①④解析顯然①④正確；對(duì)于②，在空間中垂直于同一條直線的兩條直線可以平行，也可以異面或相交；對(duì)于③，在空間中垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面可以平行，也可以相交．6．(201·河南八市聯(lián)考)觀察下列關(guān)系式：1＋＝＋；1)2≥＋，1＋)3≥1＋3x，……，由此規(guī)律，得到的第n個(gè)關(guān)系式答案解析左邊為等比數(shù)列，右邊為等差數(shù)列，所以第n＋)≥n(N)．題型一歸納推理題型一歸納推理命題點(diǎn)1與數(shù)式有關(guān)的的推理例1(1)(2018·數(shù)的思想方法．我們用近代術(shù)語解釋為：把陽爻“做數(shù)字“0”，則八卦代表的數(shù)表示如下：

”當(dāng)做數(shù)字1，把陰爻“ ”當(dāng)卦名符號(hào)表示的二進(jìn)制數(shù)表示的十進(jìn)制數(shù)坤0000震0011坎0102兌兌0113以此類推，則六十四卦中的“屯”卦，符號(hào)“A．18B．17C．16D．15答案B

”表示的十進(jìn)制數(shù)( )解析由題意類推，可知六十四卦中的“屯”卦符號(hào)“ ”表示二進(jìn)制數(shù)的010001，轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)的計(jì)算為1×20＋0×21＋0×22＋0×23＋1×24＋0×25＝17，故選B.13 1 15 1 1 17(2)觀察下列式子：1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，…，根據(jù)以上式子可以猜想：1222 22 323 22 32 4241 1 122 2 ＋＋＋…＋ < .22 2 3 20184035答案2018解析由題意得，不等式右邊分?jǐn)?shù)的分母是左邊最后一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母的底數(shù)，所以猜想的分23a＝3＋(22017×2＝4035.命題點(diǎn)2與圖形變化有關(guān)的推理例2哈師大附中模)分形理論是當(dāng)今世界十分風(fēng)靡和活躍的新理論新學(xué)科其中把部分與整體以某種方式相似的形體稱為分形．分形是一種具有自相似特性的現(xiàn)象、圖象或者物理過程．標(biāo)準(zhǔn)的自相似分形是數(shù)學(xué)上的抽象，迭代生成無限精細(xì)的結(jié)構(gòu)．也就是說，在分形中，每一組成部分都在特征上和整體相似，只僅僅是變小了一些而已，謝爾賓斯基三角形就是一種典型的分形是由波蘭數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基在1915年提出的按照如下規(guī)律依次在一個(gè)黑色三角形內(nèi)去掉小三角形則當(dāng)時(shí)該黑色三角形內(nèi)去掉小三角形個(gè)數(shù)( )A．81C．364答案C

B．121D．1093解析由圖可知，每一個(gè)圖形中小三角形的個(gè)數(shù)等于前一個(gè)圖形小三角形個(gè)數(shù)的3倍加1，a＝1；1a＝3＋1＝4；2a＝3×4＋1＝13；3a＝3×13＋1＝40；4a＝3×40＋1＝121；5a＝3×121＋1＝364，故選C.6思維升華歸納推理問題的常見類型及解題策略(1)與數(shù)字有關(guān)的等式的推理．觀察數(shù)字特點(diǎn)，找出等式左右兩側(cè)的規(guī)律及符號(hào)可解．(2)與式子有關(guān)的推理．觀察每個(gè)式子的特點(diǎn)，注意是縱向看，找到規(guī)律后可解．(3)偽性．跟蹤訓(xùn)練1某種樹的分枝生長規(guī)律如圖所示，第1年到第5年的分枝數(shù)分別為1，1，2，3，5，則預(yù)計(jì)第10年樹的分枝數(shù)( )A．21B．34C．52D．55答案D解析由2＝1＋1，3＝1＋2，5＝2＋3知，從第三項(xiàng)起，每一項(xiàng)都等于前兩項(xiàng)的和，則第6年為8，第7年為13，第8年為21，第9年為34，第10年為55，故選D.題型二類比推理3(1a＝5，a＋a＋a＋…＋a

＝5×2019.若為等比數(shù)列，n 1010

1 2

2019 nb＝5，{b類似的結(jié)論( )1010 nA．b＋b＋b＋…＋b＝5×20191 2 3 2019B．bbb…b＝5×2019123 2019C．b＋b＋b＋…＋b

＝520191 2 3 2019D．bbb…b

＝52019123 2019答案Da}中，令＋a＋a＋…＋a，n則＋a＋a

1 2 3＋…＋a，

20192019

2

2017 1＋a

)＋(a＋a

)＋(a＋a

)＋…＋(a

＋a)＝2019(a＋a)1 2

2 2

3 2

2019 1

1 2019＝2019×2a＝10×2019，1010∴S＝a＋a＋a＋…＋a＝5×2019.1 2 3 2019b}中，令bb…b，n 123 2019則bb…b，201920182017 1∴2(bb

)(bb

)(bb

)…(b

b)2

)2019，12019

22018

32017

2019

1010bb…b

＝(b

)2019＝52019.12

2

1010(2)(2015世紀(jì)末提出祖暅(1)是一個(gè)半徑為R(2)是從圓柱中挖去一個(gè)圓錐所得到的幾何體．(圓柱和圓錐的底面半徑和高均為利用類似的方法，可以計(jì)算拋物體的體積：在xOy坐標(biāo)系中，設(shè)拋物線C的方程為1－2C圍繞yπ π 2π 3πA.3 B.2 C.3 D.4答案B解析構(gòu)造如圖所示的直三棱柱，高設(shè)為x，底面兩個(gè)直邊長為2，1，π2＝π1＝2下面說明截面面積相等，設(shè)截面距底面為t，矩形截面長為a，圓形截面半徑為r，a1－t a t由左圖得到，＝ 2 1

＝2(1－)，t π t2(12＝(1－)π，＝12＝(1)π，∴二者截面面積相等，∴體積相等．∴拋物體的體積為V

Sh1 ππ＝三棱柱

＝×2×1×＝.故選B.2 2 22在平面上，設(shè)h是△ABC到相應(yīng)a b cPPPP，P，P，我們可以得到結(jié)論：＋＋a b c

hhha b c棱錐中的類似結(jié)論．PPPP答案 d＝1hhhha b c d解析設(shè)h，h，h，h分別是三棱錐為三棱錐A－BCD內(nèi)任一點(diǎn)，a b c d

PPPPPP＋＋＋題型三演繹推理

a b c d

n＋2

hhhha b c d例4數(shù)列a}的前n項(xiàng)和記為S，已知a，a＝ S(N*．證明：nS

n 1 n＋1 nn(1)數(shù)列n是等比數(shù)列；n(2)S＝4a.n＋1 n證明(1)∵a＝S－S，a

n＋2＝ S，n＋1

n＋1

n n＋1 nn∴(n＋2)S－S)，即nS

.n n＋1 nS S

n＋1 n∴nn＋1＝2·＋1 nS又1＝1≠0，(小前提)1S故n是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．(結(jié)論)n(大前提是等比數(shù)列的定義，這里省略了)S S(2)由(1nn＋1＝4·nn－1＋1 －1S ∴Sn－1＝4· ·Sn＋1

n－1＝4ana＝3S＝3，S＝a＋a＝1＋3＝4＝4a2 1 2 1 2 1∴對(duì)于任意正整數(shù)，都有S＝4an＋1 n(第(2)問的大前提是第(1)問的結(jié)論以及題中的已知條件)當(dāng)首先明確什么是大前提和小前提，若前提是顯然的，則可以省略．跟蹤訓(xùn)練3限行一天，周末(周六和周日)不限行．某公司有五輛車，保證每天至少有四輛車可以上路行駛．已知E兩車連續(xù)四天都能上路行駛車明天可以上路，由此可知下列推測一定正確的( )今天是周六C．A答案B

今天是周四D．C車周五限行是周三；因?yàn)锽車昨天限行，所以今天不是周一，不是周五，也不是周日；因?yàn)锳，C兩車連續(xù)四天都能上路行駛，所以今天不是周二和周六，所以今天是周四．故選B.1．(2018·豫南九校聯(lián)考)“對(duì)數(shù)函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，f(x)＝log|x|是對(duì)數(shù)函數(shù)，因此f(x)2＝log|是非奇非偶函數(shù)，以上推( )2結(jié)論正確C．答案C

大前提錯(cuò)誤D．解析本命題的小前提是2＝log且2 a數(shù)．故選C.2．(2018·四川沖刺演練)中國古代十進(jìn)位制的算籌記數(shù)法在世界數(shù)學(xué)史上是一個(gè)偉大的創(chuàng)7738可用算籌表示為 .19這9個(gè)數(shù)字的縱式與橫式的表示數(shù)碼如上圖所示，3log264的運(yùn)算結(jié)果可用算籌表示( )答案D解析根據(jù)題意，3log264＝3672，用算籌記數(shù)表示為 ，故選D.3．(2018·西北師大附中沖刺診下列推理是歸納推理的( )為定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)PP的軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線由a＝2，a求出S，S，Sa}的前n項(xiàng)和

的表達(dá)式1 n 1 2 3

n n2 2由圓＋22的面積＝π，猜想出橢圓＋1的面積＝πab2 2答案B解析A3個(gè)S，S

的值，1 2 3猜想出Sn

C選項(xiàng)由圓＋2的面積＝2，猜想2 2出橢圓＋＝1的面積S＝πab，用的是類比推理，不符合要求．D選項(xiàng)用的是演繹推理，2 2不符合要求．故選B.根據(jù)上述規(guī)律，13＋23＋33＋43＋53＋63等( )A．192答案C

B．202

C．212

D．222解析因?yàn)?3＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，等式的右端依次為(1＋2)2，(1＋2＋3)2，(1＋2＋3＋4)2，所以13＋23＋33＋43＋53＋63＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)2＝212，故選C.5．天干地支紀(jì)年法源于中國，中國自古便有十天干與十二地支．十天干即甲、乙、丙、丁戊、己庚辛、壬、癸十二地支即子丑、寅、卯、辰、巳、午未申、酉、戌、亥．天干地支紀(jì)年法是按順序以一個(gè)天干和一個(gè)地支相配，排列起來，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年為“甲子，第二年為“乙丑，第三年為“丙寅，…，以此類推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新開始，即“甲戌“乙亥，然后地支回到“子”重新開始，即“丙子，以此類推．已知1949年為“己丑”年，那么到中華人民共和國成立80年時(shí)( )A．丙酉年B．戊申年C．己申年D．己酉年答案D解析天干是以10為公差的等差數(shù)列，地支是以12為公差的等差數(shù)列，19492029801949194980÷10＝8，20298，2029D.甲、乙、丙、丁四名同學(xué)一起去向老師詢問數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試成績等級(jí)．老師說“你們四人中有2人A等人B等人C等，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績等級(jí)，給乙看丙的成績等級(jí)，給丙看丁的成績等級(jí)．看后甲對(duì)大家說“我知道我的成績等級(jí)了．根據(jù)以上信息則( )A．甲、乙的成績等級(jí)相同B．C．乙、丙的成績等級(jí)相同D．答案D解析由題意，四個(gè)人所知的只有自己看到的，以及甲最后所說的話，AC丁沒有看任何人的成績等級(jí)，所以丁不可能知道四人的成績等級(jí)，所以B是不對(duì)的，只有乙可能知道四人的成績等級(jí)，所以D是正確的．7(201·π＝；4＝2＝π3.應(yīng)用合情推理，若3四維空間中“特級(jí)球”的三維測度＝1π，則其四維測度＝ .答案3π4解析＝＝π2；觀察發(fā)現(xiàn)4′＝π＝π′3＝，∴四維空間中“特級(jí)球”的三維測度＝1π，猜想其四維測度，則3＝π4.8．已知aiaa1aa1122≥ ；3aaaa3aaa1 2 3≥3

；1234≥4aaaa4≥4aaaa1 2 34

1234…a＋a＋…＋a照此規(guī)律，當(dāng)N*2時(shí)，1 2n .nanaa…a12 na＋a＋…＋a解析根據(jù)題意得1 2

aa…aN*，2．n 12 nx

f

)(fN，則f

(x)的表達(dá)1＋x 1

n＋1 n

2019式為 ．x答案f2019

1＋2019xx xx 1＋x x 1＋2x x解析f()＝ f()＝ ＝ f(＝ ＝ …f(＝(f())1 1＋x

x 1＋2x1＋ x

x 1＋ x

n＋1 n1＋x＝1＋(n＋1)x，x

1＋2歸納可得f.2019

1＋2019x定理＝＋2垂直的三棱錐，若這三個(gè)兩兩垂直的側(cè)面的面積分別為S，截面面積為1 2 3的結(jié)論．答案22＋2＋21 2 3解析三角形類比空間中的三棱錐，線段的長度類比圖形的面積，于是作出猜想：2＝2＋122.2 311(201訣自詡無所阻，額上墳起終不悟22＝322＝32，33

3 3 4＝4，415＝ 3＝4，4158 8 1555245524＝5，……，248n＝8n＝則按照以上規(guī)律，若8 n 具有“穿墻術(shù)，則＝ .答案63222－1222－1＝2，23解析∵2 3332－1332－1＝3，383 ＝38442－1442－1＝4，4154 ＝415552－1552－1＝5，5245 ＝5248∴按照以上規(guī)律8

88，可得82－＝63.1801年由高斯得出的關(guān)于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國剩余定理2201820172除余1且被3除余1a}，則此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為n 答案336解析因?yàn)檫@些整數(shù)能被2除余1且被3除余1，所以這些數(shù)組成的數(shù)列的通項(xiàng)ann n n 16＋1≤2018

≤2017，所以

≤336.6所以此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為336.一質(zhì)點(diǎn)從坐標(biāo)原點(diǎn)出發(fā)，按如圖的運(yùn)動(dòng)軌跡運(yùn)動(dòng)，每步運(yùn)動(dòng)一個(gè)單位，例如第3步結(jié)束(0，1)，第41，1)，那么第2018步結(jié)束時(shí)該質(zhì)點(diǎn)所在位置的坐標(biāo)．答案(16，－22)解析當(dāng)運(yùn)動(dòng)：1＋1＋2＋2步時(shí)，坐標(biāo)為(－1，－1)；當(dāng)運(yùn)動(dòng)：1＋1＋2＋2＋3＋3＋4＋4步時(shí)，坐標(biāo)為(－2，－2)；當(dāng)運(yùn)動(dòng)：1＋1＋2＋2＋3＋3＋4＋4＋5＋5＋6＋6步時(shí)，坐標(biāo)為(－3，－3)；……當(dāng)運(yùn)動(dòng)22 n 22坐標(biāo)為－，－.而1＋1＋2＋2＋3＋3＋4＋4＋5＋5＋6＋6＋…＋n＋n≤2018，即(＋1≤2018N*)，解得44.198038(16，－22)．14．(2019·貴州適應(yīng)性考試)為了提高信息在傳輸中的抗干擾能力，通常在原信息中按一定aaahaaahh＝a123 11232 1 1a，h＝h a，運(yùn)算規(guī)則為0＝0，0 1＝1，1 例如：原信息2 2 1 3為111，則傳輸信息為01111.傳輸信息在傳輸過程中受到干擾可能導(dǎo)致接收信息出錯(cuò)，則列接收信息出錯(cuò)的( )A．01100B．11010C．10110D．11000答案D解析A選項(xiàng)原信息為110，則h＝a a＝1 ＝h

a＝0 0＝0，所以傳輸信1 1 2息為01100，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)原信息為101則h＝a a1 ＝hh

2 1 3a＝1 11101，B選項(xiàng)正確；

1 1 2

2 1 3C選項(xiàng)原信息為011h＝a

a0 ＝hh

a＝1 11011，C選項(xiàng)正確；

1 1 2

2 1 3D選項(xiàng)原信息為100h＝a

a1 ＝hh