絕對(duì)值不等式絕對(duì)值三角不等式 省賽獲獎(jiǎng)

3.5絕對(duì)值不等式絕對(duì)值三角不等式[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.理解定理1及其幾何說(shuō)明，理解定理2.2.會(huì)用定理1、定理2解決比較簡(jiǎn)單的問(wèn)題．[知識(shí)鏈接]1．代數(shù)式|x＋2|＋|x－3|的幾何意義是什么？答案表示數(shù)軸上的點(diǎn)x到點(diǎn)－2與3的距離之和．2．定理2的幾何解釋是什么？答案在數(shù)軸上，a，b，c所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，C，當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A，C之間時(shí)，|a－c|＝|a－b|＋|b－c|；當(dāng)點(diǎn)B不在點(diǎn)A，C之間時(shí)，|a－c|＜|a－b|＋|b－c|.[預(yù)習(xí)導(dǎo)引]1．絕對(duì)值的幾何意義如圖(1)，|a|表示數(shù)軸上

到原點(diǎn)的距離．如圖(2)，|a－b|的幾何意義是

的距離．坐標(biāo)為a的點(diǎn)A數(shù)軸上A，B兩點(diǎn)之間2．定理1：如果a，b是實(shí)數(shù)，則|a＋b|≤

，當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí)，等號(hào)成立．3．定理2：如果a，b，c是實(shí)數(shù)，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí)，等號(hào)成立.|a|＋|b|ab≥0(a－b)(b－c)≥0要點(diǎn)一絕對(duì)值三角不等式的簡(jiǎn)單應(yīng)用例1

(1)“|x－a|＜m且|y－a|＜m”是“|x－y|＜2m”(x，y，a，m∈R)的(

)A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．非充分非必要條件解析∵|x－a|＜m，|y－a|＜m，∴|x－a|＋|y－a|＜2m，又∵|(x－a)－(y－a)|≤|x－a|＋|y－a|，∴|x－y|＜2m，但反過(guò)來(lái)不一定成立，如取x＝3，y＝1，a＝－2，m＝2.5，|3－1|＜2×2.5，但|3－(－2)|＞2.5，|1－(－2)|＞2.5，∴|x－y|＜2m不一定有|x－a|＜m且|y－a|＜m，故“|x－a|＜m且|y－a|＜m”是“|x－y|＜2m”(x，y，a，m∈R)的充分非必要條件．答案A(2)以下四個(gè)命題：①若a，b∈R，則|a＋b|－2|a|≤|a－b|；②若|a－b|＜1，則|a|＜|b|＋1；其中正確的命題有(

)A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)(2)|a＋b|＝|(b－a)＋2a|≤|b－a|＋2|a|＝|a－b|＋2|a|，∴|a＋b|－2|a|≤|a－b|，①正確；1＞|a－b|≥|a|－|b|，∴|a|＜|b|＋1，②正確；答案A規(guī)律方法|a±b|≤|a|＋|b|，從左到右是一個(gè)放大過(guò)程，從右到左是縮小過(guò)程，證明不等式可以直接用，也可利用它消去變量求最值．絕對(duì)值三角不等式是證明與絕對(duì)值有關(guān)的不等式的重要工具，但有時(shí)還需要通過(guò)適當(dāng)?shù)淖冃问蛊浞辖^對(duì)值三角不等式的條件．跟蹤演練1

已知函數(shù)f(x)、g(x)，設(shè)不等式|f(x)|＋|g(x)|＜a(a＞0)的解集為M，不等式|f(x)＋g(x)|＜a(a＞0)的解集是N，則集合M與N的關(guān)系是(

)A．N?M B．M＝NC．M?N D．M

N解析∵|f(x)＋g(x)|≤|f(x)|＋|g(x)|，若x0∈M，|f(x0)|＋|g(x0)|＜a，故|f(x0)＋g(x0)|＜a，所以x0∈N.C

要點(diǎn)二證明絕對(duì)值不等式＝|f(x2)－f(1)＋f(0)－f(x1)|≤|f(x2)－f(1)|＋|f(0)－f(x1)|＜|x2－1|＋|x1－0|.規(guī)律方法對(duì)于絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)的式子，采用加減某個(gè)式子后，重新組合，運(yùn)用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)變形，是證明絕對(duì)值不等式的典型方法．跟蹤演練2

設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c，當(dāng)|x|≤1時(shí)，總有|f(x)|≤1，求證：|f(2)|≤7.證明∵|f(1)|≤1，|f(－1)|≤1，|f(0)|≤1，∴|f(2)|＝|4a＋2b＋c|＝|3f(1)＋f(－1)－3f(0)|≤3|f(1)|＋|f(－1)|＋3|f(0)|≤7.例3

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將從點(diǎn)M出發(fā)沿縱、橫方向到達(dá)點(diǎn)N的任一路徑成為M到N的一條“L路徑”．如圖所示的路徑MM1M2M3N與路徑MN1N都是M到N的“L路徑”．某地有三個(gè)新建的居民區(qū)，分別位于平面xOy內(nèi)三點(diǎn)A(3,20)，B(－10,0)，C(14,0)處．現(xiàn)計(jì)劃在x軸上方區(qū)域(包含x軸)內(nèi)的某一點(diǎn)P處修建一個(gè)文化中心．要點(diǎn)三絕對(duì)值三角不等式在生活中的應(yīng)用(1)寫(xiě)出點(diǎn)P到居民區(qū)A的“L路徑”長(zhǎng)度最小值的表達(dá)式(不要求證明)；解設(shè)點(diǎn)P(x，y)，且y≥0.(1)點(diǎn)P到點(diǎn)A(3,20)的“L路徑”的最短距離d，等于水平距離＋垂直距離，即d＝|x－3|＋|y－20|，其中y≥0，x∈R.(2)若以原點(diǎn)O為圓心，半徑為1的圓的內(nèi)部是保護(hù)區(qū)，“L路徑”不能進(jìn)入保護(hù)區(qū)，請(qǐng)確定點(diǎn)P的位置，使其到三個(gè)居民區(qū)的“L路徑”長(zhǎng)度值和最小值．解點(diǎn)P到A，B，C三點(diǎn)的“L路徑”長(zhǎng)度之和的最小值d＝水平距離之和的最小值h＋垂直距離之和的最小值v.且h和v互不影響．當(dāng)20≥y≥1時(shí)，v＝20－y＋2y＝20＋y≥21，當(dāng)y＝1時(shí)取“＝”．∵x∈[－10,14]時(shí)，水平距離之和h＝|x－(－10)|＋|14－x|＋|x－3|≥|x＋10＋14－x|＋|x－3|≥24，且當(dāng)x＝3時(shí)，h＝24.因此，當(dāng)P(3,1)時(shí)，d＝21＋24＝45.當(dāng)0≤y＜1時(shí)，v＝20－y＋(1－y)＋1＋y＝22－y＞21，水平距離之和h不變，所以d＞45.所以，當(dāng)點(diǎn)P(x，y)滿(mǎn)足P(3,1)時(shí)，點(diǎn)P到A，B，C三點(diǎn)的“L路徑”長(zhǎng)度之和d的最小值為45.規(guī)律方法數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離或者平面直角坐標(biāo)系中平行于坐標(biāo)軸的直線(xiàn)上的兩點(diǎn)間的距離為：d＝|x1－x2|或d＝|y1－y2|，如果已知兩個(gè)變量x1，x2的大小關(guān)系，則不用加絕對(duì)值．跟蹤演練3

兩個(gè)施工隊(duì)分別被安排在公路沿線(xiàn)的兩個(gè)地點(diǎn)施工，這兩個(gè)地點(diǎn)分別位于公路路牌的第10km和第20km處．現(xiàn)要在公路沿線(xiàn)建兩個(gè)施工隊(duì)的共同臨時(shí)生活區(qū)，每個(gè)施工隊(duì)每天在生活區(qū)和施工地點(diǎn)之間往返一次．要使兩個(gè)施工隊(duì)每天往返的路程之和最小，生活區(qū)應(yīng)該建于何處？解設(shè)生活區(qū)應(yīng)該建于公路路牌的第xkm處，兩個(gè)施工隊(duì)每天往返的路程之和為s(x)km，則s(x)＝2(|x－10|＋|x－20|)．因?yàn)閨x－10|＋|x－20|＝|x－10|＋|20－x|≥10，當(dāng)且僅當(dāng)(x－10)(20－x)≥0時(shí)取等號(hào)．解得10≤x≤20.所以，生活區(qū)建于兩個(gè)施工地點(diǎn)之間的任何一個(gè)位置時(shí)，都能使兩個(gè)施工隊(duì)每天往返的路之和最小．課堂小結(jié)1.求含絕對(duì)值的代數(shù)式的最值問(wèn)題綜合性較強(qiáng)，直接求|a|＋|b|的最大值比較困難，可采用|a＋b|，|a－b|的最值，及ab≥0時(shí)，|a|＋|b|＝|a＋b|，ab＜0時(shí)，|a|＋|b|＝|a－b|的定理，達(dá)到目的．2．求y＝|x＋m|＋|x＋n|和y＝|x＋m|－|x＋n|的最值，其主要方法有：(1)借助絕對(duì)值的定義，即零點(diǎn)分段；(2)利用絕對(duì)值幾何意義；(3)利用絕對(duì)值不等式性質(zhì)定理．1．對(duì)于|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，下列結(jié)論正確的是(

)A．當(dāng)a，b異號(hào)時(shí)，左邊等號(hào)成立B．當(dāng)a，b同號(hào)時(shí)，右邊等號(hào)成立C．當(dāng)a＋b＝0時(shí)，兩邊等號(hào)均成立D．當(dāng)a＋b＞0時(shí)，右邊等號(hào)成立；當(dāng)a＋b＜0時(shí)，左邊等號(hào)成立B2．若兩實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足xy＜0，那么總有(

)A．|x＋y|＜|x－y| B．|x＋y|＞|x－y|C．|x－y|＜|x|－|y| D．|x＋y|＜|y|－|x|解析當(dāng)xy＜0時(shí)，|x＋y|＝||x|－|y||，|x－y|＝|x|＋|y|，因?yàn)閨x|＋|y|＞||x|－|y||，所以|x＋y|＜|x－y|.A3．對(duì)于實(shí)數(shù)x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，則|x－2y＋1|的最大值為_(kāi)_______．解析∵|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－1)|≤|x－1|＋2|(y－2)＋1|≤|x－1|＋2|y－2|＋2，再由|x－1|≤1，|y－2|≤1可得|x－1|＋2|y－2|＋2≤1＋2＋2＝5，故|x－2