平面向量的概念及線性運算復(fù)習(xí)

平面向量的概念及線性運算復(fù)習(xí)1.向量的有關(guān)概念知識梳理名稱定義備注向量既有

，又有

的量；向量的大小叫做向量的

(或稱

)平面向量是自由向量零向量長度為

的向量；其方向是任意的記作____大小方向長度模00單位向量長度等于

長度的向量

非零向量a的單位向量為±平行向量(共線向量)方向

或

的非零向量0與任一向量

或共線相等向量長度

且方向

的向量兩向量只有相等或不等，不能比較大小相反向量長度

且方向

的向量0向量的相反向量是01個單位相同相反平行相等相同相等相反知識梳理向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算(3)交換律：a＋b＝

；(4)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝_______________________________三角形2.向量的線性運算平行四邊形b＋aa＋(b＋c)知識梳理減法求a與b的相反向量－b的和的運算a－b＝a＋(－b)數(shù)乘求實數(shù)λ與向量a的積的運算(6)|λa|＝

；(7)當(dāng)λ>0時，λa與a的方向

；當(dāng)λ<0時，λa與a的方向

；當(dāng)λ＝0時，λa＝________(8)λ(μa)＝

；(9)(λ＋μ)a＝

；(10)λ(a＋b)＝______

三角形相同相反0(λμ)aλa＋μaλa＋λb|λ||a|知識梳理3.共線向量定理向量a(a≠0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個實數(shù)λ，使b＝λa.1.一般地，首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量起點指向最后一個向量終點的向量，即

，特別地，一個封閉圖形，首尾連接而成的向量和為零向量.2.若P為線段AB的中點，O為平面內(nèi)任一點，則3.

(λ，μ為實數(shù))，若點A，B，C共線，則λ＋μ＝1.【知識拓展】知識梳理典例下列命題中，正確的是________．(填序號)①有向線段就是向量，向量就是有向線段；②向量a與向量b平行，則a與b的方向相同或相反；③向量與向量共線，則A、B、C、D四點共線；④兩個向量不能比較大小，但它們的模能比較大?。}型一平面向量的概念④解析①不正確，向量可以用有向線段表示，但向量不是有向線段，有向線段也不是向量；②不正確，若a與b中有一個為零向量，零向量的方向是不確定的，故兩向量方向不一定相同或相反；③不正確，共線向量所在的直線可以重合，也可以平行；④正確，向量既有大小，又有方向，不能比較大??；向量的模均為實數(shù)，可以比較大?。淅?/p>

下列敘述錯誤的是___________.(填序號)①若非零向量a與b方向相同或相反，則a＋b與a，b之一的方向相同；②|a|＋|b|＝|a＋b|?a與b方向相同；③

＝0；④若λa＝λb，則a＝b.題型一平面向量的概念①②③④解析對于①，當(dāng)a＋b＝0時，其方向任意，它與a，b的方向都不相同.對于②，當(dāng)a，b之一為零向量時結(jié)論不成立.對于③，由于兩個向量之和仍是一個向量，所以

＝0.對于④，當(dāng)λ＝0時，不管a與b的大小與方向如何，都有λa＝λb，此時不一定有a＝b.故①②③④均錯.跟蹤訓(xùn)練設(shè)a0為單位向量，①若a為平面內(nèi)的某個向量，則a＝|a|a0；②若a與a0平行，則a＝|a|a0；③若a與a0平行且|a|＝1，則a＝a0.上述命題中，假命題的個數(shù)是A.0 B.1C.2 D.3√解析向量是既有大小又有方向的量，a與|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命題；若a與a0平行，則a與a0的方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向時a＝－|a|a0，故②③也是假命題.綜上所述，假命題的個數(shù)是3.題型一平面向量的概念向量有關(guān)概念的關(guān)鍵點(1)向量定義的關(guān)鍵是方向和長度.(2)非零共線向量的關(guān)鍵是方向相同或相反，長度沒有限制.(3)相等向量的關(guān)鍵是方向相同且長度相等.(4)單位向量的關(guān)鍵是長度都是一個單位長度.(5)零向量的關(guān)鍵是長度是0，規(guī)定零向量與任何向量共線.思維升華題型一平面向量的概念命題點1向量的線性運算典例

(1)在△ABC中，

，若點D滿足

等于題型二平面向量的線性運算√注意：1.結(jié)合圖象2.注意方向(2)(2017·青海西寧一模)如圖，在△ABC中，點D在BC邊上，且CD＝2DB，點E在AD邊上，且AD＝3AE，則用向量

為√題型二平面向量的線性運算命題點2根據(jù)向量線性運算求參數(shù)典例(1)在△ABC中，點M，N滿足

則x＝________，y＝______.題型二平面向量的線性運算(2)在△ABC中，點D在線段BC的延長線上，且

，點O在線段CD上(與點C，D不重合)，若

，則x的取值范圍是√題型二平面向量的線性運算平面向量線性運算問題的常見類型及解題策略(1)向量加法或減法的幾何意義.向量加法和減法均適合三角形法則.(2)求已知向量的和.一般共起點的向量求和用平行四邊形法則；求差用三角形法則；求首尾相連向量的和用三角形法則.(3)求參數(shù)問題可以通過研究向量間的關(guān)系，通過向量的運算將向量表示出來，進行比較，求參數(shù)的值.思維升華題型二平面向量的線性運算跟蹤訓(xùn)練如圖，在正方形ABCD中，點E是DC的中點，點F是BC上的一個靠近點B的三等分點，那么

等于√題型二平面向量的線性運算典例

設(shè)兩個非零向量a與b不共線.題型三共線向量定理的應(yīng)用求證：A，B，D三點共線；證明三點共線1.向量共線2.線段共點(2)試確定實數(shù)k，使ka＋b和a＋kb共線.解

假設(shè)ka＋b與a＋kb共線，則存在實數(shù)λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即(k－λ)a＝(λk－1)b.又a，b是兩個不共線的非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0.消去λ，得k2－1＝0，∴k＝±1.典例

設(shè)兩個非零向量a與b不共線.題型三共線向量定理的應(yīng)用若將本題中“＝2a＋8b”改為“＝a＋mb”，則m為何值時，A，B，D三點共線？引申探究設(shè)兩個非零向量a與b不共線.題型三共線向量定理的應(yīng)用(1)證明三點共線問題，可用向量共線解決，但應(yīng)注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系.當(dāng)兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線.(2)向量a，b共線是指存在不全為零的實數(shù)λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立，若λ1a＋λ2b＝0，當(dāng)且僅當(dāng)λ1＝λ2＝0時成立，則向量a，b不共線.思維升華題型三共線向量定理的應(yīng)用跟蹤訓(xùn)練

(1)(2017·資陽模擬)已知向量

＝a＋3b，

＝5a＋3b，

＝－3a＋3b，則A.A，B，C三點共線 B.A，B，D三點共線C.A，C，D三點共線 D.B，C，D三點共線√題型三共線向量定理的應(yīng)用(2)已知A，B，C是直線l上不同的三個點，點O不在直線l上，則使等式

成立的實數(shù)x的取值集合為A.{0} B.?C.{－1} D.{0，－1}√題型三共線向量定理的應(yīng)用綜合應(yīng)用如圖，直線EF與平行四邊形ABCD的兩邊AB，AD分別交于E，F(xiàn)兩點，且與對角線AC交于點K，其中，

，則λ的值為______.綜合應(yīng)用如圖，經(jīng)過△OAB的重心G的直線與OA，OB分別交于點P,Q,設(shè)

m,n∈R,則的值為_____．3小結(jié)

概念判斷勿忘，線性運算畫圖形，

題含參數(shù)不要慌，

仔細計算一定行。題組一思考辨析1.判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)向量與有向線段是一樣的，因此可以用有向線段來表示向量.(

)(2)|a|與|b|是否相等與a，b的方向無關(guān).(

)(3)若a∥b，b∥c，則a∥c.(

)(4)若向量

與向量

是共線向量，則A,B,C,D四點在一條直線上.(

)(5)當(dāng)兩個非零向量a，b共線時，一定有b＝λa，反之成立.(

)(6)若兩個向量共線，則其方向必定相同或相反.(

)基礎(chǔ)自測×√√×××題組二教材改編2.[P86例4]已知?ABCD的對角線AC和BD相交于點O，且

＝a，

＝b，則

＝______，

＝________.(用a，b表示)b－a－a－b基礎(chǔ)自測3.[P108B組T5]在平行四邊形ABCD中，若

，則四邊形ABCD的形狀為________.矩形由對角線長相等的平行四邊形是矩形可知，四邊形ABCD是矩形.基礎(chǔ)自測題組三易錯自糾4.設(shè)向量a，b不平行，向量λa＋b與a＋2b平行，則實數(shù)λ＝_______.解析∵向量a