剛體的平面運(yùn)動

剛體的平面運(yùn)動第一頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期日§14.1

剛體平面運(yùn)動的基本概念

14.1.1什么是剛體的平面運(yùn)動？請先看三個動畫：動畫1第二頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期日§14.1

剛體平面運(yùn)動的基本概念動畫2第三頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期日§14.1

剛體平面運(yùn)動的基本概念動畫3沿直線軌道滾動的車輪，曲柄連桿機(jī)構(gòu)中連桿的運(yùn)動以及行星齒輪機(jī)構(gòu)中行星輪的運(yùn)動都是剛體的平面運(yùn)動。它們的運(yùn)動都有一個共同的特點：

剛體在運(yùn)動過程中，剛體內(nèi)任意一點與某一固定平面始終保持相等的距離。剛體的這種運(yùn)動稱為平面運(yùn)動。

第四頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期日§14.1

剛體平面運(yùn)動的基本概念14.1.2

剛體平面運(yùn)動力學(xué)模型的簡化

先看動畫：結(jié)論：剛體的平面運(yùn)動可以簡化為平面圖形S在自身平面內(nèi)的運(yùn)動。

第五頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期日§14.1

剛體平面運(yùn)動的基本概念

14.1.3

平面運(yùn)動分解為平動和轉(zhuǎn)動

1.平面運(yùn)動的分解運(yùn)動的合成和分解的概念也可應(yīng)用于剛體的運(yùn)動。以車輪滾動為例說明。

上述方法可用來研究任何平面圖形的運(yùn)動。

第六頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期日§14.1

剛體平面運(yùn)動的基本概念于是，圖形S的絕對運(yùn)動（對于定系的運(yùn)動）是所研究的平面運(yùn)動,它的相對運(yùn)動（對于動系的運(yùn)動）是繞基點A的轉(zhuǎn)動，它的牽連運(yùn)動（動系對于定系的運(yùn)動）則是以基點A為代表的平動。因此，剛體的平面運(yùn)動可分解為隨基點的平動和繞基點的轉(zhuǎn)動。

14.1.3

平面運(yùn)動分解為平動和轉(zhuǎn)動

請看動畫。在平面圖形上任取一點A為平動坐標(biāo)系A(chǔ)x’y’的原點，A點稱為基點。

第七頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期日§14.1

剛體平面運(yùn)動的基本概念

14.1.3

平面運(yùn)動分解為平動和轉(zhuǎn)動

2．平面運(yùn)動的分解與基點選擇的關(guān)系

請看動畫。平面圖形S在時間間隔△t內(nèi)由位置Ⅰ運(yùn)動至位置Ⅱ。

這一運(yùn)動過程，可以這樣認(rèn)為：平面圖形S首先以A點為基點平動到位置，而后再繞A1點逆時針轉(zhuǎn)至位置Ⅱ；也可以認(rèn)為是：平面圖形S先以B點為基點平動到B1A1位置，而后再繞B1點逆時針轉(zhuǎn)至位置Ⅱ。上述兩種看法都可表達(dá)出平面圖形S某一瞬時的運(yùn)動情況，得到相同的運(yùn)動結(jié)果。但是，選取不同的基點，其平動部分在時間間隔△t內(nèi)走的位移不相同，當(dāng)然平動速度也就不相同；而在同一時間間隔△t內(nèi)，不論基點如何選取，平面運(yùn)動剛體轉(zhuǎn)過的角位移是相同的，所以平面圖形繞基點轉(zhuǎn)動的角速度都是相同的。即剛體平面運(yùn)動的平動速度與基點的選取有關(guān)，而剛體平面運(yùn)動的轉(zhuǎn)動角速度則與基點的選取無關(guān)。第八頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期日§14.2

平面運(yùn)動剛體內(nèi)各點的速度分析

14.2.1基點法

如圖所示，已知某瞬時平面圖形S上A點的速度vA和平面圖形的轉(zhuǎn)動角速度ω，求圖形S上任一點B的速度。

取點A為基點。由于平面圖形S的運(yùn)動可看成隨基點A的平動（牽連運(yùn)動）和繞基點A的轉(zhuǎn)動（相對運(yùn)動）的合成?？梢杂命c的速度合成定理求解。即

即平面圖形上任一點的速度等于基點的速度與該點繞基點轉(zhuǎn)動速度的矢量和。這就是基點法，或稱平面運(yùn)動的速度合成法，是求平面運(yùn)動圖形上任一點速度的基本方法。

(a)因，代如（a)式，得：（14.1）第九頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期日§14.2

平面運(yùn)動剛體內(nèi)各點的速度分析

14.2.1基點法

例14.1發(fā)動機(jī)的曲柄連桿機(jī)構(gòu)如圖所示。曲柄OA長為r

=200mm,以勻角速度ω＝2rad/s繞點O轉(zhuǎn)動，連桿AB長為l

=990mm。試求當(dāng)∠OAB＝90o時，滑塊B的速度及連桿AB的角速度。

解：（1）選連桿AB為研究對象，連桿AB作平面運(yùn)動。由于連桿上點A速度已知，所以選點A為基點。(2)B點的運(yùn)動，可視為隨基點A的平移與繞基點A的轉(zhuǎn)動的合成運(yùn)動。

式中，vA=rω=200×2=400mm/s,方向垂直O(jiān)A。vAB垂直AB，指向和大小未知。B點絕對速度vB沿水平方向。作出速度平行四邊形。

由基點法：第十頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期日§14.2

平面運(yùn)動剛體內(nèi)各點的速度分析

14.2.1基點法

方向如圖所示。

由幾何關(guān)系得：，其方向為水平方向。

連桿AB的角速度為：，其轉(zhuǎn)向為順時針方向。

第十一頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期日§14.2

平面運(yùn)動剛體內(nèi)各點的速度分析

14.2.2

速度瞬心法

1．速度瞬心法

上式表明，在該瞬時平面圖形內(nèi)各點的運(yùn)動可看成繞點C的轉(zhuǎn)動。這個速度恰好為零的點，稱為平面圖形在該瞬時的速度中心，簡稱速度瞬心或瞬心。

平面圖形在其自身平面內(nèi)運(yùn)動時，其中任意一點M的速度滿足下式：

式中，表示基點的速度。由于基點的選擇是任意的，若在平面圖形（或其延伸部分）能找到這樣一點C，其在該瞬時的速度vc=0,取該點為基點，則上式具有如下的形式，即

：第十二頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期日§14.2

平面運(yùn)動剛體內(nèi)各點的速度分析

14.2.2

速度瞬心法

1．速度瞬心法

方向與CM垂直且順著ω的轉(zhuǎn)向。這種應(yīng)用速度瞬心來求平面圖形內(nèi)各點速度的方法，稱為速度瞬心法。

以車輪為例近一步理解速度瞬心的概念。那么,某瞬時平面圖形上是否存在速度為零的點呢？如果存在的話，我們?nèi)绾握业剿空埧赐茖?dǎo)?？梢?，只要找到平面圖形在某一瞬時的瞬心位置，則圖形內(nèi)其它各點在此瞬時的絕對速度就等于它們繞瞬心C轉(zhuǎn)動的速度。以點M為例。若該點到瞬心C的距離為,則其速度大小為:

第十三頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期日§14.2

平面運(yùn)動剛體內(nèi)各點的速度分析

14.2.2

速度瞬心法

1．速度瞬心法

顯然，使用瞬心法的關(guān)鍵是確定瞬心的位置。下面分別加以討論：(1)如圖所示，物體沿固定面作無滑動的滾動（純滾動）。此時，物體與固定面的相互接觸點的速度相同。由于固定面的速度為零，故物體上與固定面相接觸的點C的速度也為零，因此該點即為此瞬時的瞬心。

第十四頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期日§14.2

平面運(yùn)動剛體內(nèi)各點的速度分析

14.2.2

速度瞬心法

1．速度瞬心法

顯然，使用瞬心法的關(guān)鍵是確定瞬心的位置。(2)如圖所示，已知A、B兩點的速度、的方向，則通過這兩點分別作速度、的垂線，這兩條垂線的交點C,就是此瞬時的瞬心。第十五頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期日§14.2

平面運(yùn)動剛體內(nèi)各點的速度分析

14.2.2

速度瞬心法

1．速度瞬心法

顯然，使用瞬心法的關(guān)鍵是確定瞬心的位置。(3)如圖所示，A、B兩點的速度、大小不等、方向互相平行且都垂直于AB連線，則瞬心必在AB連線或AB的延長線上。此時，須知道A、B兩點速度的大小才能確定瞬心的具體位置。如圖所示，瞬心C位于、兩矢量終點連線與AB直線的交點處。

第十六頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期日(4)如圖所示，任意兩點A、B的速度、相互平行，且=，則該瞬時圖形的瞬心C在無窮遠(yuǎn)處，此時圖形的角速度為零，圖形上各點的速度都相同。這種情況稱為瞬時平移。§14.2

平面運(yùn)動剛體內(nèi)各點的速度分析

14.2.2

速度瞬心法

1．速度瞬心法

顯然，使用瞬心法的關(guān)鍵是確定瞬心的位置。第十七頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期日§14.2

平面運(yùn)動剛體內(nèi)各點的速度分析

14.2.2

速度瞬心法

當(dāng)剛體作瞬時平移時，雖然此瞬時的角速度為零，各點速度相同，但各點的加速度并不相同，角加速度不等于零，故下一瞬時，各點的速度便不再相同，剛體也不再作瞬時平移。

必須指出，剛體在作平面運(yùn)動的過程中，作為瞬心的那一