分式及其運算

分式及其運算課件第一頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期日1．分式的基本概念：

(1)形如

的式子叫分式；

(2)當

時，分式有意義；當

時，分式無意義；當

時，分式的值為零．要點梳理(A，B是整式，且B中含有字母，B≠0)B≠0B＝0A＝0且B≠0shiqianxianpingdichangzhonxue第二頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期日2．分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母都乘以(或除以)

，分式的值不變，用式子表示為：

，

．同一個不等于零的整式＝＝，(M是不等于零的整式)shiqianxianpingdichangzhonxue第三頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期日3．分式的運算法則：

(1)符號法則：分子、分母與分式本身的符號，改變其中任何兩個，分式的值不變．用式子表示為：＝－＝＝－，－＝＝.(2)分式的加減法：同分母加減法：

；異分母加減法：

.±＝±＝shiqianxianpingdichangzhonxue第四頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期日(3)分式的乘除法：

·＝，

÷＝.(4)分式的乘方：

n＝．(n為正整數(shù))shiqianxianpingdichangzhonxue第五頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期日4．分式的約分、通分：把分式中分子與分母的公因式約去，這種變形叫做約分，其根據(jù)是分式的基本性質(zhì)．把幾個異分母分式化為與原分式的值相等的同分母分式，這種變形叫做分式的通分，通分的根據(jù)是分式的基本性質(zhì)．通分的關(guān)鍵是確定幾個分式的最簡公分母．shiqianxianpingdichangzhonxue第六頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期日5．分式的混合運算：在分式的混合運算中，應(yīng)先算乘方，再將除法化為乘法，進行約分化簡，最后進行加減運算．遇有括號，先算括號里面的．靈活運用運算律，運算結(jié)果必須是最簡分式或整式．6．解分式方程，其思路是去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，要特別注意驗根，使分母為0的未知數(shù)的值，是增根，需舍去．shiqianxianpingdichangzhonxue第七頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期日1．正確理解分式的概念及分式有意義判斷某一個代數(shù)式屬于不屬于分式，不能看化簡后的結(jié)果，而應(yīng)看到它的本來面目，分式的概念是以形式上規(guī)定的．解有關(guān)分式是否有意義的問題時，常用到“或”與“且”來表達，正確使用“或”與“且”也是解題的關(guān)鍵．“或”表示一種選擇關(guān)系，含有“你行，他也行”的意思；“且”表示遞進關(guān)系，也有“同時”的意思．[難點正本疑點清源]shiqianxianpingdichangzhonxue第八頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期日2．注意分式運算的法則和順序分式的乘除運算，一般先利用法則轉(zhuǎn)化為分式的乘法后，能約分的要先約分，再計算，否則運算非常復(fù)雜；對于乘除、乘方混合運算，就遵循“先乘方，后乘除”的運算順序；異分母分式相加減，或分式與整式的加減運算，可把整式看作一個整體與分式通分后，按同分母的分式相加減來進行運算．分式運算中，每步運算都要符合法則或運算律，不能隨意套用運算律．shiqianxianpingdichangzhonxue第九頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期日3．理解分式方程的增根并檢驗是否產(chǎn)生增根在分式方程化為整式方程時，一般是將方程兩邊同乘以含未知數(shù)的整式(最簡公分母)，當所乘整式不為零時，所得整式的根為增根，因此，驗根是解分式方程的必要步驟．分式方程的增根是解題時極易忽視的知識點，在一般情形下，檢驗未知數(shù)的值是否是增根并不難，而當題目明確有增根時，反推此時未知數(shù)的值就會讓人不知所措，此時關(guān)鍵是要具備逆向的思維能力，特別是涉及分式方程的解而又未明確涉及增根問題時，探討是否有增根(或與增根有關(guān)問題)就成了隱含條件，稍不留心就會發(fā)生差錯．shiqianxianpingdichangzhonxue第十頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期日1．(2011·江津)下列式子是分式的是(

)

A.B.C.＋y

D.

解析：根據(jù)分式的定義，分母中必含字母的代數(shù)式叫分式．基礎(chǔ)自測Bshiqianxianpingdichangzhonxue第十一頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期日2．(2011·南充)當分式的值為0時，x的值是(

)

A．0B．1C．－1D．－2

解析：當x＝1時，分子x－1＝0，而分母x＋2＝3≠0，所以分式的值為0.3．(2011·金華)計算－的結(jié)果為(

)

A.B．－

C．－1D．2

解析：－＝＝＝－1.BCshiqianxianpingdichangzhonxue第十二頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期日4．(2011·潛江)化簡(＋)÷(m＋2)的結(jié)果是(

)

A．0B．1

C．－1D．(m＋2)2

解析：原式＝×＝×＝1.5．(2011·蕪湖)分式方程＝的解是(

)

A．x＝－2B．x＝2

C．x＝1D．x＝1或x＝2

解析：當x＝1時，方程左邊＝＝＝3，右邊＝＝3，∴x＝1是原方程的解.BCshiqianxianpingdichangzhonxue第十三頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期日題型一分式的概念，求字母的取值范圍

【例1】

(1)當x＝_______時，分式無意義；

解析：當x－1＝0，x＝1時，分式無意義．

(2)(2011·泉州)當x＝_______時，分式的值為0.

解析：當x－2＝0，x＝2時，分母x＋2＝4，分式的值是0.題型分類深度剖析12shiqianxianpingdichangzhonxue第十四頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期日探究提高

1.首先求出使分母等于0的字母的值，然后讓未知數(shù)不等于這些值，便可使分式有意義．

2.首先求出使分子為0的字母的值，再檢驗這個字母的值是否使分母的值為0，當它使分母的值不為0時，這就是所要求的字母的值．shiqianxianpingdichangzhonxue第十五頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期日知能遷移1

(1)使分式有意義的x的取值范圍是________．

解析：當2x－4≠0，x≠2時，分式有意義，故x的取值范圍是x≠2.(2)當x＝________時，分式的值為0.

解析：當|x|－3＝0，|x|＝3，x＝±3，而x－3≠0，x≠3，故x＝－3.x≠2－3(3)若分式的值為0，則x的值為(

)A．1

B．－1

C．±1

D．2解析：當x－2＝0，x＝2時，x2－1≠0，故選D.Dshiqianxianpingdichangzhonxue第十六頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期日題型二分式的性質(zhì)【例2】

(1)(2011·湛江)化簡－的結(jié)果是(

)

A．a(chǎn)＋b

B．a(chǎn)－b

C．a(chǎn)2－b2

D．1

解析：－＝＝＝a＋b.Ashiqianxianpingdichangzhonxue第十七頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期日(2)已知－＝3，求分式的值．

解法一：∵－＝3，∴＝3，y－x＝3xy，x－y＝－3xy.

原式＝＝＝＝＝4.shiqianxianpingdichangzhonxue第十八頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期日解法二：∵－＝3，∴xy≠0，∴原式＝＝＝＝＝＝4.shiqianxianpingdichangzhonxue第十九頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期日探究提高

1.分式的基本性質(zhì)是分式變形的理論依據(jù)，所有分式變形都不得與此相違背，否則分式的值改變.2.將分式化簡，即約分，要先找出分子、分母的公因式，如果分子、分母是多項式，要先將它們分別分解因式，然后再約分，約分應(yīng)徹底.3.巧用分式的性質(zhì)，可以解決某些較復(fù)雜的計算題，可應(yīng)用逆向思維，將要求的算式向已知條件“湊”而求得結(jié)果．shiqianxianpingdichangzhonxue第二十頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期日知能遷移2

(1)(2011·聊城)化簡：÷＝.

解析：÷

＝·＝.(2)下列運算中，錯誤的是(

)

A.＝(c≠0)B.＝－1

C.＝D.＝

解析：＝－.Dshiqianxianpingdichangzhonxue第二十一頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期日題型三分式的四則混合運算【例3】先化簡代數(shù)式(＋)÷，然后選取一個合適的a值，代入求值．

解題示范——規(guī)范步驟，該得的分，一分不丟！

解：原式＝(＋)·(a＋2)(a－2)[2分]

＝a(a－2)＋2(a＋2)＝a2－2a＋2a＋4

＝a2＋4[3分]

取a＝1，得原式＝12＋4＝5[5分]shiqianxianpingdichangzhonxue第二十二頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期日探究提高

準確、靈活、簡便地運用法則進行化簡，注意在取a的值時，不能取使分式無意義的±2.知能遷移3

(1)(2011·安徽)先化簡，再求值：－，其中x＝－2.

解：原式＝＝＝＝＝－1.shiqianxianpingdichangzhonxue第二十三頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期日(2)計算：(－)·

解：原式＝·－·

＝3(a＋3)－(a－3)

＝2a＋12.shiqianxianpingdichangzhonxue第二十四頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期日(3)(2011·貴陽)在三個整式x2－1，x2＋2x＋1，x2＋x中，請你從中任意選擇兩個，將其中一個作為分子，另一個作為分母組成一個分式，并將這個分式進行化簡，再求當x＝2時分式的值．

解：答案不唯一．如，選擇x2－1為分子，x2＋2x＋1為分母，組成分式.

＝＝.

將x＝2代入，得原式＝＝.第二十五頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期日題型四分式方程的解法【例4】解分式方程：－＝0.

解題示范——規(guī)范步驟，該得的分，一分不丟！

解：原式＝－＝0，去分母，5(x－1)－(x＋3)＝0，去括號，5x－5－x－3＝0，[2分]4x－8＝0，

4x＝8，x＝2.

經(jīng)檢驗，x＝2是原方程的根．∴原方程的根是x＝2.[4分]shiqianxianpingdichangzhonxue第二十六頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期日探究提高

1.按照基本步驟解分式方程，其關(guān)鍵是確定各分式的最簡公分母．若分母為多項式時，應(yīng)首先進行分解因式．將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，乘最簡公分母時，應(yīng)乘原分式方程的每一項，不要漏乘常數(shù)項．

2.檢驗是否產(chǎn)生增根：分式方程的增根是分式方程去分母后整式方程的某個根，但因為它使分式方程的某些分母為零，故應(yīng)是原方程的增根，須舍去．shiqianxianpingdichangzhonxue第二十七頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期日知能遷移4

(1)(2011·潼南)解分式方程：－＝1.

解：方程兩邊同乘(x＋1)(x－1)，得

x(x－1)－(x＋1)＝(x＋1)(x－1)，化簡，得－2x－1＝－1，解得x＝0.

檢驗：當x＝0時，(x＋1)(x－1)≠0，所以x＝0是原分式方程的解．shiqianxianpingdichangzhonxue第二十八頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期日(2)若方程＝無解，則m＝________.

解析：＝，去分母，x－3＝－m，m＝3－x.

當x＝2時，m＝3－2＝1.1shiqianxianpingdichangzhonxue第二十九頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期日1．勿忘分母不能為零考題再現(xiàn)當a取什么值時，方程－＝的解是負數(shù)？學(xué)生作答

解：原方程兩邊同乘以(x－2)(x＋1)，得

x2－1－x2＋4x－4＝2x＋a，2x＝a＋5，∴x＝.

由<0,得a<－5.

故當a<－5時，原方程的解是負數(shù)．答題規(guī)范shiqianxianpingdichangzhonxue第三十頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期日規(guī)范解答解：當x≠－1且x≠2時，原方程兩邊都乘以