二次曲線的定義

二次曲線的定義第一頁，共二十頁，編輯于2023年，星期六一、二次曲線的代數(shù)定義

定義1

坐標(biāo)滿足的所有點(diǎn)(x1,x2,x3)的集合稱為一條二階曲線.其中(aij)為三階實對稱陣,秩(aij)≧1。

定義1'

坐標(biāo)滿足的所有直線[u1,u2,u3]的集合稱為一條二級曲線.其中(bij)為三階實對稱陣,秩(bij)≧1。二次曲線的射影定義

定義2′

如果T可以分解為兩個一次因式的乘積，則稱T=0為退化二級曲線，否則稱為非退化二級曲線。

定義2

如果S可以分解為兩個一次因式的乘積，則稱S=0為退化二階曲線，否則稱為非退化二階曲線。第二頁，共二十頁，編輯于2023年，星期六命題

S=0退化|aij|=0.二次曲線的射影定義

注1.S,T均為高等代數(shù)中的實三元二次型。從代數(shù)上看，S=0和T=0為相同的代數(shù)對象；從幾何上看，它們是同一幾何對象的不同描述，因此統(tǒng)稱為二次曲線。

注2.

在需要時，S=0和T=0均可寫為矩陣格式：

注3.

由對偶原則，我們一般僅討論二階曲線，其結(jié)論均可對偶地適用于二級曲線。第三頁，共二十頁，編輯于2023年，星期六二、二次曲線的幾何結(jié)構(gòu)

定理1

不同心的兩個射影線束對應(yīng)直線交點(diǎn)的全體構(gòu)成一條經(jīng)過此二線束束心的二階曲線Γ.注：若已知兩個射影線束A+λB?A′+λB′的對應(yīng)式則由此構(gòu)成的二階曲線方程為

定理2

設(shè)二階曲線Γ由射影線束O(P)與O′(P)生成，則在Γ上任意取定相異二點(diǎn)A和B，與Γ上的動點(diǎn)M連線可得兩個射影線束

注：由本定理,一旦二階曲線由兩個射影線束生成，則其上點(diǎn)的地位平等，以曲線上任意相異二點(diǎn)為束心與曲線上的點(diǎn)連線則得到兩個也生成此曲線的射影線束。二次曲線的射影定義第四頁，共二十頁，編輯于2023年，星期六定理2的證明.

設(shè)Γ由O(P)O′(P)生成，需證設(shè)所以只要證設(shè)分別以AM,BM截得注意到從而對應(yīng)點(diǎn)的連線共點(diǎn)，即AA′,BB′,KK′共點(diǎn)于S。但是為定點(diǎn)，故當(dāng)M變動時，KK′經(jīng)過定點(diǎn)S，即二次曲線的射影定義則有第五頁，共二十頁，編輯于2023年，星期六

推論1

平面上五點(diǎn)(其中無三點(diǎn)共線)唯一確定一條非退化二階曲線。

推論1′平面上五直線(其中無三線共點(diǎn))唯一確定一條非退化二級曲線。

推論2

任一二階曲線可由兩個射影線束生成。

推論2′

任一二級曲線可由兩個射影點(diǎn)列生成。

推論3

二階曲線上四個定點(diǎn)與其上任意一點(diǎn)連線所得四直線的交比為定值。

推論3′

二級曲線上四條定直線被其上任意一條直線所截得四點(diǎn)的交比為定值。

注：推論3對于解析幾何中的各種二次曲線都適用。二次曲線的射影定義第六頁，共二十頁，編輯于2023年，星期六三、二次曲線的射影定義

由上述的兩個定理及其推論，我們有

定義3

在射影平面上，稱兩個射影線束對應(yīng)直線交點(diǎn)的集合為一條二階曲線。

定義3′

在射影平面上，稱兩個射影點(diǎn)列對應(yīng)點(diǎn)連線的集合為一條二級曲線。

思考：試研究本定義是如何包含退化二次曲線的。提示：考慮透視對應(yīng)、射影變換的情況。二次曲線的射影定義第七頁，共二十頁，編輯于2023年，星期六

例1

求由兩個射影線束x1–λx3=0,x2–μx3=0(λ+μ=1)生成的二階曲線方程。

解令利用定理1的證明，此二射影線束生成的二階曲線的方程為由λ+μ=1得a=0,b=c=1,d=–1,代入上式得即這是一條退化的二階曲線。二次曲線的射影定義第八頁，共二十頁，編輯于2023年，星期六四、二階曲線的切線本部分總假定：所論二次曲線為非退化的.1.定義

定義4與二階曲線Γ交于兩個重合的點(diǎn)的直線稱為Γ的切線。二次曲線的射影定義第九頁，共二十頁，編輯于2023年，星期六四、二階曲線的切線2、切線的方程問題：已知二階曲線求過定點(diǎn)P(p1,p2,p3)的Γ的切線方程。

設(shè)Q(q1,q2,q3)為平面上任一點(diǎn)，則直線PQ上任一點(diǎn)可表為

xi=pi+λqi。

PQ為Γ的切線PQ交Γ于兩個重合的點(diǎn)將xi=pi+λqi代入Γ：S=0后只有一個解。代入得即二次曲線的射影定義第十頁，共二十頁，編輯于2023年，星期六為簡便計，我們引入記號代入(2)式得二次曲線的射影定義整理得第十一頁，共二十頁，編輯于2023年，星期六從而Q(q1,q2,q3)在過P(p1,p2,p3)的切線上(3)對λ有二重根(4)式即為Q(q1,q2,q3)是Γ過P(p1,p2,p3)的切線上的點(diǎn)的充要條件。習(xí)慣地，將其中的流動坐標(biāo)qi換為xi，得到二階曲線過點(diǎn)P(p1,p2,p3)的切線方程為(5)式為一個二次方程，故經(jīng)過平面上一點(diǎn)P一般有兩條切線。

如果P在Γ上，則Spp=0，從而，二階曲線上一點(diǎn)P處的切線方程為二次曲線的射影定義第十二頁，共二十頁，編輯于2023年，星期六注：Sp=0常用的等價寫法請自行證明這三種寫法確實都與Sp=0等價.(3)式與解析幾何中的切線方程一致二次曲線的射影定義第十三頁，共二十頁，編輯于2023年，星期六五、二級曲線的切點(diǎn)設(shè)

1.切點(diǎn)的定義2.切點(diǎn)方程一般(?！湓趌上的切點(diǎn))：特殊(l屬于?！?：二次曲線的射影定義一般地，過平面上一點(diǎn)有?！涞膬蓷l直線。若過平面上某點(diǎn)P有且僅有?！涞囊粭l直線，則稱P為?！涞囊粋€切點(diǎn)。第十四頁，共二十頁，編輯于2023年，星期六

例2

如果兩個三點(diǎn)形ABC與A′B′C′

同時內(nèi)接于一條二次曲線，

求證它們也同時外切于一條二次曲線。證.設(shè)交點(diǎn)D,E;D′,E′如圖。

因為A,B,C,A′,B′,C′在同一條二次曲線上，據(jù)二階曲線的射影定義有又

由二級曲線的射影定義，這兩個射影點(diǎn)列的對應(yīng)點(diǎn)連線以及點(diǎn)列的底共六條直線屬于同一條二級曲線，這六條直線恰好是已知兩個三點(diǎn)形的六條邊。結(jié)論成立。注：本題的逆命題成立。

二次曲線的射影定義第十五頁，共二十頁，編輯于2023年，星期六六、二階曲線與二級曲線的統(tǒng)一

定理3(Maclaurin)一條非退化二階曲線的全體切線構(gòu)成一條非退化二級曲線。

定理3′(Maclaurin)一條非退化二級曲線的全體切點(diǎn)構(gòu)成一條非退化二階曲線。設(shè)由本定理，[u1,u2,u3]為Γ上一點(diǎn)處的切線展開,得注：本定理提供了二次曲線的點(diǎn)坐標(biāo)、線坐標(biāo)方程互化方法。

推論4

若bij=αAij(α≠0)，則S≡∑aijxixj=0與T≡∑bijuiuj

=0表示同一條二次曲線。二次曲線的射影定義第十六頁，共二十頁，編輯于2023年，星期六

例3求證：x1x3–x22=0與4u1u3–u22=0表示同一條二次曲線.

證明.第一步.驗證已知兩條二次曲線為非退化.第二步.將aij,u1,u2,u3代入(13)式,展開即得4u1u3–u22=0.二次曲線的射影定義第十七頁，共二十頁，編輯于2023年，星期六七、二階曲線束

定理4.4平面上兩條相異的二階曲線一般有四個交點(diǎn).

證明.設(shè)Γ1：f≡∑aijxixj=0,

Γ2：g≡∑bijxixj=0,則聯(lián)立即為Γ1與Γ2的交點(diǎn),顯然,在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)一般有四個解.

定義4.5設(shè)f=0,g=0為平面上兩條相異的二階曲線.則稱由所決定的二階曲線的全體為以f=0,g=0的四個交點(diǎn)為基點(diǎn)的二階曲線束.若f=0,g=0的四個交點(diǎn)相異,則稱為二階曲線的四點(diǎn)形束.

定理4.5經(jīng)過平面上任一點(diǎn)P(非基點(diǎn)),必有一條二階曲線屬于已知束f+λg=0.

證明.因為P不是f=0與g=0的交點(diǎn),故fpp與gpp不同時為零.不妨設(shè)gpp≠0.令則f+λ0g=0為過P且屬于f+λg=0的二階曲線.二次曲線的射影定義第十八頁，共二十頁，編輯于2023年，星期六

定理4.6平面上任一二階曲線束中必有三條退化的二階曲線,它們是以四個基點(diǎn)為頂點(diǎn)的完全四點(diǎn)形的三雙對邊.

注：對定理4.6的直觀理解.如圖,三條相異的退化二階曲線為：實用性很強(qiáng)的兩種極限形式如下：只有兩條相異.只有兩條相異.二次曲線的射影定義第十九頁，共二十頁，編輯于2023年，星期六

例4已知二階曲線Γ過點(diǎn)A(1,0,1),C(0,0,1),E(3,2,1),并與直線l1:x1–3x2–

x3=0,