最短路徑問題

八年級上冊13.4課題學(xué)習(xí)最短路徑問題為什么有的人會經(jīng)常踐踏草地呢？綠地里本沒有路，走的人多了……禁止踐踏愛護(hù)草坪兩點(diǎn)之間，線段最短

如圖所示，從A地到B地有三條路可供選擇，你會選走哪條路最近？你的理由是什么？兩點(diǎn)之間,線段最短①②③要在河邊修建一個泵站向張村引水，在何處修建才能使所用引水管道最短？為什么？垂線段最短張村河流泵站

前面我們研究過一些關(guān)于“兩點(diǎn)的所有連線中，線段最短”、“連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短”等的問題，我們稱它們?yōu)?/p>

最短路徑問題．現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常涉及到選擇最短路徑的問題.本節(jié)將利用數(shù)學(xué)知識探究數(shù)學(xué)史中著名的“將軍飲馬問題”．將軍飲馬問題：

兩點(diǎn)之間線段最短這個問題早在古羅馬時代就有了，傳說亞歷山大城有一位精通數(shù)學(xué)和物理的學(xué)者，名叫海倫．一天，一位羅馬將軍專程去拜訪他，向他請教一個百思不得其解的問題：

將軍每天騎馬從城堡A出發(fā)，到城堡B，途中馬要到小溪邊飲水一次。將軍問怎樣走路程最短？

這就是被稱為"將軍飲馬"而廣為流傳的問題。P兩點(diǎn)之間線段最短.

根據(jù)：BA(一)兩點(diǎn)在一條直線異側(cè)

型一如圖：古希臘一位將軍騎馬從城堡A到城堡B，途中馬要到小溪l邊飲水一次。問將軍怎樣走路程最短？最短路線：將軍飲馬：A---P---B.

型二.如圖：一位將軍騎馬從城堡A到城堡B，途中馬要到河邊飲水一次，問：這位將軍怎樣走路程最短？AB河兩點(diǎn)在一條直線同側(cè)公路●A●A1●A2B●●C利用對稱：將三角形三邊和，轉(zhuǎn)化到一條直線上，用兩點(diǎn)之間線段最短求最小值

型三一點(diǎn)在兩相交直線內(nèi)部已知：如圖點(diǎn)A是銳角∠MON內(nèi)部任意一點(diǎn)，在∠MON的兩邊OM，ON上各取一點(diǎn)B、C，組成三角形，使三角形周長最小.MNOC河邊B'●●AB利用對稱：將兩條線段的和轉(zhuǎn)化到一條直線上，運(yùn)用兩點(diǎn)之間線段最短求最小值

將A，B兩地抽象為兩個點(diǎn)，將河l抽象為一條直線．前面的問題就轉(zhuǎn)化為：當(dāng)飲馬點(diǎn)C在l的什么位置時，AC與CB的和最小做法：（1）作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B′；（2）連接AB′，與直線l相交于點(diǎn)C．則點(diǎn)C即為所求．

證明：如圖，在直線l上任取一點(diǎn)C′（與點(diǎn)C不重合），連接AC′，BC′，B′C′．由軸對稱的性質(zhì)知，

BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC

=AC+B′C=AB′，AC′+BC′

=AC′+B′C′．在△AB′C′中，

AB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′+BC′．即AC+BC最短．

你能用所學(xué)的知識證明AC+BC最短嗎？B·lA·B′CC′若直線l上任意一點(diǎn)（與點(diǎn)C不重合）與A，B兩點(diǎn)的距離和都大于AC+BC，就說明AC+BC最?。瓸·lA·B′CC′

證明AC+BC最短時，為什么要在直線l上任取一點(diǎn)C′（與點(diǎn)C不重合），證明AC+BC＜AC′+BC′？這里的“C′”的作用是什么？

回顧前面的探究過程，我們是通過怎樣的過程、借助什么解決問題的？B·lA·B′CC′軸對稱.....兩點(diǎn)在一條直線同側(cè)(二)一次軸對稱：活動一：甲、乙兩村之間隔一條河，如圖所示．現(xiàn)在要在小河上架一座橋，使得這兩村之間的行程最短，橋應(yīng)修在何處？●●BAB●AB1●c●●D●型四造橋選址問題甲、乙兩村之間隔一條河，如圖所示．現(xiàn)在要在小河上架一座橋，使得這兩村之間的行程最短，橋應(yīng)修在何處？利用平移：將折線和的最小值，轉(zhuǎn)化到一條直線上，用兩點(diǎn)之間線段最短求最小值小結(jié)能利用軸對稱和平移解決簡單的最短路徑問題，體會圖形的變化在解決最值問題中的作用，感悟轉(zhuǎn)化思想．利用軸對稱或平移實(shí)質(zhì)是將折線段轉(zhuǎn)化為直線段，利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”來解決問題．兩條線段和的最小值兩點(diǎn)之間，線段最短線段和最值問題解題策略當(dāng)P運(yùn)動到E時，PA＋PB最小

回顧前面的探究過程，我們是通過怎樣的過程、借助什么解決問題的？平移

活動二如圖，河流與公路所夾的角是一個銳角，某公司A在銳角內(nèi)．現(xiàn)在要在河邊建一個碼頭C，在公路邊D修建一個倉庫，工人們從公司出發(fā)，先到河邊的碼頭卸貨，再把貨物轉(zhuǎn)運(yùn)到公路邊的倉庫里去，然后返回到A處，問倉庫、碼頭各應(yīng)建在何處，使工人們所行的路程最短．河流公路●A公司●B●C

活動二

抽象成數(shù)學(xué)模型：點(diǎn)A在∠MON內(nèi)，在邊MO和NO上各找一點(diǎn)B、C使AC+CB+BA（即⊿ABC的周長）的距離最短。NM●A公司●B●CO提示一：求三角形周長的最小值可轉(zhuǎn)化為一條直線上活動三：根據(jù)上述原理回答：在兩條互相垂直的公路a、b旁有兩個居民小區(qū)A、B，現(xiàn)要在這兩條公路旁建立兩奶站向兩居民區(qū)供奶，應(yīng)建在何處，使得兩居民小區(qū)A、B與這兩個奶站所圍成的四邊形的周長最??？

我思考,我進(jìn)步變式思考活躍思維＊＊BA公路a公路bC●D●活動三

抽象成數(shù)學(xué)模型：在直線a和直線b上各找一點(diǎn)C、D，使AB+AD+CD+BC（即圍成的四邊形）的最小值。

我思考,我進(jìn)步變式思考活躍思維＊＊BA公路a公路bC●D●提示一：AB為定值，只需求折線AD、CD、BC和的最小值。

我思考,我進(jìn)步變式思考活躍思維＊＊BA公路a公路bB1A1CD利用對稱：三邊和轉(zhuǎn)化到一條直線上，用兩點(diǎn)之間線段最短求最小值活動四

抽象成數(shù)學(xué)模型：在直線a和直線b上各找一點(diǎn)C、D，使AB+AD+CD+BC（即圍成的四邊形）的最小值。探究二：在河邊有A、B兩個村莊，要在河邊建立水泵站，要使它到兩個村莊的距離之差最大，請你確定水泵站的位置？●●AB兩點(diǎn)在一條直線同側(cè)●C'問：兩邊之差|C'B—C'A|是否存在最值問題？●C當(dāng)A、B、C三點(diǎn)共線時，|CB－CA|最大探究二：在河兩邊有A、B兩個村莊，要在河邊建立水泵站，要使它到兩個村莊的距離之差最大，請你確定水泵站的位置？●B●P1●A兩點(diǎn)在一條直線兩側(cè)抽象成數(shù)學(xué)模型：A、B兩點(diǎn)分別在直線L的兩側(cè)，在直線L上取一點(diǎn)P使PB－PA最大。提示：●B●P1●A作B的對稱點(diǎn)B1，將PB-PA轉(zhuǎn)化到同側(cè)探究二：兩點(diǎn)在一條直線兩側(cè)●BB1●●P●P1●A抽象成數(shù)學(xué)模型：A、B兩點(diǎn)分別在直線L的兩側(cè)，在直線L上取一點(diǎn)P使PB－PA最大。利用對稱：將兩線段之差轉(zhuǎn)化到三角形中比較，當(dāng)三點(diǎn)共線時求線段差的最大值探究二：小結(jié)（1）本節(jié)課研究問題的基本過程是什么？（2）軸對稱和平移在所研究問題中起什么作用？能利用軸對稱和平移解決簡單的最短路徑問題，體會圖形的變化在解決最值問題中的作用，感悟轉(zhuǎn)化思想