2024屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習 第三章 微專題5　構(gòu)造法解f（x）與f（x）共存問題 課件（43張PPT）

微專題5構(gòu)造法解f（x）與f'（x）共存問題

高考中有這樣一類題型，題目中不是給出具體的函數(shù)解析式，而是給出函數(shù)f（x）及其導(dǎo)數(shù)滿足的條件，需要據(jù)此條件構(gòu)造抽象函數(shù)，再根據(jù)條件得出構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性，應(yīng)用單調(diào)性解決問題，該類試題具有一定的難度，下面總結(jié)了幾種常見類型及解題方法.一、利用f（x）與xn構(gòu)造函數(shù)【例1】

（1）已知偶函數(shù)f（x）（x≠0）的導(dǎo)函數(shù)為f'（x），且滿足f（－1）＝0，當x＞0時，2f（x）＞xf'（x），則使得f（x）＞0成立的x的取值范圍是

?；

（2）設(shè)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當x＜0時，f（x）＋xf'（x）＜0，且f（－4）＝0，則不等式xf（x）＞0的解集是

?.

解析

（2）構(gòu)造F（x）＝xf（x），則F'（x）＝f（x）＋xf'（x），當x＜0時，f（x）＋xf'（x）＜0，可以推出當x＜0時，F(xiàn)'（x）＜0，∴F（x）在（－∞，0）上單調(diào)遞減.∵f（x）為偶函數(shù)，y＝x為奇函數(shù)，∴F（x）為奇函數(shù)，∴F（x）在（0，＋∞）上也單調(diào)遞減.根據(jù)f（－4）＝0可得F（－4）＝0，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性可得函數(shù)F（x）的圖象如圖所示，根據(jù)圖象可知xf（x）＞0的解集為（－∞，－4）∪（0，4）.答案

（1）（－1，0）∪（0，1）

（2）（－∞，－4）∪（0，4）

?

設(shè)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且f（1）＝0，當x＜0時，有xf'（x）－f（x）＞0恒成立，則不等式f（x）＞0的解集為

?.

答案：（－∞，－1）∪（1，＋∞）二、利用f（x）與ex構(gòu)造函數(shù)【例2】

（1）已知函數(shù)f（x）在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f'（x），且滿足：（x－1）[f'（x）－f（x）]＞0，f（2－x）＝f（x）·e2－2x，則下列判斷一定正確的是（

）A.f（1）＜f（0）B.f（2）＞e2f（0）C.f（3）＞e3f（0）D.f（4）＜e4f（0）

答案

（1）C

答案

（2）（0，＋∞）（2）若定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f'（x）－2f（x）＞0，f（0）＝1，則不等式f（x）＞e2x的解集為

?.

?

f（x）為定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，且f'（x）＞f（x），對任意正實數(shù)a，下列式子一定成立的是

（

）A.f（a）＜eaf（0）B.f（a）＞eaf（0）

三、利用f（x）與sin

x，cos

x構(gòu)造函數(shù)

答案

BCD

?

四、構(gòu)造具體函數(shù)關(guān)系式

A.ey－x＞1B.ey－x＜1C.ey－x－1＞1D.ey－x－1＜1

答案

A點評

不等式兩邊湊配成相同的形式，構(gòu)造具體的函數(shù)利用單調(diào)性求解.?

A.α＞βB.α2＞β2C.α＜βD.α＋β＞0

?1.函數(shù)y＝f（x）的導(dǎo)函數(shù)y＝f'（x）的圖象如圖所示，則函數(shù)y＝f（x）的圖象可能是

（

）解析：D

利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性進行驗證.f'（x）＞0的解集對應(yīng)y＝f（x）的增區(qū)間，f'（x）＜0的解集對應(yīng)y＝f（x）的減區(qū)間，驗證只有D符合.

A.－4B.－1C.1D.4解析：A

易知f'（x）＝x2－3x＋a，由題意知f'（x）≤0的解集為[－1，4]，則－1與4是方程x2－3x＋a＝0的兩個根，故a＝－1×4＝－4.3.已知x∈（0，π），則函數(shù)f（x）＝excosx的單調(diào)遞增區(qū)間為

（

）

A.（－1，＋∞）B.（0，＋∞）C.（－∞，－1）D.（－∞，0）解析：C

函數(shù)f（x）的定義域是R，則f'（x）＝ex＋a－x.若f（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，則a＜（x－ex）max.令g（x）＝x－ex，則g'（x）＝1－ex，令g'（x）＞0，解得x＜0，令g'（x）＜0，解得x＞0，故g（x）在（－∞，0）上單調(diào)遞增，在（0，＋∞）上單調(diào)遞減，故g（x）max＝g（0）＝－1，故a＜－1.故選C.5.已知定義在R上的連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)f（x），當x≠0時，有xf'（x）＜0，則下列各項正確的是

（

）A.f（－1）＋f（2）＞2f（0）B.f（－1）＋f（2）＝2f（0）C.f（－1）＋f（2）＜2f（0）D.f（－1）＋f（2）與2f（0）大小關(guān)系不確定解析：C

由題意得，x＜0時，f（x）是增函數(shù)，x＞0時，f（x）是減函數(shù)，∴x＝0是函數(shù)f（x）的極大值點，也是最大值點，∴f（－1）＜f（0），f（2）＜f（0），兩式相加得，f（－1）＋f（2）＜2f（0），故選C.

A.f（x）＝exB.f（x）＝x2C.f（x）＝lnxD.f（x）＝sinx

7.函數(shù)f（x）＝xln（－x）的單調(diào)遞減區(qū)間是

?.

8.已知a＞0，若f（x）＝xeax，則函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是

?.

9.使得“當a＞0時，函數(shù)f（x）＝4lnx－ax在區(qū)間（0，1）上不單調(diào)”為真命題的a的一個取值是

?.

答案：5（答案不唯一，只要是大于4的實數(shù)均可）10.已知函數(shù)f（x）＝x2＋alnx.（1）當a＝－2時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；

②若g（x）為[1，＋∞）上的單調(diào)減函數(shù)，則g'（x）≤0在[1，＋∞）上恒成立，易知其不可能成立，不符合題意.綜上，實數(shù)a的取值范圍是[0，＋∞）.?11.設(shè)函數(shù)f'（x）是奇函數(shù)f（x）（x≠0）的導(dǎo)函數(shù)，f（－1）＝－1.當x＞0時，f'（x）＞1，則使得f（x）＞x成立的x的取值范圍是

（

）A.（－∞，－1）∪（0，1）B.（－1，0）∪（1，＋∞）C.（－∞，－1）∪（1，＋∞）D.（－1，0）∪（0，1）解析：B

由f'（x）＞1（x＞0），可得f'（x）－1＞0，令g（x）＝f（x）－x，則g'（x）＝f'（x）－1＞0，故g（x）在（0，＋∞）上單調(diào)遞增.因為f（－1）＝－1，所以g（－1）＝f（－1）＋1＝0，又因為f（x）為奇函數(shù)，所以g（x）＝f（x）－x為奇函數(shù)，所以g（1）＝0，且在區(qū)間（－∞，0）上g（x）單調(diào)遞增.所以使得f（x）＞x，即g（x）＞0成立的x的取值范圍是（－1，0）∪（1，＋∞）.故選B.12