2021年高考數(shù)學(xué)模擬訓(xùn)練卷 (一)(含答案解析)

2021年高考數(shù)學(xué)模擬訓(xùn)練卷（1）

一、單項選擇題（本大題共12小題，共36.（）分）

A.2+3iB.3+3iC.2-3iD.3-3i

2.已知集合4=｛x|x2=1},B={-1,0,1},則AClB=()

A.{1}B.{-1}C.{-1,1}D.{-1,0,1)

3.若雙曲線里一次=1的離心率為（)

43

A.1B.1c,D.豆

2223

4.在等差數(shù)列｛即｝中，已知;=8,則該數(shù)列前13項和S13=()

A.42B.26C.52D.104

5.在如圖所示的程序框圖中，若輸入的s=2,輸出的s>2018,則判斷框內(nèi)可以填入的條件是（）

A.i>9B.i<10C.i>10D.i>11

6.函數(shù)=M黑(一兀4%式兀)的圖象大致為()

7.若sin2a=%<a<p貝IJCOSQ-sina的值（）

A.-B.3C.D.一立

4242

8.等比數(shù)列｛an｝的各項均為正數(shù)，且磷+a3a7=8,貝lj1味q+log/?+...+k唱/約（）

A.6B.7C.8D.9

9.（/+1）（卷一2）5的展開式的常數(shù)項是（）

A.5B.-10C.-32D.-42

10.已知拋物線C：丫2=4%的焦點為/，準線為/,p是/上一點，。是直線尸產(chǎn)與拋物線C的一個

交點，若麗=3而，則|QF|=()

A.3B.[C.4或]D.3或4

11.如圖，某幾何體的三視圖為三個邊長均為1的正方形及兩條對角線，則壬金

它的表面積為()

￡?■??■

A.2V2

B.2V3

C.3

D.4

12.若丫=2—與丫=?(。>0)有兩個公共點，則a范圍為()

'(*)B.Q)C.—)D.G，+8)

二、填空題(本大題共4小題，共12.0分)

13.已知平面向量五=(26+1,-今石=且明/石，則實數(shù)帆的值為

X>1

14.已知”,y滿足不等式y(tǒng)N4,貝ijz=%+2y最大值為.

.%+y—6<0

15.如圖，矩形。48C內(nèi)陰影部分是由曲線f(x)=E(0,九)及直線％=

Q(QW(0,7T)與工軸圍成，向矩形。43c內(nèi)隨機的投擲一點，若落在陰影部分

的概率為：，則a的值是______.

4

16.如圖，在正方體4BCD-ZiBiGDi中，M,N,P分別是GC,GD1的

中點，點”在四邊形&4DD1的邊及其內(nèi)部運動，則”滿足條件時,

有8H〃平面MNP.

三、解答題(本大題共7小題，共84.0分)

17.在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知c=acosB+bsinA.

⑴求A;

(2)若a=2,b—c,求△ABC的面積.

18.某高科技公司投入1000萬元研發(fā)某種產(chǎn)品，大規(guī)模投產(chǎn)后，每天在產(chǎn)品進入庫房前，都需做嚴

格的質(zhì)量檢驗.為此，檢驗人員從當(dāng)天生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取80件，檢測一項關(guān)鍵的質(zhì)量指標

值(記為X),由檢測結(jié)果得到如下樣本頻率分布直方圖.

(1)由頻率分布直方圖可以認為X?N(〃R2),其中樣本平均數(shù)又、方差s2(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間

的中點值作代表)可作為〃，M的估計值.利用該正態(tài)分布，求P(X>1758)(精確到0.01)；

(2)該公司規(guī)定：當(dāng)X>175.5時，產(chǎn)品為正品；當(dāng)XW175.5時，產(chǎn)品為次品.公司每生產(chǎn)一件

這種產(chǎn)品，若是正品，則盈利80元；若是次品，則虧損20元.記f為生產(chǎn)一件這種產(chǎn)品的利潤

(單位：元).

①求隨機變量f的分布列和數(shù)學(xué)期望(精確到0.01)；

②若該公司每天生產(chǎn)這種產(chǎn)品1000件，則多長時間可以收回研發(fā)投入的1000萬元？

附：V6?2.45,PQt—(T<X<IJ.+(T)=0.683,P(p,-2a<X<(4.+2a)=0.954.

19.如圖1,在矩形ABC。中，=4,AD=2,E為AB的中點，將△4DE沿。E折起，使平面ADE1

平面OE8C,如圖2.

E

圖1

(1)若尸為AC的中點，求證：BF〃平面ADE；

(2)求二面角E-AB-C的正弦值.

20.己知兩點4(一2,0)、B(2,0),動點P滿足/A-kPB=-i.

(1)求動點P的軌跡E的方程；

(2)”是曲線E與y軸正半軸的交點，曲線E上是否存在兩點"、N,使得是以，為直角

頂點的等腰直角三角形？若存在，請說明有幾個；若不存在，請說明理由.

21.設(shè)常數(shù)a>°‘函數(shù)人x)=W-amx.

(I)當(dāng)a=，時,求f(%)的最小值;

(n)求證：f(x)有唯一的極值點.

22.在極坐標系中，直線/的方程為psm管一。)=2,曲線C的方程為p=4cos。，求直線/被曲線

C截得的弦長.

23.已知函數(shù)/'(x)=|2x-1|+-2a|,

(1)當(dāng)a=l時,求/(x)W3的解集；

(2)若當(dāng)xe[1,2]時，f(x)S3恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

【答案與解析】

1.答案：A

解析：

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，屬于基礎(chǔ)題.

直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案.

解：H一碼疝而一丁一“"

故選：A.

2.答案：C

解析：解：A={-1,1}；

.??An8={-14}.

故選：C.

可解出集合A,然后進行交集的運算即可.

考查描述法、列舉法的定義，以及交集的運算.

3.答案：C

解析:

本題考查雙曲線的性質(zhì)，先求出c的值，從而求出離心率.

解：由題可知Q=2,b=W，則c=y/a2+爐==6

離心率e=-=-,

a2

故選C.

4.答案：C

解析:解：在等差數(shù)列{an}中,由。6+。8=8,

得%+a13=8,

（。1+。13）乂138X13

AS1352.

22

故選：c.

由已知求得%+的3=8,代入等差數(shù)列的前〃項和公式求解.

本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查等差數(shù)列的前”項和，是基礎(chǔ)題.

5.答案：D

解析：

本題考查了程序框圖的應(yīng)用問題，解題時應(yīng)模擬程序框圖的運行過程，以便得出正確的結(jié)論，是基

礎(chǔ)題.

由已知中的程序語句可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計算并輸出變量s的值，模擬程序的運行

過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案.

解：模擬程序的運行，可得

s=2,i=1

不滿足條件,執(zhí)行循環(huán)體,s=4,i=2

不滿足條件,執(zhí)行循環(huán)體,s=8,i=3

不滿足條件,執(zhí)行循環(huán)體,s=16,i=4

不滿足條件,執(zhí)行循環(huán)體,32,i=5

不滿足條件,執(zhí)行循環(huán)體,s=64.i—6

不滿足條件,執(zhí)行循環(huán)體,s=128,i=7

不滿足條件,執(zhí)行循環(huán)體,s=256,i=8

不滿足條件,執(zhí)行循環(huán)體,s=512,i=9

不滿足條件,執(zhí)行循環(huán)體,s=1024,I=10

不滿足條件,執(zhí)行循環(huán)體,s=2048,i=11

由題意，此時應(yīng)該滿足條件，退出循環(huán)，輸出s的值為2048.

則判斷框內(nèi)可以填入的條件是i211?.

故選：D.

6.答案：A

解析：解：〃一乃=關(guān)公=一/（乃則函數(shù)/（乃是奇函數(shù)，排除C,

分母2+cosx>0,則當(dāng)0<%<兀時，sinx>0,則/'(x)>0,排除￡),

/?)=4=焉<熙)=：’則8不滿足條件?

2+~

故選：A.

利用函數(shù)的奇偶性得到圖象關(guān)于原點對稱，利用/《)</'?),進行排除即可.

本題主要考查函數(shù)圖象的識別和判斷，利用函數(shù)奇偶性和函數(shù)值的對應(yīng)性，利用排除法是解決本題

的關(guān)鍵.

7.答案：。

解析：解：<a<T，sin2a=

424

cosa—sina=—y/(cosa-sina)2=-V1-sin2a=-y-

故選：D.

由己知可得cosa-sina<0,利用二倍角的正弦函數(shù)公式即可求值.

本題主要考查了二倍角的正弦函數(shù)公式的應(yīng)用，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

8.答案：D

解析：

本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)和對數(shù)的運算法則，屬于基礎(chǔ)題.

由等比數(shù)列的性質(zhì)可得出=2,進而利用對數(shù)的運算法則以及等比中項即可求解.

22

解："a5+a3.a7=8,1?.a5=4,由于等比數(shù)列｛an｝的各項均為正數(shù)，所以=2.

二log2al+log2a2+…+log2a9

—1O§2^1^2…49==91ogz2=9.

故選。.

9.答案：D

解析：解：由于(1一2戶的通項為C1(,)5T.(—2)r,

故(7+1)(專一2)5的展開式的常數(shù)項是廢.(—2)+(-2)5=-42,

故選：D.

由于統(tǒng)一2)5的通項為Cg?(專)5-r.(-2)\可得+1)(專一2)5的展開式的常數(shù)項.

本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項式展開式的通項公式，求展開式中某項的系數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.

10.答案:B

解析：

本題考查拋物線的簡單性質(zhì)，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.求得直線P尸的方程，與

y2=4x聯(lián)立可得x=：,利用|QF|=d可求.

解：設(shè)。到/的距離為％則|QF|=d,

vFP=3而，

\PQ\=2d,

.,?直線PF的斜率為土國，

"（1,0），

???直線PF的方程為y=±V3（x一1）,

與y2=4x聯(lián)立可得x=1或x=3（舍去），

???以1=1+|=（

故選8.

11.答案：B

解析：解：如圖所示，該幾何體是同底面的上下兩個正四棱錐.

則該幾何體的表面積S=8x|x^=2V3;超:

故選8.

由幾何體的三視圖還原幾何體，該幾何體是同底面的上下兩個正四棱錐的組合體，▽

根據(jù)各邊是邊長為1的等邊三角形求表面積.

本題考查了正八面體的三視圖及其表面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.

12.答案：A

解析:

本題主要考查了已知函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)的范圍，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，構(gòu)造函數(shù)/(x)=W

是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.由題意可得e-x=￡有兩個根，等價于。=哀0h0)有兩個根，令/'(%)=

W，對函數(shù)進行求導(dǎo)，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，通過y=a和y=W的圖象有兩個交點即可得出〃的范

圍.

解：若曠=0-、與丫=((。>0)有兩個公共點，即方程er=￡有兩個根，等價于。=宗(￥中0),令

/(%)=,則/⑴=愛，當(dāng)％<1時，/''(￡)>0,函數(shù)/⑺=福單調(diào)遞增；當(dāng)x>1時，f'M<0,

函數(shù)/(x)=2單調(diào)遞減；且當(dāng)X-—8時，/(%)->-00,/⑴=},當(dāng)XT+8時，/(X)TO由于和

y=ay=2的圖象有兩個交點,故a6(0,*

故選A.

13.答案：一

解析：

本題考查向量共線的坐標運算，是基礎(chǔ)的計算題.

直接利用向量共線的坐標運算列式求得初值.

解：???五=(2m+—b=(2m,1)，且向量正方平行,

11

:.2m+1=--x2m,解得：m=

故答案為：-

14.答案：11

x>1

解析：解：先根據(jù)X,)，滿足不等式y(tǒng)24,畫出可行

X+y—6<0

域，

目標函數(shù)z=x+2y,經(jīng)過點B時z取得最大值，

8(1,5),

可得Zmax=1+2x5=11,

故最大值為：11,

故答案為：11.

先根據(jù)約束條件畫出可行域，再利用幾何意義求最值，只需求出直線z=x+2y過y軸的截距最大,

即z最大值，從而求解.

本題主要考查了簡單的線性規(guī)劃，以及利用幾何意義求最值，是中檔題.

15.答案：y

解析：解：由題意可得，是與面積有關(guān)的幾何概率.

構(gòu)成試驗的全部區(qū)域是矩形0AC8,面積為：ax《=6,

記“向矩形0A3C內(nèi)隨機投擲一點，若落在陰影部分”為事件A,

則構(gòu)成事件A的區(qū)域即為陰影部分面積為：S=sinxdx=-cosx惜=1-cosa,

由幾何概率的計算公式可得P(4)=上箸=p

得：cosa=-|,又aW(0,7r),

2n

??CL=—,

3

故答案為：拳

利用積分求出陰影部分的面積，結(jié)合幾何概型的概率公式，即可得到結(jié)論.

本題是與面積有關(guān)的幾何概率的計算，求解需要分別計算矩形的面積及陰影部分的面積，考查了利

用積分計算不規(guī)則圖象的面積.

16.答案：He線段4￡>

解析：

本題考查線面平行的條件的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運

算求解能力，是中檔題.

推導(dǎo)出PN〃BD,PM“A\B,MN"AM從而平面4BD〃平面PMN,從而求出H滿足條件He線

段&D時，有〃平面MNP.

解：???在正方體ABCD-A/iCiDi中，M,N,P分別是G。，C^,G5的中點，

點//在四邊形4潭。么的邊及其內(nèi)部運動，

???PN//BD,PM"A\B,MNHA、D,

,:PNCPM=P,AXBC\BD=B,

???平面AiBD〃平面PMN,

H滿足條件He線段&0時，有.BH〃平面MNP.

故答案為：HE線段4D

17.答案：（本小題滿分12分）

解：（1）由c=acosB+及正弦定理可得：sinC=sinAcosB+smBsin/L…（2分）

在中，

△ABCC=n-A-B9

所以s譏C=sin（A+B）=sinAcosB+cosAs譏B.…（4分）

由以上兩式得si幾4=cos/,即=1,,?.（5分）

又AG（0,兀），

所以％=￡…（6分）

（2）由于S“BC=gbcsinA=,兒，…（7分）

由a=2,及余弦定理得：4=Z?2+c2—2bccosB=Z?2+c2—V2hc,...（8分）

因為b=c,

所以4=2b2—&b2,即/=&=4+2&,...（10分）

故24BC的面積S——be——b2=y[2+1....（12分）

44

解析：（1）由己知及正弦定理，三角形內(nèi)角和定理，兩角和的正弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系

式可得：tanA=1,結(jié)合范圍46（0,兀），可求A的值.

（2）由三角形面積公式及余弦定理可求解的值，進而利用三角形面積公式即可計算得解.

本題主要考查了正弦定理，三角形內(nèi)角和定理，兩角和的正弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，

三角形面積公式及余弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.

18.答案：解：（1）

X=140X0.02+160X0.08+180x0.24+200X0.33+220x0.22+240X0.09+260x0.02

=2.8+12.8+43.2+66+48.44-21.64-5.2=200,

s2=（140-200）2X0.02+（160-200）2X0.08+（180-200）2X0.24+（200-200）2X0.33

+（220-200）2x0.22+（240-200）2x0.09+（260-200）2x0.02

=72+128+96+0+88+144+72=600,

所以〃=200,o2?600,X?N(200,600).

而。注24.5,

故P(X>175.5)=P(X>200-24.5)=P(X>〃一。)

d1-0.683

1------------?0.84；

2

(2)①隨機變量;可以取-20元、80元,

P(f=-20)=0.16,P(f=80)=0.84,

所以f的分布列為

f-2080

0.160.84

故E(0=-20X0.16+80x0.84=64(%).

②由①得，一天利潤的期望為64000元=6.4萬元.

設(shè)"天可收回研發(fā)投入的1000萬元，即6.4xn21000,解得？i2156.25.

所以157天即可收回研發(fā)投入的1000萬元.

解析：本題考查了正態(tài)分布，頻率直方圖及期望與方差問題，屬于一般題.

(1)由已知數(shù)據(jù)易得樣本平均數(shù)又、方差s2,再由正態(tài)分布的知識可得概率；

(2)①隨機變量《可以取-20元、80元，求出概率可得分布列，可得E(f)；

②由①設(shè)"天可收回研發(fā)投入的1000萬元，B|J6.4xn>1000,解不等式可得答案.

19.答案：證明：(1)取4。的中點M,連接MF,ME,

圖1

在△AOC中，MF為中位線,

MFHDC,且MF=：DC.

又EB=2,CD=4,

EB//DC,且EB=^OC.

MF11EB,且MF=EB,

四邊形MEB尸為平行四邊形,

BF11ME.

■■■BFADE,MEc5??ADE,

BF〃平面ADE.

解：(2)如圖1,取CO的中點P,則四邊形D4EP為正方形，設(shè)正方形D4EP的對角線相交于點O,

則AP1DE.

如圖2,?.?平面AOE!_平面OEBC,平面40EC平面DEBC=OE,AO1DE,則4。1平面。EBC.

以0為坐標原點，笳、聲方向分別為x軸、y軸的正方向建立如圖2所示的空間直角坐標系。-xyz,

貝|J4(O,O,企)，E(72,0,0),B(2V2,V2,0).C(魚,2/,0).

AE=(V2,0,-V2).AB=(2V2,V2.-V2).AC=(V2,2V2,-<2).

設(shè)沆=(x,y,z)為平面ABE的一個法向量,

則(黑一匹=%，可取沆=(LT1).

\2yj2x+V2y—V2z=0

設(shè)記=(p,q,廠)為平面A5C的一個法向量，

潦境二?！比　?/p>

則

丁日,—?T、沆元3V33

rzecos<m,n>=———=-7=—==—

|m|-|n|V3XV1T11

???二面角E-AB-C的正弦值為卜(第=等

解析：本題考查線面平行的證明，考查二面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的

位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題.

(1)取AD的中點M,連接MF,ME,易證四邊形ME8F是平行四邊形，進而證得BF〃ME,由此

能證明BF〃平面ADE.

(2)取CO的中點P,可證4。_L平面力EBC,以。為坐標原點，0E，前方向分別為x軸、)，軸的正方

向建立如圖2所示的空間直角坐標系。-xyz,求出平面A8E和平面A8C的一個法向量，從而求出

二面角E-AB-C的正弦值.

20.答案：解：(1)設(shè)點尸的坐標為(居y)(yH0),則七.=滴，kPB=

■:kpA?kPB=-i,?士=一；，化簡得.+y2=i,

XTZX-￡*r4,

???動點尸的軌跡E的方程為:+y2=1(、中0),注：如果未說明yH0,扣(1分).

(2)設(shè)能構(gòu)成等腰直角三角形HMN,其中H為(0,1),

由題意可知，直角邊HM,4N不可能垂直或平行于x軸，故可設(shè)所在直線的方程為y=kx+l,

(不妨設(shè)k>0)

則HN所在直線的方程為y=—?x+l,由32譽；；4求得交點“(一？53言焉+1)，(另一交點

”(0,1))

，?"I'J(一吊」+(一高尸=喑，

用一3代替上式中的晨得|HN|=5寰，

k114+fc2

由|HM|=|HN|,得卜(4+1)=1+鈍2,

/c3-4/c2+4/c-1=0=>(fc-l)(/c2-3/c+1)=0,

解得：k=1或卜=電!，

2

當(dāng)斜率k=l時，"N斜率一1；當(dāng)斜率k=上更時，"N斜率衛(wèi)與當(dāng)斜率k=上班時，

222

4N斜率士班，

2

綜上述，符合條件的三角形有3個.

解析：(1)設(shè)點尸的坐標為(％y)(yH0),求PA、尸8的斜率，利用心4-kpB=-%化簡可得動

點P的軌跡E的方程；

(2)設(shè)能構(gòu)成等腰直角三角形HMN,其中”為(0,1),由題意可知，直角邊不可能垂直或平

行于x軸，故可設(shè)所在直線的方程為y=kx+l,(不妨設(shè)k>0)則所在直線的方程為y=

-1+1，確定交點M、N的坐標，求出MV、的長，利用|HM|=|HN|,即可求得結(jié)論.

本題考查軌跡方程的求解，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是求出”M印W的長，利用

\HM\=|HN|進行求解.

21.答案:解：(I)f(x)的定義域是(0,+8),

x3+[2-a)x2-2ax-a

"X)=

x(l+x)2

4爐+5比2-6%-3_(%-1)(4/+9%+3)

a=*時，f(x)

4x(l+x)2-4x(l+x)2

4X2+9X+3

v%>0,>0,

4x(l+x)2

令((x)>0,解得：x>1,令/。)<0,解得：0<x<1,

???/(x)在(0,1)遞減，在(1,+8)遞增,

?1?X=1時，/'(X)最小，最小值是/(I)=

(口)由(I)得：/'(X)='(2肅:產(chǎn)產(chǎn)

令。(％)=x3+(2—a)x2—2ax—a,

要證fQ)有唯一的極值點，即證g(%)在(0,+8)有唯一的變號零點，