安徽省滁州市嚴(yán)澗中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析

安徽省滁州市嚴(yán)澗中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知?jiǎng)t（

）A．1

B．0

C．-1

D．e參考答案：B2.如圖ABCD﹣A1B1C1D1是正方體，B1E1=D1F1=，則BE1與DF1所成的角的余弦值是（）A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】異面直線及其所成的角．【分析】先通過平移將兩條異面直線平移到同一個(gè)起點(diǎn)E1，得到的銳角或直角就是異面直線所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可．【解答】解：如圖先將F1D平移到AF，再平移到E1E，∠EE1B為BE1與DF1所成的角設(shè)邊長為4則，E1E=E1B=，BE=2cos∠EE1B=，故選A3.下面圖形中是正方體展開圖的是(

)

參考答案：A4.為了普及環(huán)保知識(shí)，增強(qiáng)環(huán)保意識(shí)，某大學(xué)隨機(jī)抽取30名學(xué)生參加環(huán)保知識(shí)測(cè)試，得分（十進(jìn)制）如圖所示，假設(shè)得分值的中位數(shù)為，眾數(shù)為，平均值為，則（

）A．

B.

C.

D.

參考答案：D5.平面α過正方體ABCD﹣A1B1C1D1的頂點(diǎn)A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，則m、n所成角的正弦值為（）A． B．C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】異面直線及其所成的角．【分析】畫出圖形，判斷出m、n所成角，求解即可．【解答】解：如圖：α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA1B1=n，可知：n∥CD1，m∥B1D1，∵△CB1D1是正三角形．m、n所成角就是∠CD1B1=60°．則m、n所成角的正弦值為：．故選：A．

6.定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足當(dāng)時(shí)，，若時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A.

B.

C.

D.

參考答案：C略7.如果命題“”為假命題，則（

）

A．均為假命題

B．中至少有一個(gè)真命題C．均為真命題

D．中只有一個(gè)真命題參考答案：D8.F1，F(xiàn)2是橢圓=1（a＞b＞0）的兩焦點(diǎn)，P是橢圓上任意一點(diǎn)，從任一焦點(diǎn)引∠F1PF2的外角平分線的垂線，垂足為Q，則點(diǎn)Q的軌跡為（）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線參考答案：A【考點(diǎn)】圓錐曲線的軌跡問題；橢圓的應(yīng)用．【專題】計(jì)算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】延長F2P，與F1Q的延長線交于M點(diǎn)，連接QO，根據(jù)等腰三角形“三線合一”和三角形中位線定理，結(jié)合橢圓的定義證出OQ的長恰好等于橢圓的長半軸a，得動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程為x2+y2=a2，由此可得本題答案．【解答】解：由題意，延長F2P，與F1Q的延長線交于M點(diǎn)，連接QO，∵PQ是∠F1PF2的外角平分線，且PQ⊥MF1∴△F1MP中，|PF1|=|PM|且Q為MF1的中點(diǎn)由三角形中位線定理，得|OQ|=|MF2|=（|MP|+|PF2|）∵由橢圓的定義，得|PF1|+|PF2|=2a，（2a是橢圓的長軸）可得|MP|+|PF2|=2a，∴|OQ|=（|MP|+|PF2|）=a，可得動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程為x2+y2=a2∴點(diǎn)Q的軌跡為以原點(diǎn)為圓心半徑為a的圓．故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題在橢圓中求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡，著重考查了橢圓的定義、等腰三角形的判定和三角形中位線定理等知識(shí)，屬于中檔題．9.某大學(xué)數(shù)學(xué)系共有本科生1000人，其中一、二、三、四年級(jí)的人數(shù)比為4：3：2：1，要用分層抽樣的方法從所有本科生中抽取一個(gè)容量為200的樣本，則應(yīng)抽取三年級(jí)的學(xué)生人數(shù)為（）A．80 B．40 C．60 D．20參考答案：B【考點(diǎn)】分層抽樣方法．【專題】概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】要用分層抽樣的方法從該系所有本科生中抽取一個(gè)容量為200的樣本，根據(jù)一、二、三、四年級(jí)的學(xué)生比為4：3：2：1，利用三年級(jí)的所占的比例數(shù)除以所有比例數(shù)的和再乘以樣本容量即得抽取三年級(jí)的學(xué)生人數(shù)．【解答】解：∵要用分層抽樣的方法從該系所有本科生中抽取一個(gè)容量為200的樣本，一、二、三、四年級(jí)的學(xué)生比為4：3：2：1，∴三年級(jí)要抽取的學(xué)生是×200=40，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分層抽樣方法，本題解題的關(guān)鍵是看出三年級(jí)學(xué)生所占的比例，本題也可以先做出三年級(jí)學(xué)生數(shù)和每個(gè)個(gè)體被抽到的概率，得到結(jié)果．10.函數(shù)f（x）的定義域?yàn)殚_區(qū)間（a，b），導(dǎo)函數(shù)f′（x）在（a，b）內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)f（x）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)有極小值（）A．2個(gè) B．1個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)參考答案：B【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】如圖所示，由導(dǎo)函數(shù)f′（x）在（a，b）內(nèi)的圖象和極值的定義可知：函數(shù)f（x）只有在點(diǎn)B處取得極小值．【解答】解：如圖所示，由導(dǎo)函數(shù)f′（x）在（a，b）內(nèi)的圖象可知：函數(shù)f（x）只有在點(diǎn)B處取得極小值，∵在點(diǎn)B的左側(cè)f′（x）＜0，右側(cè)f′（x）＞0，且f′（xB）=0．∴函數(shù)f（x）在點(diǎn)B處取得極小值．故選：B．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知命題p：若，則，命題q：若，則．在命題①；②；③；④中，假命題的是______________．（填序號(hào)）參考答案：①④【分析】先判斷命題p，命題q的真假，再結(jié)合真值表進(jìn)一步確定真假性【詳解】根據(jù)不等式的性質(zhì)不等式兩邊同時(shí)乘以負(fù)數(shù)，符號(hào)改變，可判斷命題p：若，則為真命題；命題q顯然為假命題，舉例：，即p真q假①：根據(jù)全真為真，一假為假原則，①為假命題②：根據(jù)一真為真，全假為假原則，②為真命題③：與真假性相反，所以為真，為真，③為真命題④：與真假性相反，為假，則為假，④為假命題假命題為：①④故答案為：①④【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的判斷，對(duì)于真值表的真假判斷和命題與命題的否定的真假性應(yīng)熟記：：遵循全真為真，一假為假原則；：遵循一真為真，全假為假原則；與真假性相反12.拋物線上的點(diǎn)到直線的距離的最小值是

參考答案：略13.如下的程序框圖可用來估計(jì)圓周率的值．如果輸入1200，輸出的結(jié)果為943，則運(yùn)用此方法，計(jì)算的近似值為

（保留四位有效數(shù)字）參考答案：略14.設(shè)拋物線，過焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則=_____________.參考答案：15.已知直三棱柱的6個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上．若，，，，則球的體積為________．參考答案：【分析】先由題意得到四邊形為正方形，平面的中心即為球的球心，取中點(diǎn)，連結(jié)，求出半徑，進(jìn)而可求出球的體積.【詳解】因?yàn)椋?，，所以，在直三棱柱中，，所以四邊形為正方形，因此平面的中心即為球的球心，取中點(diǎn)，連結(jié)，易知平面，且，所以球的半徑等于，因此球的體積為.故答案為

【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何體外接球的相關(guān)計(jì)算，熟記棱柱的結(jié)構(gòu)特征，以及球的體積公式即可，屬于常考題型.16.在復(fù)平面內(nèi)，記復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量為，若向量繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到向量所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為___________________．參考答案：2i17.如圖2所示，⊙O的割線PAB交⊙O于A、B兩點(diǎn)，割線PCD經(jīng)過圓心O，已知PA＝6，AB＝，PO＝12，則⊙O的半徑是________．參考答案：8略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（12分）如圖，已知四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)．（1）證明：PA∥平面BDE；（2）求二面角B﹣DE﹣C的余弦值．參考答案：19.已知直線：（1）求直線：與直線之間的距離；（2）求關(guān)于點(diǎn)A（-1，0）的對(duì)稱直線的方程。參考答案：解析：（1）直線方程為，由公式得，距離

（2）由條件直線設(shè)為：，則點(diǎn)A到與的距離相等，即，所以（舍），所以直線的方程為20..用黃、藍(lán)、白三種顏色粉刷6間辦公室.（1）若每間辦公室刷什么顏色不要求，有多少種不同的粉刷方法？（2）若一種顏色的粉刷3間，一種顏色的粉刷2間，一種顏色的粉刷1間，有多少種不同的粉刷方法？（3）若每種顏色至少用一次，粉刷這6間辦公室，有多少種不同的粉刷方法？參考答案：（1）（2）；（3）.21.如圖,已知定圓，定直線，過的一條動(dòng)直線與直線相交于,與圓相交于兩點(diǎn)，是中點(diǎn).（Ⅰ）當(dāng)與垂直時(shí)，求證：過圓心；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求直線的方程；（Ⅲ）設(shè),試問是否為定值,若為定值，請(qǐng)求出的值；若不為定值，請(qǐng)說明理由.參考答案：解:（Ⅰ）由已知,故,所以直線的方程為.

將圓心代入方程易知過圓心.

………………4分

(Ⅱ)當(dāng)直線與軸垂直時(shí),易知符合題意;

當(dāng)直線與軸不垂直時(shí),設(shè)直線的方程為,由于,所以由,解得.故直線的方程為或.

………………9分

(Ⅲ)當(dāng)與軸垂直時(shí),易得,,又則,故.即.

………………10分當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí),設(shè)直線的方程為,代入圓的方程得，則,即,.又由得,則.故.綜上,的值為定值,且.

…………15分另解一:連結(jié),延長交于點(diǎn),由(Ⅰ)知.又于,故△∽△.于是有.由得故

………15分另解二:連結(jié)并延長交直線于點(diǎn),連結(jié)由(Ⅰ)知又,所以四點(diǎn)都在以為直徑的圓上,由相交弦定理得.

……………15分

略22.（滿分12分）已知點(diǎn)Pn(an，bn)滿足an＋1＝an·bn＋1，bn＋1＝(n∈N*)且點(diǎn)P1的坐標(biāo)為(1，－1)．(1)求過點(diǎn)P1，P2的直線l的方程；(2)試用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)于n∈N*，點(diǎn)Pn都在(1)中的直線l上．參考答案：解：(1)由P1的坐標(biāo)為(1，－1)知a1＝1，b1＝－1.∴b2＝＝.

a2＝a1·b2＝.

∴點(diǎn)P2的坐標(biāo)為(，)∴直線l的方程為2x＋y＝1.…………….3分(2)①當(dāng)n