2024屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習 第二章 微專題3 二次不等式恒成立問題 課件（35張PPT）

微專題3二次不等式恒成立問題

二次不等式的恒成立問題是高考命題的熱點，此類問題的處理方法較為靈活，旨在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等核心素養(yǎng).一、在R上恒成立問題【例1】

若關(guān)于x的不等式ax2＋2x＋2＞0在R上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是

?.

點評

設(shè)f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）：①f（x）＞0在x∈R上恒成立?a＞0且Δ＜0；②f（x）＜0在x∈R上恒成立?a＜0且Δ＜0.?

A.（－3，0）B.[－3，0）C.[－3，0]D.（－3，0]

二、在給定區(qū)間上恒成立問題【例2】

（1）若對任意的x∈[－1，2]，都有x2－2x＋a≤0（a為常數(shù)），則a的取值范圍是

（

）A.（－∞，－3]B.（－∞，0]C.[1，＋∞）D.（－∞，1]

法二（最值法）：當x∈[－1，2]時，不等式x2－2x＋a≤0恒成立等價于a≤－x2＋2x恒成立，則由題意，得a≤（－x2＋2x）min（x∈[－1，2]）.而－x2＋2x＝－（x－1）2＋1，則當x＝－1時，（－x2＋2x）min＝－3，所以a≤－3，故選A.答案

（1）A

（2）已知函數(shù)f（x）＝x2－2ax＋1對任意x∈（0，2]恒有f（x）≥0成立，則實數(shù)a的取值范圍是

（

）B.[－1，1]C.（－∞，1]

答案

（2）C點評

對于一元二次不等式恒成立問題，恒大于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸上方，恒小于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸下方.另外常轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值或用分離參數(shù)法求最值.?

設(shè)a＜0，若不等式－cos2x＋（a－1）cosx＋a2≥0對任意的x∈R恒成立，則a的取值范圍是

?.

答案：（－∞，－2]三、主參換位解決恒成立問題【例3】

對任意m∈[－1，1]，函數(shù)f（x）＝x2＋（m－4）x＋4－2m的值恒大于零，求x的取值范圍.解由f（x）＝x2＋（m－4）x＋4－2m＝（x－2）m＋x2－4x＋4，令g（m）＝（x－2）m＋x2－4x＋4.由題意知在[－1，1]上，g（m）的值恒大于零，

解得x＜1或x＞3.故當x∈（－∞，1）∪（3，＋∞）時，對任意的m∈[－1，1]，函數(shù)f（x）的值恒大于零.點評

解決恒成立問題一定要搞清誰是主元，誰是參數(shù)，一般地，知道誰的范圍，誰就是主元，求誰的范圍，誰就是參數(shù).?

函數(shù)f（x）＝x2＋ax＋3，若當a∈[4，6]時，f（x）≥0恒成立，則實數(shù)x的取值范圍是

?.

?1.若f（x）＝x2－ax＋1有負值，則實數(shù)a的取值范圍是

（

）A.（－∞，－2]B.（－2，2）C.（－∞，－2）∪（2，＋∞）D.（1，3）解析：C

∵f（x）＝x2－ax＋1有負值，∴Δ＝a2－4＞0，則a＞2或a＜－2.2.函數(shù)y＝1－｜x－x2｜的圖象大致是

（

）

3.已知函數(shù)f（x）＝（m－1）x2－2mx＋3是偶函數(shù)，則在（－∞，0）上此函數(shù)（

）A.是增函數(shù)B.不是單調(diào)函數(shù)C.是減函數(shù)D.不能確定

4.已知f（x）為二次函數(shù)，且f（x）＝x2＋f'（x）－1，則f（x）＝

（

）A.x2－2x＋1B.x2＋2x＋1C.2x2－2x＋1D.2x2＋2x－1

5.已知函數(shù)f（x）＝x2－2x＋3在[a，3]上的值域為[2，6]，則實數(shù)a的取值范圍是

（

）A.（－∞，1]B.[－2，－1]C.[－1，1]D.[－2，1]解析：C

因為f（x）＝x2－2x＋3＝（x－1）2＋2，且f（1）＝2，f（3）＝6，f（－1）＝6，可得－1≤a≤1.故選C.6.（多選）由于被墨水污染，一道數(shù)學(xué)題僅能見到如下文字：“已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象過點（1，0），…，求證：這個二次函數(shù)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱.”根據(jù)現(xiàn)有信息，題中的二次函數(shù)可能具有的性質(zhì)是

（

）A.在x軸上截得的線段的長度是2B.與y軸交于點（0，3）C.頂點是（－2，－2）D.過點（3，0）

7.二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的圖象如圖所示，確定下列各式的正負：b

?0，ac

?0，a－b＋c

?0.（填“＞”“＜”或“＝”）

答案：＞

＜

＜8.已知函數(shù)f（x）＝x2－2ax＋b（a＞1）的定義域和值域都為[1，a]，則b＝

?.

答案：59.設(shè)二次函數(shù)f（x）＝ax2－2ax＋c在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞減，且f（m）≤f（0），則實數(shù)m的取值范圍是

?.

解析：依題意a≠0，二次函數(shù)f（x）＝ax2－2ax＋c圖象的對稱軸是直線x＝1，因為函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞減，所以a＞0，即函數(shù)圖象的開口向上，所以f（0）＝f（2），則當f（m）≤f（0）時，有0≤m≤2.答案：[0，2]10.已知二次函數(shù)f（x）的最小值為1，函數(shù)y＝f（x＋1）是偶函數(shù)，且f（0）＝3.（1）求f（x）的解析式；解：（1）因為函數(shù)y＝f（x＋1）是偶函數(shù)，所以f（x）的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，又因為f（x）的最小值為1，所以可設(shè)f（x）＝a（x－1）2＋1，又f（0）＝3，所以a＝2，所以f（x）＝2（x－1）2＋1＝2x2－4x＋3.（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[2a，a＋1]上單調(diào)，求實數(shù)a的取值范圍.

?11.已知函數(shù)f（x）＝ax2＋bx＋c，且f（x＋2）是偶函數(shù)，則下列大小關(guān)系可能正確的是

（

）

12.已知函數(shù)f（x）＝2x2－mx－3m，則“m＞2”是“f（x）＜0對x∈[1，3]恒成立”的（

）A.充分不必要條件B.充要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

13.已知函數(shù)f（x）＝－2x2＋bx＋c，不等式f（x）＞0的解集為（－1，3）.若對任意的x∈[－1，0]，f（x）＋m≥4恒成立，則m的取值范圍是

（

）A.（－∞，2]B.[4，＋∞）C.[2，＋∞）D.（－∞，4]

14.現(xiàn)有三個條件：①對任意的x∈R都有f（x＋1）－f（x）＝2x－2；②不等式f（x）＜0的解集為{x｜1＜x＜2}；③函數(shù)y＝f（x）的圖象過點（3，2）.請你在上述三個條件中任選兩個補充到下面的問題中，并求解.已知二次函數(shù)f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），且滿足

?.（填所選條件的序號）

（1）求函數(shù)f（x）的解析式；

條件③：函數(shù)y＝f（x）的圖象過點（3，2），所以9a＋3b＋c＝2，若選擇條件①②：則a＝1，b＝－3，c＝2，此時f（x）＝x2－3x＋2；若選擇條件①③：則a＝1，b＝－3，c＝2，此時f（x）＝x2－3x＋2；若選擇條件②③：則a＝1，b＝－3，c