W254線性代數(shù)-期末復(fù)習(xí)4答案

線性代數(shù)期末練習(xí)（四）答案試卷說明:3、4、本次考試為閉卷考試。認(rèn)真審題，請(qǐng)勿漏答；考試時(shí)間為120分鐘，請(qǐng)掌握好答題時(shí)間；本試卷所有試題答案寫在試卷紙上，其它無效;答題完畢，請(qǐng)將試卷紙正面向外對(duì)疊交回，不得帶出考場(chǎng)；、判斷題（下列命題你認(rèn)為正確的在題后括號(hào)內(nèi)打“√”，錯(cuò)的打“X”）（每小題3分，共12分）齊次線性方程組總是有解的.（√）設(shè)A與B都是n階矩陣，則（A-B）2=A2-2AB+B2.（X）設(shè)A是n階矩陣，C是常數(shù)，則ICAl=c∣A∣.（X）若A是n階矩陣，其n個(gè)特征值均為非零的，則A是非奇異的 （√）、單項(xiàng)選擇題（在每小題四個(gè)備選答案中選出一個(gè)正確答案，填在題中括號(hào)內(nèi)）（每小題4分，共20分）1、行列式103199301100204200395300600（)(A)500;(B)-5009)(C)2000;(D)-2000.103199301答案:2、若100200300(C)「1204395600二1002VIT-3V(A)X1X1X2=-5,y=3;答案:1「1 21-1-3k?103199301123(1V-1 /3X12204395600二1006\-4-5J3-112134-50二1003015034-50=5×10031532000,貝h).=-5,y=8;-1-1k1 1J(

nV1X1X2yI2(C)X=3,y=-111(3 2X161-1-1J1-4-53、設(shè)α,α,…,α均為n維向量，下列結(jié)論中，正確的是（1 2m,(B))(D)X1=8,y1=-1.1-583-1IJ7選(B)?(A)若kα+kα+...+kα11 22mm=0,則α,α,…,α線性相關(guān)

12m(B)若對(duì)任意一組不全為零的數(shù)k,k,...,k,都有kα+kα+...+kαW0,1 2m 11 22 mm則α,α,…,α線性無關(guān)

12m（C）若α,α,…,α線性相關(guān)，則對(duì)任意一組不全為零的數(shù)k,k,...,k,12m12m都有kα+kα+...+kα=011 22mm(D)若0α+0α+...+0α =0,則α,α,...,ɑ線性無關(guān).12m12 m(、(A)5、設(shè)Aa11a21a31AP1P2,Ba12a22a32001a113a23a,33a21a11a+a110101)31a22a12a+a12 32a23a13a+a13(C)33）成立.(B)AP2P1;則以下正確的結(jié)論是（m×SS×n(A)秩(AB)≤秩(A),秩(AB)≤秩(B)；(C)秩(AB)＜秩(A)+秩(B)；(C)(A))(B)(D)P1P2A秩(AB)＜秩⑷,秩(AB)＜秩(B)秩(AB)≤秩(A)+秩(B)4、設(shè)A=?P=1(0110100、√,B=?P2101010,則B=((D)P2P1A；三、填空（將正確答案填在題中橫線上，每小題4分，共22分）1、設(shè)已知1a∣=4,則IAA[=16解：IAA[=∣A∣2√.?∣A∣=4,nIAA[=∣A∣2=162、設(shè)η,η,…,η是AX=0的基礎(chǔ)解系，α,α,…α為A的n個(gè)列向量，若1 2 r1 2nβ=α+α+???+α，

1 2 n則方程組AX=β的通解為X=kη+kη+???+左η+11 22rr(1?1I1)3、常數(shù)a,a,a,a,a,^ 3 4 512X一X=a121X-X=a232X-X=a343X-X=a454X-X=a/有解的5 1 5滿足a+a+a+a+a=0是方程組12 3 4充分必要條件4、設(shè)方陣A=000500100800-2000，則A=-80,、J5(000-2A的逆矩陣是a-1=0001?5118000000)5、設(shè)A為4階矩陣，A=2,則pA-1-A*12四、設(shè)α=Q,-1,1,-1)，α=G,1,1,1)，α=Q,2,4,8)1 2 3α,α,α,α的線性相關(guān)性。(4分)

12 3 4，α=Q,3,9,27），試討論向量組4解：因?yàn)槲濉ⅷ?1111—11231149—11827=(1+1)(2+1)(3+1)(2—1)(3-1)6—2)=48W0故αι,α,α3,α4線性無關(guān).設(shè)α=6,2,3,—4),α=6,3,—4,1),α=G,—5,8,—3),=G,—4：1,2),求向量組α,α,α,α,α的一個(gè)極大線性無關(guān)組，12345α=

4(5,26,—9,—12),1345并將其余的向量表示成它的線性組合.解：令A(yù)=(10分)α'α'α'α12 3，4α'5，對(duì)A作初等行變換:(12253、(12253、(12253、A=23—4103—526—40—1—916—100—1→010故αι,α—421—100,α238—3—9—121→0—51—12—4→00—94616—102523、√10(1958—916—100102091、14J(1l000—10—2—1010052—201→001—21→001—20J100000J10000是它的一個(gè)極大線性無關(guān)組。α45α+2α—2α;六、求齊次線性方程組《x+2x—2x+x—x1 2 3 4 52x+3x+x—x+2x123=0ɑ4—76—1、—9215246-76J110J=-a+α+α1 2 31 2 3 4 :3x+5x—x+x=1 2 3 5x+x+3x—2x+3x500的基礎(chǔ)解系.(8分)1 2345答案：對(duì)系數(shù)矩陣作初等變換:(12—21—1、(108=0—57、A=231—12O1—5335—101—>???—>O00001113—23J10000得同解方程組Vx=—8x1 3+5x4—7x5X=5X—3X+4X,

2 3 4 5取x3X4X5√(1、0J(0、(0、01010Jl0J得一個(gè)基礎(chǔ)解系：α=(-8,5,1,0,0)',

1α2=(5，-3,0J,0)’,七、設(shè)A2+3A=0,求證：A+2E可逆，并求(A+2E)-1.

證明：(湊項(xiàng)法)???A2+3A=0nA2+3A+2E=2E，n(A+E)(A+2E)=2En1(A+E)(A+2E)=E211Jα=(-7,4,0,0,1)'3(6分).?.A+2E可逆；且(A+2E)-1=1(A+E).2(210、八、設(shè)A1023J，求正交矩陣T，使TtAT為對(duì)角陣，并寫出對(duì)角陣.（11分）解：從的特征值為%=「%=%=3當(dāng)λ=1時(shí)，E—A=1—1—1

00、10J—1—1030、00J→/100100(—1、對(duì)應(yīng)于λ=1的特征的向量為k11V(1當(dāng)λ=λ=3時(shí) 3E—A=—12 3 '0J—110對(duì)應(yīng)于九2=3的特征向量為≠0)√(0、

=0V10、00J將'W*單位化，1X20、α1(1、

F1正0(1、

正1

正

0α2\ 710/00→100—100110、J,X3α3001\7k、0121萬O(1X,則T是正交矩陣，且TfAT=九、設(shè)A是n階方陣，A2=E,證明矩陣的秩的關(guān)系式:r(A+E)+r(A—E)=n（7分）0O1J33J證明:?.?A2=E∣A|2=1n∣A∣