中考常考基本幾何模型16類

中考?？蓟編缀文Ｐ?6類模型是對基礎知識的深刻認識與提煉出的基本類型，注重基本知識的教學是強化模型思想意識的前提，注重模型在知識與知識中的應用，在具有實際背景中的應用等，可有效提高學生數(shù)學建模與解題能力.（數(shù)學建模是對現(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象，用數(shù)學語言表達問題、用數(shù)學知識與方法構建模型解決問題的過程.主要包括：在實際情境中從數(shù)學的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，分析問題、建立模型，求解結論，驗證結果并改進模型，最終解決實際問題.）模型1：將軍飲馬模型如圖1,已知直線l和直線l外同側兩定點A、B,在直線l上求一點P,使PA+PB的值最小.作法：作A（B）點關于直線l的對稱點D，連接BD與直線l相交于一點，則此點為所求作的P點，PA+PB的值也最小.說明：這里利用點關于直線對稱的性質，將一定直線同側兩定點問題轉化為一定直線異側兩定點問題來達到求解的目的.細細分析這個基本幾何模型，會發(fā)現(xiàn)隱含有如下兩個基本結論：其一：同側兩三角形相似的問題如圖1,若連接AD，交直線l于點石，并過點B作BF±l于點F，則有AAEP^ADEP^ABFP，如圖2所示.例如圖2-1,點E為長方形ABCD邊CD上一點，在線段AD上作一點P，使AABPsADEP（要求：用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法與證明）.解：由于點B、點E均為定點且在定直線AD的同側，要在AD上求一點P,使AABP-ADEP，所以本題符合基本模型中隱含的第一類問題，于是作B點（或E點）關于AD的對稱點B'點（或E'點），連接B'E（或EB）,B'E（或E'B）與AD的交點即為所求作的P點，如圖2-2所示.其二：同側兩線段差值最大的問題如圖3所示，連接AB（不妨假設點A到直線l的距離大于點B到直線l的距離），設直線AB與直線l相交于點P,借助三角形的三邊關系，可證明：PA-PBWAB.即：一定直線同側兩定點到這條直線上一動點的距離之差有最大值，其最大

值是兩定點的距離.同側兩線段差值最大問題的變式:如圖4所示，作點A關于直線l的對稱點D，連接BD（不妨假設點A到直線l的距離大于點B到直線l的距離），設直線BD與直線l相交于P點,借助三角形的三邊關系，可證明：PA-PBWBD.即：一定直線異側兩定點到這條直線上一動點的距離之差有最大值，其最大值等于其中一定點關于這條直線對稱后的點與另一定點之間的距離.例如圖4-1,在正方形ABCD中，AB=8,AC與BD交于點O,N是AO的中點，點M在BC邊上，且BM=6,P為對角線BD上一點，則PM—PN的最大值為.解：由于點M、點N是兩個定點，并在定直線BD的異側，要在BD上求一點P，使PM-PN的值最大，這顯然屬于基本模型中隱含的第二類問題中的變式形式，于是不妨作N點關于BD的對稱點N'點，則PM-PN的最大值就是線段MN的長，如圖4-2所示.???四邊形ABCD是正方形，AB=8,點O是對角線AC與BD的交點，N是AO的中點，BM=6，,OA=OC,BD±AC,CM=2的中點，BM=6，,OA=OC,中點,貝UACBAs中點,貝UACBAsACMN', =即MN=2.BA4練習：2015年陜西中考副題第14題；2018年陜西中考副題第25題（三線段共線問題）模型2：三垂直模型如圖5,AABC中，ZABC=90。，B點在直線l上，若過A、C點分別作l的垂線，垂足分別為D、石，則AADBsAB/C；若AB=BC時，則有AADB^ABEC.練習：2014年陜西中考副題第14題模型3:邊定角等模型如圖6,已知/A及其所對邊BC的長均為定值時，求所有符合條件的A點或符合條件的三角形的最大面積.作法：先作一個符合條件的特殊AABC,再作它的外接圓。O,那么在松C上任取一點D（不與B、C重合），它與BC所構成的 Ea三角形都滿足BC的長及BC所對的角是定值的要求.由圓的知識可 JZ知：所有符合題意的三角形就是上面點D與BC所構成的三角形.要 /。它的面積最大，只要三角形BC邊上的高最長即可.作BC的垂直平//JC分線，設它與憐AC交于E點，與BC交于F點，于是S的最大圖6AABC1—.值就是5EF-BC.

例如圖6-1,以正方形ABCD的一邊BC為邊向四邊形內作等腰ABCE,BE=BC,過E作EH±BC于H，點P是RtABEH的內心，連接AP，若AB=2，則AP的最小值為（請在圖中畫出點P的運動路徑）.解：???點P是RtABEH的內心，??.連接PE、PB,如圖6-2所示，???/EHB=90。，DA圖6-1HB圖6-2???/BPE:135。，又、?等腰ABCE是以BC為邊向正方形ABCD內作的，且BE=BC=2,?BE的長是確定的，位置是不確定的.若連接PC，由等腰三角形的性質可知：ABPE與ABPC關于BP所在的直線i成軸對稱，且P點在直線i上，于是DA圖6-1HB圖6-2在ABPE中研究P點與A點的關系，就可轉化在ABPC中來研究P點與A點的關系，在ABPC中，?二BC為定邊，/BPC=135。，.?.P點應在以B、P、C三點確定的圓上，設圓心為。，則P點的運動路徑為BC（不含B、C兩點），如圖6-3所示..,.求AP的最小值就轉化為求圓外一點到圓上一點的最短距離了，于是連接OA、OB、OC，過O作OF±AB于F，7/BPC=135。，則BC為90。的弧，?/BOC=90。，則ABOC為等腰直角三角形，，ABOF也是等腰直角三角形，又:AB=2，.?.OB=無即圓半徑為<2，則OF=BF=1，.,.由勾股定理得：OA=JOF2+（AB+BF）2="0，則AP的最小值為"0-v'2.練習：2014年陜西中考第25題、中考副題第25題；2016年陜西中考第25題第⑶問（存在性作圖）；2017年陜西中考副題第25題.模型4:點、線平移模型如圖7所示，在直角坐標系中，當線段AB平移至CD時，若已知A點坐標為（x,y），B點坐標為（x,y），C點坐標為1 1 2 2（x+k,y+h），則D點坐標就是（x+k,y+h）.11 22練習：2014年陜西中考副題第14題；第24題常用.模型5:平行四邊形中，過中心的線平分平行四邊形的面積模型D如圖8,YABCD中，AC與BD相交于O點.若過O點任作一條直線l，則l將YABCD平分成兩部分，且這兩部分全等（面積相等）.D練習：2013年陜西中考第25題；2017年陜西中考第25題第⑵問.

模型6：角的頂點在一圓中相切線上，則這些角中必有最大值的問題模型如圖9,直線l與eO相切于P點，P是直線l上任意一點，則有/APB^ZAPB.練習：2015年陜西中考第25題2015年陜西中考副題第25題模型7：共斜邊的直角三角形的所有頂點在同一圓上的問題模型C四點、B、例（2017陜西中考第14題）：如圖11/BAD=/BCD=90°,連接AC，若AC=6,,在四邊形ABCD中則四邊形ABCD的面積為圖10AB=AD,:ZBAD=ZBCD=90°,?,.A、過D作DF±C四點、B、例（2017陜西中考第14題）：如圖11/BAD=/BCD=90°,連接AC，若AC=6,,在四邊形ABCD中則四邊形ABCD的面積為圖10AB=AD,:ZBAD=ZBCD=90°,?,.A、過D作DF±AC于F，如圖12所示，B、則C、D四點共圓過B作BE±AC于E,/AEB=/DFA=90°，又/BAD=90°=/BAE+ZDAF,ZABE=/DAF,又???AB=AD,AABE^ADAF,ZDCA=ZBCA=45??.BE=AF,DF=CF,/CDF=/DCF=45°,??.BE+DF=AF+CF=6.DDCA圖11圖12B則°,則則S四邊形ABCD,aBCA+'aDCA=1AC-BE+1AC-DF=1AC-(BE+DF)=18.模型8：點到直線上的所有連線中，垂線段最短的問題模型垂線段AP最短.PC垂線段AP最短.PC為鄰邊作的平行四邊形，...對角線PQ與AC的交點。點應平分PQ與AC,而AC的如圖13,定點A與定直線m上各點的連線中，長與位置是固定的，則。點就是一個定點，又??.點P是BC上任意一點，因此要PQ最小，只要OP±長與位置是固定的，則。點就是一個定點，又??.點P是BC上任意一點，因此要PQ最小，只要OP±BC即可，如圖14-2所示.???/BAC=90。，AB=3,AC=4，,OC=2,由勾股定理可得：BC—5,；.sin/BCA=――=――，則0P=—，.二pQ的最小值為二~.BCOC 5 5練習：2016年陜西中考副題第14題模型9:過圓內一點，有最長（短）弦的問題模型如圖15,在eO中，點A是eO內部異于圓心O的一點，則過點A所作的弦中，有最長弦直徑EF即過點A、過圓心。的弦；有最短弦CD即過點A、且與EF垂直的弦.例如圖16,AB是eO的弦，AB=6，點C是eO上的一個動點，且/ACB=45o.若點M,N分別是AB,BC的中點，則MN長的最大值是 .1一解：由于點M,N分別是AB,BC的中點，則MN=-AC.DDb要MN最大，則只要AC最大.由于AC是eO的弦，點C是eO上的一個動點，當C點運動時，AC就有可能過圓心O，于是AC就變?yōu)閳A中最長的弦直徑了，如圖17所示.?^ACB=45o,AB=6,圖15???AC最大為6V'2，則MN=3<2.圖16 圖17練習：2014年陜西中考副題第16題2016年陜西中考副題第25題模型10：借三邊關系可求最值的問題模型如圖18,點A為線段BC外一動點，且BC=a,AB=b（a>b）.則AC的最大值為a+b；AC的最小值為a—b.例如圖19,在AABC中，ZACB=90。，AB=5,BC=3,P是AB邊上的動點（不與點B重合），將ABCP沿CP所在的直線翻折，得到ABCP,連接B'A,則B'A長度的最小值為.解：在圖19中，?二乙ACB=90。，AB=5,BC=3,.,.由勾股定理得：AC=4；由折疊性質知：CB=CB=3.在AACB中，由三角形的三邊關系有：^A—CB'<B'A,?.?CA、CB的長均為定值，要B'A的長有最小值，只要有CA-CB'=B'A即B'點能落在AC上時，B'A的長有最小值（這解決了求BAA長度有最小值的可能性問題）.另一方面：當CP所在的直線是/ACB的平分線時，將ABCP沿CP所在的直

線翻折，得到ABCP,此時B'點恰好落在AC上即有CA-CB'=B'A（這解決了求B'A長度有最小值的存在性問題），如圖20所示，???B'A長度的最小值是1.練習：2014年陜西中考副題第23題2016年陜西中考副題第25題模型11:圓（內）外一點到圓上一點的最值問題模型如圖21所示，M點是eO的圓內或圓外的任意一點，則過圓心O點、M點的直線與圓交于F點，H點，則線段MF的長就是M點與圓上任意一點連線的最大值；線段MH的長就是M點與圓上任意一點連線的最小值.用幾何直觀性來分析:當過M點的直線與過M點直徑所在的直線所構成的夾角越小，則相對來說MF的長也就越大了.例如圖22,在矩形ABCD中，AD=2,AB=3，點E是AD邊的中點，點F是射線AB上的一動點，將AAEF沿EF所在直線翻折得到AA'EF，連接AC,則AC的最小值為.解：二.點E是AD邊的中點，AD=2,AA'EF是AAEF沿EF所在直線翻折得到的，??.EA=EA=1,又\,點F是射線AB上的一動點，，點A'也隨著點F的運動而變化，但點A到定點E的長是定值1,則點A在以E點為圓心，1為半徑的圓弧（在矩形ABCD內）上，如圖23所示，從而把求AC的長轉化成求圓外一點到圓上一點的最短距離問題，如圖24所示，連接CE，則CE=\，CD2+DE2=./10，二A'C的最小值為<10-1.練習：2017年陜西中考第25題第⑶問模型12:直角三角形中，三邊的函數(shù)關系問題模型如圖25,AABC中，ZACB=90°,當a為定值時，對c2=a2+b2來說：當b有最大（?。┲禃r，貝吧也有最大（小）值；反之，當有最大（?。┲禃r，則b也有最大（?。┲?；當c為定值時，對b2=c2-a2來說：當a有最大（?。┲禃r，則b也有最小（大）值.例如圖26,在邊長為3的正方形ABCD中，點E、F分別是邊BC、CD上的點，且AF±EF，則AE的最小值為.解：設CF=x（0Vx<3）,則DF=3-x.?.?四邊形ABCD是正方形，且AF±EF,ADDF （3-x）?x???AADFsAFCE,則—=--，:,CE=（ ）.由于AB為定值，在直角三角形CFCE 3

TOC\o"1-5"\h\z一— 一— 1 3.3AB中,要AE最小,則要^^最小即要CE最大即可.：CE一行(x一升+“又丁1…-3 - 3 -—7＜。且。＜x＜3，，當x=—時，CE有最大值7，則BE最小為3 2 49 - 15:，???由勾股定理可得：AE的最小值為二.44模型13:已知四邊形兩條對角線的長，求四邊形面積最大值的問題模型如圖27,四邊形ABCD中，已知AC、BD的長是確定的，要求四邊形ABCD面積的最大值，則S=:AC-BD. n,2-圖27B練習：如圖27-1，在RtAABC中，ZABC=90。，AB=4，BC=3，點D，E在AABC所在的平面內，且CE=1，點D在AC的上方，連接AE，BD.若AE=BD，則四邊形abed面積的最大值為 模型14:已知三角形兩邊之和為定值，且夾角確定，求三角形面積最大值的問題模型如圖28，已知中AABC，/ABC=?！悖cD、E分別是AB、BC上的兩動點，且BD+BE=m.則有TOC\o"1-5"\h\z1 1 m m2S=BDgBEsin0=——sin9(BD——)2+——sin9，abde 2 2 2 8__m m2當BD=—時，S有最大面積為sin0［當0>90時,2 ABDE 8m2最大面積為丁