2021年高考數(shù)學(xué)模擬訓(xùn)練卷 (九十四)(含答案解析)

2021年高考數(shù)學(xué)模擬訓(xùn)練卷(94)

一、單項(xiàng)選擇題(本大題共12小題，共60.()分)

1.己知集合a=｛x|i-x<3},B={-l<x<3},則4UB=()

A.[-2,+oo)B.[-2,3]

C.(-1,+co)D.(-oo,-2]U(-l,3]

2.復(fù)數(shù)z滿足(i-2)z=4+3i,則|z|=()

A.V3B.3C.V5D.5

3.在等差數(shù)列｛a“｝中,已知。3+%0=9,則該數(shù)列的前12項(xiàng)和$2等于()

A.36B.54C.63D.73

4.己知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4,ADAB=60°,反:=3萬(wàn)瓦則荏.前的值為()

A.7B.8C.9D.10

已知函數(shù)=監(jiān)羽j:<°,則f(T)=()

5.

A.-1B.1C.0D.-3

6.已知雙曲線《-忘=19>0/>0)|的一條漸近線方程為丫=%，且焦距為4,則雙曲線焦點(diǎn)到

漸近線的距離為()

A.V2B.1C.V3D.2

7.已知F為拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn)，M為C上一點(diǎn)，且|MF|=4,則M到x軸的距離為()

A.4B.4V2C.8D.16

8.將函數(shù)f(x)=2s譏3x的圖象向右平移;個(gè)周期后，所得圖象

A.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱B.關(guān)于點(diǎn)(-二0)對(duì)稱

C.關(guān)于直線X=g對(duì)稱D.關(guān)于X軸對(duì)稱

O

9.某幾何體的三視圖如圖所示，則俯視圖的面積為()

A.5V3

B.也

2

C.5

10.在古代，直角三角形中較短的直角邊稱為''勾"，較長(zhǎng)的直角邊稱為

“股”，斜邊稱為“弦”.三國(guó)時(shí)期吳國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽用“弦圖”（如圖）證

明了勾股定理，證明方法敘述為：“按弦圖，又可以勾股相乘為朱實(shí)二，

倍之為朱實(shí)四，以勾股之差自相乘為中黃實(shí)，加差實(shí)，亦成弦實(shí).”這

里的“實(shí)”可以理解為面積.這個(gè)證明過(guò)程體現(xiàn)的是這樣一個(gè)等量關(guān)系：

“兩條直角邊的乘積是兩個(gè)全等直角三角形的面積的和（朱實(shí)二），4個(gè)全等的直角三角形的面積

的和（朱實(shí)四）加上中間小正方形的面積（黃實(shí)）等于大正方形的面積（弦實(shí)）”.若弦圖中“弦實(shí)”

為16,“朱實(shí)一”為2百，現(xiàn)隨機(jī)向弦圖內(nèi)投入一粒黃豆（大小忽略不計(jì)），則其落入小正方形

內(nèi)的概率為（）

A.1一匹B.上更C.更D.1一更

8222

12,正四面體ABCQ中，M是棱A。的中點(diǎn)，。是點(diǎn)A在底面BCC內(nèi)的射影，則異面直線與A。

所成角的余弦值為（）

A.立B.在C.涯D.在

6345

二、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.已知/'（%）=5x3+asinx-8,且/■（-2）=-4,則/（2）=.

x—y<0

14.已知實(shí)數(shù)x,y滿足2x+y-6W0,則％+y的最大值為.

x—1

15.在等差數(shù)列｛an｝中，a2=4,且I+CI3,a6,4+的0成等比數(shù)列，則公差d=.

16.某學(xué)校在2018年元旦晚會(huì)上，對(duì)參賽的a,b,c,d四個(gè)舞蹈節(jié)目，只評(píng)一個(gè)一等獎(jiǎng)，在評(píng)獎(jiǎng)

揭曉前，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)對(duì)這四個(gè)參賽節(jié)目預(yù)測(cè)如下：甲說(shuō)：“是c或d節(jié)目獲得一

等獎(jiǎng)”；乙說(shuō)：“6節(jié)目獲得一等獎(jiǎng)”；丙說(shuō)：“md兩個(gè)節(jié)目未獲得一等獎(jiǎng)”；丁說(shuō)：“是c

節(jié)目獲得一等獎(jiǎng)”.若這四位同學(xué)中只有兩位說(shuō)的話是對(duì)的，則獲得一等獎(jiǎng)的節(jié)目是.

三、解答題(本大題共7小題，共82.0分)

17.設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a、b、c,且a+b=V^asinC+ccosA.

(I)求角G

(II)設(shè)。為BC的中點(diǎn)，且4。=2,求△ABC面積的最大值.

18.如圖,在直三棱柱ABC-&B1C1中，&BCA=90°,AC=BC=AAX=

2,E,F分別是CCi，4Bi的中點(diǎn).

(1)求證：AE_L平面8CR

(2)求點(diǎn)尸到平面ABE的距離.

19.某幼兒園舉辦“*，e”主題系列活動(dòng)——“悅”動(dòng)越健康親子運(yùn)動(dòng)打卡活動(dòng)，為了解小朋友堅(jiān)持

打卡的情況，對(duì)該幼兒園所有小朋友進(jìn)行了調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下表：

打卡天數(shù)1718192021

男生人數(shù)35372

女生人數(shù)35573

(1)根據(jù)上表數(shù)據(jù)，求該幼兒園男生打卡天數(shù)的平均值；

(2)若從打卡21天的小朋友中任選2人交流心得，求選到男生和女生各1人的概率.

20.已知橢圓盤+'=l(a>b>0)的右焦點(diǎn)為FzQ,。),離心率為e=

O)求橢圓的方程.

(2)設(shè)直線y

=kx

+1與橢圓相交于A.B兩點(diǎn).M,N分別為線段AF2,BFz的中點(diǎn),若坐標(biāo)原點(diǎn)0在以MN為直徑的圓上,

求k的值.

21.已知函數(shù)f(x)=4x+aM-彳￡R)

(1)當(dāng)a=l時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若函數(shù)在區(qū)間［1,+8)上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

22.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線/的參數(shù)方程為｛:疝/為參數(shù)，a為其傾斜角).以

。為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，且在兩坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位建立極坐標(biāo)系，經(jīng)過(guò)極點(diǎn)的

圓C的圓心為(1,》.

(1)求圓C的極坐標(biāo)方程;

(2)若直線/與圓C有公共點(diǎn)，求a的取值范圍.

23.已知/(%)=|久+1|+|%+g(%)=/+3%+2?

⑴若m>0且/(%)的最小值為1,求他的值；

(2)不等式f(%)W3的解集為A,不等式g(x)4。的解集為8,BQA,求機(jī)的取值范圍.

【答案與解析】

1.答案：A

解析:解：A=｛x\x>-2｝；

??AB—[-2,+8).

故選：A.

可求出集合A,然后進(jìn)行并集的運(yùn)算即可.

考查描述法、區(qū)間表示集合的概念，以及并集的概念及其運(yùn)算.

2.答案：C

解析：

本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、模的計(jì)算公式，比較基礎(chǔ).

解：???(i-2)z=4+33

...團(tuán)=雷卜V5.,

故選C.

3.答案：B

解析：解：由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：&3+%0=9=%+%2，

則數(shù)列｛冊(cè)｝的前12項(xiàng)和=￡(%+&2)=6X9=54.

故選：B.

由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：。3+%。=9=%+%2,再利用求和公式即可得出.

本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)與求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

4.答案：C

解析：解：如圖,

VAB=AD=4,4DAB=60°,比-3DE>

■?■AE-BE=(AD+DE)■(BC+CE)=(AD+萍)?(AD-渾)

=AD2--AB-AD--AB2=16-ix4x4xi--X16=9.

2162216

故選：c.

由題意畫出圖形，把而、露都用何、而表示，則答案可求.

本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，是基礎(chǔ)的計(jì)算題.

5.答案：A

解析：解：函數(shù)/'⑺嘮］笠,°<0'則〃T)=f(T+2)=/Xl)=l_2=_l.

故選:A.

直接利用分段函數(shù)化簡(jiǎn)求解即可.

本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用函數(shù)值的求法，考查計(jì)算能力.

6.答案：A

解析：

本題考查雙曲線的基本性質(zhì)，考查學(xué)生的基本運(yùn)算能力.是中檔題.

由漸近線方程為丁=%可得a=b,由c=2,可求得雙曲線焦點(diǎn)到漸近線的距離

解析：

解：根據(jù)雙曲線］一3=l(a>0,b>0)的漸近線方程為丫=，

a』

所以a=b,又焦距為4,所以焦點(diǎn)為(0,2),

所以雙曲線焦點(diǎn)到漸近線的距離為混，故選4

7.答案：A

解析：

【試題解析】

本題主要考查了拋物線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

求出拋物線的準(zhǔn)線方程，根據(jù)拋物線的性質(zhì)可得匕=2,代入拋物線方程，即可得出M到x軸的距

離.

解：設(shè)拋物線的準(zhǔn)線方程為％=-2,

由拋物線性質(zhì)可得：點(diǎn)M到準(zhǔn)線方程的距離與點(diǎn)”到焦點(diǎn)的距離相等，

則X[=4—2=2,y/=8x2=16==4,

故M到x軸的距離為4,

故選A.

8.答案：B

解析：

本題考查了函數(shù)y=Asin^x+3)的圖象與性質(zhì).

利用函數(shù)y=Asin^a)x+租)的周期，結(jié)合函數(shù)y=Asin(a)x+⑴)的圖象變換得變換后函數(shù)y=

-2cos3x,再利用函數(shù)y=Asin{a)x+w)的對(duì)稱性計(jì)算得結(jié)論.

解：因?yàn)?'(x)=2sin3x的周期為季

將函數(shù)f(x)=2sin3x的圖象向右平移1個(gè)周期，

即向右平移￡

O

因此所得圖象的解析式為y=2s譏3-=-2cos3x;

由3x=/OT+g(keZ^^x=^+&(keZ),

236

所以(一I0)是函數(shù)V=-2cos3x的一個(gè)對(duì)稱中心.

故選B.

9.答案：B

解析：解：由三視圖可知，俯視圖是一個(gè)直角梯形，上、下底和高分別為2、3和6，

其面積為1x(2+3)xV5=".

故選：B.

由三視圖可知，俯視圖是一個(gè)直角梯形，上、下底和高分別為2、3和次，即可得出.

本題考查了三視圖的應(yīng)用及其性質(zhì)、梯形的面積，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

10.答案:D

解析：解：由題意可知，大正方形的面積為16,一個(gè)直角三角形的面積為2遙，

則中間小正方形的面積為16-4x2V3=16-8V3.

二隨機(jī)向弦圖內(nèi)投入一粒黃豆，則其落入小正方形內(nèi)的概率為竺出=1-遺.

162

故選：D.

由題意可得，大正方形的面積為16,一個(gè)直角三角形的面積為2次，由此求出中間小正方形的面積,

再由測(cè)度比為面積比得答案.

本題考查幾何概型，正確理解題意是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.

11.答案：C

解析：

本題考查已知函數(shù)的解析式選圖象，可用排除法，屬于中檔題.

解：因?yàn)椋?x)=工=》+1+￡,定義域已優(yōu)彳1},排除A；

當(dāng)％T+8,fQ)T+8,排除8.

當(dāng)x<0,/(x)<0,排除D

故選C.

12.答案：B

解析：

本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查正四面體，線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)

知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題.

取BC中點(diǎn)E,0c中點(diǎn)凡連接。E、BF,則由題意得。ECBF=。，取。。中點(diǎn)M連接MN,則

MN//A0,從而/BMN是異面直線與49所成角（或所成角的補(bǔ)角），由此能求出異面直線與

A。所成角的余弦值.

解：取BC中點(diǎn)E,OC中點(diǎn)凡連接QE、BF,則由題意得。EnBF=。，

取。。中點(diǎn)N,連接MM則MN〃710,

NBMN是異面直線與AO所成角（或所成角的補(bǔ)角）,

設(shè)正四面體A8CO的棱長(zhǎng)為2,

BM=DE=g=50D=lDE=^，

4cA42^22V6

-,-A0=J4-3=W=—

???MN=YO=卻當(dāng)，

0是點(diǎn)A在底面8C。內(nèi)的射影，MN//AO,

MN_L平面BCD,BNu平面BCD,

???MN1BN,

MNV42

Acos乙BMN=—BM=-67=-=一3?

???異面直線8M與AO所成角的余弦值為匹.

3

故選民

13.答案：-12

解析：

本題考查函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)以及應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)題意，設(shè)g(x)=/(x)+8,分析可得g(x)為奇函數(shù)，即可得g(2)+g(-2)=0,結(jié)合/(一2)的值,

分析可得答案.

解：根據(jù)題意，設(shè)g(x)=f(x)+8=5x3+asinx,

則有g(shù)(-x)=—(5x3+asinx')--g(x)，

則函數(shù)g(x)為奇函數(shù)，

則有g(shù)(2)+g(-2)=0,

即/'(2)+8+f(—2)+8=0,

又由/(-2)=—4,則f(2)=-12,

故答案為：-12.

14.答案：7

解析:

本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃

題目的常用方法.利用平移確定目標(biāo)函數(shù)取得最優(yōu)解的條件是

解決本題的關(guān)鍵.

作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識(shí)，通過(guò)平移

即可求z=x+y的最大值.

解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：(陰影部分)

由z=x+y得y=—x+z,平移直線y=—x+z,

由圖象可知當(dāng)直線y=-x+z經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，直線y=-x+z的

截距最大，

此時(shí)Z最大.由｛11+；_6=0解得力（一1,8）.

代入目標(biāo)函數(shù)z=刀+）/得2=-1+8=7.

即目標(biāo)函數(shù)z=x+y的最大值為7.

故答案為7.

15.答案:3

解析：

先由等差數(shù)列通項(xiàng)公式可得1+。3,。6,4+%0,再結(jié)合題意可得解得讓

解：設(shè)公差為“，貝ljl+a3=5+d,a6=4+4d,44-a10=8+8d

則(5+d)x(8+8d)=(4+4d)2,

■■d=3.

故答案為3.

16.答案：b

解析：

本題考查了合情推理，屬于中檔題.

假設(shè)“，從c,d分別為一等獎(jiǎng)，判斷甲、乙、丙、丁的說(shuō)法的正確性，即可判斷.

解：若〃為一等獎(jiǎng)，則甲，乙，丙，丁的說(shuō)法均錯(cuò)誤，故不滿足題意，

若6為一等獎(jiǎng)，則乙，丙說(shuō)法正確，甲，丁的說(shuō)法錯(cuò)誤，故滿足題意，

若c為一等獎(jiǎng)，則甲，丙，丁的說(shuō)法均正確，故不滿足題意，

若d為一等獎(jiǎng)，則只有甲的說(shuō)法正確，故不滿足題意，

故若這四位同學(xué)中只有兩位說(shuō)的話是對(duì)的，則獲得一等獎(jiǎng)的作品是b.

故答案為4

17.答案：解：（I）由己知及正弦定理得：sinA+sinB=V3sinCsinA+sinCcosA?

又A+8+C=7T,

???sinA+sin(A+C)=V3sinCsinA+sinCcosA,

整理得1+cosC=V3sinC,sin(C—=p

,**C6(0,TT),C——6

6(3

C=-

3

22

(II)由余弦定理得：=CA2+CD2-2CA?CD?cosC=CA+CD-CACD,

即4=5一1

ab<8,當(dāng)且僅當(dāng)a=2b=4時(shí)取等號(hào),

:,S*BC=lab-sinC,即AABC面積的最大值為2G

解析：本題主要考查正弦定理、余弦定理、三角形面積公式的應(yīng)用及利用基本不等式求面積的最大

值，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，培養(yǎng)了學(xué)生分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力.

(I)由正弦定理及三角函數(shù)恒等變換化簡(jiǎn)己知等式可得sin(C—")=￡,又結(jié)合(0,兀)，即可求

得角C的值；

(口)由余弦定理結(jié)合己知可得abW8,又由三角形面積公式可得SUBC=job-sinC<2<3,進(jìn)而

即可求得結(jié)果.

18.答案：(1)證明：建立以G為坐標(biāo)原點(diǎn)的空間坐標(biāo)系如圖，

-??AC=BC=44i=2,E,F分別是CC「公&的中點(diǎn).

???4(0,2,2),3(2,0,2),E(0,0,1),4(0,2,0),F(l,l,0),8式2,0,0),

C(0,0,2)

則荏=(0,-2,—1)，BC=(-2,0,0),CF=(1,1.-2),

則荏BC=0-AE-CF=-2+2=0,

則荏1就，AE1CF>

即4E1BC,AE1CF,BCQCF=C,

AE_L平面BCF；

(2)解：取AB的中點(diǎn)。，連結(jié)C。，F(xiàn)O,

■■■CB=CA,

CO1AB

平面ABC_L平面EB/iA,

CO，平面ABF,

而CE〃平面88送14，

E到平面ABF的距離就是CO的長(zhǎng)，C。==&,

???S“BF=-OF=2V2,

14

"^E-ABF~3'CO-SAABF=

又Rt△ECB^iRt△EC'A]',易知EB=EA=V5>

又AB=2V2.

故EO=>JEBZ-OB2=V3)

-SAABE=\EO-AB=A/6

設(shè)F到平面ABE的距離為d,

由%-4BE=^E-ABF,得,S—Bed=解得d=

解析：(1)建立坐標(biāo)系，利用向量法證明AE,平面BCF；

(2)由題意，尸到&G的距離即為所求.

本題主要考查空間直線和平面垂直的判斷，考查F到平面A8E的距離，建立坐標(biāo)系利用向量法是解

決本題的關(guān)鍵.

19.答案：解：⑴男生打卡天數(shù)的平均值x=17x3+i8；a曹藍(lán):*7+2ix2=J?

(2)男生打卡21天的2人記為a,b,女生打卡21天的3人記為c,d,e,

則從打卡21天的小朋友中任選2人的情況有(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(瓦d),(b,e),(c,d),

(c,e),(d,e),共10種，

其中男生和女生各1人的情況有(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),共6種,

故所求概率P=4=|

解析：本題考查平均數(shù)的計(jì)算，古典概型的計(jì)算.屬于中檔題.

(1)根據(jù)平均數(shù)公式計(jì)算即可；

(2)寫出所有基本事件，根據(jù)古典概型公式計(jì)算即可.

20.答案：解：(1)由題意得［￡=工得Q=2,所以4=4,

結(jié)合。2=爐+。2,解得川=3,

所以，橢圓的方程為亡+乃=1,

43

(42y2

(2)由1丁+了=1消去得：(3+4/)x2+8/cx-8=0,

(y=依+1

設(shè)B(久2，%)，所以％1+%2=_3+4卜2=-3+4上2,

依題意知，OM1ON9且叭冷工葭)，N,

二麗.麗=(。，今.(—，嶺二衛(wèi).2+"."二。，

v227k2272222

即(與+1)(%2+1)+(上與+1)(〃不+1)=0，

整理得：(1+fc2)%i%2+(1+上)(%1+%2)+2=0，

所以(1+1)?品+Q+k)?券+2=。，

整理得：4k2+4k+1=0所以k=-g.

(c=1

解析：(1)由題意得上=上得a=2,再結(jié)合。2=川+?2,可求得〃，從而可得橢圓的方程；

(2)由橢圓的方程與直線的方程y=kx+1聯(lián)立，得：(3+4k2)x2+8kx-8=0,設(shè)4(打,丫1)，

B(x2,y2),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出M,ND,再詢?前=0即可求得上的值.

本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查解析幾何的基本思想

方法和綜合解題能力，屬于難題.

21.答案：解：(l)a=l時(shí)，/(x)=4X+X2-|X3,

/'(%)=4+2工-2x2,

令解得：—1VXV2,

令r(工)<o,解得：％>2或％<-1,

故/(%)在(-8,-1),(2,+8)上單調(diào)遞減，在(一1,2)上單調(diào)遞增；

(2)/,(x)=4+2ax—2x2,

若f(%)在[1,+8)遞減,

則2a%<2x2—4即a<x—:在[1,+8)恒成立，

2

令g(x)=x-?xE[l,+oo),

則=1+堞>0,

則g(x)在口,+8)遞增，

g(x)>g(l)=-1.

故a<-1.

即a的取值范圍是(一8,-1]